こんにちは。下記の問に取り組んでおります。
[問]{f_n}をE(⊂R:実数体)でfに一様収束する連続な実数値関数列とする。
x_n→x∈Eとなる各数列{x_n}⊂Eに対し,lim[n→∞]f_n(x_n)=f(x)となる事を示せ。
はどのようにして示せますでしょうか?
因みに
一様収束の定義は
0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<n,x∈E⇒|f(x)-f_n(x)|≦ε)
です。
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36364．Re: {f_n}はEでfに一様収束&連続,x_n→x∈Eとなる各数列{x_n}⊂Eに対し, |
| 名前：みっちぃ 日付：3月14日(金) 20時3分 |
こういった証明は，型に当てはめるのが重要です。
証明したい事は，
「任意のε>0に対しても，ある実数δ>0と自然数Nが存在し，|x_n-x|<δ，N≦nであれば |f_n(x_n)-f(x)|<εである」です。
(↑∀ε>0，∃δ>0，N∈自然数 s.t ，|x_n-x|<δ，N≦n ⇒ |f_n(x_n)-f(x)|<ε と書きます。)
今，一様収束の定義より
任意のx∈Eに対して，任意のε_1>0に対して，ある自然数Nが存在し，N<n ⇒ |f(x)-f_n(x)|<ε_1…★
また，数列{x_n}がxに収束することと，全てのf_n(x)の連続性の定義より
任意のε_2>0，自然数mに対して，ある実数δ>0と自然数Nが存在し，N≦nかつ|x_n-x|<δ ⇒ |f_m(x_n)-f_m(x)|<ε_2…☆
(mとnは無関係に取れる。もちろん関連があってもよい)
の2式を用いてよい。
<証明>
任意のε>0に対して，ある実数δ>0と自然数Nが存在し，N≦nかつ|x_n-x|<δ
⇒|f_n(x_n)-f(x)|=|{f_n(x_n)-f_n(x)}+{f_n(x)-f(x)}|
≦|f_n(x_n)-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)| (∵三角不等式)
<ε/2 +ε/2=ε (∵★と☆で，ε_1=ε_2=ε/2とする)
<証明終>
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36367．Re: {f_n}はEでfに一様収束&連続,x_n→x∈Eとなる各数列{x_n}⊂Eに対し, |
| 名前：yuuka 日付：3月15日(土) 2時37分 |
ご回答誠に有難うござます。とても参考になっております。
> (↑∀ε>0，∃δ>0，N∈自然数 s.t ，|x_n-x|<δ，N≦n ⇒ |f_n(x_n)-f(x)|<ε と
> 書きます。)
すいません。ちょっとわかりません。
どうして素直に
lim[n→∞]f_n(x_n)=f(x)は
0<∀ε∈R,∃L∈N;L<n⇒|f_n(x_n)-f(x)|<ε
と書いてはいけないのでしょうか?
> 今，一様収束の定義より
> 任意のx∈Eに対して，任意のε_1>0に対して，ある自然数Nが存在し，N<n ⇒
> |f(x)-f_n(x)|<ε_1…★
これは各点収束の定義ではないのですかね。
一様収束なら0<∀ε_1∈R,∃N:自然数;(∀x∈E,N<n⇒|f(x)-f_n(x)|<ε_1)となるのではないでしょうか?
> また，数列{x_n}がxに収束することと，
これは0<∀ε∈R,∃L∈N;L<k⇒|x_k-x|<ε…(*)
> 全てのf_n(x)の連続性の定義より
これはf_m(for ∀m∈N)がx_n(for ∀n∈N)で連続な事から
0<∀ε∈R,∀m,n∈N,0<∃δ∈R;0<|x-x_n|<δ⇒|f_m(x)-f_m(x_n)|<ε…(**)
と書ける。
> 任意のε_2>0，自然数mに対して，ある実数δ>0と自然数Nが存在し，N≦nかつ
> |x_n-x|<δ ⇒ |f_m(x_n)-f_m(x)|<ε_2…☆
> (mとnは無関係に取れる。もちろん関連があってもよい)
ん??
上記(*),(**)からどうして☆が導き出せるのでしょうか?
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36368．Re: {f_n}はEでfに一様収束&連続,x_n→x∈Eとなる各数列{x_n}⊂Eに対し, |
| 名前：みっちぃ 日付：3月15日(土) 17時16分 |
まずは，全体から。用いて良い事は
「{f_n}がfに一様収束する」(←グラフで言うと縦の収束)
「{x_n}がxに収束する」(←グラフで言うと横の収束)
「全てのnでf_n(x)は連続」(←グラフで言うと横が収束⇒縦も収束)
であり，2種類の縦方向での収束を用いることができる。(関数列の収束と連続性)
示したい事は
「f_n(x_n)がf(x)に収束する」と2種類の縦の収束を同時に扱う。
だから，「2種類の縦の収束の定義を持ち出して三角不等式でつなぐ」というのが，『定義の型にはめる』方法だと思います。
こういう証明は，ある程度のイメージと型にはめる論法が重要だと思うので。
あとは，書き方…
>これは各点収束の定義ではないのですかね。
>一様収束なら0<∀ε_1∈R,∃N:自然数;(∀x∈E,N<n⇒|f(x)-f_n(x)|<ε>_1)となるのではないでしょうか?
ごめんなさい。私の書き間違えです。
「任意のε_1>0に対して，ある自然数Nが存在すれば，任意のx∈E，N≦nに対して|f(x)-f_n(x)|<ε>_1」ですね。
>これはf_m(for ∀m∈N)がx_n(for ∀n∈N)で連続な事から
>0<∀ε∈R,∀m,n∈N,0<∃δ∈R;0<|x-x_n|<δ⇒|f_m(x)-f_m(x_n)|<ε…(**)
>と書ける。
これは，「∀m∈N，∃n_0∈Nに対して，∀n>n_0，∃|x-x_n|<δ」です。
「f_mの連続性」と言うところで，証明のためにはxでの連続性を確認すればよい。
「点列{x_n}がxに収束する事を利用して，f_m(x)が点xで連続」と言う，私の記述どおりで構いません。
(x_nでの連続性だと，x_nに収束する点列をもう一つ用意する必要がある)
で，本来なら{x_n}がxに収束することから，私の記述も
{x_n}がxに収束するので「∀δ>0,∃N∈N;N<n⇒|x_n-x|<δ」 なので，f_m(x)連続性から
「∀ε>0，(εによったある)δ>0,(δによったある)N∈Nに対してN<n⇒|x_n-x|<δ⇒|f_m(x_n)-f_m(x)|<ε」
というのが本当は正しい。
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36373．Re: {f_n}はEでfに一様収束&連続,x_n→x∈Eとなる各数列{x_n}⊂Eに対し, |
| 名前：yuuka 日付：3月16日(日) 6時16分 |
詳細なご説明大変有難うございます。
> で，本来なら{x_n}がxに収束することから，私の記述も
> {x_n}がxに収束するので「∀δ>0,∃N∈N;N<n⇒|x_n-x|<δ」 なので，f_m(x)連続性
> から
> 「∀ε>0，(εによったある)δ>0,(δによったある)N∈Nに対して
> N<n⇒|x_n-x|<δ⇒|f_m(x_n)-f_m(x)|<ε」
> というのが本当は正しい。
三角不等式は考えもつきませんでした。
有難うございます。これで理解できました。m(＿ ＿)m
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