ヨッシーの八方掲示板

2005年12月の投稿ログ

24604．数学的帰納法

名前：博美日付：12月31日(土) 16時2分

こんにちは。高２生です。次の問題があまりよくわかりません。どなたか教えて頂けませんか。

（１）nは自然数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。
　　　x^(n+2)+y^(n+2)＝｛x^(n+1)+y^(n+1)｝(x+y)-xy(x^n+y^n)

（２）（１）の等式を利用して、nが自然数であるとき、（1+√2)^n+(1-√2)^nは自然数であることを、数学的帰納法によって証明せよ。

（１）について、
①n＝１のとき成り立つことを示す
②n＝kのときに成り立つという仮定のもとに、n＝k+1のときも成り立つことを示す
という手順でよろしいのでしょうか？
②で、n＝k+1とするとき、きれいな形に因数分解できません。相当苦戦したのですが...
あるいは、もっと根本から方針が間違っているのでしょうか。

（２）について、
解説に次のように書いてありました。
「（ⅰ）n＝１、n＝２のときに成り立つことを示す。
（ⅱ）n＝k、n＝k+1のとき成り立つことを仮定して、n＝k+2のときにも成り立つことを示す」

それで、（１）の等式をどのように利用したらいいのでしょうか...
非常に根本からわからなくて恐縮です。
しかも、どうしてこの（ⅰ）（ⅱ）の手順でなければいけないのでしょうか。

たいへんおはずかしいのですが、よろしくお願い致します。

	24605．Re: 数学的帰納法。
	名前：だるまにおん日付：1月1日(日) 18時39分
	(1)は方針が違います！！・・・とまでは断言しませんが普通に展開したほうが良いでしょう (xⁿ⁺¹+yⁿ⁺¹)(x+y)-xy(xⁿ+yⁿ) =xⁿ⁺²+xⁿ⁺¹y+xyⁿ⁺¹+yⁿ⁺²-xⁿ⁺¹y-xyⁿ⁺¹ =xⁿ⁺²+yⁿ⁺² (2)(1)の式のxに1+√2を、yに1-√2を代入すれば帰納法が使えるようになります。＞どうしてこの（ⅰ）（ⅱ）の手順でなければいけないのでしょうか。この手順じゃないと証明できないからです。 n=kの場合だけ仮定してからn=k+1のときを証明しようとしても今回はうまくいきません。やってみてください。 n=k，k+1を仮定して初めて功を奏します。

	24606．ヒント(解答のイメージ)
	名前：風あざみ日付：12月31日(土) 17時12分
	(1)は因数分解は関係ないですよ。この問題ですべきなのは右辺の{x^(n+1)+y^(n+1)}(x+y)-xy(x^n+y^n)を計算すると、左辺のx^(n+2)+y^(n+2)になることを示すだけです。 (2)は(1)の等式 x^(n+2)+y^(n+2)＝{x^(n+1)+y^(n+1)}(x+y)-xy(x^n+y^n)･･･※ でx=1+√2、y=1-√2とおきましょう。そうすると、※の式は x+y=(1+√2)+(1-√2)=2、xy=(1+√2)(1-√2)=1-2=-1だから (1+√2)^(n+2)+(1-√2)^(n+2)＝{(1+√2)^(n+1)+(1-√2)^(n+1)}2+{(1+√2)^n+(1-√2)^n}･･･○ となります。これをつかって示すわけです。まず、x_n=(1+√2)^n+(1-√2)^nとおきましょう。そうすると○の式はx_(n+2)＝2x_(n+1)+x_nとなります。 x_1=(1+√2)+(1-√2)=2、x_2=(1+√2)^2+(1-√2)^2=6ですから帰納法を用いてx_n、つまり(1+√2)^n+(1-√2)^nが自然数であることを言いましょう。

	24607．Re:
	名前：博美日付：12月31日(土) 22時12分
	根本から考え違いをしておりました。ありがとうございます。たいへんわかりやすいです。

24588．高２です

名前：つかさ 日付：12月29日(木) 19時7分

こんばんわ。昨日質問した極限の問題の（２）もあるんですが、
それもわかりません･･･
おねがいします。
lim[x→a] x２乗sina－a２乗sinx／x－a
です。(1)みたいにsin(x－a)／x－aを使うのかなぁ･･･と考えてみたのですが･･･

	24589．Re: 高２です
	名前：だるまにおん日付：12月29日(木) 19時30分
	lim[x→a](x²sina-a²sinx)/(x-a) =lim[x→a](x²sina-a²sina+a²sina-a²sinx)/(x-a) =lim[x→a](x²sina-a²sina)/(x-a)-lim[x→a](a²sinx-a²sina)/(x-a) =lim[x→a]sina(x+a)(x-a)/(x-a)-lim[x→a]a²(sinx-sina)/(x-a) =・・・・

	24590．Re: 高２です
	名前：つかさ日付：12月29日(木) 23時16分
	ありがとうございます★ lim[x→a]　sina(x＋a) は、なんで２asinaになるんでしょうか？

	24592．Re: 高２です
	名前：ハードゲイ（HG) 日付：12月30日(金) 0時26分
	x→a でsina*(x+a)＝2asinaです

	24593．Re: 高２です
	名前：だるまにおん日付：12月30日(金) 2時15分
	lim[x→a]sina(x+a) これは不定形ではありませんからsina(x+a)にaを代入するだけですね。

	24594．Re: 高２です
	名前：つかさ日付：12月30日(金) 7時48分
	lim[x→a]sina(x+a) にaを代入するのは分かるんですが、それならsin2a2乗　とは別なんですか???

	24596．Re: 高２です
	名前：だるまにおん日付：12月30日(金) 11時38分
	＞それならsin2a2乗　とは別なんですか??? sin2a²というのはどこから出てきたんですか？そのいきさつをちょっと教えてください。 lim[x→a]sina(x+a) はxにaを代入するだけで求められますね。分らなければまた聞いてください。

	24598．Re: 高２です
	名前：だるまにおん日付：12月30日(金) 11時40分
	あ！sin2a²がどこから出てきたか分りました・・・・一番初めの私のレス(書き方が良くなかったか…)を注意してご覧下さい。 sin{a(x+a)}ではなくて(sina)(x+a)ですね。

	24599．Re: 高２です
	名前：つかさ日付：12月30日(金) 11時53分
	なるほどっ!!! よく理解できました☆ 理解力がなくご迷惑おかけしてすいません。

24583．二次関数の最大最小

名前：tomo 日付：12月29日(木) 11時34分

y=-x(二乗)+(a-1)x+a について

xが、0以上4以下における最大値が頂点のy座標である時、
aの範囲は？
またxが、0以上4以下における最小値を与えるxが2つあるとき、
a=?

	24584．Re: 二次関数の最大最小
	名前：X 日付：12月29日(木) 11時52分
	まず y=-x^2+(a-1)x+a =-{x+(a-1)/2}^2+a-(1/4)(a-1)^2 (A) となることから(A)のグラフは軸の方程式が x=-(a-1)/2 である上に凸の放物線になります。前半） 0≦x≦4 (B) における(A)の最大値が頂点のy座標になるためには(B)の範囲に(A)の軸が含まれる必要があります。よって…、後半） (B)における(A)の最小値はaに無関係にx=0,4のときの(A)のyの値のいずれか小さいほうになります。よって最小値を持つxの値が二つ存在するためにはx=0,4のときの(A)のyの値が等しくなる必要がありますので…。

24581．４STEP　Ⅲ＋Cから質問です

名前：つかさ 日付：12月28日(水) 23時49分

はじめまして☆高２のつかさといいますっ!!!
４STEPのⅢの134です。

次の極限を求めよ
（１）lim　sinx－sina
　　　　　――――――
　　　x→a sin(x－a) です。
教えてください。

	24582．Re: ４STEP　Ⅲ＋Cから質問です
	名前：だるまにおん日付：12月29日(木) 0時7分
	lim[x→a](sinx-sina)/sin(x-a) =lim[x→a]{(sinx-sina)/(x-a)}{(x-a)/sin(x-a)} ここで lim[x→a]{(sinx-sina)/(x-a)} lim[x→a]{(x-a)/sin(x-a)} はそれぞれ何になるでしょうか。

	24585．Re: ４STEP　Ⅲ＋Cから質問です
	名前：つかさ日付：12月29日(木) 14時36分
	ありがとうございます。 lim[x→a]{(x-a)/sin(x-a)}＝１ですよね。 lim[x→a]{(sinx-sina)/(x-a)}は･･･どうすればよいのでしょう？

	24586．Re: ４STEP　Ⅲ＋Cから質問です
	名前：だるまにおん日付：12月29日(木) 14時45分
	f(x)=sinxとすると lim[x→a]{(sinx-sina)/(x-a)} =lim[x→a]{(f(x)-f(a))/(x-a)} =f'(a) =cosa　になりますね

	24587．Re: ４STEP　Ⅲ＋Cから質問です
	名前：つかさ日付：12月29日(木) 17時54分
	なるほどっ!!!理解しました☆ ありがとうございました。

24579．(untitled)

名前：take 日付：12月28日(水) 18時4分

なんか簡単な問題のはずなんですけどこんがらがって意味フになったんで質問します　どうかよろしくお願いします

三角形ABCの内部に１点をとるとき
AB＋AC＞PB＋PCを証明せよ
です　初歩的な問題なんですけど...

	24580．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：12月28日(水) 20時20分
	BPを延長してACとの交点をQとすると、 PB+PC＜PB+(PQ+QC)＝(PB+PQ)+QC ＝BQ+QC＜(BA+AQ)+QC＝BA+(AQ+QC)＝AB+AC http://www10.plala.or.jp/rascalhp

24575．平行線と線分の比　の問題

名前：tomotomo 日付：12月28日(水) 13時38分

“四角形ABCDで　AD＝５　BC＝１０　CD＝８　である。AB、CD上にそれぞれP、Rをとる。AD//PR//BC PQ=QR のとき、DRの長さを求めよ。”
という問題がわかりません。
DR：DC＝QR：BC　ということはわかるんですが・・・
お願いします！教えてください！！

	24576．Re: 平行線と線分の比　の問題
	名前：ヨッシー日付：12月28日(水) 14時14分
	Ｑがどこか書いていませんが、たぶんここでしょう。ＤＲ＝ｘとおくと、ＲＣ＝８－ｘ　です。　ＱＲ：ＢＣ＝ＤＲ：ＤＣ＝ｘ：８　ＰＱ：ＡＤ＝ＰＢ：ＡＢ＝（８－ｘ）：８以上より、　ＱＲ＝１０ｘ／８　ＰＱ＝５(８－ｘ)／８ＰＱ＝ＱＲ　より、　１０ｘ＝５(８－ｘ) (以下略) 慣れれば、　ＡＤ：ＢＣ＝ＤＲ：ＲＣで一発です。　 http://yosshy.sansu.org/

	24577．Re: 平行線と線分の比　の問題
	名前：tomotomo 日付：12月28日(水) 15時10分
	なるほど！！よくわかりました。 “慣れるまで”がんばります。ありがとうございました。

24570．角度

名前：ライダー 日付：12月28日(水) 12時49分

こんにちは
問題
△ABCは正三角形で∠Ｘの大きさを求めよ。
という問題です。
詳しい説明お願いします。

	24571．Re: 角度
	名前：だるまにおん日付：12月28日(水) 12時56分
	∠Xって・・・どこですか・・・？

	24574．Re: 角度
	名前：ヨッシー日付：12月28日(水) 13時31分
	たぶん、あそこだと思いますが、この図で三角形が何度回転したかを考えればわかるでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	24595．Re: 角度
	名前：ライダー日付：12月30日(金) 11時13分
	∠ＡＦＥがＸです。

	24597．Re: 角度
	名前：ライダー日付：12月30日(金) 11時24分
	わからないので、もう少し詳しく説明お願いします。

	24601．Re: 角度
	名前：ヨッシー日付：12月30日(金) 12時28分
	△ＢＣＥを何度回転したら、△ＡＢＤに重なるでしょう？　 http://yosshy.sansu.org/

	24602．Re: 角度
	名前：ライダー日付：12月30日(金) 22時27分
	９０度ですか？そこから、どうやって求めるんですか？

	24603．Re: 角度
	名前：ヨッシー日付：12月31日(土) 9時36分
	９０度ではありません。ＢＣがＡＢに重なるんですから．．．さて何度？　 http://yosshy.sansu.org/

24569．割合計算

名前：もんど 日付：12月28日(水) 12時45分

こんにちは、教えてください！
問題
1次試験合格率２５％、2次試験合格率３０．３％の国家試験がありました。１次、２次合わせた合格率は何％でしょうか？

	24573．Re: 割合計算
	名前：ヨッシー日付：12月28日(水) 13時4分
	100人が受験したとしましょう。１次試験はそのうちの２５人が合格しました。その２５人が２次試験を受けて、そのうちの30.3％が合格しました。合格したのは何人でしょう？人数が、端数になりますが、全体の人数が100人ですので、その人数が、そのまま、求める合格率です。　 http://yosshy.sansu.org/

24567．図形

名前：ライダー 日付：12月28日(水) 12時22分

こんにちは！！
問題
正九角形のとき、∠Ｘの大きさは何度ですか？
この問題の解き方を教えてください。
詳しく説明していただけるとありがたいです。

	24572．Re: 図形
	名前：ヨッシー日付：12月28日(水) 13時0分
	正九角形のひとつの角(図の○）の大きさが140度であることを知った上で、図の●を求めましょう。ｘは○－●－●　で求められます。　 http://yosshy.sansu.org/

	24578．別解
	名前：らすかる日付：12月28日(水) 15時27分
	辺をたどっていくと、元のところに戻ってくるまでに 2周(360°×2)し、その間に9回折れ曲がっているので 1つの外角は360°×2÷9 従って内角は180°－(360°×2÷9) http://www10.plala.or.jp/rascalhp

24564．対数関数

名前：ヤママ 日付：12月27日(火) 21時56分

高２のヤママです。分からない問題があるのでお願いします。

log［2］xy=(log［2］x)(log［2］y)かつ2log［2］y/x=3　となる(x,y)を求めよ。

という問題なんですけど、対数関数でlog同士の掛け算や割り算が合った場合はどうすればよいのですか？
log同士の足し引きなら分かるんですけど･･･。

	24565．Re: 対数関数
	名前：らすかる日付：12月27日(火) 23時15分
	log[2]xy=(log[2]x)+(log[2]y) log[2](y/x)=(log[2]y)-(log[2]x) として、X=log[2]x, Y=log[2]y と置き換えて X,Yを求めましょう。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24566．Re: 対数関数
	名前：ヤママ日付：12月27日(火) 23時59分
	置き換えるんですかっ!! どうもありがとうございます!! 早速やってみます。

24561．四角形の角度

名前：なる日付：12月26日(月) 23時17分

はじめまして。中１です。
どうしても解らない問題があります。
解き方を教えてください。よろしくお願いします。
四角形ＡＢＣＤがあります。
辺ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤです。
∠Ｂ：１５０度です。
∠Ｃ：９０度です。
∠Ａと∠Ｄは何度になりますか？

	24562．参考
	名前：だるまにおん日付：12月26日(月) 23時29分
	参考までに。 http://www.alpha-net.ne.jp/users2/eijitkn/old/o93j308.html http://www.alpha-net.ne.jp/users2/eijitkn/old/o93j308a.html http://www.alpha-net.ne.jp/users2/eijitkn/old/o93j308b.html

	24563．Re: 四角形の角度
	名前：なる日付：12月26日(月) 23時42分
	だるまにおんさん。よくわかりました。あんなに簡単だったなんて・・・悩んでいた自分が情けないです（ＴＴ）ありがとうございました。

24558．統計学

名前：kaz 日付：12月25日(日) 22時37分

いつもお世話になっております。以下の問題をお願い致します。
「エンドウ豆の交配実験によって次の結果を得た。これはA:B:C:D=9:3:1:3に適合しているといえるか。危険率５％で検定せよ。
種類　Ａ　　Ｂ　　Ｃ　　Ｄ合計
個数　80 　 25 15 40 160」
宜しくお願い致します。

24552．指数関数

名前：華日付：12月25日(日) 16時6分

次の各数を小さい方から順に並べよ。

１/25, 1/5^(1/3),√(0.2) ,(1/5)^(-1/2)

という問題が解けません。教えてほしいです。よろしくお願いします。

24554．Re: 指数関数

名前：のぼりん 日付：12月25日(日) 16時37分

（１/２５）^２＝１/１２５＜１/５＝（√０．２）^２より、１/２５＜√０．２です。
（√０．２）^６＝１/５^３＜１/５^２＝（１/５^１/３）^６より、√０．２＜１/５^１/３です。
１/５^１/３＜１＜√５＝（１/５）^－１/２です。

合わせて、１/２５＜√０．２＜１/５^１/３＜１＜（１/５）^－１/２です。

	24555．Re: 指数関数
	名前：華日付：12月25日(日) 16時49分
	回答してくださってありがとうございます。＞（１/２５）２＝１/１２５＜１/５のところがよく分かりません。教えていただけませんか。

	24556．Re: 指数関数
	名前：華日付：12月25日(日) 17時2分
	あっ理解できました。不等号とイコール関係ですね。ありがとうございました。

24557．Re: 指数関数

名前：のぼりん 日付：12月25日(日) 17時2分

書き間違えました（汗）
（１/２５）^２＝１/６２５です。

※　計算は自信ないので、ご自分でも検算して下さい。

24547．　

名前：Help meこー３ 日付：12月24日(土) 22時44分

f(x)=log[2]x+log[2](a-x)とする。ただしaは正の整数である。
このときxの方程式f(x)=tが実数解を持つようなtの値の範囲を求めよ。

おーーわかんないっす。教えてくださいorz

	24553．計算は自信がないので、ご自身で檢算して下さい。
	名前：のぼりん日付：12月25日(日) 16時38分
	眞數條件より、　　　０＜ｘ＜ａ　…　① が必要で、ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ_２ｘ＋ｌｏｇ_２（ａ－ｘ）＝ｌｏｇ_２（－ｘ^２＋ａｘ）だから、　　　ｆ（ｘ）＝ｔが實數解を有する　　　⇔　ｘ^２－ａｘ＋２^ｔ＝０が①の範圍で實數解を有する　…　② ｇ（ｘ）＝ｘ^２－ａｘ＋２^ｔとおくと、ｇ（０）＝ｇ（ａ）＝２^ｔ＞０だから、②を滿たすためには、　　　ｇ（ａ/２）＝２^ｔ－ａ^２/４≦０　　　⇔　ｔ≦２ｌｏｇ_２ａ－２が必要十分。

24545．中学

名前：数学の本質を極めたい 日付：12月24日(土) 17時1分

今私立中学に通っている中学二年で三学期から高校の数学に入ります。（というかもう片足を突っ込んでいます・・）で、中学の数学が不安(特に代数が、まぁ幾何もそれなりにしかできません）なのでこの冬休みに中学の数学を極めたいのですがなにかお勧めの参考書、問題集はありませんか？学校で使っていたのは「新Aクラス数学問題集１年、２年、３年」ですが面白くないというかなんか本質的なことをやっていないような気がするんです。（例えば因数分解はそれなりにできるようになりましたが、なぜ因数分解の式がひと通りしかできないかなど、計算練習はやっているが本質を理解していない、またなぜマイナス×マイナス＝プラスかなどなど）もっと本質を理解したいのですが・・・お勧めのものを教えてください!!

	24546．Re: 中学
	名前：ast 日付：12月24日(土) 19時22分
	中学・高校の「数学」というのは基本的な論証力や演繹力・計算力といった技能の習得が主体（で, 誤解を恐れずに言うならば, 要するに本質的なことはもともとほとんど何もやらない）ですので, 本質が理解したいのであればすくなからず大学以降の数学に首を突っ込むことになるかと思います. そういった意味で, 大学以降の数学に頭を突っ込みつつ面白く読める読み物としては, たとえば朝倉書店から出ている志賀浩二さん30講シリーズ（の「集合への30講」とか「位相への30講」あたりがいいでしょうか）などはどうでしょうか. もしかしたら学校の図書室にも置いてあるかもしれませんし, 図書室になければ購入を要望してみるとシリーズを揃えて入れてくれたりするかもしれません. まあそういったわけで, いま面白くないと感じているのであればそれはきっとよい感性で, 大学以降の数学のほうが「数学の本質を極めたい」さんの肌に合うのではないかと思いますが, その一方で中学の数学を極めたいというのが第一目的なのであれば, いまは技能の習得のための訓練であると割り切って, いましばらくは我慢強く反復練習することを心がけるのがよいのではないかと提案します.

	24548．Re: 中学
	名前：数学の本質を極めたい日付：12月24日(土) 23時0分
	お答えいただいてありがとうございます。はぁ、やはりそうなりますか・・分かりました。それじゃあ今はあまり深入りせず、計算練習や問題演習に力を入れて勉強します。それに深く考えても今の力では答えは出ませんよね？それでその「30講シリーズ」というのは高校の範囲を分かっていないと読めませんか？はじめに書いたようにぼくは今中二でまだ高校の数学にはほとんど入っていません。

	24550．Re: 中学
	名前：黒蟻日付：12月25日(日) 3時44分
	＞それに深く考えても今の力では答えは出ませんよね？キチンと厳密な答えは出せなくても、本質に近づいた答えを出すことは可能です。もちろん、モノにもよりますが。私の場合だと、たとえば、中1のときに角度の3等分線の作図に挑戦したのですが、どうしても出来ませんでした。実は絶対に作図出来ないことは知っていたのですが、それでも挑戦していました(なんか面白かったので(＾＾；)。ある日、(習いたての)座標を使ったらどうか？角度を直線の傾きで表したらどうか？と考えてみました。傾きが1のときは45°，－1のときは135°です。そのときはこの2種類しか分からず、「役に立たないな」と思って諦めました。が、この考え方をもう少し工夫すると、三角関数のアイデアに行き着きます。そして、角度の3等分が不可能なことの証明には、三角関数を用いるのです。高校に入って三角関数を習ったとき、「ああ、自分のやったことはあながち間違いではなかったんだな」と思いました。技能の習得の訓練も大切ですが、今から自分であれこれ考えてみることは後々役に立つと思います。考えた結果が役に立たなくても、’考えた’という行為の蓄積そのものは大きな力となります。センスも磨かれると思います。ただし、こちらに重点を置き過ぎると、本当に時間の無駄になることもあるので注意しましょう。特に整数問題(＾＾；

	24551．Re: 中学
	名前：ast 日付：12月25日(日) 5時18分
	> その「30講シリーズ」というのは高校の範囲を分かっていないと読めませんか？手許に本が無いので確実なことは言えませんが, 30講シリーズは読み物といった意味合いが強い書籍ですので, それほど予備知識を必要としません. それと, かなり具体的な例から順番に抽象的な概念への導入をはかる構成になっていますので, 高校以降になって始めて扱う概念が題材になっていても, それほど違和感無く入れるのではないかと思います.

	24559．ありがとうございます。
	名前：数学の本質を極めたい日付：12月26日(月) 14時6分
	ありがとうございます。それでastさんに教えてもらった30講シリーズは問題集じゃないですよね。中学の数学（つまり面白くない技能の習得）をやる際におすすめの参考書、問題集はありませんか？教えてください。それとどこまでが技能の習得でどこからが本質に触れている（つまり中学の数学を極める際に時間の”無駄”になることを考えている）というのはどう判断したらよいですか？

24543．図形と方程式

名前：IGA(高２） 日付：12月24日(土) 0時59分

2直線y=xとy=mxの交点を通り、その２直線のなす角の二等分線の一つがy=√3xとなる。このときｍの値を求めよ。

この問題なんですがベクトルを用いてとくことは可能でしょうか。
教えてください。お願いします。

	24544．Re: 図形と方程式
	名前：みっちぃ日付：12月24日(土) 2時57分
	もちろんです．方向ベクトルを用いましょう． y=xの方向ベクトルはa~=(1,1)，y=√3xの方向ベクトルはb~=(1,√3)，y=mxの方向ベクトルはc~=(1,m)です．このとき，(a~とb~のなす角)=(b~とc~のなす角)となるmを求めますが，これは内積を用いて， (a~・b~)/\|a~\|\|b~\| =(b~・c~)/\|b~\|\|c~\| ⇒(a~・b~)/\|a~\|=(b~・c~)/\|c~\| ⇒ (1+√3)/√2 =(1+m√3)/√(m^2+1) これを解けばmが求まるでしょう．

	24549．Re: 図形と方程式
	名前：IGA(高２）日付：12月24日(土) 23時59分
	わかりました。有り難うございます。

24541．積分の面積

名前：ぼのぼの 日付：12月22日(木) 23時59分

放物線ｙ＝ｘの2乗－2ｘと、直線ｘ＝3およびｘ軸で囲まれた図形の面積の求め方が良く分かりません。　この問題だと囲まれる図形は2箇所あるのでしょうか？　

	24542．Re: 三角形の形状決定問題です
	名前：ヨッシー日付：12月23日(金) 5時18分
	まずはグラフです。 http://yosshy.sansu.org/

	24560．Re: 積分の面積
	名前：tarame 日付：12月26日(月) 14時16分
	問題文を読む限りでは放物線と直線とｘ軸の３線で囲まれた部分の１箇所と解釈してよいかと思います

	24591．Re: 積分の面積
	名前：ぼのぼの日付：12月29日(木) 23時36分
	私も3線で囲まれた一箇所だと思ったんですけど、高校の先生はｙ＝ｘの2乗－2ｘと、直線ｘ＝3で囲まれた面積も入ると言うのです。　　　　やはり先生は間違ってますよね。

	24600．Re: 積分の面積
	名前：ヨッシー日付：12月30日(金) 12時22分
	ｙ＝３ｘ　ではなく、ｘ＝３　なのですね。勘違い(_ _) ちょっと、今、図はかけませんが、 (2,0)(3,0)(3,3)を頂点とする、三角形に近い形(１辺は放物線の一部) になりますね。やはり、図は１箇所です。

	24638．Re: 積分の面積
	名前：ぼのぼの日付：1月2日(月) 20時22分
	ありがとうございました。先生にもう一度抗議してみます。

24539．三角比

名前：アフロ健 日付：12月22日(木) 20時41分

三角形ABCがあり、AB=10、BC=6、cosB=-1/3とする。
三角形ABCの外接円の、Bを含まない弧AC上(両端を除く)に点Pを取るとき、四角形ABCPの面積の最大値を求めよ。また、そのときのsin∠BAPの値を求めよ。

とりあえずAC、外接円の半径なんかは出してみたりしたんですが。ん？って感じです。ぷりーずへるぷみー。

	24540．Re: 三角比
	名前：だるまにおん日付：12月22日(木) 21時3分
	四角形ABCPの面積が最大になるのは△PACが∠Pが頂角になるような二等辺三角形になる時です。

24535．ベクトル

名前：KAZ 日付：12月22日(木) 10時13分

以下の問題をお願い致します。
「△ABCにおいて,BC=a,CA=3,AB=5とする。△ABCの重心をGとし,△ABCの内心をIとするとき,次の問いに答えよ。
　①　AG↑をAB↑とAC↑を用いて表せ。
　②　AI↑をAB↑,AC↑,aを用いて表せ。
　③　GI//BCとなるようにaを定めよ。」
宜しくお願い致します。

	24536．Re: ベクトル
	名前：ヨッシー日付：12月22日(木) 15時31分
	(1) ＢＣの中点をＭとすると、Ｇは、ＡＭを２：１に内分する点です。 (2)ＡＩの延長とＢＣの交点をＤとすると、角の二等分線の定理より、　ＡＤ：ＤＢ＝ＡＢ：ＡＣ＝５：３ＢＩの延長とＡＣの交点をＥとすると、同様に、　ＡＥ：ＥＣ＝ＡＢ：ＢＣ＝５：ａこれらより、メネラウスの定理から、ＡＩ：ＩＤがわかり、ＡＩを求められます。 (3) ＧＩ＝ＡＩ－ＡＧを、ＡＢとＡＣで表し、　ＧＩ＝ｋＢＣ＝ｋ(ＡＣ－ＡＢ) となるようにします。　　 http://yosshy.sansu.org/

	24537．Re: ベクトル
	名前：KAZ 日付：12月22日(木) 18時8分
	ありがとうございました。早速やってみます。

24528．場合の数

名前：はんと高１ 日付：12月21日(水) 16時7分

6×5(縦5横6)の方眼紙(30マス)の最左下部をA、最右上部をBとし、2点を結んだ長方形の対角線を3等分するように方眼紙上にA側から2点C,Dをとる。
この長方形の方眼紙を格子状の道路網と考え、A地点からB地点まで最短経路をいくものとする。
(1)C地点を通りD地点を通らない経路は何通りあるか。
(2)途中で角を曲がる回数が3である経路は何通りあるか。

日本語恐怖症になりそうな問題です…どなたか国語を含めて教えてください。

	24529．Re: 場合の数
	名前：らすかる日付：12月21日(水) 17時4分
	説明のため方眼紙をxy平面に当てはめ、Aを(0,0)、Bを(6,5)とします。条件から、Cは(2,5/3)、Dは(4,10/3)です。また、Cのすぐ下をE=(2,1)、すぐ上をF=(2,2)とし、 Dのすぐ下をG=(4,3)、すぐ上をH=(4,4)とします。 (1) Cを通るためには、AからEに行く経路の数とFからBに行く経路の数を掛ければいいですね。AからEに行く経路の数は3C1=3通りです。 FからBに行く経路は、全部で7C3=35通りです。このうち Dを通る経路を引きます。Dを通る経路は、 FからGまでの経路の数とHからBまでの経路の数を掛ければ計算できますので、3C1×3C1=9通り、従って FからDを通らずにBに行く経路の数は35-9=26通りですので、問題の答は3×26=78通りとなります。 (2) 角を3回曲がるということは、最初が横なら最後が縦、最初が縦なら最後は横です。「横横横横横横」を2つに分けて（例えば「横横」と「横横横横」）「縦縦縦縦縦」を2つに分けて（例えば「縦縦縦」と「縦縦」）これを組み合わせると、横が先の横横縦縦縦横横横横縦縦と、縦が先の縦縦縦横横縦縦横横横横の2通りが作れます。「横横横横横横」を2つに分ける方法は5通り、「縦縦縦縦縦」を2つに分ける方法は4通りですから、角を3回曲がる経路は5×4×2=40通りとなります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24530．Re: 場合の数
	名前：はんと高１日付：12月21日(水) 18時56分
	んー？？？僕の読解ではA(0,0)C(2,2)D(4,3)B(6,5) だと思うのですが。この問題そんなに難しくないはずなんで、きっとCDは方眼紙の格子上にあってよくおある経路図の問題だと思うのですがいかがでしょうか？

	24531．Re: 場合の数
	名前：らすかる日付：12月21日(水) 20時47分
	6と5は互いに素ですから、対角線が途中で格子点を通ることはありません。 A=(0,0) B=(6,5) ならば、ABを3等分する2点は C=(6,5)×(1/3)=(2,5/3) つまり(2,1)と(2,2)の間 D=(6,5)×(2/3)=(4,10/3) つまり(4,3)と(4,4)の間の2点になりますね。 CDが格子上になくても、やはりよくある経路図の問題で、難しくないですよ。例えば、「ここが工事中で通れない」などのような条件が付けられているのと同じことです。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24532．Re: 場合の数
	名前：はんと高１日付：12月21日(水) 21時8分
	でも確か先生がヒントで走り書きしてくれたのは格子上に点があった気がするんですよね。問題を写し間違えたのかな… 格子上にあるとしたらどうなるんでしょう？

	24533．Re: 場合の数
	名前：らすかる日付：12月21日(水) 22時29分
	それは走り書きだからではないでしょうか。対角線は(2,2)や(4,3)を通りませんから、 C=(2,2)とかD=(4,3)になるわけがありません。問題文に「対角線」という言葉が間違いなくあったのなら、 (2,2)や(4,3)ではないと思います。もし問題文を無視してC=(2,2), D=(4,3)として考えるとしても、考え方は同様です。 AからCまでが何通りかを考え、CからBまでの全経路数から (CからDまでの経路数)×(DからBまでの経路数)を引いたものを掛ければ良いだけです。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24538．Re: 場合の数
	名前：はんと高１日付：12月22日(木) 20時21分
	そうですかー、わかりました。半分寝ぼけてたもんで…友達に問題確認しときます。何度もどうもありがとうございました！

24524．中学最大の難問！？

名前：NeRo 日付：12月19日(月) 23時14分

∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝８０度の△ＡＢＣで∠ＡＢＤ＝２０度となる点ＤをＡＣ上にとり、∠ＡＣＥ＝３０度となる点ＥをＡＢ上にとったとき∠ＥＤＢ＝３０度となる理由を証明しなさい。
という問題なのですが２日かけてもぜんぜんわかりません。
聞くところによると中学最大の難問らしいのですが教えてください。

	24525．Re: 中学最大の難問！？
	名前：らすかる日付：12月20日(火) 0時1分
	∠CBF=20°となるように点FをAC上にとります。 ∠BCF=∠BFC=80°ですから、BC=BFです。また、∠BCE=∠BEC=50°ですから、BC=BE、従って BE=BFであり、∠EBF=60°なので△EBFは正三角形です。 ∠FBD=∠FDB=40°なので、BF=DFであり、 DF=BF=EFから△FDEは二等辺三角形で ∠EFD=40°ですから、∠EDF=70°、従って ∠EDB=30°です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24526．Re: 中学最大の難問！？
	名前：だるまにおん日付：12月20日(火) 0時1分
	∠DCF=20度となるようにAB上にFをとり、BDとCFの交点をGとする。 △GBCは正三角形であり、△BCEは二等辺三角形なので、BE=BG ∠GBE=20度なので∠BGE=80度、よって∠FGE=40度。また、∠EFGも40度なので△EFGは二等辺三角形。 △FGDが正三角形であることも考慮すると、∠BDEは∠BDFの半分で30度

24523．集合の表記法について　

名前：そら日付：12月19日(月) 22時20分

集合の表し方には、外延的表記法と内包的表記法がある。
これらの表記法が、数量や図形の概念形成と深く関わっている
ことを具体例を挙げて説明せよ。

どうしてもわかりません・・。
よろしくお願いします！

24521．円周の座標位置

名前：ｋｕｍａｎｅｋｏ 日付：12月19日(月) 17時8分

すっかり忘れてます。
（ｘ、ｙ）を中心とする半径ｒの円周があったときY軸を０度としてａ度の角度で中心（ｘ、ｙ）から
円周に向けて線を引いたときの線と円周の交点座標を求めるにどうしたらいいのでしょうか？
要は中心（ｘ、ｙ）で半径ｒの円の任意の円周部分の座標が知りたいってことなのですが。

	24522．Re: 円周の座標位置
	名前：らすかる日付：12月19日(月) 19時40分
	(x,y+r)を0度として時計回りにa度なら (x+rsina,y+rcosa) (x,y+r)を0度として反時計回りにa度なら (x-rsina,y+rcosa) (x,y-r)を0度として時計回りにa度なら (x-rsina,y-rcosa) (x,y-r)を0度として反時計回りにa度なら (x+rsina,y-rcosa) http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24527．Re: 円周の座標位置
	名前：ｋｕｍａｎｅｋｏ日付：12月20日(火) 15時19分
	らすかるさん、どうもありがとうございました。 sin、cosの三角関数か。ほんとーに忘れとる・・・○\|￣\|＿三角関数なんて何年前のことだろうか・・・

24520．収束域

名前：オレンジパンク 日付：12月19日(月) 16時38分

次のべき級数の収束域を求めよ。(1)Σ{n=0,∞}(-1)^n*(2n)!/n!*x^2n+1 (2)Σ{n=0,∞}1/n!*x^2n なんですがどうやってやるのか手順が全然わかりません。ちなみに答えは0と(-∞,∞)です。教えてください。

24505．あんな

名前：教えてください！！お願いします。 日付：12月17日(土) 11時45分

極方程式ｒ＝2(1+cosθ)で表せる曲線をＣとする。Ｃは心臓形とよばれる。
いま、複素数平面の領域{z＝x+iyｌx≧0}に曲線Ｓがあって、点z＝x+iyがＳ上を動くとき点ｚの２乗は心臓形Ｃを描くという。x,yを用いてＳの方程式を求めよ。

	24507．Re: あんな
	名前：紅生姜日付：12月17日(土) 13時33分
	x＝√rcosφ,y＝√rsinφ (－π/2≦φ≦π/2)とおくと、 z^2＝r(cos2φ＋isin2φ) ←ド・モアブルの定理 C:(x,y)＝r(cosθ＋isinθ)と虚実をφの範圍に注意して比較すると、　　θ＝2φ⇔φ＝θ/2 x,yに代入すると、 x＝√rcos(θ/2),y＝√rsin(θ/2) (－π≦θ≦π) …① r＝2(1＋cosθ)より、 √r＝√{2(1＋cosθ)}＝2cos(θ/2) ①に代入して、 x＝2{cos(θ/2)}^2,y＝2sin(θ/2)cos(θ/2) ⇔x－1＝cosθ,y＝sinθ よって、(x－1)^2＋y^2＝1 ,これは常にx≧0である。よって、S:(x－1)^2＋y^2＝1 …(答)

	24508．Re: あんな
	名前：X 日付：12月17日(土) 13時57分
	ドモアブルの定理を使わないのならば以下の通りです。 z=x+iyのとき z^2=(x+iy)^2 =x^2-y^2+2ixy これが曲線 C:r=2(1+cosθ) (A) を描くことから (i)r≠0のとき r=√{(x^2-y^2)^2+(2xy)^2} =x^2+y^2 (B) cosθ=Re[z^2]/r =(x^2-y^2)/(x^2+y^2) (C) (但しRe[z^2]はz^2の実部) を(A)に代入して x^2+y^2=2{1+(x^2-y^2)/(x^2+y^2)} (D) (D)をx≧0に注意して整理すると x^2+y^2=2x (E) (ii)r=0のとき (B)よりx=y=0 ∴このときzは(E)上の点です。以上よりSの方程式は x^2+y^2=2x つまり (x-1)^2+y^2=1

24502．一様収束に関して

名前：ピエロ 日付：12月17日(土) 2時11分

こんばんは。
一様収束に関して、いまいち理解できないので質問させてください。
一様収束に関して、区間[ｘ∈Ｉ]における区間Ｉのすべての点に共通に使えるＮがおけるとありますが、直観的な理解できません。
よく、ｙ＝ｘ＾ｎ（ｎ＝１，２・・）の例が挙げられてますが、これはｎが増えると、０≦ｘ＜１に限ってｆ（ｘ）＝０に広義一様収束とありますが、この関数が、どうして一様収束なのかいまいちよく理解できません。収束と一様収束の違いがわかってないんだと思うんですが・・。

抽象手的な質問で申し訳ないんですがよろしくお願いします。

	24503．Re: 一様収束に関して
	名前：黒蟻日付：12月17日(土) 6時0分
	fn(x)がf(x)に一様収束する、とは、ｲﾒｰｼﾞとしては、fn(x)がf(x)に一斉に近づいていく(i.e　sup[x∈I]｜fn(x)－f(x)｜＜ε)感じです。一番簡単な例は、次のような例だと思います。例1：I＝[0，1]，fn(x)＝1＋1/n，f(x)＝1 fn(x)が一斉にf(x)に近づいていることがよく分かると思います。∀ε＞0，∃N s,t (n＞N→sup[x∈I]｜fn(x)－f(x)｜＜ε)が成り立ちます。一様収束しない例としては、次の例とか(式を見ると難しそうですが、グラフを書いてみるとなんてことはありません)。例2：[0，1]，fn(x)＝sin(nπx) (0≦x≦1/n)，0 (1/n≦x≦1)，f(x)＝0 このfn(x)は、f(x)に各点収束します。x＝0のときはfn(x)＝0ですからfn(0)→f(0)(n→∞)です。次に、これ以外のx∈Iについて考えます。nが大きくなるに従って、sinの山が左に移動して、細長い山になって左側に潰れていきますから、nを十分大きく取ると、xからかなり左側に山が位置するように出来てfn(x)＝0 となるので、fn(x)→f(x) (n→∞)が成り立ちます。よって、fn(x)は、f(x)に各点収束します。ところが、一様収束はしません。一様収束させたかったら、nを大きくするに従い、山の「高さ」が段々低くなって、下側に潰れるように動かなければなりません。しかし実際は、どんなにnを大きくしても、常に山の高さは1になっていて、例1のように、一斉にf(x)に近づくことはありません。グラフを書いて、動きをよくｲﾒｰｼﾞしてみて下さい。

	24506．Re: 一様収束に関して
	名前：ピエロ日付：12月17日(土) 12時20分
	返信有難うございます。視覚的にはわかりました。各点収束と一様収束の違いなんですが、各点の方は、例えば、ｆn(x)=1/nの場合にｎが増えるごとに、ｘが減少しf(x)=0に収束するというｎとｘが依存するという点で、各点収束というのでしょうか。反対に、一様収束は、依存しないということは、要するにｘとｎが依存しないでｆｎ(x)がf(x)に収束していくということなんでしょうか。そうなると、一様収束と各点収束の違いは、fn(x)の構造次第ということなんでしょうか。あと、sup\|fn(x)-f(x)\|ということは、fn(x)とf(x)が最も離れているところだと思うんですが、各点の時には、supの記号はなぜ付かないんでしょうか。

	24509．Re: 一様収束に関して
	名前：黒蟻日付：12月17日(土) 14時3分
	各点の場合はその通りです。一様の場合は、大雑把に言うと、nには依存するけど、xには依存しないで収束するときを一様収束と言います。＞そうなると、一様収束と各点収束の違いは、fn(x)の構造次第ということなんでしょうか。そういうことです。＞各点の時には、supの記号はなぜ付かないんでしょうか。各点の「定義」からsupはつきません。よく考えて下さい。各点の場合は、xを固定して考えますよね？そもそも「各点」ですし。「supはいらないのか？」とは言いますが、もしsupをつけた場合、一体何を動かしたときのsupを求めるのでしょうか？xは固定してるからsup[x∈I]～～～　とすることは出来ません。

	24510．Re: 一様収束に関して
	名前：黒蟻日付：12月17日(土) 14時11分
	連投失礼します。各点収束と一様収束の違いは、リーマン積分を勉強すると理解が深まると思います。私の場合はそうでした。というか、リーマン積分を勉強するまで全然分かりませんでした。fnとfが全てリーマン可積分であるとき、fn(x)→f(x) (一様収束)ならば∫(I)fn(x)dx→∫(I)f(x)dxが成り立ちます。しかし、fn(x)→f(x) (各点収束)という条件だけでは∫(I)fn(x)dx→∫(I)f(x)dx が成り立つとは限らないのです。

	24511．Re: 一様収束に関して
	名前：ピエロ日付：12月17日(土) 17時31分
	私の参考書には、一様収束において区間Ｉ(x∈Ｉ)の全ての点に共通に使えるＮがある。とあるんですが、一様収束はnには依存するけど、xには依存しないで収束するときを一様収束というんですよね？だったら、参考書の記述は何を意味しているかわかりますか。これはよく定義で書いてある、任意のε＞０に対してある自然数Ｎがx∈Ｉに対して共通に取れるという意味と同意になると思うんですが。

	24512．Re: 一様収束に関して
	名前：黒蟻日付：12月17日(土) 22時9分
	＞一様収束はnには依存するけど、xには依存しないで収束するときを一様収束というんですよね？その通りです。＞これはよく定義で書いてある、任意のε＞０に対してある自然数Ｎがx∈Ｉに対して共通に取れるという意味と同意になると思うんですが。まさにその通りです。でも、それがどうかしましたか？それは何に対する質問でしょうか？

	24513．Re: 一様収束に関して
	名前：ピエロ日付：12月18日(日) 0時48分
	すいません。意味不明でしたね。一様収束の定義には、ε＞０に対してある自然数Ｎがx∈Ｉに対して共通に取れるという記述があるのに、各点にはない理由がわからなかったんですが。特に共通という意味がいまいち理解できないんです。一様収束はｎには依存するからｎが増加することでf(x)に収束するのに共通とはどういったことなんでしょうか。

	24514．Re: 一様収束に関して
	名前：もも日付：12月18日(日) 3時17分
	横から失礼します。なにか錯綜しているようなので少し書いてみます。初めから考えた方がよさそうなので少し長くなりますがご容赦を。同じ集合Eの上で定義された関数列｛fn(x)｝がf(x)に収束するとは任意のε>0と任意のｘ∈Eに対し番号Nが定まり、n≧Nならば｜fn(x)－f(x)｜＜ε ですね。しかしながらこのNというのはεとｘに関係して定まります。つまり点ごとに収束して、こういった収束を各点収束と呼んでいます。他方、Nが定まる条件をもっと強くしてεのみに関係して定まるときを一様収束というわけです。つまりNのxに対する依存性を失くすことによってxに無関係に収束するようにできるときです。これはEのすべての点に共通に使えるNがおけるということと等価なのはわかりますか？このことが疑問に思われているところだと思います。例）fn(x)＝x*(1+1/n)のとき極限関数は全てのｘに対してf(x)＝ｘになるのは容易にわかります。しかし、n≧Nのとき\|fn(x)－f(x)\|＝\|x\|/n＜εとなるためにはN＞\|x\|/ε でなければなりません。xを固定すればこのようなNをとることができるけれど、すべてのxに対して同時に同じNをとることわけにはいきませんよね。広義一様収束というのは、有体に言えばもともと定義されている集合では一様収束しないけど、集合の一部分（有界閉集合）で収束が一様なることを示し得ることをいいます。上の例では実数直線上で一様収束ではないけれど、\|x\|≦ρなるρをとればそこで収束が一様であることが言えるわけです。 fn(x)＝x^nのときも同じように考えてみましょう。

	24515．Re: 一様収束に関して
	名前：黒蟻日付：12月18日(日) 3時25分
	うーん。難しい質問ですね。その質問に答えるには、直感的な説明は既に24503でやってしまったし、もっと数学的に厳密に答えようとすると、単に定義を書き下して「ここに書いてある通り」って言うだけになっちゃうし。＞各点にはない理由がわからなかったんですが。いまいち、ピエロさんのその疑問がよく理解できません。各点の定義にも、そのようなNの存在を仮定したいと思うのはなぜですか？違う定義だから違う名前(各点・一様)をつけているわけで、もし各点の定義にもそういうNを仮定してしまったら、もはやそれは各点ではなく一様収束の定義になってしまいますが。各点…∀x∈I，∀ε＞0，∃N s,t (n＞N→｜fn(x)－f(x)｜＜ε) 一様…∀ε＞0，∃N，∀x∈I s,t (n＞N→｜fn(x)－f(x)｜＜ε) または∀ε＞0，∃N s,t (n＞N→sup[x∈I]｜fn(x)－f(x)｜＜ε) これがそれぞれの用語の定義ですが、各点の定義にもxに依存しないNの存在を仮定した場合、それはすぐさま一様収束の定義と同一のものになってしまいます。＞特に共通という意味がいまいち理解できないんです。「共通」とは、上の定義で書いたような意味です(＾＾；ピエロさんのその疑問は私も経験したので良く分かるのですが、経験上、その疑問を解消するには、定義とにらめっこして納得するか、一様収束という概念を具体的に用いている何らかの理論を勉強して理解を深める(リーマン積分とか)しか無いと思います。

	24516．Re: 一様収束に関して
	名前：ピエロ日付：12月18日(日) 5時55分
	Nのxに対する依存性を失くすことが、Eのすべての点に共通に使えるNがおけるということということは、例えば、ｙ＝x^nの例で示すと要するに、0≦ｘ＜１に含まれる閉区間で、ｘにどんな数（ex,1/2,1/3・・）を入れる（ｘに依存しない）ことを仮定したとしてもｎがｘに依存しないで∞に増加することにより、ｆ(x)=0に収束するから一様収束するということでいいんでしょうか。となると、共通という言葉はxに対する依存性を失くすことになると同意であると解釈できるんですが。

	24517．Re: 一様収束に関して
	名前：黒蟻日付：12月18日(日) 8時50分
	ピエロさん、まずは落ち着いてきちんとした日本語を書いて下さい。ピエロさんの疑問点が全然伝わって来ません。文章が滅茶苦茶です。

	24518．Re: 一様収束に関して
	名前：ピエロ日付：12月18日(日) 12時24分
	すいません。日本語までおかしくなってましたね。ももさんが書かれた、＞他方、Nが定まる条件をもっと強くしてεのみに関係して定まるときを一様収束というわけです。つまりNのxに対する依存性を失くすことによってxに無関係に収束するようにできるときです。これはEのすべての点に共通に使えるNがおけるということと等価なのはわかりますか？このことが疑問に思われているところだと思います。ここが理解できなかった点だったと思います。指摘されて理解できました。私が理解できなかったことは、例えば、ｆｎ(x)＝ｘ＾ｎの関数がf（ｘ）=0に0≦ｘ＜1の範囲に含まれる閉区間で一様収束する時に、ｘとｎは依存性がなくｆ(x)=0に収束していくことが、定義で使われている共通に使えるＮがおけることと一致することが理解できなかった点だと思います。

	24519．Re: 一様収束に関して
	名前：もも日付：12月18日(日) 13時31分
	なにか新たな波を起こしてしまったようで面目ないです･･･さりとて自分のかいたものには責任があるのでがんばってみます。黒蟻さんの言葉どおりなにが疑問なのか正確にわからないので的外れなレスになるかもしれませんがお許しくださいませ。 fn(x)＝x^nの結果から書きますと、0≦x≦ρ＜1なるρがあって閉区間[0,ρ]で(広義）一様収束になります。これはどういうことかというと n≧Nのとき\|fn(x)－f(x)\|＝\|x^n\|＜εとなるためにはN＞ln(ε)/ln(x) でなければなりません。これはxが１に近づくたびにNを大きくとらなければいけないことを意味しています。従って上記ρを導入すれば \|fn(x)－f(x)\|＝\|x^n\|≦ρ^n　→0 となり閉区間[0,ρ]で一様収束となるわけです。 x<1だからρは必要ないと思うかもしれませんが、このρがないと一様収束を示すことができません。ρの存在は重要です。仮に0≦x<1で一様収束すると仮定するならば 0＜ε＜1/2をとるとNが定まり、n≧Nならば任意の0≦x＜1に対し、\|x^n\|＜εとなるはずです。ここでn≧Nにｎを一つ固定するときx^nはxが1に近いとき１に近くなるので絶対値がεより小さくなれません。故に0≦x<1で一様収束ではありません。あとこれは一つの考え方なんですが、共通に使えるNがあるということは共通に使えるεがあるということなわけで、あらゆるxについてその極限関数を中心とした±εの範囲にある番号N以上のｎに対してfn(x)が無数にあるということでもあります。

24499．お願いします

名前：roco 日付：12月16日(金) 19時59分

△ＡＢＣがあり、辺ＡＣ上にＡＤ：ＤＣ=２：１となる点Ｄをとり、辺ＢＣの中点をＥ、直線ＤＥと直線ＡＢとの交点をＦとします。
このとき△ＣＤＥと△ＥＢＦの面積を最も簡単な整数比で表しなさい。

図が描けなくて...わかりにくくてすいません。

	24500．Re: お願いします
	名前：らすかる日付：12月16日(金) 22時23分
	ADの中点をGとするとCD=DG,CE=EBにより△CDE∽△CGB ∴BG//EDなので、△ABG∽△AFD、AG=GDなのでAB=BF △CDE=(1/2)△CDB=(1/2){(1/3)△ABC}=(1/6)△ABC △EBF=△EAB=(1/2)△ABC 従って△CDE：△EBF=(1/6)：(1/2)=1：3 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24534．Re: お願いします
	名前：roco 日付：12月21日(水) 23時8分
	ありがとうございました！！

24498．なし

名前：名無し 日付：12月16日(金) 13時47分

質問です。∫【c,】y dx＋x^2 dy, Cは（0、0）と（1、1）を結ぶ次の曲線。
x=t^3 y=t(0≦t≦1)
の積分をもとめよ。

	24504．Re: なし
	名前：X 日付：12月17日(土) 11時37分
	条件のときdx=(3t^2)dt,dy=dt ∴(与式)=∫[t:0→1]{t・(3t^2)+t^6}dt =…

24493．図形問題

名前：デザーター 日付：12月16日(金) 1時10分

こんばんは。

りんく
↑
この斜線部分の面積の求め方を教えてください。
お願いします。

	24494．Re: 図形問題
	名前：ヨッシー日付：12月16日(金) 7時52分
	方針はこうです。まず、弦ＡＢと弧ＡＢに挟まれた、細い弓形が４つと、正方形ＡＢＣＤとに分けます。細い弓形は、　扇形ＯＡＢ－△ＯＡＢであり、扇形は半径10cm 中心角30°、三角形は底辺をＢＯ=10cm とすると、高さは５cm なので、いずれもすぐ出ます。正方形ＡＢＣＤのほうは、一辺の長さを出すために、左の図のように考えます。ＡＢの中点をＥとし、∠ＡＦＥ＝30°となるような点Ｆを取ると、 ∠ＦＡＯ＝15°＝∠ＥＯＡ　より、ＡＦ＝ＦＯＡＥ＝ｘ　とおくと、ＥＦ＝√3ｘ、ＦＯ＝ＡＦ＝２ｘ　より、　ＥＯ＝(２＋√3)ｘこれより、ＡＯを三平方の定理より計算して、＝１０　としてｘを出します。その２倍がＡＢとなります。　 http://yosshy.sansu.org/

	24496．別解
	名前：らすかる日付：12月16日(金) 11時14分
	単位は省略します。 (緑色)=10×5√3÷2=25√3 (緑色)+(黄色)=10×10×π÷6=50π/3 ∴(黄色)=50π/3-25√3 (水色)+(黄色)=10×10×π÷12=25π/3 ∴(水色)=25π/3-(50π/3-25√3)=25√3-25π/3 従って (求める面積)=(正方形)-(水色)×4 =100-(25√3-25π/3)×4 =100(π/3+1-√3) http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24501．Re: 図形問題
	名前：デザーター日付：12月16日(金) 23時52分
	ヨッシーさん、らすかるさん、教えていただきまして、どうもありがとうございました。おかげさまで理解することが出来ました。どうもありがとうございました。

24481．(untitled)

名前：3年　アミーゴ 日付：12月14日(水) 18時41分

nは3以上の自然数とする。コインを左から順に横一列に並べるという操作を行う。並べるときコインが表向きになる確率と裏向きになる確率はともに1/2であり、表が3枚裏が3枚続けて並んだとき、この操作を終了する。ちょうどn枚のコイン並べたとき操作を終了する場合の数をan、確立をpnとする。
(1)a3.a4を求めよ
(2)an+2をanとan+1えお用いて表せ
(3)p10を求めよ

	24488．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：12月15日(木) 12時11分
	(1) 表表表、裏裏裏　の２通り　a3＝2 裏表表表、表裏裏裏　の２通り　a4＝2 (2)ｎ枚までのすべての並べ方をbn とすると、bn＝２^n 　ｎ＝３のとき、　表表表、裏裏裏　は、an になります。　これにもう２枚加えた５枚(並べ方は４×an)は、a5 にはなりません。　裏表表、表裏裏　は、もう１枚加えた　裏表表表、裏表表裏、表裏裏裏、表裏裏表　のうち半分が a4、半分がそれ以外で、　これに更に１枚加えてもa5になりません。　残りは、2^3－a3－a4 通りで、　表表裏、表裏表、裏裏表、裏表裏　の４通りですが、　これに２枚加えて５枚にすると、１通りずつだけがa5になります。以上をまとめると、　a5＝2^3－a3－a4 これは、一般にも言えるので、　an+2＝２^n－an－an+1 　　 http://yosshy.sansu.org/

	24491．Re: (untitled)
	名前：3年　アミーゴ日付：12月15日(木) 18時32分
	難しくてわかりません.....

	24495．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：12月16日(金) 8時34分
	あ、一般に言えるかは、自信なくなってきました(^^; 　 http://yosshy.sansu.org/

	24497．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：12月16日(金) 11時36分
	(2) a[n+2]の並べ方の先頭部分は A 表表裏… B 裏裏表… C 表裏… D 裏表… のいずれかです。 AとBは、先頭の2枚を取り除くとa[n]の並べ方の総数に一致します。 CとDは、先頭の1枚を取り除くとa[n+1]の並べ方の総数に一致します。従って、a[n+2]=a[n]+a[n+1] となります。 (3) a[3]～a[10] は 2 2 4 6 10 16 26 42 となりますので、必ず10枚並べたと考えれば p10=42/2^10=21/512 となります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

24480．(untitled)

名前：grade1 コマツアサミ 日付：12月14日(水) 18時34分

問１
0≦ｘ≦180
f(x)＝2(cos^3x-sin^3x)-3sin2x+3(cosx-sinx)
について、
（1）t=cosx-sinx　とおくとき、tの取り得る値の範囲を
（2）f(x)を（1）のtの式で表せ
（3）f(x)の最小値を求めよ。

	24482．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：12月14日(水) 18時44分
	(1)合成しましょう (2)t=cosx-sinxの両辺を2乗して整理するとsinxcosx=(1-t²)/2 また、sin2x=2sinxcosx cos³x-sin³x=(cosx-sinx)(cos²x+cosxsinx+sin²x)ですね (3)(1)の範囲における(2)のtの3次関数の最小値を求めれば良いですね

	24483．Re: (untitled)
	名前：3年　アミーゴ日付：12月14日(水) 18時51分
	有難うございましたやってみます。

	24484．Who are you?
	名前：だるまにおん日付：12月14日(水) 18時54分
	私はコマツアサミさんと喋っていたのですが。

	24485．Re: (untitled)
	名前：3年　アミーゴ日付：12月14日(水) 19時4分
	ゴメンナサイ同じ場所にいるんですっ！

	24492．Re: (untitled)
	名前：3年　アサミ日付：12月15日(木) 22時57分
	最大値　5 最小値　5-6√3 であってますか？

24479．(untitled)

名前：サヤ日付：12月14日(水) 18時32分

どうして正方形の面積は一辺が小数でも縦×横でも止まるのかレポートで書かないといけないのですが、同答えたらいいのか分かりません。どうか答えたらいいですか？

	24487．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：12月14日(水) 20時31分
	例えば小数点以下が2桁の場合、その正方形を縦横100個ずつ、合計10000個並べれば、出来た正方形の一辺は整数です。元の正方形の面積は大きい正方形の面積の1/10000ですから、 (小数の100倍)×(小数の100倍)÷10000=(小数)×(小数) となって求まりますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24490．Re: (untitled)
	名前：サヤ日付：12月15日(木) 18時29分
	らすかるさんありがとうございます。参考にさせていただきます。

24478．数列

名前：カチノナ 日付：12月14日(水) 18時20分

ある問題の発展型を考えました。

１～ｎまでの自然数を1列に並べる。このときどの隣り合う二つの数の和も平方数となっている。そのような自然数の並べ方が存在する最小のｎをa[1],その次に最小のnをa[2]のようにして、ｋ番目に最小のn＝a[k]とした数列を考えたら、この数列は求まるだろうか？また一列ではなく円周上に自然数を並べるとしたらどうか？

ご指導お願いします。

	24486．Re: 数列
	名前：らすかる日付：12月14日(水) 23時17分
	数列は a[1]～a[4]=15,16,17,23 a[k]=k+20　(k≧5) となるようです。最初の方の例を示します。 15：8 1 15 10 6 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9 16：8 1 15 10 6 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9 16 17：16 9 7 2 14 11 5 4 12 13 3 6 10 15 1 8 17 23：18 7 2 23 13 12 4 21 15 10 6 19 17 8 1 3 22 14 11 5 20 16 9 25：18 7 2 23 13 12 24 25 11 14 22 3 1 8 17 19 6 10 15 21 4 5 20 16 9 26：18 7 2 14 22 3 13 23 26 10 6 19 17 8 1 15 21 4 12 24 25 11 5 20 16 9 また、円周上に並べる場合は a[k]=k+31 のようです。最初の方の例を示します。 32：1 8 28 21 4 32 17 19 30 6 3 13 12 24 25 11 5 31 18 7 29 20 16 9 27 22 14 2 23 26 10 15 33：1 8 28 21 4 32 17 19 30 6 3 13 12 24 25 11 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 14 2 23 26 10 15 34：1 3 13 12 4 32 17 8 28 21 15 34 30 19 6 10 26 23 2 14 22 27 9 16 33 31 18 7 29 20 5 11 25 24 いずれも、プログラムで探索したもので証明はわかりません。最初の数列は↓ここにあり、 http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A090461 n＞24では全てのnに対して解があると書かれていました。また、↓これは解の個数ですが、ここに http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A071983 円周上に並べる場合はn＞31では全てのnに対して解があると書かれていました。証明はともかく、数列は面白みのない数列ですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24489．Re: 数列
	名前：カチノナ日付：12月15日(木) 17時49分
	本当につまらない数列ですね。有り難うございました。

24476．どう説明しますか？

名前：J 日付：12月14日(水) 8時37分

特性方程式はなぜあのように文字をおけるんですか？
高校生にわかるように説明してください。

	24477．Re: どう説明しますか？
	名前：ヨッシー日付：12月14日(水) 10時3分
	私のページの「覚え書きコーナー」の「漸化式と特性方程式」をご覧ください。　 http://yosshy.sansu.org/

24473．教えてください。

名前：たく日付：12月12日(月) 22時40分

行列の問題でわからない問題があります。「Ａ≠Ｏであって、あるＢ≠
Ｏに対しＡＢ＝ＯまたはＢＡ＝Ｏを満たすような行列Ａを零因子という。２次の正方行列Ａ（≠Ｏ）が逆行列を持たないならば、Ａは零因子であるであることを証明しなさい。」という問題です。どなたかお願いします。

	24475．Re: 教えてください。
	名前：のぼりん日付：12月12日(月) 23時25分
	Ａ≠Ｏは逆行列を持たないので、Ａ（Ｒ^２）は（原点を通る）直線です。｛Ａ（Ｒ^２）｝^⊥ をＡ（Ｒ^２）に直交する直線とし、Ｂを、Ｒ^２から｛Ａ（Ｒ^２）｝^⊥ への射影を表す行列とします。Ｂ≠Ｏですが、ＢＡ＝Ｏです。

24471．どなたかお願いします。

名前：高三です。 日付：12月12日(月) 19時1分

座標平面上に原点Oと定点P（4、0）および動点Q（COSシータ、SINシータ）と動点R（2COS3シータ、2SIN3シータ）がある。ただし、0＜シータ＜パイ/3とする。（1）△PQO、△QRO、△PROの面積をそれぞれS1、S2、S3、とするとき、S1、S2、S3をそれぞれ求めよ。（2）３点P、Q、R、が同一直線上にないとき、△PQRの面積Sを求めよ。（3）３点P、Q、Rが同一直線上にあるとき、COSシータを求めよ。
ってゆう問題なのですがどなたかお願いします。

	24472．Re: どなたかお願いします。
	名前：ヨッシー日付：12月12日(月) 19時42分
	(1) △ＰＱＯと△ＰＲＯは、底辺×高さ÷２　です。 △ＱＲＯは、(1/2)ab・sinＣを使います。 (2)は、求める面積をＳ１，Ｓ２，Ｓ３で表してみましょう。 (3) は (2) の面積が０になるときが、そのときです。図はおまけです。　 http://yosshy.sansu.org/

24469．平面の式

名前：n 日付：12月12日(月) 14時43分

大学生の者です．
3点A(0,70,1630)，B(0,50,1790)，C(100,50,1790)で構成される平面があって，この3点で平面の式を求めました．
次に，この3点ABCの平面の三角形の内側に点Rを考えて，点RのZ座標を求めたいと思いました．点Rのx座標とy座標を(1，51)として，平面の式に代入してz座標を計算しました．

結果は152となったのですが，感覚的に152にならないように思うのですが，どうでしょうか…．
よろしくお願いいたします．

	24470．Re: 平面の式
	名前：n 日付：12月12日(月) 14時52分
	大変申し訳ありません！式を間違っていたことに自分で気づけました．小さなことで書き込んでしまい申し訳ありませんでした．

24466．複利計算

名前：琉架　高２ 日付：12月12日(月) 2時16分

(1)毎年度初めに10万円ずつ積み立てると，5年度末には元利計算はいくらになるか。
年利率を4％，1年ごとの複利で計算せよ。ただし，1.04^5=1.22としてよい。

(2)毎年度初めに等額ずつ積み立てて，5年度末に100万円にしたい。
毎年初めに積み立てる金額をいくらにすればよいか。
年利率2％，1年ごとの複利として計算せよ。
ただし，1.02^5=1.10とし，100円未満は切り上げよ。

数列のように計算していくと思うんですが，どうしても解けません。
よろしくお願いします。

	24468．Re: 複利計算
	名前：ヨッシー日付：12月12日(月) 7時52分
	年度という言い方が、語弊を生じやすいので、年目ということにします。また、単位の万円は省略します。１年目初・・・10 １年目末・・・10×1.04 ２年目初・・・10×1.04＋10 ２年目末・・・10×1.04^2＋10×1.04 ３年目初・・・10×1.04^2＋10×1.04＋10 ３年目末・・・10×1.04^3＋10×1.04^2＋10×1.04 　・・・５年目末・・・10×1.04^5＋10×1.04^4＋10×1.04^3＋10×1.04^2＋10×1.04 後は、等比数列の和ですね。 (2)積み立てる金額をｘとすると、５年目末には　ｘ(1.02^5＋1.02^4＋1.02^3＋1.02^2＋1.02) になっています。　 http://yosshy.sansu.org/

24462．整数問題

名前：yu-ku 日付：12月11日(日) 10時58分

２以上の自然数ｎに関して、X1+X2+・・・+Xn=X1*X2*・・・・*Xnとなる自然数の組（ｘ1、X2・・・・、Xｎ）を考える。ただし、たとえば、（1,2,3）と（1,3,2）は違う組とする。
このとき、（1）解が一組しか存在しないｎを求めよ。
　　　　　（2）どのｎに関しても、必ず１つ解があり、かつ有限個しかないことを示せ。
（1）は、ｎ＝2は見つかりましたが、うまく論証ができません。（2）にいたってはさっぱりです。どなたかお願いします。

	24464．Re: 整数問題
	名前：らすかる日付：12月11日(日) 17時36分
	(1) n=2の時 X1+X2=X1*X2 から (X1-1)(X2-1)=1 ∴X1=X2=2 n≧3の時は X[1]～X[n-2]=1, X[n-1]=2, X[n]=n が解となりますので、解は2組以上存在します。 (2) (必ず１つ解があること) 任意のnに対して X[1]～X[n-2]=1, X[n-1]=2, X[n]=n が解となります。 (有限個しかないこと) X[1]≦X[2]≦…≦X[n] としても一般性は失われません。 X[n]≧n^2 である解があると仮定します。右辺はX[n]で割り切れますので、左辺の X[1]+X[2]+…+X[n-1] も X[n]で割り切れなければなりません。従って X[1]+X[2]+…+X[n-1]≧X[n] ですから、X[n-1]≧X[n]/(n-1)＞n です。すると、(右辺)＞nX[n] となりますが、(左辺)≦nX[n] ですので、式が成り立ちません。従って、X[n]≧n^2である解は存在しませんので、解は有限個となります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24474．Re: 整数問題
	名前：yu-ku 日付：12月12日(月) 23時3分
	ありがとうございます！おかげでわかりました

24461．(untitled)

名前：SMILY 日付：12月11日(日) 8時50分

a＞1、b＞1⇔a＋b＞2、(a－1）(b－1)＞0
この命題が成り立つことを証明したいんですけど．．．命題(数学自体？？）苦手なので。。。お手上げ状態です。しかもテスト前日なんです（＠_＠）よろしくお願いします！

	24463．Re: (untitled)
	名前：紅生姜日付：12月11日(日) 13時23分
	｢p⇔q｣を示すときは、｢p→q｣と｢q→p｣が成り立つことを示します。 a＞1かつb＞1⇔a＋b＞2かつ(a－1)(b－1)＞0 …() 　まづ、矢印の右向き、すなわち、｢a＞1かつb＞1ならば、a＋b＞2かつ(a－1)(b－1)＞0｣を示す。 a＞1,b＞1より、a＋b＞1＋1＝2 また、a－1＞0,b－1＞0であることより、　 (a－1)(b－1)＞0 となり、()の右向きが成立する。次に、矢印の左向き、すなわち、　｢a＋b＞2かつ(a－1)(b－1)＞0ならば、a＞1かつb＞1｣　を示す。　ここで、a＋b＞2かつ(a－1)(b－1)＞0 　　　　 ⇔(a－1)＋(b－1)＞0かつ(a－1)(b－1)＞0 　であることより、(a－1)＞0かつ(b－1)＞0 　　　　　　　　　 ⇔a＞1かつb＞1 　となり、()の左向きが成立する。　以上より、()は成立する。

24458．命題の証明　高１

名前：悩める子羊　日付：12月11日(日) 0時55分

テスト前日でせっぱつまっている子羊です。。。命題をやっているのですが考えているうちにわけがわからない状態に…どなたか助けてください（＞O＜）＞＞＞(叫)
①無理数＋無理数＝無理数　となることを理由をつけて示せ。
②a^2＋b^2≦２⇒a≦１またはb≦１
という問題はどのように証明すればいいのでしょうか？
よろしくお願いします＜＜＜（。_。）

	24459．Re: 三角形の形状決定問題です
	名前：ヨッシー日付：12月11日(日) 5時30分
	(1) は、たとえば、Ａ＋Ｂ＝Ｃにおいて、　Ａ＝√2　・・・無理数　Ｂ＝－√2　・・・無理数　Ｃ＝０　・・・有理数とか　Ａ＝１＋√2　・・・無理数　Ｂ＝２－√2　・・・無理数　Ｃ＝３　・・・有理数となるので、命題は成り立ちません。問題は正しいでしょうか？ (2)対偶をとって、　ａ＞１　かつ　ｂ＞１　→　ａ^2＋ｂ^2＞２を証明すればいいでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	24460．Re: 命題の証明　高１
	名前：悩める子羊　日付：12月11日(日) 8時44分
	あっ!!そうですよね(＞＜)①無理数＋無理数＝（　　）になっていて自分で（　　）内をうめるようになっているんですよ・・・これは場合分けをする必要がありますよね？？ ②やってみます!!ヨッシーさん、ありがとうございました♪

24455．整数

名前：ティッシュ 日付：12月10日(土) 19時8分

　こんばんは
　さて以下の事にお答えくださいますようお願いします。

Ａが素数でない奇数とすると、Ａは１でない２つの奇数の積の形に書ける。
つまり、Ａ＝(２ｍ＋１)(２ｎ＋１) (ｍ,ｎは自然数、ｍ≦ｎとする)

このとき、Ａは２ｎ＋１を中央値とする２ｍ＋１個の[連続数]

[2n-m+1,・・・・,2n,2n+1,2n+2,・・・・,2n+m+1]の和となる。

　以上でございます。よろしくお願いします。

	24456．Re: 整数
	名前：ティッシュ日付：12月10日(土) 19時30分
	いやはや、わかりました。　A=2n-m+1+・・・・+2n+2n+1+2n+2+・・・・+2n+m+1=(２ｍ＋１)(２ｎ＋１) となりますね。失礼しました。

24448．マクローリン展開についてです。お願いします。

名前：にし(大学1年・19才) 日付：12月9日(金) 20時19分

f(x)=sinxをマクローリン展開せよ、と言う問題を、僕は学校で
Rn→0(Rn=ラグランジュの剰余項)を証明してから求める
と教わりました。それについて、
sinxをn回微分するとsin(x+nπ/2)より、
Rn=sin(c+nπ/2)x^n/n!
となる。このc(0<c<x)=θxとおくと、0<θ<1となる。
またRn≦|Rn|より、|Rn|→0を求めればよいので、
|Rn|=|sin(θx+nπ)x^n/n!|≦|x^n|/n!→0(n→∞)
よってRn→0
というのがありました。わからない点が二つあります。
1つが、なぜc=θxとおくのか、という点です。
sinx≦1なので、c=θxする必要はないのでは、と思いました。
もう一つが、|x^n|/n!→0(n→∞)についてですが、
xの値しだいでn!≦x~nになると思うのですが・・・。
僕の説明がわかりにくかったらすみません。どうぞよろしくお願いします。

	24452．Re: マクローリン展開についてです。お願いします。
	名前：黒蟻日付：12月10日(土) 3時44分
	＞sinx≦1なので、c=θxする必要はないのでは、と思いました。その通りです。必要ありません。＞xの値しだいでn!≦x~nになると思うのですが・・・。 n！＝123…n x^n＝xxx…x この2つを見比べると、x^nはかける値が常にxで一定なのに対して、n！はn(増加していく)なので、十分大きなnをとればn！≧x^nです。xがnによらない定数なのがポイントです。任意の正の実数xに対して、ある自然数M＝[x]＋1([ ]はガウス記号)をとると、n≧Mならば常に0＜(x^n)/n！＝{(x^M)/M！}(x^(n－M))/(n！/M！)＜c(x^(n－M))/(M^(n－M))＝c(x/M)^(n－M)＝d(x/M)^n　(ただしc＝(x^M)/M！，d＝cM^Mであり、いずれもnによらない定数)が成り立ち、x/M＜1だから(x/M)^n→0 (n→∞)よってはさみうちの原理より(x^n)/n！→0 (n→∞)

	24454．Re: マクローリン展開についてです。お願いします。
	名前：にし(大学1年・19才) 日付：12月10日(土) 10時48分
	わかりました！本当に助かりました！ありがとうございます！！

24439．計算問題

名前：すすか（中３） 日付：12月9日(金) 15時23分

この計算式だけ何度やっても答えが合いません。

（１）３分の２ｘ+７＝２分の３ｘ-１

（２）３分の１（ｘ-４）＞２（ｘ+１）

（３）ｘ＾2－３ｘ＝４（２ーｘ）

よろしくお願いします。。

	24440．Re: 計算問題
	名前：ヨッシー日付：12月9日(金) 15時58分
	どうやったら、どういう答えになったかを書いてもらうと、どこで間違ったかがわかります。　 http://yosshy.sansu.org/

	24441．Re: 計算問題
	名前：すすか（中３）日付：12月9日(金) 16時4分
	（１）は分母を６にして考えました。（２）は全くわかりません（３）因数分解だと思ってやりました。

	24443．Re: 計算問題
	名前：ヨッシー日付：12月9日(金) 17時31分
	(1)分母を６にした式を書いてみてください。 (2)両辺３倍してみましょう。 (3)因数分解した式を書いてみてください。　 http://yosshy.sansu.org/

	24446．Re: 計算問題
	名前：すすか（中３）日付：12月9日(金) 18時38分
	（１）は解けました。（２）は３倍すると（ｘー４）＞（６ｘ+６）（３）はｘ＾2+ｘ+８？

	24447．Re: 計算問題
	名前：ヨッシー日付：12月9日(金) 18時45分
	(2)不等式は方程式と、大体同じ解き方ですが、注意するところは、両辺同じ数を掛ける(同じ数で割る)とき、　正の数を掛けるときは　不等号の向きはそのまま　負の数を掛けるときは　不等号の向きが変わることです。　例題)　３ｘ－４＞５ｘ＋６　　移項して　　　３ｘ－５ｘ＞６＋４　　計算して　　　－２ｘ＞１０　　両辺－２で割って（負の数なので不等号が変わる) 　　　ｘ＜－５ (3)は、中学の範囲では解けませんね。　ｘ＾2－３ｘ＝４（２＋ｘ）ではありませんか？　 http://yosshy.sansu.org/

	24449．Re: 計算問題
	名前：すすか（中３）日付：12月9日(金) 20時38分
	いいえ。－ですよ。あ、教師がミスしてるかも・・・（２）の答えはｘ＜－２とでました

	24457．Re: 計算問題
	名前：すすか（中３）日付：12月10日(土) 21時57分
	ヨッシーさん・rukadさんありがとうございました。今、テスト中なのですが数学のテストに似たような問題がでて、解くことができました！

24436．3次元空間での平面

名前：n 日付：12月9日(金) 14時30分

大学生です．
プログラミング言語を使用してあるプログラムを作成しています．
その中で使いたい考え方なのですが…．

3点，A(0,70,1630),B(0,50,1790),C(100,50,1790)ので構成される平面を考えています．
その3点で作られる平面の三角形の内側に点Rを考えたいのです．
点Rのx成分とy成分は指定して，ｚ成分は3点ABCの平面の式から求めます．
三角形ABCの内側に存在するR点のx座標y座標として，(1，51)で正しいでしょうか．

説明がわかりにくくて申し訳ありません．
よろしくお願いいたします．

	24437．Re: 3次元空間での平面
	名前：ヨッシー日付：12月9日(金) 15時4分
	この三角形をｚ軸方向(ｘｙ平面と垂直な方向)から見て、点(1,51) が △ＡＢＣの内部にあるかどうかということですよね？その方向から見ると、△ＡＢＣは直角三角形ですので、イメージしやすいと思いますが、 △ＡＢＣの内部にあります。　 http://yosshy.sansu.org/

	24438．Re: 3次元空間での平面
	名前：n 日付：12月9日(金) 15時16分
	ありがとうございました．簡単なことを確認してしまい申し訳ありません．どうしてもうまくいかなかったもので…．これで考え方はあっていたのでプラグラムに問題があるようです．本当にありがとうございました．

	24442．Re: 3次元空間での平面
	名前：n 日付：12月9日(金) 16時44分
	付け加えて質問させてください． 3点ABCで平面の式を求め，点Rのx成分とy成分をその式に代入して計算すると，点Rのz成分を求めることが出来るということで間違ってないでしょうか…？

	24444．Re: 3次元空間での平面
	名前：ヨッシー日付：12月9日(金) 17時39分
	特殊な場合を除いては、それで良いです。特殊な場合とは、ｘｙ平面に垂直な平面　たとえば、ｘ＋２ｙ＝３　ｚは任意の実数の場合、ｘ、ｙ　を決めても、平面上の点が決まらない場合です。上の((1,50)が云々の)問題は、特殊な場合ではないです。　 http://yosshy.sansu.org/

24427．一次式とは？比例反比例とは？

名前：daisuke（大学２年） 日付：12月8日(木) 20時48分

　こんにちは。大学２年のdaisukeといます。
　一次式・比例・反比例の定義がよく分からなくなってしまったので、知っている方がいたら教えていただけないでしょうか？
　よろしくお願いします。

24426．(untitled)

名前：あやか 日付：12月8日(木) 20時32分

ガウス記号の問題です。
ｙ＝ｘ-[x]
のグラフを教えてください。

	24428．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：12月8日(木) 20時49分
	ソフトに描いてもらいました。

	24430．Re: (untitled)
	名前：あやか日付：12月8日(木) 22時19分
	もしよければ解説もお願いします。

	24432．Re: (untitled)
	名前：黒蟻日付：12月9日(金) 0時18分
	f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－([x]＋1)＝x－[x]＝f(x) がどんな実数xについても成り立つので、f(x)は周期1の周期関数となり、区間[0，1)でのグラフを調べるだけでよいことになります。x∈[0，1)のとき、すなわち0≦x＜1のとき、[x]＝0だからf(x)＝x となります。従ってだるまにおんさんの書いたグラフが得られます。以下は参考程度におさえておくとよいかもしれません。 xが正の実数の場合を考える。xを小数展開したところを想像する。小数点より上の部分が[x]で、小数点以下の部分がx－[x]になる。従って、 f(x)＝「xの小数部分」 (xが正の実数のとき) となる。例 f(2.23)＝2.23－[2.23]＝2.23－2＝0.23 f(3.1415)＝3.1415－[3.1415]＝3.1415－3＝0.1415

24419．三角関数

名前：あやか 日付：12月8日(木) 19時19分

０≦ⅹ＜２πの時、
(１)ｙ＝cos(ⅹ＋π/2)+sin(ⅹ+π/2)
(２)ｙ＝√3cos2ⅹ－2sinⅹcosⅹ

	24421．？？
	名前：だるまにおん日付：12月8日(木) 19時41分
	これは何をする問題なのですか？最大値や最小値を求める問題ですか？

	24422．Re: 三角関数
	名前：あやか日付：12月8日(木) 19時41分
	すいません、誰かこの問題を教えてください。答え方がいまいちわかりません。(１)で、ｙ＝－sinⅹ＋cosⅹになって、それを変形すると、ｙ＝√２(ⅹ＋135°)まではわかったんですけど、１から－１までの範囲というのがわかりません、誰か教えてください、お願いします!!!!

	24423．Re: 三角関数
	名前：あやか日付：12月8日(木) 19時43分
	すいません、最大値最小値を求める問題です。

	24424．Re: 三角関数
	名前：だるまにおん日付：12月8日(木) 20時13分
	(1)x+π/2=t(π/2≦t＜5π/2)とおくと y=sin(x+π/2)+cos(x+π/2)=sint+cost=√2sin(t+π/4) ここでt+π/4=θ(3π/4≦θ＜11π/4)とおくと結局y=√2sinθ 以上より最小値は-√2，最大値は√2 (2)y=√3cos2x-2sinxcosx=-2sinxcosx+√3cos2x=-sin2x+√3cos2x=2sin(x+π/3)

	24425．Re: 三角関数
	名前：あやか日付：12月8日(木) 20時28分
	ありがとうございました！！！

24414．お願いします

名前：K 日付：12月8日(木) 13時57分

xy平面上の点でのx座標、y座標がともに整数である点を格子点という。
(1)格子点を頂点とする三角形の面積は1/2以上であることを示せ。
(2)格子点を頂点とする凸四角形の面積が1であるとき、この四角形は平行四辺形であることを示せ。

	24415．Re: お願いします
	名前：X 日付：12月8日(木) 15時41分
	(1) 三角形を作る格子点を (0,0),(l,m),(p,q) としても一般性は失われません。このときの三角形の面積をSとすると S=\|lq-pm\|/2 (証明は省略します。) ここで\|lq-pm\|は整数ですから \|lq-pm\|=1 となるような適当な整数l,m,p,qを選ぶことができれば題意は証明できます。

	24451．Re: お願いします
	名前：K 日付：12月10日(土) 1時36分
	ありがとうございます。

24411．解き方を・・・

名前：壱の紅　中２ 日付：12月8日(木) 6時47分

(3√7+12)(2√2－4√3)÷2＝（？)
の解き方教えてください！おねがいします！

	24412．Re: 解き方を・・・
	名前：ヨッシー日付：12月8日(木) 7時33分
	a(b+c)=ab+ac という計算は出来ますか？ (3√7+12)(2√2－4√3)　において、　Ａ＝3√7+12 とおくと、　(3√7+12)(2√2－4√3)＝Ａ(2√2－4√3) となり、　2√2Ａ－4√3Ａとなります。ここで、Ａを 3√7+12 にもどして、　2√2(3√7+12)－4√3(3√7+12) 　＝6√14＋24√2－・・・・(省略) あとは、これを２で割ります。あるいは、(2√2－4√3)の部分を先に２で割って、　(3√7+12)(√2－2√3) を計算しても良いです。慣れてくれば、　(3√7+12)(2√2－4√3) 　＝3√7×2√2＋3√7×(－4√3)＋12×2√2＋12×(－4√3) と出来ます。これは、　(a+b)(c+d)＝ac+ad+bc+bd という公式として出てきます。　 http://yosshy.sansu.org/

	24417．Re: 解き方を・・・
	名前：壱の紅　中１日付：12月8日(木) 17時24分
	ヨッシーさんありがとうございます。それと間違えて中２にしてました！それで答えは・・・？（ばかですいません）

	24433．Re: 解き方を・・・
	名前：ヨッシー日付：12月9日(金) 8時11分
	次の問題は出来ますか？ (1) 3√7×2√2 (2) 3√7×(－4√3) (3) 12×2√2 (4) 12×(－4√3) 　 http://yosshy.sansu.org/

	24453．Re: 解き方を・・・
	名前：壱の紅　中１日付：12月10日(土) 6時51分
	できませぬ・・・

	24465．Re: 解き方を・・・
	名前：Ｂｏｂ日付：12月11日(日) 18時14分
	√の中は中同士計算 √の外は外同士計算 (1) 3√7×2√2＝６√１４ (2) 3√7×(－4√3)＝－１２√２１ (3) 12×2√2＝２４√２ (4) 12×(－4√3)＝－４８√３　　　　となります。

	24467．Re: 解き方を・・・
	名前：壱の紅　中１日付：12月12日(月) 6時18分
	Ｂｏｂさんありがとうございます！よくわかりました！

24410．スッキリしません。

名前：キロロ 日付：12月8日(木) 1時34分

よくある偽コインの問題ですが、解法があるのかさえ分からなくなってしまいました。解法はあるのでしょうか？

「１０枚のコインの中に２枚だけ偽コインがある。
　この時、天秤を４回まで使って２枚の偽コインを特定する。
　偽物は本物よりも軽く、偽物同士は同じ重さとする。
　ただし、１回目は天秤の左右に２枚ずつのせるものとする。」

	24413．Re: スッキリしません。
	名前：ヨッシー日付：12月8日(木) 8時54分
	４回では無理でしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	24416．Re: スッキリしません。
	名前：らすかる日付：12月8日(木) 15時41分
	かなり考えましたが、４回で出来ました（多分）。 10個をABCDEFGHIJとし、最初にA+BとC+Dを比較するものとします。 A+B＜C+D の場合、A,Bのうち少なくとも一つが偽物、C,Dは本物とわかります。　この場合は、次にA+C+DとB+E+Fを比較します。　A+C+D＝B+E+F なら AとBが偽物か、Aと(EまたはF)が偽物ですので、　　E＝F ならAとBが偽物、E≠Fならその軽いほうとAが偽物です。　A+C+D＜B+E+F なら Aが偽物、B,C,D,E,Fは本物ですので、　　G+HとI+Jで軽い方の2つを比べて、その軽い方とAが偽物です。　A+C+D＞B+E+F なら Bは偽物、A,C,Dは本物、E,Fは不明です。この場合は、　　E+F＝G+HならIとJの軽い方とBが偽物　　E+F＜G+HならEとFの軽い方とBが偽物　　E+F＞G+HならGとHの軽い方とBが偽物　　となります。 A+B＞C+D の場合は A+B＜C+D の場合と同様ですので省略します。 A+B＝C+D の場合、A,B,C,Dが全て本物か、またはA,Bのどちらか一方と　C,Dのどちらか一方が偽物です。この場合は、次にE+FとG+Hを比較します。　E+F＝G+H なら、「A,Bのどちらか一方とC,Dのどちらか一方が偽物」か　　「E,Fのどちらか一方とG,Hのどちらか一方が偽物」か「IとJが偽物」　　のいずれかです。　　A+C=E+G ならBとFを比較し、Bの方が軽ければBとDが偽物、　　Fの方が軽ければFとHが偽物、同じならIとJが偽物　　A+C＞E+G なら FとHを比較し、Fの方が軽ければFとGが偽物、　　Hの方が軽ければEとHが偽物、同じならEとGが偽物　　A+C＜E+G なら BとDを比較し、Bの方が軽ければBとCが偽物、　　Dの方が軽ければAとDが偽物、同じならAとCが偽物　E+F＞G+H なら、GとH、IとJをそれぞれ比較し、どちらも異なれば　　両方の軽い方、同じならGとHが偽物　E+F＜G+H なら、EとF、IとJをそれぞれ比較し、どちらも異なれば　　両方の軽い方、同じならEとFが偽物多分合っていると思いますが、どなたか検証して頂けると幸いです。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24418．Re: スッキリしません。
	名前：キューダ日付：12月8日(木) 18時52分
	正しいと思います。二回続けて釣り合った場合、可能性は９通りになりますが、それらをきちんと分離できるあの比較法がキーですね。なお、一回目A+B＜C+D の場合ですが、二回目はAとBを比べて、．．．という方法もありますね。

	24420．Re: スッキリしません。
	名前：らすかる日付：12月8日(木) 19時29分
	＞キューダさん確認ありがとうございます。合っていてホッとしました。＞一回目A+B＜C+D の場合ですが、二回目はAとBを比べて、．．．その方が断然わかりやすくていいですね。 AとBのうち偽物が一つなら、E+FとG+Hを比べて… ですね。模範回答があるとしたら、おそらくそちらの方法が模範回答になるものと思います。 A+B＜C+Dの方は先に考えたのですが、適当に作った方法でうまくいってしまったので、それ以上考えませんでした。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24434．Re: スッキリしません。
	名前：ヨッシー日付：12月9日(金) 8時12分
	あ、出来ますね。恐れ入りました。　 http://yosshy.sansu.org/

	24435．Re: スッキリしません。
	名前：キロロ日付：12月9日(金) 12時37分
	私も検証して解く事が出来ました。おかげでやっとスッキリしました。みなさん、どうもありがとうございました。

24402．もう１問お願いします☆

名前：りか　　中３ 日付：12月7日(水) 20時42分

6種類のパンと4種類のジュースを売っている店があります。パンは1個150円、ジュースは1本120円です。
問》660円ちょうどで買える組み合わせ何通りありますか。

らすかるさん、ありがとうございました♪
どなたかお願いします。

	24403．Re: もう１問お願いします☆
	名前：Ｂｏｂ日付：12月7日(水) 21時55分
	１５０ｘ＋１２０ｙ＝６６０問題あってますか？１５ｘ＋１２ｙ＝６６５ｘ＋４ｙ＝２２地道な考え方ｘに０から順に代入　ただしｘは０～６までの整数　　　　　　　　　　　　　ｙは０～４までの整数ｘ＝０　ｙ＝１１／２　ｘ＝１　ｙ＝１７／４ｘ＝２　ｙ＝３ｘ＝３　ｙ＝７／４ｘ＝４　ｙ＝１／２ｘ＝５　ｙ＝－３／４１通りしかないｘ＝２　ｙ＝３

	24404．Re: もう１問お願いします☆
	名前：papiky 日付：12月7日(水) 22時0分
	まず、パンをｎ個とジュースがｍ本と考えると、 150ｎ+120ｍ＝660 両辺を整理して、ｎ＝（22-4ｍ）／5 この式を満たす整数ｎ，ｍは（ｎ，ｍ）＝（３，３） ∴パンを３個，ジュースを３本買う組み合わせを考えればよいので６Ｃ３×４Ｃ３

	24405．すみません。計算間違えました。
	名前：papiky 日付：12月7日(水) 22時2分
	ｎ＝２，ｍ＝３です。 ∴６Ｃ２×４Ｃ３

	24406．Re: もう１問お願いします☆
	名前：Ｂｏｂ日付：12月7日(水) 22時44分
	勘違いしてました。すいませんpapikyのほうを観てください

	24407．Re: もう１問お願いします☆
	名前：りか　　中３日付：12月7日(水) 23時3分
	考えてくださり、ありがとうございます。この問題集解説は載っていないのですが、答えが載っていて、60通りなんだそうです。

	24408．Re: もう１問お願いします☆
	名前：Ｂｏｂ日付：12月7日(水) 23時40分
	６Ｃ２×４Ｃ３ =１５×４＝６０中学生だとＣは使っちゃいけないのかな？習ってませんよね？？？

	24409．(untitled)
	名前：りか　　中３日付：12月7日(水) 23時53分
	Ｃ習ってないです↓

	24429．Re: もう１問お願いします☆
	名前：Ｂｏｂ日付：12月8日(木) 22時8分
	6種類のパンＡＢＣＤＥＦと 4種類のジュースａｂｃｄ　の組み合わせを樹形図で書くしかない・・・

	24445．Re: もう１問お願いします☆
	名前：りか　　中３日付：12月9日(金) 17時44分
	ありがとうございました！参考になりました。

24400．わかんないです↓

名前：りか　　中３ 日付：12月7日(水) 20時1分

101から500までの整数の中には次のような整数はいくつありますか。
(1)５の倍数
(2)７の倍数
(3)５または７の倍数
(4)５の倍数ではなく、７の倍数である整数

(1)と(2)はなんとかわかったんですが、あとの2つがかなり時間をかけなければ解けませんでした(>_<)簡単な解き方があれば、教えてください。お願いします。

	24401．Re: わかんないです↓
	名前：らすかる日付：12月7日(水) 20時15分
	(1) [500÷5]-[100÷5]=100-20=80個 (2) [500÷7]-[100÷7]=71-14=57個 (3) [500÷35]-[100÷35]=14-2=12 　∴80+57-12=125個 (4) 57-12=45個 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

24398．苦手なベクトル

名前：けい　高２ 日付：12月7日(水) 19時30分

OA=3,OB=4,∠AOB=60°である三角形AOBを考える。
(1)辺ABの長さを求めよ。
(2)∠AOBの二等分線上に点Pをとる。
　　→OP=m→OA+n→OBと表す時、mをnで表せ。
(3)辺OAの中点をM,辺OBの中点をNとする。Mを通りOAに垂直な直線と,
Nを通りOBに垂直な直線との交点をQとする。→OQを→OA,→OBで表せ。
(4)線分PQの長さが最小となる→OPを→OA,→OBで表せ。

という問題なんですが、（１）と（２）はわかりました。
（３）と（４）は図は描いてみたものの、
どうやって求めたらいいのかわかりません。
どなたか教えて下さい。お願いします。

	24399．Re: 苦手なベクトル
	名前：だるまにおん日付：12月7日(水) 20時1分
	(3)OQ^→=sOA^→+tOB^→とおきます。すると、MQ⊥OAですから MQ^→・OA^→=(OQ^→-OM^→)・OA^→ =OQ^→・OA^→-OM^→・OA^→ =(sOA^→+tOB^→)・OA^→-(1/2)\|OA^→\|² =(s-1/2)\|OA^→\|²+tOA^→・OB^→ =9(s-1/2)+6t =0 NQ^→・OB^→=0についても同様なことをすると s，tの式がもう一つ出てくるので連立方程式を解けばOK^→ (4)\|PQ^→\|²=\|OP^→-OQ^→\|²の最小値を考えましょう。

	24431．Re: 苦手なベクトル
	名前：けい　高２日付：12月8日(木) 23時54分
	ありがとうございました！わかりました～！

24395．数Ⅲ(高２)

名前：P 日付：12月6日(火) 18時47分

f(x)=x^2e^(-x)に対し次の問に答えよ。ただしlim[x→∞]x^2e^(-x)=0は既知とする。
(1)f(x)のグラフの概形を描け。
(2)点(1,f(1))におけるy=f(x)の接線lの方程式を求めよ。
(3)y=f(x)とlで囲まれた部分の面積を求めよ。

よろしくお願いします。

	24396．Re: 数Ⅲ(高２)
	名前：だるまにおん日付：12月6日(火) 22時0分
	(1)f'(x)=2xe^-x-x²e^-x=xe^-x(2-x)等等よりグラフは↑

	24397．Re: 数Ⅲ(高２)
	名前：だるまにおん日付：12月6日(火) 22時7分
	(2)f'(1)=1e^-11=e^-1なので ℓ：y=f'(1)(x-1)+f(1)=e^-1(x-1)+e^-1=e^-1x (3)ℓとy=f(x)の交点のx座標は0，1なのでグラフとよく睨めっこして ∫[0→1](e^-1x-x²e^-x)dxが求める面積。

24389．どなたかお願いします。

名前：高三です。 日付：12月5日(月) 19時25分

ｘｙ平面上において、中心がｘ軸上にあり、２点A（-2、4）B（5、-3）を通る円C1とする。また、直線L：ｙ＝－3/4＋aが円C1に接している。ただし、a＞0とする。（1）このときaの値をお求めよ。
また、中心が第四象限にあり、直線Lとｙ軸に同時に接する半径8の円をC2とする。（2）このとき、円C2の方程式を求めよ。（3）更に、円C1と円C2の2交点を通る円C3が点（6、-1）を通るとき、円C3の方程式を求めよ。

	24392．Re: どなたかお願いします。
	名前：ヨッシー日付：12月6日(火) 7時56分
	(1)ＡＢの中点(3/2, 1/2) を通り、ＡＢ(傾き－１)に垂直な直線（傾き1)は、　ｙ＝ｘ－１です。Ｃ１の中心はこの直線とｘ軸との交点なので、ｙ＝０を代入して　ｘ＝１Ｃ１　の中心（１，０）から、点Ａ（もしくは点Ｂ）までの距離は、５であるので、Ｃ１の式は、　(ｘ－１)²＋ｙ²＝２５　･･･(i) Ｃ１の中心を通り、直線Ｌ(たぶんｙ＝－３ｘ／４＋ａの誤り)に垂直な直線と、Ｃ１の交点は（５，３）または（－３、－３）。直線Ｌは、この２点のどちらかを通る。それぞれａを求めると、　ａ＝27/4，-21/4 ａ＞０より、ａ＝27/4 (2)Ｃ２の中心を（８，ｋ）とおく。ただしｋ＜０。直線Ｌ　3x+4y-27=0 と（８、ｋ）までの距離は、　\|４ｋ－３\|/５これが８に等しいので、ｋ＝-37/4 円Ｃ２の式は、(ｘ－８)²＋(ｙ＋37/4)²＝６４　・・・(ii) (3) 円Ｃ１は点(6,-1) を通らないので、円Ｃ３の式は、実数ｋに対して　{(ｘ－１)²＋ｙ²－２５}＋k{(ｘ－８)²＋(ｙ＋37/4)²－６４}＝０と書ける。これが点(6,-1) を通るので、　ｋ＝-16/129 よって、Ｃ３の式は、　113ｘ²－2x＋113ｙ²－296ｙ＝4465 　 http://yosshy.sansu.org/

24381．くだらない疑問なんですけど・・・

名前：taro 日付：12月5日(月) 15時23分

僕は高校2年です。
例えば虚数のiを二乗すると-１と実数になるのは分かるんですけど
もし-1をi乗するといくつなんですか？！後これは複素数・実数・虚数
のどの分類になるのでしょうか？！ご回答の方よろしくお願いします。

	24383．Re: くだらない疑問なんですけど・・・
	名前：らすかる日付：12月5日(月) 17時29分
	(-1)^i=e^{ilog(-1)} =e^{-(2m+1)π}　(mは整数) =e^{(2n+1)π}　(nは整数) ですから、(-1)^iは実数ですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24384．Re: くだらない疑問なんですけど・・・
	名前：ヨッシー日付：12月5日(月) 15時48分
	私のページの「ミニ講座」に「複素数と複素数平面」があります。これによると、　(-1)ⁱ＝ｅ^-π となります。また、ｅ^iπ＋１＝０　という、有名な式（オイラーの等式）があります。（オイラーの公式　ｅ^iθ＝cosθ＋ｉsinθ　に、θ＝π を代入して得られます）この式の１を移項して、両辺ｉ乗すれば、　(-1)ⁱ＝ｅ^-π が得られます。　　 http://yosshy.sansu.org/

	24386．Re: くだらない疑問なんですけど・・・
	名前：らすかる日付：12月5日(月) 17時32分
	{e^(iπ)}^i を e^(iπ×i) としてはまずくないですか？（多価のうちの一つの値になってしまうような気がしますが…） http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24387．Re: くだらない疑問なんですけど・・・
	名前：ヨッシー日付：12月5日(月) 18時27分
	お！虚数乗の罠やね。失礼しました。　 http://yosshy.sansu.org/

24375．微分について

名前：hoho-su 日付：12月4日(日) 20時5分

自分は高校２年です。

「微分する」ということは、普通、「xについて微分する」ということなのでしょうか？
　逆三角関数の導関数の勉強をしているときに、x = sin y をxについて微分する、と教科書に書いてあったのですが、ピンときませんでした。
どうかお願いします。

	24380．Re: 微分について
	名前：ヨッシー日付：12月5日(月) 8時47分
	f(x)=x^2+2x+3 のように、変数がｘしかないときは、｢微分する｣といえば、｢ｘで微分｣でしょう。 x = sin y は、「ｘで微分する」「ｙで微分する」の２通り考えられますので、どちらかを区別します。ｙで微分するというと、単純に　dx/dy＝cosｙ　で終わりです。ｘで微分するというと、　（通常は　ｙ＝Sin^-1ｘ　をxで微分せよという聞き方が多いですが） x = sin y の両辺をｘで微分して、　１＝(dy/dx)cosｙこれを、dy/dx＝(ｘの式) にするのが最終の答えで、　cosｙ＝√(１－sin²ｙ)＝√(１－ｘ²) より、　dy/dx＝１／√(１－ｘ²) 厳密にはｘ、ｙの範囲が重要になりますが、この場合　－π/２≦ｙ≦π/２　－１≦ｘ≦１としました。　 http://yosshy.sansu.org/

	24382．Re: 微分について
	名前：hoho-su 日付：12月5日(月) 15時40分
	x = siny　をxについて両辺を微分するとき、左辺はわかるのですが、右辺にはxがないのになぜ微分できるかがわかりません。お願いします

	24385．Re: 微分について
	名前：ヨッシー日付：12月5日(月) 16時5分
	x = sin y と書いた時点で、ｙはｘとなんらかの関係があります。つまり、ｘが変化すると、ｙも変化します。定義域、値域をちゃんと定義すれば、「ｙはｘの関数である」と言えます。式で書くと、　ｙ＝Sin^-1ｘです。さらに、このｙを変数とする関数、　ｕ＝sinｙを考えると、ｕもｘの関数です。ですから、ｕもｘで微分できるのです。厳密に書くと、　ｙ(x)＝Sin^-1ｘ　ｕ(y)＝sinｙであり、合成関数の微分の公式、　du/dx＝(du/dy)(dy/dx) を使って微分することが出来ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	24390．Re: 微分について
	名前：hoho-su 日付：12月5日(月) 20時29分
	x = siny のxについての微分は、両辺をxについての微分で、 1 = d(siny)/dy = (dx/dy)*{d(siny)/dx} 1 = cosy{(d(siny)/dx} これを{(d(siny)/dx}について解く。このように解釈したのですが、よろしいでしょうか？

	24393．Re: 微分について
	名前：ヨッシー日付：12月6日(火) 8時13分
	あくまでも、ｘで微分ですから、 (右辺)＝d(sinｙ)/dx＝(dy/dx)・d(siny)/dy 　　＝(dy/dx)cosｙで、これを、dy/dx＝・・・　の形にする、とした方が良いでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	24394．Re: 微分について
	名前：hoho-su 日付：12月6日(火) 12時46分
	あ、そういえばそうですね。なんとか理解しました。本当にありがとうございました。

24372．三次方程式の解き方

名前：オレンジ 日付：12月4日(日) 17時1分

-k^3+3k^2-4=0
2x^3+6x^2-9=0

↑のような問題のとき方を忘れてしまいました…。
(-k^3+2k^2+k-2=0のようなのは出来たのですが）
よろしかったら解き方教えてくださいm(__)m

	24373．Re: 三次方程式の解き方
	名前：のぼりん日付：12月4日(日) 17時57分
	＞　-k^3+2k^2+k-2=0のようなのは出来たのですが一次の項の有無に関わらず、解き方に違いはありません。－ｋ³＋３ｋ²－４＝０の場合、視認でｋ＝－１が解であることが判るので、－ｋ³＋３ｋ²－４＝－（ｋ＋１）（ｋ²－４ｋ＋４）＝－（ｋ＋１）（ｋ－２）²＝０と因数分解し、ｋ＝－１または２と解きます。２ｘ³＋６ｘ²－９＝０の場合、有理数解を持たない様なので、解の公式（カルダノの公式）に当て嵌めるしかなさそうです。

24368．条件付極値

名前：大学1年 日付：12月4日(日) 0時32分

g=x^3+y^3-3xy, f=x^2+y^2 の時　g=0 のもとでfの極値を求めよ。
という問題なのですが、ラグランジュの未定乗数法にあてはめてはみたのですが　そこから先に進めません　どなたかわかる方いらしたら教えてください　お願いしますｍ（；。。）ｍ

	24370．Re: 条件付極値
	名前：もんもん日付：12月4日(日) 14時55分
	変数2個なので ∂f/∂x　＋　λ∂g/∂x　＝　０ ∂f/∂y　＋　λ∂g/∂y　＝　０これとg(x,y)＝0 からλと極値をとる座標は決定されます。但し、極値をとる座標でｇに関する関数行列式が0にならないときに限ります。

	24378．Re: 条件付極値
	名前：大学1年日付：12月4日(日) 23時10分
	返信ありがとうございます。ｍ（。。）ｍ自分でも、もんもんさんの記載されたラグランジェの未定乗数法にあてはめるところまではいったのですが、そこから先、λと座標を出すことがどうしても出来なかったもので…（；´ω｀）すいません説明不足でした。もう少し考えて見ます。

	24379．Re: 条件付極値
	名前：もんもん日付：12月5日(月) 6時43分
	偏微分をしてλ,x,yの連立方程式を解くだけですが･･･連立方程式を解けないということでしょうか？

24367．証明問題

名前：7777 日付：12月3日(土) 22時59分

あるｎ次の整式Ｆ（ｘ）に関して、Ｆ（０）、Ｆ（１）、Ｆ（２）、・・・・・Ｆ（ｎ）がいずれも整数なら、Ｆ（Ｘ）は、任意の整数ｋに関して、Ｆ（ｋ）が整数になることを示せ。
どなたか教えてください。

	24369．Re: 証明問題
	名前：もんもん日付：12月4日(日) 14時23分
	Lagrangeの補間多項式を用いて、しこしこ計算すると f(x)＝Σ[i=0～n](-1)^(n-i)f(i)Combination(x,i)Combination(x-i-1,n-i) よってxが整数のときf(x)は整数になります。式中の Combination(n,r)＝n!/｛(n-r)!r!｝要するに組み合わせってやつです。二項係数といったほうがこの場合よいかも知れません。

	24374．Re: 証明問題
	名前：黒蟻日付：12月4日(日) 18時30分
	n＝0のときは明らか。n＝tのとき成り立つとすると、n＝t＋1のとき…F(x)をt＋1次の整式とする。仮定からF(0)～F(t＋1)は整数なので、G(x)＝F(x＋1)－F(x)とおくと、G(0)～G(t)は整数となる。ここで、G(x)はt次の整式であるから、n＝tのときの仮定より、任意の整数kに対してG(k)は整数となる。このとき、任意の整数kに対してF(k)は整数となる。k≧1，k≦-1，k＝0で場合分けしてこれを示す。k≧1のとき…F(k＋1)＝F(k)＋G(k) (←階差数列になっている)より、F(k)＝F(0)＋Σ[i＝0～k－1]G(i) と表せる。右辺は明らかに整数だから、F(k)は整数。k＝0のとき…F(k)＝F(0)は整数。k≦-1のときF(k)＝F(k＋1)－G(k)より、F(k)＝F(0)－Σ[i＝k～-1]G(i) と表せる。右辺は明らかに整数だからF(k)は整数。以上より、n＝t＋1のときも成り立ち、数学的帰納法より題意は成り立つ。

	24391．Re: 証明問題
	名前：7777 日付：12月5日(月) 23時12分
	ありがとうございます！参考になりました

24361．三角形の形状決定問題です

名前：真琴日付：12月2日(金) 20時59分

sinA/a＝１+cosA/b+cはどのような三角形かっていう問題です。

考えてはみたものの、まったく見当がつきません。。途中式とか、細かい説明もいるのですけれど…ヘルプですッ、よろしくおねがいします！！！

	24364．Re: 三角形の形状決定問題です
	名前：ヨッシー日付：12月3日(土) 9時51分
	どれでしょう？　 http://yosshy.sansu.org/

	24365．Re: 三角形の形状決定問題です
	名前：世直し隊日付：12月3日(土) 12時8分
	君さあ～いくつの掲示板に同じ問題書けば気が済むわけ～～～？怒なの～～～～～

	24371．Re: 三角形の形状決定問題です
	名前：k 日付：12月4日(日) 15時57分
	多分一番上じゃん

	24376．Re: 三角形の形状決定問題です
	名前：k 日付：12月4日(日) 21時59分
	ヨッシーでも解けないとか？

	24377．Re: 三角形の形状決定問題です
	名前：ヨッシー日付：12月4日(日) 22時33分
	もう、別の掲示板で答えが出て、質問者も納得しているので良いかと。　 http://yosshy.sansu.org/

24358．ベクトル

名前：水乃日付：12月2日(金) 16時54分

ＯＡ＝ＯＢの二等辺三角形ＯＡＢにおいて頂点Ａ，Ｂからそれぞれの対辺またはその延長上に引いた２つの垂線の交点をＧとするとき、→ＯＧを→ＯＡと→ＯＢで表せ。ただし∠ＡＯＢ＝θとする。（「→」はベクトル）

この問題の解き方がわかりません。
どなたか教えてください。

	24360．Re: ベクトル
	名前：だるまにおん日付：12月2日(金) 18時55分
	ABの中点をMとするとOM：OGがわかればあとは簡単ですね。 OBとAGの交点をHとするとOH：HB=cosθ：1-cosθですからメネラウスの定理よりOH/HBBA/AMMG/GO=1なのでMG：GO=1-cosθ：2cosθ ∴OM：OG=1+cosθ：2cosθ

24355．(untitled)

名前：みか日付：12月2日(金) 0時31分

DONALD+GERALD=ROBERT でD=5である。それぞれの文字は数字の0-9のいずれかである。この計算式を満たすアルファべと各文字は何かこたえよ。というもんだいおしえていただけませんか？

	24357．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：12月2日(金) 8時28分
	D=5 から T=0 となり、十の位に繰り上がりがあるから Rは奇数。R＞Dなので、Rは7または9。万の位からEは0か9でなければならないが、T=0なので E=9、従ってR=7、G=1。 R=7からLは3または8だが、Eが奇数であることから百の位に繰り上がりがあるので、L=8。 E=9からAは4または9だが、9はEに使われているのでA=4。残る数字は2と3と6で、N+7=B+10なのでN=6,B=3。最後に残ったOは2。従って式は 526485+197485=723970 となる。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24363．Re: (untitled)
	名前：みか日付：12月2日(金) 22時6分
	ありがとうございます！！参考になりました！また機会がありましたらよろしくお願います

24354．どうしても解らなくて・・・。

名前：くり日付：12月1日(木) 23時44分

範囲は数Ⅱなのですが・・・。

放物線y=1/2(x^2ー1)と直線y=txー1が異なる２点QおよびRで交わるとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) ｔの満たすべき条件を求めよ。
(2) tが(1)で求めた条件を満たして変化するとき、線分QRの中点Pの軌跡を求め、その概形を図示せよ。

どうしてもわからないので助けていただきたいです！！

	24356．Re: どうしても解らなくて・・・。
	名前：ケロ＠前座日付：12月2日(金) 1時58分
	先づグラフ、t いろいろに、描きませう。二交點（てん）、判別式が、プラスかな。中點は、座標を足して、２で割つて。 (その時に)、二根の（平）和、x の前。 y の座標は、直線の上。

	24366．Re: どうしても解らなくて・・・。
	名前：くり日付：12月3日(土) 22時11分
	ありがとうございます！！判別式でプラスですね！頑張ってみますー！！たすかりましたぁ！！！

24351．(untitled)

名前：Cindy 日付：12月1日(木) 18時36分

a[1]=1, a[2]=2, 4a[n+2]-7a[n+1]+3a[n]=0…① (n=1,2,3…)で定められる数列{a[n]}の一般項を求めよ。

という問題で、a[n+2]-αa[n+1]=β(a[n+1]-αa[n])
と①を係数比較して、(α,β)=(1,3/4),(3/4,1)で、
a[n+2]-a[n+1]=(3/4)*(a[n+1]-a[n])
b[n]=a[n+1]-a[n]とおくと
b[n+1]=(3/4)b[n]　これは初項1,公比3/4の等比数列
b[n]=(3/4)^n-1
a[n+1]-a[n]=(3/4)^n-1

ここまでまで出来たのですが（あっているかどうかは分かりません）、これからどうしたらいいか分かりません。
教えてください。

	24352．Re: (untitled)
	名前：ケロ＠前座日付：12月1日(木) 20時59分
	二つの解を入れ替へて、もう一つ。そして、連立。

	24353．Re: (untitled)
	名前：Cindy 日付：12月1日(木) 21時56分
	連立するんですね。ありがとうございます。

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