問題
ａ＝５，ｂ＝６，ｃ＝７である、△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢのＢの側への延長線，辺ＢＣ，辺ＣＡのＣの側への延長線に接する円Ｏの半径を求めて下さい。
解答
図のように接点をＤ，Ｅ，Ｆ とし、円の中心をＯとします。
ＢＤ＝ＢＦ，ＣＥ＝ＣＦ より、
ＡＥ＋ＡＤ＝ＡＢ＋ＡＣ＋（ＢＤ＋ＣＥ）＝ＡＢ＋ＡＣ＋（ＢＦ＋ＣＦ）
＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＝５＋６＋７＝１８
ＡＤ＝ＡＥより、
ＡＤ＝ＡＥ＝９
θ＝∠ＢＡＣ とおくと、余弦定理より、
cosθ＝(62+72-52)/(2・6・7)＝5/7
半角の公式
cos2(θ/2)＝(cosθ＋１)/2
より、
cos2(θ/2)＝6/7
０＜θ＜90°より、cosθ＞０
よって、
cosθ＝√(6/7)
また、sin2θ＋cos2θ＝１ より
sinθ＝√(1/7)
tanθ＝sinθ/cosθ＝√(1/6)
よって、tanθ＝OD/AD より、
ＯＤ＝ＡＤ×tanθ＝９×√(1/6)＝３√６/２
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