まいさんからの質問１
問題１
ｋを任意の実数とするとき、方程式
（ｋ−１）ｘ＋（２ｋ＋１）ｙ−５ｋ＋２＝０
の表す直線を考える。この直線がｋに関係なく通る定点の座標を求めよ。
また、その定点と直線
ｙ＝aｘ−１ （a＞０）
との距離が２のときのaの値を求めよ。
解答１
ｋについて整理すると、
ｋ（ｘ＋２ｙ−５）＋（−ｘ＋ｙ＋２）＝０
これが、ｋについての恒等式となるためには、
ｘ＋２ｙ−５＝０ かつ −ｘ＋ｙ＋２＝０
これを連立方程式として解くと、
ｘ＝３，ｙ＝１ 答え：（３，１）
点（３，１）と直線：ｙ＝ａｘ−１ との距離は、距離の公式より
|３ａ−１−１|/√(ａ2＋１2)＝２
両辺２乗して、
（３ａ−２）2＝４(ａ2＋１2)
これを解いて、ｘ＝０、12/5
ｘ＞０ より、 ｘ＝12/5
問題２
円 ｘ2＋ｙ2−２ｋｘ−４ｋｙ＋１６ｋ−１６＝０ が定数ｋの値にかかわらず
通る２点の座標を求めよ。
また、この円ともう１つの円：ｘ2＋ｙ2＝４とが接するようなｋの値を求めよ。
解答２
ｘ2＋ｙ2−２ｋｘ−４ｋｙ＋１６ｋ−１６＝０ ・・・(1)
を、ｋについて整理すると、
ｋ（−２ｘ−４ｙ＋１６）＋（ｘ2＋ｙ2−１６）＝０ ・・・(2)
これが、ｋについての恒等式となるためには、
−２ｘ−４ｙ＋１６＝０ かつ ｘ2＋ｙ2−１６＝０
これを連立方程式として解くと、
（ｘ，ｙ）＝（０，４）、（16/5，12/5）・・・答え
ｘ2＋ｙ2−２ｋｘ−４ｋｙ＋１６ｋ−１６＝０
を変形して、
（ｘ−ｋ）2＋（ｙ−２ｋ）2＝５ｋ2−１６ｋ＋１６
より、（ｋ，2k）中心、半径√(５ｋ2−１６ｋ＋１６) の円。
よって、この円の中心は、直線：ｙ＝２ｘ上にある。そして、円：ｘ2＋ｙ2＝４ の中心（０，０）も
直線：ｙ＝２ｘ上にあるから、これら２円が接するとき、その接点は、直線：ｙ＝２ｘ上にある。
そこで、円：ｘ2＋ｙ2＝４ と 直線：ｙ＝２ｘ の交点を調べる。
ｘ2＋ｙ2＝４ と ｙ＝２ｘ を連立方程式として解くと、
（ｘ，ｙ）＝（±２√５/５，±４√５/５） （複号同順）
円(1)が点（±２√５/５，±４√５/５）を通るためには、(2)
に代入して、
ｋ（±４√５−１６）＝−１２
よって、ｋ＝１２/（１６±４√５）
問題３
放物線 ｙ＝２ｘ2−３ｘ＋１ と 点（１，２）に関して対象な放物線の式を求めよ。
また、この２つの放物線の２つの交点の距離を求めよ。
解答３
求める放物線上の点（ｘ0，ｙ0）に対して、点（１，２）に対して対称な点
（２−ｘ0，４−ｙ0） が、放物線：ｙ＝２ｘ2−３ｘ＋１ 上にあるから、代入して、
４−ｙ0＝２(２−ｘ0)2−３(２−ｘ0)＋１
整理して、
ｙ0＝−２ｘ02＋５ｘ0＋１
答え：ｙ＝−２ｘ2＋５ｘ＋１
ｙ＝２ｘ2−３ｘ＋１
ｙ＝−２ｘ2＋５ｘ＋１
のいずれも、点（０，１）を通ることは、明らかである。また、それを点（１，２）に対して
対称に移動した点（２，３）も、両方の放物線上にある。
よって、２つの交点は（０，１）、（２，３）であり、その距離は、２√２である。