問題
9cm,12cm,15cmが辺である直角三角形があります。
その三角形の内部を辺にそって、半径１ｃｍの円が動きます。
その時に、円の中心が動いた距離と、円が通った面積を求めなさい。
解答
円の中心が動いた部分は、図のような、直角三角形（内側）になります。
この直角三角形の３つの頂点から、外側の直角三角形に垂線を引いて、
図の黄色い部分を切り取って、つなげると、右のような直角三角形になります。
この時点では、辺の長さは分かっていません。
この黄色い三角形は、もとの直角三角形と相似なので、仮に、３cm：４cm：５cm とします。
この三角形にぴったり収まる（内接すると言います）円の半径を求めます。
三角形ＡＢＣは、3cm、4cm、5cmの直角三角形で、これに内接する円の中心をＯとします。
三角形ＡＢＣの面積はＢＣを底辺、ＡＣを高さとして、
４×３÷２＝６
です。一方、この三角形を、ＡＢＯ，ＢＣＯ，ＡＣＯ に分けて、面積を求めると、
三角形ＡＢＯ： ５×半径÷２
三角形ＢＣＯ： ４×半径÷２
三角形ＡＣＯ： ３×半径÷２ ※半径とは、内接円の半径です。
となり、３つ足すと、
（５＋４＋３）×半径÷２＝１２×半径÷２
となります。これが、６に等しいので、半径は１となります。
ここで、３：４：５ の直角三角形に内接する円の半径は、１であることが分かりました。
上の黄色い三角形の内部に書かれた円は、左の大きい三角形の内部を動く円と同じ大きさなので、
半径は１です。
ここで、先ほど、黄色い三角形の辺の長さを、仮に、３cm：４cm：５cm と決めたのが、本当に、
３cm：４cm：５cm であったことが分かります。
※もし、問題の円が、１ｃｍではなかったら、その大きさに従って、３cm：４cm：５cm を、
何倍かするだけです。
例えば、半径2cmなら、６cm：８cm10cm のように。
さて、黄色い三角形の辺の長さが、決まりましたので、円の中心が動いた部分の直角三角形（内側）
の辺の長さは、
９−３＝６
１２−４＝８
１５−５＝１０
となります。
※厳密に計算すると、下のような長さになるので、
９−（２＋１）＝６
１２−（１＋３）＝８
１５−（２＋３）＝１０
となりますが、ここまで書く必要もないでしょう。
よって、円の中心が動いた部分の長さは、
６＋８＋１０＝２４（ｃｍ） ・・・答え１
となります。
