まろさんからの質問

問題 次の不等式を解け。
(1) (2x−3)(−x−1)≧0
(2) x<2x−3<9


解答

(1) y=(2x−3)(−x−1) のグラフは、以下の通りです。

このグラフが y≧0 になるのは -1≦x≦3/2 の範囲です。
答え -1≦x≦3/2

(2x−3)(−x−1) は 2x−3 と −x−1 が掛けられたものです。
2x−3 は、 x=3/2 を境に正と負が分かれます。
−x−1 は、x=-1 を境に正と負が分かれます。
そこで、以下のような表を作ります。

xの値 x<−1 −1 −1<x<3/2 3/2 3/2<x
−x−1 の値
2x−3 の値
(2x−3)(−x−1)の値

この表より、(2x−3)(−x−1)≧0 となるのは、-1≦x≦3/2 であることが分かります。

普通は、下のような下に凸のグラフに変形して
 (x−a)(x−b)<0 ならば a<x<b
 (x−a)(x−b)>0 ならば x<a または b<x
という形に持っていきます。(ただし、a<b)(等号は必要に応じてつける)

 (2x−3)(−x−1)≧0 の場合は、両辺に−1を掛けて(不等号が逆になることに注意)
 (2x−3)(x+1)≦0 とし、-1≦x≦3/2 が得られます。

以上、「グラフを書いて調べる」「掛けられている2つの式の正負で調べる」「一般的な形(下に凸)に変形する」
の方法を書きました。

(2) x<2x−3<9 は、
 x<2x−3・・・(1)
 2x−3<9・・・(2)
の2つの不等式が合わさったものです。
(1) より x>3
(2) より x<6
この2つを同時に満たす範囲は、3<x<6 となります。

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