優さんからの質問1

問題
aは実数とする。xの二次方程式x2+2ax+2a2−5=0について、
(1)2つの解がともに1より小さいとき、aの値の範囲を求めよ。
(2)1つの解が1より大きく、他の解が1より小さいとき、aの値の範囲を求めよ。

解答
y=f(x)=x2+2ax+2a2−5 のグラフを考えます。
グラフが下に凸であることは明らかなので、各問いの条件を満たすグラフは以下の通りです。

グラフ
満たすべき条件 判別式が0以上
軸が1未満
f(1)>0
f(1)<0
解答 判別式をDとすると
 D/4=a2−(2a2−5)
  =−a2+5≧0
より、-√5≦a≦√5 ・・・(a)
軸の式は x=−a より、
 −a<1
よって、 a>−1 ・・・(b)
f(1)=2a2+2a−4>0
より、
 2(a−1)(a+2)>0
 a<−2 または a>1 ・・・(c)
(a)(b)(c) より
 1<a≦√5
f(1)=2a2+2a−4
  =2(a−1)(a+2)<0
より、
 −2<a<1

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