軸が１未満
ｆ（１）＞０
D/4＝ａ2−(２ａ2−５)
＝−ａ2＋５≧０
より、-√５≦ａ≦√５ ・・・(a)
軸の式は ｘ＝−ａ より、
−ａ＜１
よって、 ａ＞−１ ・・・(b)
ｆ（１）＝２ａ2＋２ａ−４＞０
より、
２(ａ−１)(ａ＋２)＞０
ａ＜−２ または ａ＞１ ・・・(c)
(a)(b)(c) より
１＜ａ≦√５
＝２(ａ−１)(ａ＋２)＜０
より、
−２＜ａ＜１
優さんからの質問１
問題
ａは実数とする。ｘの二次方程式ｘ2＋２ａｘ＋２ａ2−５＝０について、
（１）２つの解がともに１より小さいとき、ａの値の範囲を求めよ。
（２）１つの解が１より大きく、他の解が１より小さいとき、ａの値の範囲を求めよ。
解答
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ2＋２ａｘ＋２ａ2−５ のグラフを考えます。
グラフが下に凸であることは明らかなので、各問いの条件を満たすグラフは以下の通りです。
| グラフ | |
|
| 満たすべき条件 | 判別式が０以上 軸が１未満 ｆ（１）＞０ |
ｆ（１）＜０ |
| 解答 | 判別式をＤとすると D/4＝ａ2−(２ａ2−５) ＝−ａ2＋５≧０ より、-√５≦ａ≦√５ ・・・(a) 軸の式は ｘ＝−ａ より、 −ａ＜１ よって、 ａ＞−１ ・・・(b) ｆ（１）＝２ａ2＋２ａ−４＞０ より、 ２(ａ−１)(ａ＋２)＞０ ａ＜−２ または ａ＞１ ・・・(c) (a)(b)(c) より １＜ａ≦√５ |
ｆ（１）＝２ａ2＋２ａ−４ ＝２(ａ−１)(ａ＋２)＜０ より、 −２＜ａ＜１ |