問題
三角形ABC内に点Pがあり、直線ABと直線CPの交点をR、直線ACと直線BPの交点をQとするとき、
AR=BR=CPかつCQ=PQとなる。このとき∠BRPはいくらか。
解答
点Ａを通り、ＢＰに平行な直線を引き、ＣＰとの交点をＳとすると、
△ＱＰＣと△ＡＳＣは相似となり、 ＡＳ＝ＡＣとなります。
△ＡＳＣを抜き出したのが右の図です。ＳＣの中点をＯとすると、ＡＯとＳＣは垂直です。
ＰＣ＝ＡＲ＝ｘ
とおくと、
ＳＲ＝（ＳＣ−ｘ）/２
ＯＲ＝ＳＣ/２−ＳＲ＝ｘ/２
以上より、△ＡＲＯは、３辺の比が １：２：√３ の三角形であり、
∠ＡＲＯ＝６０°
よって、
∠ＢＲＰ＝１８０°−６０°＝１２０°
「算数・数学」の部屋に戻る