問題
点（0,1)を通り、直線x+2y+2=0とのなす角が６０度であるような直線の方程式を求めよ。
解答
ベクトルを使う方法が一般的ですが、三角関数の加法定理の単元ということで、
それを使います。
求める直線の傾きさえわかれば、(0,1) を通るようにするのはすぐ出来ますので、
まず傾きを求めます。
求める直線は上図の青、赤の２本あります。
x+2y+2=0 の角度をθとすると、
cosθ＝2/√5、sinθ＝−1/√5
青い直線の角度をφとすると、
φ＝θ＋60°
赤い直線の角度をψとすると、
ψ＝θ−60°
また、各直線の傾きはそれぞれ tanφ、tanψ で表される。
cosφ＝cos(θ＋60°)＝cosθcos60°−sinθsin60°
＝1/√5＋√3/2√5
sinφ＝sin(θ＋60°)＝sinθcos60°＋cosθsin60°
＝−1/2√5＋√3/√5
より、
tanφ＝sinφ/cosφ＝(−1＋2√3)/(2＋√3)＝5√3−8
よって、青い直線の式は
ｙ＝(5√3−8)(x−1)
cosψ＝cos(θ−60°)＝cosθcos60°＋sinθsin60°
＝1/√5−√3/2√5
sinψ＝sin(θ−60°)＝sinθcos60°−cosθsin60°
＝−1/2√5−√3/√5
より、
tanψ＝sinψ/cosψ＝(−1−2√3)/(2−√3)＝−5√3−8
よって、赤い直線の式は
ｙ＝(−5√3−8)(x−1)
※tan の加法定理より、即座に
tanφ＝tan(θ＋60°)＝(tanθ＋tan60°)/(1−tanθtan60°)
＝(-1/2＋√3)/(1＋√3/2)＝(−1＋2√3)/(2＋√3)＝5√3−8
などとしても、解けますが、tan は、sin、cos の生成物として扱った方が、
覚える公式も少なくてすみます。
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