問題
△ＡＢＣ内の一点をＯとするとき、
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＞ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ＞（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）/2
となることを証明せよ。
証明
ＣＯの延長線とＡＢの交点をＤとします。
三角不等式より、
ＡＢ＋ＡＣ＝ＢＤ＋（ＤＡ＋ＡＣ）＞ＢＤ＋ＤＣ＝（ＢＤ＋ＤＯ）＋ＯＣ＞ＯＢ＋ＯＣ
同様に、
ＢＡ＋ＢＣ＞ＯＡ＋ＯＣ
ＣＡ＋ＣＢ＞ＯＡ＋ＯＢ
辺々加えて、
２（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）＞２（ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ）
よって、
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＞ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ
一方、三角不等式より、
ＯＡ＋ＯＢ＞ＡＢ
ＯＢ＋ＯＣ＞ＢＣ
ＯＣ＋ＯＡ＞ＣＡ
辺々足して
２（ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ）＞ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ
よって、
ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ＞（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）/2
以上より、
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＞ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ＞（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）/2
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