2005年05月 の投稿ログ


21277．はじめまして  
名前：たかはし（大学3）    日付：5月31日(火) 17時19分
微分方程式についての質問です。
特性方程式を解くと重解になり、「その理由（なぜ重解になるのか）と、他の1解をアベールの恒等式を用いて求めよ」という問題ですが、どちらもよく分かりません。もしご存知の方がいましたら、ぜひ教えて下さい。


21279．Re: はじめまして
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月31日(火) 23時43分
＞どちらも
何と何ですか？
箇条書きで述べてください。

21284．どちらとも
名前：たかはし（大学3）    日付：6月1日(水) 15時6分
・特性方程式を解いて重解になる理由
・アベールの恒等式を用いた解の求め方
です。
お願いします。

21285．Re: はじめまして
名前：我疑う故に存在する我    日付：6月1日(水) 15時51分
どのような微分方程式ですか？
いろいろなタイプの微分方程式に対して
＞特性方程式
なるものが出てきます。

21287．(untitled)
名前：たかはし    日付：6月1日(水) 17時10分
y"+2y'+y=0という微分方程式です。

21292．Re: はじめまして
名前：我疑う故に存在する我    日付：6月1日(水) 20時26分
特性方程式は
(λ + 1)^2 = 0 となり、たまたま重根になります。
必然的理由はありません。

＞他の1解
はじめの解は何でしょうか？
＞アベールの恒等式
とはこの場合何を意味するのでしょうか？

21308．(untitled)
名前：たかはし    日付：6月2日(木) 12時29分
問題をそのまま載せます。
y"+2y'+y=0について以下の問いに答えよ。
(1)完全解を求めよ。
(2)　(1)の特性方程式の根が等根であるが、この理由と、他の一根を
　アベールの恒等式を用いて求めよ。
というものです。

21315．(untitled)
名前：たかはし    日付：6月2日(木) 15時15分
答えとして、特性方程式のはじめの解は-1なので、
(1)の完全解はy=(C1+C2･x)e^-xと解きました。
C1とC2は任意定数です。
(2)に関しては全く手がつけられません。そもそも、アベールの恒等式すらわかりません。ネットや文献でいろいろ探してはいるのですが・・・

21327．Re: はじめまして
名前：我疑う故に存在する我    日付：6月2日(木) 17時9分
出題の意味（意図）が不明です。

#積関数の定積分の部分積分（の特別な場合）をまれにアベールの恒等式という場合があります。
この場合片方が e^(-x), すなわちラプラス変換を考えているのかもしれません。

21268．インドでは・・・  
名前：オポッ（中１）    日付：5月30日(月) 18時2分
インドの小学生では、「２乗の計算」を次のように教えているそうです。

　　 ７５×７５　　　　　　　　　　３７５×３７５
　　／　　　　＼　　　　　　　　　／　　　　　＼
（７×８）　（５×５）　　　（３５×３６）　　　（５×５）　　
　　∥　　　　∥　　　　　　　　∥　　　　　　　∥
　　５６　　　２５　　　　　　１，２６０　　　　　２５
　　　＼　　／　　　　　　　　　　＼　　　　　／　　
　　　５，６２５　　　　　　　　　　１２６，０２５
（※一の位が５の場合に限る）

なぜ、このような形で求められるのか教えてください。

また、一の位が５以外の数（ｅｘ,２・３など）の場合で、
このような法則が成り立つものはありますか？

教えてください。お願いします。


21270．Re: インドでは・・・
名前：ヨッシー    日付：5月30日(月) 18時15分
例えば、７５は７０＋５と書けます。３７５は３７０＋５と書けます。
　（７０＋５）×（７０＋５）
を、７０＋５を７５に計算してしまわないで、カッコをはずしてみましょう。
また、一般に○○５という形の数は、整数ｎに対して、
　１０ｎ＋５
と書けます。これを２乗すると、どんな結果になるか調べてみましょう。
　

21271．Re: インドでは・・・
名前：ヨッシー    日付：5月30日(月) 18時18分
付け足し。
調べていけば、１の位が５以外（０は別として）では、このような便利な形には、ならないことがわかるでしょう。

別にインドに限ったことではないと思います。
逆に、「本当にインドでやっていることを確認したのか？」「インド以外ではやられていないのか？」
など、ツッコミどころ満載です。
　
http://yosshy.sansu.org/

21272．Re: インドでは・・・
名前：ヨッシー    日付：5月30日(月) 18時26分
さらに付け足し。
上の、３７５×３７５　は　３５５×３５５　の間違いと思われますが、
それはさておき、その途中に出てくる
　３５×３６
を、
　３５×２×１８＝７０×１８
のように、簡単にして計算することを教わっているかの方が気になります。＞＞日本の小学生
　
http://yosshy.sansu.org/

21273．Re: インドでは・・・
名前：オポッ（中１）    日付：5月30日(月) 20時38分
返信ありがとうございました。
いろいろ試してみましたが、
やっぱり、５以外だとうまく行きませんでした。
インドでやっているのは間違いないようです。
ありがとうございました。

21258．幾何なんですが集合っぽいです。  
名前：あき　一回生    日付：5月30日(月) 2時14分
どうか教えてください。
わからないです。

Ｒ＾ｍ⊃Ｘ　Ｒ＾ｎ⊃Ｙとし、Ｒ＾（ｍ＋ｎ）⊃Ｘ×Ｙとしたとき、
Ｘ×Ｙが開集合となるための必要十分条件はＸとＹが開集合となるときである。
という問題の証明がわからないので教えてください。


21262．Re: 幾何なんですが集合っぽいです。
名前：矢作勝美    日付：5月30日(月) 11時13分
Ｘ，ＹがそれぞれＲ^{ｍ}，ＹがＲ^{ｎ}の開集合のとき，
(ａ，ｂ)∈Ｘ×Ｙつまりａ∈Ｘ，ｂ∈Ｙなる任意のａ，ｂに対して，正数ｐ，ｑが存在して，|ｘ－ａ|＜ｐ，|ｙ－ｂ|＜ｑ　…（＊）なる任意のｘ，ｙに対して，ｘ∈Ｘ，ｙ∈Ｙが成り立つ．とくにｒ＝ｍｉｎ{ｐ，ｑ}とおけば，(ｘ－ａ)^{２}＋(ｙ－ｂ)^{２}＜ｒ^{２}なる任意のｘ，ｙに対して，（＊）従って(ｘ，ｙ)∈Ｘ×Ｙが成り立つから，Ｘ×ＹがＲ^{ｍ＋ｎ}の開集合とわかる．

Ｘ×ＹがＲ^{ｍ＋ｎ}の開集合のとき，
ａ∈Ｘ，ｂ∈Ｙつまり(ａ，ｂ)∈Ｘ×Ｙなる任意のａ，ｂに対して，正数ｒが存在して，(ｘ－ａ)^{２}＋(ｙ－ｂ)^{２}＜ｒ^{２}なる任意のｘ，ｙに対して，(ｘ，ｙ)∈Ｘ×Ｙつまりｘ∈Ｘ，ｙ∈Ｙが成り立つ．とくにｙ＝ｂとすればＸがＲ^{ｍ}の開集合，ｘ＝ａとすればＹがＲ^{ｎ}の開集合とわかる．

21264．Re: 幾何なんですが集合っぽいです。
名前：あき　一回生    日付：5月30日(月) 11時38分
非常にわかりやすい解答ありがとうございました。

21265．Re: 幾何なんですが集合っぽいです。
名前：あき　一回生    日付：5月30日(月) 11時40分
関係ないですが、代数のいい参考書があれば教えていただきたいです。
解析は小平氏ので十分ですか？

21254．三角関数の合成  
名前：さくら    日付：5月29日(日) 17時37分
かなり急いでいるので、良かったら見てやってください。明日中間なのですが、ちょっと分からないところがあるので教えてください。

次の関数の最大、最小値を求めよ。0≦θ＜πとする　

ｙ＝sinθ-√3cosθ

ここで三角関数の合成を使ってsin()のかたちに直すのは分かるのですが、どうして範囲が－π/３になるのかいまいち分かりません。

良かったら教えてください。


21257．Re: 三角関数の合成
名前：c.e.s.    日付：5月29日(日) 21時16分
まず変形。y=sinθ-√3cosθ=2sin(θ-π/3)
さて問題の範囲ですが、この場合知りたいのはθの範囲ではなくあくまで(θ-π/3)の範囲です。
これを0≦θ＜πから導きます。方法は
0≦θ＜π
⇔ 0-π/3≦θ-π/3＜π-π/3 ←辺々からπ/3を引く
⇔ -π/3≦θ-π/3＜2π/3 ←整理する
となります。

余談ですが、「急ぎ」と書くとレスが付かない(回答者の気分を害する)場合があるようです。私は気にしませんが。

21267．Re: 三角関数の合成
名前：さくら    日付：5月30日(月) 17時4分
ありがとうございました。
気分をもし悪くした方がいらっしゃったらごめんなさい。気をつけます。

21253．無限数列  
名前：れい　高２    日付：5月29日(日) 17時1分
次の級数の収束・発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。

　[∞]Σ[n=1]1/n(n+2)

収束するということはわかるのですが、和の求め方がわかりません。
よろしくお願いします！！


21255．Re: 無限数列
名前：黒蟻    日付：5月29日(日) 19時32分
＞収束するということはわかるのですが、
なぜ、収束すると分かるのでしょうか？

＞和の求め方がわかりません。
1/n(n+2)＝{1/n－1/(n＋2)}/2なので、n＝1，2，…mと代入して
計算すると、ほとんど全ての1/□が消えてしまいます。あとはm→∞と
して極限値を求めればおしまいです。

21256．Re: 無限数列
名前：お助け凡人    日付：5月29日(日) 21時2分
ヒントだけ書いておきます。

まず、部分和Ｓ_nを求めて、それをlim(n→∞)S_nしてやれば
答えは出てきます。

あとは参考書見れば分かるでしょう。

21252．logの問題  
名前：ひろ    日付：5月29日(日) 16時23分
log{4}k=log{2}6+1のとき(log{k}x)(log{2}k/9)=2を
満たすxの値を求めよ。

宜しくお願いします。


21259．Re: logの問題
名前：ヨッシー    日付：5月30日(月) 10時4分
log4k＝(log2k)/(log24)＝(log2k)/2＝log2√k
また、
log26＋1＝log26＋log22＝log212
より、ｋ＝１４４
この時、(logkx)(log2k/9)=2 は、

　(log144x)(log216)＝２
　(log144x)×４＝２
　log144x=1/2
と変更でき、
　ｘ＝1441/2＝１２
となります。
　　

21260．Re: logの問題
名前：豆    日付：5月30日(月) 10時7分
log{4}k=log{2}6+1
log{2}k/log{2}4=log{2}6+log{2}2=log{2}12
log{2}k=2log{2}12
k=12^2=144
log{2}(k/9)=log{2}(144/9)=4より
log{144}x=1/2
∴x=144^(1/2)=12

21280．Re: logの問題
名前：ひろ    日付：5月31日(火) 23時46分
遅くなってすみません。
詳しく教えていただきありがとうございました

21247．３次元空間内の正円の一般形  
名前：数学素人/工学２年ぐらい    日付：5月28日(土) 22時43分
３次元空間内の正円の一般形はどういう式になるのでしょうか。
よろしくお願いします。


21250．Re: ３次元空間内の正円の一般形
名前：のぼりん    日付：5月29日(日) 11時32分
数学素人さん、こんにちは。内積を〈　,　〉、この内積から導かれるノルムを |　| で表し、円の中心を c∈R3、半径を r＞0、法ベクトルを n∈R3 とすれば、求める円は、
　　　{x∈R3| |x–c|=r, 〈x–c,n〉=0}
ですが、これで良いでしょうか？

21274．Re: ３次元空間内の正円の一般形
名前：数学素人    日付：5月31日(火) 0時6分
ＲＥＳありがとうございます。
それはそれで気がつきませんでしたが
私が求めるものとちょっとちがうと思います。
なにがやりたいかというと
「すべての正円は透視投影すると楕円になる」
というのを証明したいのですが
図学やパース関係の本にははっきりと書いてない
ので証明しようとおもったのですが
わからない。ということなのです。
（最初に書けばよかったのですが）

21276．Re: ３次元空間内の正円の一般形
名前：らすかる    日付：5月31日(火) 2時25分
「すべての正円」をxy平面上の x^2+y^2=r^2 に回転・平行移動して
それに従って透視方向も移動し、透視方向をz軸中心に回転すれば
x^2+ay^2=r^2 に帰着できますので、楕円になりますね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21278．Re: ３次元空間内の正円の一般形
名前：はくx    日付：5月31日(火) 20時23分
あと、反例としては円錐曲線の放物線や双曲線があります。

21243．三角形の面積  
名前：ooooo    日付：5月28日(土) 21時49分
ある三角形ＡＢＣの辺ＢＣ上の真ん中の点をＭとし、
　辺ＡＢ上に、ＡＰ＝９cm・ＰＢ＝７cmとなる点Ｐ
　辺ＡＣ上に、ＡＱ＝１１cm・ＱＣ＝３cmとなる点Q
をとったところ、角ＰＭＱ＝９０度で、しかもＭＰ＝ＭＱとなったそうです。
このとき、三角形ＡＢＣの面積は何cm2でしょうか？
よろしくお願いします。


21261．Re: 三角形の面積
名前：花パジャ    日付：5月30日(月) 11時4分
正弦定理・余弦定理は使用可ですか?(学年等ないので)

21266．Re: 三角形の面積
名前：花パジャ    日付：5月30日(月) 15時46分
使わなくても解けた^^;

点PからBCに降ろした垂線の足をR、点QからBCに降ろした垂線の足をSとし、
　h1=PR、h2=QS　と置く。
ここで、2l=BC、BCから見た点Aまでの高さをhとすると
　h1=7h/16、h2=3h/14
ところで、△PRMと△MSQとは合同なので
　BR=l-h2、SC=l-h1
今、△PBR、△QCSの三平方の定理を考えると
　7^2=h1^2+(l-h2)^2
　3^2=h2^2+(l-h1)^2
2式を比較して
　40=2l(h1-h2)=lh(7*7-3*8)=25lh/56
以上より
　△ABC=lh=448/5

21242．関数解析  
名前：大学４年    日付：5月28日(土) 21時29分
有界閉区間[a,b]上の各点ｔで連続である関数ｘの全体をC[a,b]で表す。
D(T)を作用素Ｔの定義域、R(T)を作用素Ｔの値域とする。
Ｘ＝Ｙ＝C[a,b]とし、微分作用素d/dtで、一階連続微分可能で
x(a)＝0となるものをとった作用素をＳとすると、R(Ｓ)＝C[a,b]となる
ことは、∀ｙ∈C[a,b]に対し、
x(a)＝∫ｙ(s)ds (積分範囲がaからt)
がＳの定義域に入る事から分かる。

とあるのですが、Ｓの逆作用素Ｓ’が積分することである事は分かりますが
なぜ、積分範囲がaからtとしなければいけないのでしょうか？
また

(Ｓ’y)(t)＝∫ｙ(s)ds (積分範囲がaからt）
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・
∥Ｓ’y∥≦(b-a)∥y∥
よってこの例ではＳ’はC[a,b]からC[a,b]への有界線形作用素になる。
この例では初期条件x(a)＝0が微分作用素の定義域を制限して、
微分方程式Ｓx＝ｙ　即ち　dx/dt＝ｙ　、x(a)＝0
が解けるようになり、Ｓの逆作用素Ｓ’が有界であるという事は、
解Ｓ’yが右辺の変化に連続的に従う事を示している。

とありますが、
「Ｓの逆作用素Ｓ’が有界であるという事は、解Ｓ’yが右辺の変化に連続的に従う事を示している。」の意味も良く分かりません。
教えて下さい。お願いします。


21245．Re: 関数解析
名前：のぼりん    日付：5月28日(土) 22時9分
大学４年 さん、今晩は。

＞　なぜ、積分範囲がaからtとしなければいけないのでしょうか？
初期条件 x(a)＝0 を満たす解は x(t)=∫[a,t]y(s)ds だからではないでしょうか。

＞　Ｓの逆作用素Ｓ’が有界であるという事は、解Ｓ’yが右辺の変化に連続的に従う事を示している。
確かに判りにくい表現ですね。y を微小変化させて y'=y+δy（δy∈C[a,b]、||δy|| は十分小さい）とすれば、||S'y'–S'y||=||S'δy||≦(b–a)||δy|| と、左辺も十分小さくなります。つまり、S'y の変化を右辺に応じて連続的にできることを言いたいのだと思います。

21246．Re: 関数解析
名前：大学４年    日付：5月28日(土) 22時21分
わかりました、丁寧な解説ありがとうございました。
本当に助かりました。

21239．(untitled)  
名前：calamity    日付：5月28日(土) 19時33分
a1=1およびna(n+1)=(n+2)(an+2) (n=1,2,3・・)を満たすanがある
(1)n(n+1)bnとおくとき、b(n+1)をbnを用いて表せ
(2)anを求めよ
(3)Tn=1/n(a1+a2+・・・+an)とおくとき、T1,T2,T3・・のうち
整数であるものの個数をCnとする、このときlim（n→∞)Cn/nを求めよ

という問題なんですが、(1)がよくわかりません
(2)はたぶん自分で出来ると思います。
(3)は方針を教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。


21240．Re: (untitled)
名前：豆    日付：5月28日(土) 20時57分
問題を正確に書きましょう。何がなんだかよく分かりませんね。
数列の添え字は例えばa[n]と書くとかしないとわけが分かりません。
a(n)のように(　)は式の(　)とごちゃごちゃになるので[　]とか　_　とかが無難ですね。
＞　(1)n(n+1)bnとおくとき
これも意味不明です。置くなら=で結んでください。

21241．Re: (untitled)
名前：calamity    日付：5月28日(土) 21時25分
数列{a[n]}がa[1]=1およびna[n+1]=(n+2)(a[n]+2)　（ｎ=1,2,・・)
を満たしている。
(1)a[n]=n(n+1)b[n]とおくとき、b[n+1]をb[n]を用いて表せ
(2)a[n]を求めよ
(3)T[n]=1/n(a[1]+a[2]+・・+a[n])とおくとき、
T[1],T[2]・・のうち整数であるものの個数をC[n]とする。
このときlim（ｎ→∞)C[n]/nを求めよ。

よろしくお願いします。

21244．Re: (untitled)
名前：c.e.s.    日付：5月28日(土) 21時50分
(1) n×a[n+1]=(n+2)(a[n]+2)⇔n(n+1)(n+2)b[n+1]=(n+2){n(n+1)b[n]+2}
⇔b[n+1]=b[n]+2/{n(n+1)}
(2)ができるとa[n]はきれいな形で求められます。するとT[n]も求められます。その式を色々変形してみると、おのずとT[n]がどういうときに整数になるかが分かります。
アドバイスになっているか分かりませんが。

21263．Re: (untitled)
名前：豆    日付：5月30日(月) 11時25分
(1)c.e.s.さんの回答通りでb[n+1]=b[n]+2/{n(n+1)}
(2) 2/{n(n+1)}を部分分数分解すれば，
b[n]=b[1]+2(1-1/n)となるので，
a[n]=(5n^2+n-4)/2となります．
(3)公式に当て嵌めれば，
T[n]=・・・=(5n^2+9n-8)/6となります．
ここからはc.e.s.さんも書いておられますが，いろいろやってみる必要があるのかと．
要はf(n)=5n^2+9n-8が6の倍数になるかどうかです．
恐らくやりかたは色々あるのでしょうが，たとえば，
f(n)=5n(n+1)+4(n-1)なので，f(n)は偶数である．
f(n)=5(n+1)(n-1)+3(3n-1)なので，nが3の倍数でなければf(n)は3の倍数．
従って，C[n]/n→2/3　(n→∞)となりますね．

21275．Re: (untitled)
名前：calamity    日付：5月31日(火) 1時19分
丁寧な解説ありがとうございました。

21237．一筆書き  
名前：kein    日付：5月28日(土) 18時13分
星型を一筆書きする方法はなんとうりあるでしょう？

よろしくお願いします。


21248．Re: 一筆書き
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月28日(土) 23時14分
＞星型
正五角形の五本の対角線からなる物ですか？それとも
正六角形の中心を通らない六本の対角線からなる物ですか？

何れにしても始点を決めるものであれば無限に多くある。
ある種のループとして考えているのであれば、
各交点における出入りを決め、そのうち、全体が一つのループになるものを選び出す。
向きを考えないのであれば、その数を２で割る。
（詳しくは数えていません。）

21230．分かりません  
名前：あいう    日付：5月28日(土) 12時9分
あるロボットは１分経つごとに何台か増えます。ただし何台増えるかはわかりません。A,Bふたつのばしょにロボットをそれぞれ何台かはなしました。Xさんは１ぷんたつごとにA,Bのロボットの数をみてつぎの３つのことを話しました。
①６秒経ったとき、Aの方が１００台多かった。
②８秒後のAのロボットの数は、Bの５～８秒後にあるロボットの台数の合計に等しい。
③（２秒後からXさんは１分経つごとに毎回次のことを言っています）
　１秒前はいま２つの場所にあるロボットの差の半分のロボットがBにあったが、いまは1秒前にあった二つの場所にあるロボットの和の半分のロボットがBにあります。

このとき、８秒後にAには、Bの何倍のロボットがありますか？


21232．Re: 分かりません
名前：あいう    日付：5月28日(土) 14時14分
学年は小６です。かきわすれていました。

21233．Re: 分かりません
名前：ヨッシー    日付：5月28日(土) 15時55分
分と秒がありますが、すべて分またはすべて秒と考えて良いでしょうか？
http://yosshy.sansu.org/

21236．Re: 分かりません
名前：あいう    日付：5月28日(土) 17時40分
すみません。秒ではなく分で考えてください。

21269．Re: 分かりません
名前：ヨッシー    日付：5月30日(月) 18時10分
まず、６分後のＡ，Ｂの差が１００なので、５分後のＢは、５０台とわかります。
次に、例えば、３分、４分、５分後の、Ａ，Ｂの台数を
　Ａ３，Ｂ３，Ａ４，Ｂ４，Ａ５，Ｂ５
と書くと、
　Ｂ３＝（Ａ４/２）－（Ｂ４/２）
　Ｂ５＝（Ａ４/２）＋（Ｂ４/２）
と書けます。（Ａの方がＢより常に多いとして良いかは調べていません）
和差算により、
　Ｂ４＝Ｂ５－Ｂ３
より、Ｂ５＝Ｂ３＋Ｂ４　（Ｂの連続した２つの時刻の和が、さらに次の時刻の台数になる）
という関係があります。これは、２分以降は、どの時刻についても、言えます。

表のように、５分後のＢは、５０とわかっています。
４分後のＢを適当にとってやると、その前後の台数がすべて求められますが、
ＡもＢも、必ず増加し続けるようになるには、４分後のＢが３１台のときだけです。
８分後は、ＡはＢの 474/212＝237/106 倍になります。

ちょっと自信ないです。(^^;
　

21229．1次不定方程式  
名前：高校3年生2号    日付：5月28日(土) 11時32分
2x+7y=1をみたす整数x,yをすべて求めなさいという問題がわかりません。
どなたか説き方をお願いします。


21231．Re: 1次不定方程式
名前：のぼりん    日付：5月28日(土) 13時19分
高校3年生2号 さん、こんにちは。視認で、2×(–3)+7×1=1 は直ぐ判るので、x=–3、7=1 は解の一つです。x、y も解だと、1=2×(–3)+7×1=2x+7y だから、移項して、2(x+3)=7(1–y) です。2 と 7 は互いに素なので、x+3 は 7 の倍数、1–y は 2 の倍数です。そこで、x+3=7n（n は整数）とおくと、2(x+3)=2×7n=7(1–y) だから、1–y=2n です。x=–3+7n、y=1–2n ですが、これは確かに 2x+7y=1 を満たします。よって、x=–3+7n、y=1–2n（n は任意の整数） が求める答えです。

21226．式の意味について  
名前：紀沙    日付：5月27日(金) 23時16分
大学1年です。次の式は何を表わしているのでしょう？
(ｆ∨ｇ)(x)＝max｛ｆ(x)、ｇ(x)｝
です。どなたか宜しくお願いします。


21227．Re: 式の意味について
名前：ast    日付：5月28日(土) 0時31分
右辺に拠って左辺の演算 ∨ を定義しているのだと推測します.

21228．Re: 式の意味について
名前：紀沙    日付：5月28日(土) 11時9分
あ、そうなんですか。
見たことのない式だったので戸惑ってしまって・・・。
再び返信ありがとうございました！

21225．A、Bどっち？  
名前：はなチャッピー20号    日付：5月27日(金) 22時51分
　　Ａ　　　Ｂ
　　48　　　12
　　42　　　27
　　24　　　９
この数字は、ある法則にしたがって並んでいます。
では、70は、ＡとＢどちらでしょう？　理由もお答えください
http://homepage2.nifty.com/pikminkenkyujo/sounantiten%20BGM.html

21224．－中1問題ー  
名前：はなチャッピー20号    日付：5月27日(金) 22時48分
①１＋２３＋４５－６７＋８＋９０＝？
②３²＝？
③（－5⁴）×（－3²）＝？
④２⁶＝？
⑤底辺が12cmで高さが５cmの三角形の面積は？
⑥（－７³）－（－４⁵）×（－２⁸）＝？
http://homepage2.nifty.com/pikminkenkyujo/sounantiten%20BGM.html

21223．確率?  
名前：恭子    日付：5月27日(金) 21時54分
１０円、５０円、１００円硬貨それぞれ少なくとも１回使って１０００円にすることを考える。
(1)題意の方法で１０００円にかる硬貨の組み合わせを１つ挙げよ。
(2)１００円の硬貨を１回だけ使って１０００円にする硬貨の組み合わせ総数を求めよ。
(3)題意の方法で１０００円にする硬貨の組み合わせ総数を求めよ

宜しくお願いします。


21249．Re: 確率?
名前：らすかる    日付：5月29日(日) 4時59分
(1)
10円硬貨は最低限5個使わないと半端が出ますので、5個とします。
50円硬貨を1個とすれば、あと900円なので100円硬貨9個で出来ます。
従って解答例として 10円硬貨5個、50円硬貨1個、100円硬貨9個
(2)
10円硬貨と50円硬貨で900円を作れば良く、50円硬貨の個数が決まれば
10円硬貨の個数は自動的に決まります。50円硬貨は最小1個、
最大900÷50－1＝17個ですから、17通りとなります。
(3)
(2)と同様に計算すると、
100円硬貨が2個の時の50円硬貨の最大個数は800÷50－1＝15個
100円硬貨が3個の時の50円硬貨の最大個数は700÷50－1＝13個
100円硬貨が4個の時の50円硬貨の最大個数は600÷50－1＝11個
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
100円硬貨が9個の時の50円硬貨の最大個数は100÷50－1＝1個
従って17+15+13+11+9+7+5+3+1＝81通りとなります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21251．Re: 確率?
名前：恭子    日付：5月29日(日) 16時20分
らすかる様
ありがとう。

何度も考えても理解できなかったので、
大変感謝しています。

21221．微分  
名前：つかさ    日付：5月27日(金) 21時45分
(1)y=x√(x-x^2)

(2)y=x^(2)e^(-x)

(3)y=x^(2){x^(2)-4}

(4)y=logx/x

私なりにやってみたのですが・・・
(2)y'=e^(-x)x(2-x)
(4)y'=(-logx-1)/x^2

宜しくお願いします


21234．Re: 微分
名前：c.e.s.    日付：5月28日(土) 15時56分
(1) y'={x√(x-x^2)}'=(x)'√(x-x^2)+x{√(x-x^2)}' ←積の微分法
=√(x-x^2)+x(x-x^2)'/{2√(x-x^2)} ←{√f(x)}'=f'(x)/{2√f(x)}
=√(x-x^2)+x(1-2x)/{2√(x-x^2)} ←あとは整理するなり御自由に

(2) 正解
y'={(x^2)e^(-x)}'=(x^2)'e^(-x)+(x^2){e^(-x)}' ←積の微分法
=2xe^(-x)+(x^2){-e^(-x)} ←[e^{f(x)}]'=f'(x)e^{f(x)}
=x(2-x)e^(-x) ←少し整理

(3) y'={(x^2)(x^2-4)}' ←展開した方が簡単
={x^4-4x^2}'=4x^3-8x=4x(x^2-2)

(4) 残念
y'={(1/x)log(x)}'=(1/x)'log(x)+(1/x){log(x)}' ←積の微分法(商の微分法でも同じこと)
=(-1/x^2)log(x)+(1/x)(1/x)=(1/x^2){1-log(x)}

21235．Re: 微分
名前：つかさ    日付：5月28日(土) 17時8分
c.e.s.さま、ありがとう

ルートがつくとむずかしいですね。
もう少しがんばりたいです

21220．階段行列  
名前：たらら    日付：5月27日(金) 21時41分
Original Size: 1044 x 1372, 115KB

文系で大学に進んだらいきなり行列だの線形代数だの
気付いたら微積もグレードアップしていて
いつのまにか取り残されてしまったようです。

階段行列についての質問です。
どうぞよろしくお願いします。


21222．Re: 階段行列
名前：Thom    日付：5月27日(金) 21時52分
おかしいのは、2-3,3-4,4-2というのを一気にやっていることです。
2-3をした時点で、2の形は変わっているので、
4-2という作業は出来ません。

21211．(untitled)  
名前：のん    日付：5月26日(木) 23時49分
３本の同じ糸があって、１本の糸の強度を１グラムきざみのおもりで
求めるとき、最大何グラムの強度まで調べることができますか？

よくわかりません！！
むずかしい！
２本だと
まず６グラムぶら下げて、切れれば別の糸で１、２、３、４、５グラム
をぶら下げれば、強度を求めることができるけど・・。


21213．Re: (untitled)
名前：のん    日付：5月27日(金) 0時2分
すいません。おもりは６回までしか糸にぶらさげることができません。
条件追加です

21214．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：5月27日(金) 2時38分
切れたことを×、切れなかったことを○で表します。
１回目×２回目× → ３～６回目は１～４グラム → ２回目は５グラム
１回目×５グラム○３回目× → ４～６回目は６～８グラム → ３回目は９グラム
１回目×５グラム○９グラム○４回目× → ５～６回目は１０～１１グラム
　　→ ４回目は１２グラム
１回目×５グラム○９グラム○１２グラム○５回目× → ６回目は１３グラム
　　→ ５回目は１４グラム
１回目×５グラム○９グラム○１２グラム○１４グラム○ → ６回目は１５グラム
従って１回目は１６グラムで、上記を式で表すと(5+4+3+2+1)+1=16です。
１回目で切れなかった場合は、残り５回で３本となりますので
上と同様に考えることにより、２回目は16+(4+3+2+1)+1=27グラムとなります。
以下同様に、
２回目まで切れなかった時の３回目は 27+(3+2+1)+1=34グラム
３回目まで切れなかった時の４回目は 34+(2+1)+1=38グラム
４回目まで切れなかった時の５回目は 38+(1)+1=40グラム
５回目まで切れなかった時の６回目は 40+1=41グラム
となり、４１グラムまで調べられることがわかります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21206．中2の復習  
名前：れいな    日付：5月26日(木) 20時42分
8で割ると6余る数字がある。
これを4で割ったときの余りを求めよ。

この問題がわかりません。解説を見ても理解できなかったので、できるだけ詳しく教えてください。お願いします。


21207．Re: 中2の復習
名前：ＫＧ    日付：5月26日(木) 21時19分
８で割ると６余る「数」は，
　　６，１４，２２，３０，３８，４６，５４，…
これを４で割ると余りは…

21208．Re: 中2の復習
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月26日(木) 23時18分
N = 8 + 8 + ..... (n 個) ..... + 8 + 8 + 6,
= 4 + 4 + ..... (2n 個) ..... + 4 + 4 + 6,
= 4 + 4 + ..... (2n + 1 個) ..... + 4 + 4 + 4 + 2,
余り 2 .

21217．Re:
名前：れいな    日付：5月27日(金) 18時15分
そういうやり方ではなくて、8で割って6余る数をX,商をｐとおくと、
X=8p+6とおけます。それを変形して、X=4□+○の形にしたら、○の
ところが余りになりますよね？でも、この変形の仕方が解答を見て
もよくわからなかったんです。

誰か教えてください。お願いします。もうすぐテストなんです。

21218．Re: 中2の復習
名前：ヨッシー    日付：5月27日(金) 19時48分
まず、ＫＧさんの記事を見て、余りがいくつか予想が付きますか？
我疑う故に存在する我さんの記事に、答えまで載っていますが、
答えは２ですね。
では、X=8p+6 とおいたら、れいなさん自身が書いたように
　X=4□+２
と書けるわけです。では、X=8p+6 を、こういう形にするには、□には
何が入りますか？
そうすると、「８で割ると・・・」の８が、７や９ではなく８である理由と、
４との関係も分かってくるはずです。
　
http://yosshy.sansu.org/

21202．因数分解  
名前：みっきぃ    日付：5月26日(木) 18時13分
はじめまして。
３次以上の因数分解がよくわかりません。お力添えをお願いします。

①x^3-3x^2-10x+24
②3x^4+2x^3-26x^2-18x-9

ｘでくくってみたりしたのですが、よくわからなくなってしまいました。


21203．因数定理を使え。
名前：神人    日付：5月26日(木) 20時0分
① f(x) = x^3-3x^2-10x+24　は、
最高次の係数が1であるから、
　 この方程式:f(x)=0 が有理数解をもつであろうと、
　 目星をつけることができれば簡単。
f(x)=0 がある有理数解をもつとき、
その解は、24の約数であることは常識であるから、
与式のxに 24の約数を代入していけばよい。
　 幸いこの問題の場合は、x=－3 で f(－3) = 0 となる。
よって、因数定理より、 x^3-3x^2-10x+24 は、
x＋3で割り切れる。これより、
x^3-3x^2-10x+24 = (x＋3)(x^2－6x＋8)
= (x＋3)(x－2)(x－4)

21204．因数定理を使え。
名前：神人    日付：5月26日(木) 20時10分
② 3x^4+2x^3-26x^2-18x-9

　与式は xについて、
最高次の係数が3、
定数項が－9であるから、
　g(x) = 3x^4+2x^3-26x^2-18x-9 として、
方程式:g(x)=0 が有理数解をもつとすれば、
その有理数解は (－9)/3 の約数。
そこで、g(x)=0 が少なくとも１つ有理数解をもつだろうと
　あたりをつけば、f(x)の xに－3の約数を代入していく。
幸い x=3のとき、与式は0となるので、
因数定理より、3x^4+2x^3-26x^2-18x-9 は、
x－3 で割り切れる。したがって、
3x^4+2x^3-26x^2-18x-9 = (x－3)(3x^3＋11x^2＋7x＋3)
　さらに有理数の範囲で因数分解できると思ってはなりません。
　有理数の範囲では ここで因数分解は終わりとなります。
　なぜなら、 3x^3＋11x^2＋7x＋3 = 0 が、
　有理数解をもつとすれば、その解は 3/3 = 1 の約数であるが、
　3x^3＋11x^2＋7x＋3 に x= 1,－1　を代入しても 0にならないから。

21205．Re: 因数分解
名前：みっきぃ    日付：5月26日(木) 20時33分
ありがとうございます。
①はわかりました。自分でももう一度やってみます。
ただ、②について解答では
(x-3)(x+3)(3x^2+2x+1)
となっているのですが…。何故でしょう？

21210．Re: 因数分解
名前：calamity    日付：5月26日(木) 23時45分
3x^3＋11x^2＋7x＋3がx+3で割れますよ。まだ因数分解できます。

21212．Re: 因数分解
名前：calamity    日付：5月26日(木) 23時55分
追加です
神人さんの「有理数解をもつとすれば、その解は 3/3 = 1 の約数であるが」
というところが少し気になりました。
自分は数学は得意でも不得意でもないので
こういうことをいうのには自信がないんですが、
有理数解をもつならばその解は定数３の約数（-3,-1,1,3）なのでは
ないでしょうか？間違っていたらすいません
疑問に思ったのでいい機会だと思って解決したいです。
どなたかご意見お願いします。

21215．Re: 因数分解
名前：らすかる    日付：5月27日(金) 5時50分
有理数解を持つとすれば、その解は
±(定数項3の約数)/(最高次係数3の約数)
だと思います。
例）3x^2+10x+3=(3x+1)(x+3)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21216．Re: 因数分解
名前：みっきぃ    日付：5月27日(金) 17時27分
みなさまありがとうございます。
数学、本当に苦手なので助かります。
またよろしくお願いします。
（学年を書き忘れてましたが、高校の文系数学（数ＡＢⅠⅡ）をなんとか履修したレベルです。）

21238．Re: 因数分解
名前：calamity    日付：5月28日(土) 19時23分
なるほど、それなら納得です。
らすかるさんありがとうございます

21192．定義域と地域  
名前：ふみや    日付：5月25日(水) 23時38分
次の関数の定義域と値域を求めよ。
①y=f(x)=4cos^2x + 4sinx + 1
②y=f(x)=1/4sin^-1(3x-2) + π/4
③y=f(x)=(-2x^2 + 6x - 7)/(x^2 - 3x + 2)
④y=f(x)=3cos^-1(2x-1) + π/2
⑤y=f(x)=(sinx + 2)/(sinx - 2)
⑥y=f(x)=(-2^x + 1)/(2-x + 3)
⑦y=f(x)=2sinx + 3cosx
⑧y=f(x)=x-3√(x+2) + 4

8問もお願いして申し訳ありません。
宜しくお願いします。


21197．Re: 定義域と地域
名前：X    日付：5月26日(木) 12時39分
①
定義域は実数全体
また
f(x)=-4sin2x+4sinx+2
=-4(sinx-1/2)2+3
と変形できるので
-1≦sinx≦1
であることを考えると値域は
-6≦y≦3
②
逆三角関数の定義より
-1≦3x-2≦1
∴定義域は1/3≦x≦1
又、値域はπ/8≦y≦3π/8
③
f(x)=(-2x2+6x-7)/(x-1)(x-2)
と変形できるので定義域は
x＜1、1＜x＜2、2＜x
又、
f'(x)=(-4x+6)(x-1)(x-2)-(-2x2+6x-7)(2x-3)/{(x-1)(x-2)}2
=(2x-3){-2(x-1)(x-2)-(-2x2+6x-7)}/{(x-1)(x-2)}2
=3(2x-3)/{(x-1)(x-2)}2
∴f(3/2)=10なる極小値を持つことと
lim[x→1+0]f(x)=+∞
lim[x→1-0]f(x)=-∞
lim[x→2+0]f(x)=-∞
lim[x→2-0]f(x)=+∞
lim[x→∞]f(x)=-2
lim[x→-∞]f(x)=-2
から値域はy≦-2、10≦y

21198．Re: 定義域と地域
名前：X    日付：5月26日(木) 13時1分
④
逆三角関数の定義より
-1≦2x-1≦1
∴定義域は0≦x≦1
又、値域はπ/2≦y≦7π/2
⑤
-1≦sinx≦1 (A)
よりの分母はに成り得ないので定義域は実数全体
又
f(x)=1+4/(sinx-2)
と変形できるので(A)の範囲のsinxに対してf(x)の値のとる範囲を考えて、値域は
-3≦y≦-1/3
⑥
f(x)=(-2x + 1)/(2-x + 3)
のタイプミスとして解きます。
定義域は実数全体
また
f(x)=(-2x + 1)2x/(3・2x + 1)
=-2x/3+4・2x/(3・2x + 1)
=-2x/3+4/3-(4/3)/(3・2x + 1)
=-1/9{(3・2x + 1)+12/(3・2x + 1)}+13/9
∴3・2x + 1＞0から相加平均と相乗平均の関係を持ちいて
f(x)≦-(2/9)√12+13/9=(13-4√3)/9
ゆえに値域は
y≦(13-4√3)/9

21200．Re: 定義域と地域
名前：X    日付：5月26日(木) 13時16分
⑦
定義域は実数全体
又、
f(x)=√13sin{x+arctan(3/2)}
と変形できるので値域は
-√13≦y≦√13
⑧
√の中は負であってはいけないので
x+2≧0
∴定義域はx≧-2
又
f'(x)=1-(3/2){1/√(x+2)}=(1/2){2√(x+2)-3}/√(x+2)
∴f(1/4)=-1/4なる極小値をもつことと
lim[x→∞]f(x)=lim[x→∞]{(x2-9x-18)/{x+3√(x+2)}+4}
=lim[x→∞]{x(1-9/x-18/x2)/{1+3√(1/x+2/x2)}+4}
=∞
f(-2)=2
であることから値域は-1/4≦y

21201．Re: 定義域と地域
名前：X    日付：5月26日(木) 13時18分
ごめんなさい。レスNo.21198で訂正があります。

誤：相加平均と相乗平均の関係を持ちいて
正：相加平均と相乗平均の関係を用いて

21188．お願いします  
名前：calamity    日付：5月25日(水) 22時17分
p,q,rは不等式p≦q≦rを満たす自然数とする
このとき、1/p+1/q+1/r=1を満たすp,q,rの組み合わせを全て求めよ
という問題です。
自分は両辺にpqrをかけて＝０の式を作って左辺をがんばって因数分解
しようとしたんですがどうもうまくいきません
どなたか解説のほうをお願いします。


21189．Re: お願いします
名前：豆    日付：5月25日(水) 22時42分
p≦q≦rより1/p≧1/q≧1/r
よって、1=1/p+1/q+1/r≦3/p　　p≦3で絞られます。
もちろんp=1はありえません。あとは2,3の場合。
これから先はトライしたやり方でいけそうですね。

21190．Re: お願いします
名前：calamity    日付：5月25日(水) 23時0分
トライしたやり方というのは因数分解のことでしょうか？
因数分解できなかったんですけど・・どうしたらいいんでしょう？

21195．Re: お願いします
名前：豆    日付：5月26日(木) 8時34分
p=2のとき，
1/q+1/r=1/2
2(q+r)=qr
(q-2)(r-2)=4
2≦q≦rなので，
(q-2,r-2)=(1,4)or(2,2)　　∴(q,r)=(3,6)or(4,4)
こんな調子で　p=3のときも．

21209．Re: お願いします
名前：calamity    日付：5月26日(木) 23時41分
できました！ありがとうございます

21185．質問  
名前：数好（中3）    日付：5月25日(水) 20時50分
nを任意の自然数としたとき
2^0から2^ｎまでのすべての2の累数に＋かーの符号をつけて
それを計算すると1から2^(n+1)-1までの全ての奇数を表すことが出来る
ということなのですがこれはあっているでしょうか？
またあってればその証明を教えてください
例：n=2とおけば
1=-2^0-2^1+2^2
3=2^0-2^1+2^2
5=-2^0+2^1+2^2
7=2^0+2^1+2^2
といった具合です


21186．Re: 質問
名前：ヨッシー    日付：5月25日(水) 21時57分
高校で習う「数学的帰納法」というものがあります。

n=1 のとき、2^0=1, 2^1=2 の２数を用いて、
　2-1=1, 2+1=3
のように、2^(n+1)-1 までの奇数が表せます。

今、n=k のとき、つまり、2^0, 2^1, 2^2, ・・・ , 2^k までのk+1個の数で、
１から2(k+1)-1 までのすべての奇数が表されているとします。
このとき、2^(k+1) を１つ加えると、すでに出来ている
　1, 3, 5, ・・・ , 2(k+1)-1　　　・・・（１）
に、2^(k+1) を足した
　2^(k+1)+1, 2^(k+1)+3, 2^(k+1)+5, ・・・ , 2^(k+1)+2(k+1)-1　・・・（２）
を考えると、2(k+1)-1 と 2^(k+1)+1 は、差が２なので、隣り合った
奇数であり、
　2^(k+1)+2(k+1)-1 = 2^(k+2)-1
であるので、（１）と（２）とで、１から 2^(k+2)-1 までのすべての
奇数を表したことになります。
以上より、任意の自然数ｎについて、題意を満たすことが言えます。

さて、なぜこれだけで、すべての自然数について成り立つと言えるのかと、
思うかも知れません。
上で言っているのは、
　ｎ＝１　のとき成り立つ　ということと
　ｎがある数の時に成り立つとき、その次の数でも成り立つ
の２つです。これを、使うと、
　ｎ＝１　のとき成り立つことは、最初に言ってあります。
　ｎ＝１が成り立つなら、その次のｎ＝２でも成り立ちます。
　ｎ＝２が成り立つなら、その次のｎ＝３でも成り立ちます。
という具合に、連鎖的にすべての自然数について成り立つと言えるのです。
　　
http://yosshy.sansu.org/

21191．Re: 質問
名前：矢作勝美    日付：5月25日(水) 23時20分
ヨッシーさんの方法では，（１）の各数の表示に 2^{k+1} が使われていませんね．

もし，数好さんが 2 進表示をご存知なら，話は簡単です．すなわち
　0×2^{j+1}＋1×2^{j}＝1×2^{j+1}＋(-1)×2^{j}
より，01 という桁があればそれを 1(-1) に置き換えられることが理由です．例えば
　5＝1×2^{2}＋0×2^{1}＋1×2^{0}＝1×2^{2}＋1×2^{1}＋(-1)×2^{0}

21193．Re: 質問
名前：ヨッシー    日付：5月26日(木) 6時24分
（１）のところと、その１行上にある
　2(k+1)-1
および、（２）のところと、その１行下、３行下の
　2(k+1)-1
は、すべて
　2^(k+1)-1
の誤りです。
　
http://yosshy.sansu.org/

21194．Re: 質問
名前：数好（中3）    日付：5月26日(木) 6時33分
わかりました。ありがとうございました

21196．Re: 質問
名前：矢作勝美    日付：5月26日(木) 10時35分
繰り返しで恐縮ですが，ヨッシーさんの方法では，（１）の各数の表示に 2^{k+1} が使われていません．つまり，n＝k+1 での成立を見るのであれば，（１）の各数も 2^{0}，…，2^{k}，2^{k+1} の k+2 個の数「すべて」を用いて表示せねばなりません．

21199．Re: 質問
名前：ヨッシー    日付：5月26日(木) 13時7分
そうでした。
書き直すと、
2^(k+1) から、（１）のそれぞれの数を引いた
　2^(k+1)-1, 2^(k+1)-3, 2^(k+1)-5, ・・・ , 3, 1 ・・・（１）’
と、2^(k+1) に、（１）のそれぞれの数を足した
　2^(k+1)+1, 2^(k+1)+3, 2^(k+1)+5, ・・・ , 2^(k+1)+2^(k+1)-1　・・・（２）
を考えると、（１）’と（２）とで、１から 2^(k+2)-1 までのすべての
奇数を表したことになります。

ですね。
失礼しました。
　

21164．中間テスト数学の問題ですが、教えてください。  
名前：綾＠中学１年生    日付：5月24日(火) 20時39分
Original Size: 550 x 350, 89KB

添付ファイルの問題の「次の数直線が表す計算の式を書きなさい。」という問題で、
私は「３＋（－５.５）＝－２.５」としたのですが、間違いということでバツにされてしまいました。解答は、「３－５.５＝－２.５」でした。しかし、
３＋（－５.５）　
＝３－５.５
＝－２.５
というふうに、３＋（－５.５）は、
３－５.５と直せるので、３＋（－５.５）でもいいと思うのですが、
間違いですか？教えてください。


21168．Re: 中間テスト数学の問題ですが、教えてください。
名前：ＴＯＭ    日付：5月24日(火) 21時15分
問題の数直線ですが

＋３から５．５戻ると言うことで引き算です

（＋３）－（＋５．５）＝３－５．５　が正しいです。解答がただしい。


ただあなたが書いた答え３＋（－５.５）はこの
（＋３）－（＋５．５）＝３－５．５の
途中計算にすぎないので先生はバツとしたのでは？

（＋３）－（＋５．５）＝３＋（－５．５）＝－２．５
（減法は加法に直す）

21169．Re: 中間テスト数学の問題ですが、教えてください。
名前：黒蟻    日付：5月24日(火) 22時20分
＞＋３から５．５戻ると言うことで引き算です
そんなこと言ったら、
・＋３から－５．５進む
とも言えませんか？　a戻る　と　－a進む　は同じ意味を持っていますし。私は、採点をした先生の方が間違いだと思います。

21175．Re: 中間テスト数学の問題ですが、教えてください。
名前：ast    日付：5月24日(火) 23時49分
論理的に「a戻る　と　－a進む　は同じ意味を持ってい」るかどうかというのは正解不正解には関わりがないと思います.

残念ながら実際に授業を受けていない我々には確認することができませんが, 「次の数直線が表す式」というのは出題者である先生のお決めになられた一定のルールに従って正解の式を決定するという, 一種のゲームというかまあパズルみたいなもので, ルールに従って決定される式と異なるという理由で先生がバツをつけられたのだと推測することができるのではないか, と思います.

問題が与えられたときには, その問題の要求しているものを出さなければ, 自分のその解答がいくら筋の通ったものであったとしても答えとしては不適当なのです.

21176．Re: 中間テスト数学の問題ですが、教えてください。
名前：豆    日付：5月25日(水) 0時2分
わたしは黒蟻さんに、票を投じたい。
授業はともかく、テストで、この設問であれば、なんら問題はないと思う。
もし、ルールを明確にするなら設問に書いておくべきと思う。
こんなローカルルールを適用しても世間一般には通じない。
少なくとも×にする道理はないと思う。
また、3-5.5という発想よりも、3+(-5.5)の方が発想的にも広がりがあり、
優れているように思えます。
教師のエゴで数学が嫌いになるようなことだけは避けて欲しいと思う。

21177．Re: 中間テスト数学の問題ですが、教えてください。
名前：ast    日付：5月25日(水) 0時26分
まあ論争するつもりもありませんがいくつか.
> こんなローカルルールを適用しても世間一般には通じない。
当然問題文にある「数直線が表す式」というのがまさにその, ローカルルールであって世間一般に通じないものである, ということは認識しておいて良いのではないでしょうか.

算術としては 3 - 5.5 = 2.5 と 3 + (-5.5) = 2.5 はまったく同じものであることは揺るぎのない事実であり, 疑いようがありません. まったく正しいことであると綾さんは自信をお持ちになっていいと思います.

しかしながらなすべきことの真実はおそらくそこにはなかったのです.

> 教師のエゴで数学が嫌いになるようなことだけは避けて欲しいと思う。
という豆さんのご主張にはまったく同意します.

21178．Re: 中間テスト数学の問題ですが、教えてください。
名前：ast    日付：5月25日(水) 0時40分
言い忘れました.

当然, 問題を出した先生には「なぜそれが間違いなのか」を説明する責任があります. ですから綾さんはかならず, なぜ間違いなのか先生に直接質問なさってください. バツにした理由がちゃんとあるのだとわかったら安心できますよね. もし勘違いや手違いでバツにしていたのならきっと訂正してくださいます. また, 理由もなく説明を拒否されるのでしたら, 学校のほうに責任を追求なさっても良いかと思います.

21182．Re: 中間テスト数学の問題ですが、教えてください。
名前：綾＠中学１年生    日付：5月25日(水) 6時54分
おはようございます。
皆さん、いろいろとありがとうございます。今日、もう一度　皆さんの意見を参考にして、先生に聞いてみます。納得のいく報告ができればと思います。
ありがとうございました。

21219．ありがとうございました。
名前：綾＠中学１年生    日付：5月27日(金) 21時3分
今日、再度数学の先生に
なぜ間違いなのか納得がいかないことを伝え、
みなさんのご意見も先生に見ていただいたところ、
正解にしてくださいました。
どうも、ありがとうございました。

21161．自習の範囲ですが教えてください  
名前：あき　一回生    日付：5月24日(火) 1時21分
教えてもらいたい問題があります。
Ｆ（Ｘ，Ｙ）は点（ａ，ｂ）で連続。
Ｕ（ｔ）、Ｖ（ｔ）はｔ＝ｔ0で連続とする。
ａ＝Ｕ（ｔ0）ｂ＝Ｖ（ｔ0）とするとき、合成関数Ｆ（Ｕ（ｔ）、Ｖ（ｔ））はｔ＝ｔ0で連続を示せという問題です。


21162．Re: 自習の範囲ですが教えてください
名前：矢作勝美    日付：5月24日(火) 11時27分
Ｕ，Ｖ：Ｒ→Ｒ，Ｆ：Ｒ^２→Ｒとして答えます．
＞Ｆ（Ｘ，Ｙ）は点（ａ，ｂ）で連続。
より，任意の正数ｐに対して，正数ｑが存在して，(ｘ－ａ)^２＋(ｙ－ｂ)^２＜ｑ^２を満たす任意の実数ｘ，ｙは，|Ｆ(ｘ，ｙ)－Ｆ(ａ，ｂ)|＜ｐを満たす．そして
＞Ｕ（ｔ）、Ｖ（ｔ）はｔ＝ｔ0で連続
より，そのｑに対して，正数ｒが存在して，|ｔ－ｔ_{０}|＜ｒを満たす任意の実数ｔは，|Ｕ(ｔ)－ａ|，|Ｖ(ｔ)－ｂ|＜ｑ／√(２)，従って，(Ｕ(ｔ)－ａ)^２＋(Ｖ(ｔ)－ｂ)^２＜ｑ^２を満たすから，|Ｆ(Ｕ(ｔ)，Ｖ(ｔ))－Ｆ(ａ，ｂ)|＜ｐを満たす．

21172．Re: 自習の範囲ですが教えてください
名前：あき　一回生    日付：5月24日(火) 23時24分
ありがとうございます

21179．Re: 自習の範囲ですが教えてください
名前：soredeha    日付：5月25日(水) 0時48分
x軸、ｙ軸を書いて、ｘ軸に点a、ｙ軸に点bをとって、点（ａ，ｂ）をとってください。今、任意にひとつの正数をえらび、εとします。
Ｆ（Ｘ，Ｙ）は点（ａ，ｂ）で連続ですから、連続の定義より、
このεに対して、
点（ａ，ｂ）を中心とするある半径δ1の円の内部の全ての点（Ｘ、Ｙ）について、|F(X、Y)-Ｆ（a,b)|＜ε
とできます。
点（ａ，ｂ）を中心とする半径δ1の円を書いてください。
次に、合成関数Ｆ（Ｕ（ｔ）、Ｖ（ｔ））を考えるのですから、ｘ軸上に点Ｕ（ｔ）を考えます。ｘ軸上の点a＝Ｕ（ｔ0)の左右にa-δ2、a+δ2の点をとってください。δ2＞0とします。Ｕ（ｔ）は、ｔ＝ｔ0で連続ですから、δ3を十分小さくとれば、
|t-t0|＜δ3となる全てのｔについて、|Ｕ（ｔ）-Ｕ（ｔ0)|＜δ2-----①
とできます。連続の定義です。
同様に、ｙ軸上に点Ｖ（ｔ）をとり、ｙ軸上の点ｂ＝Ｖ（ｔ0)の左右にｂ-δ2、ｂ+δ2の点をとってください。δ4を十分小さくとれば、
|t-t0|＜δ4となる全てのｔについて、|Ｖ（ｔ）-Ｖ（ｔ0)|＜δ2------②
とできます。Ｖ（ｔ）はtoで連続だからです。
ｘ軸上の点a-δ2、a+δ2をとおるｙ軸に平行な直線を
それぞれひきます。ｙ軸上の点b-δ2、b+δ2をとおるｘ軸に平行な直線もそれぞれひきます。すると、四つの直線に囲まれた正方形ができます。
正数δ2を小さくしていき、正方形が円の内部にはいるようにします。例えば、正方形が円に内接する場合を考えると
2*δ2=δ1*√2、ですから、
δ2=δ1/√2、とすればちょうどいいですね。δ1/√2より小さい正数であれば何でもよいわけです。
それに応じて、①②成り立つようにδ3,、δ4も小さくします。
点(U(t)、V(t))が正方形の内部にはいるように、δ3、δ4の小さいほう、正確には大きくないほうをδとします。そうしないと、点(U(t)、V(t))が正方形の内部を飛び出す可能性あります。δ＜δ3、δ4なら何でもよいわけです。
すると、
|ｔ-t0|＜δとなる全てのｔについて、
①②がともに成り立ちますから、点（Ｕ（t)、Ｖ(t)）は正方形の内部にあり、円の内部はいります。点（ａ，ｂ）を中心とする半径δ1の円の内部の全ての点（Ｘ、Ｙ）について、
|F(X、Y)-Ｆ（a,b)|＜ε、------------------------③
が成り立ち、
点（Ｕ（t)、Ｖ(t)）は、点（ａ，ｂ）を中心とする半径δ1の円の内部ありますから、X=Ｕ（t)、Y=Ｖ(t)を③へ代入できます。よって、
|F(U(t),(V(t))-Ｆ（a,b)|＜ε,
a=U(t0)、b=V(t0)ですから
|F(U(t),(V(t))-Ｆ（U(t0),V(t0)）|＜ε,が成り立ちます。
以上をまとめると、
任意の正数εに対して、
「|ｔ-t0|＜δとなる全てのｔについて,
|F(U(t),(V(t))-Ｆ（U(t0),V(t0)）|＜ε,」
とできる正数δがとれることがわかりました。これが、連続の定義ですから、問題は、証明されたわけです、

21159．化学の質問なのですが頼る所が他にないのでお願いしますm(_ _)m　高校二年です  
名前：ＡＣＥ    日付：5月23日(月) 23時46分
「水蒸気圧補正」の必要性などを教えてください。
また、水素分圧＝大気圧－水蒸気圧　という式についても
解説していただけるとうれしいです。どうかお願いします。

21158．集合の証明について  
名前：紀沙    日付：5月23日(月) 22時37分
大学1年です。次の公式の証明について質問させてください。
Ａ×（Ｂ∩Ｃ）＝（Ａ×Ｂ）∩（Ａ×Ｃ）
左辺について　ｘ∈（Ｂ∩Ｃ）とすると、ｘ∈Ｂかつｘ∈Ｃ
また、a∈Ａとすると、
Ａ×（Ｂ∩Ｃ）＝（a、ｘ）
までしてみたのですが、右辺がさっぱり分からなくて。。。
どなたか宜しくお願いします。


21160．Re: 集合の証明について
名前：ast    日付：5月24日(火) 0時4分
> Ａ×（Ｂ∩Ｃ）＝（a、ｘ）
集合とその元が等しいという式になってますから何か変ですよね.

A ×(B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) を言うためには
　[i] A ×(B ∩ C) ⊂ (A × B) ∩ (A × C)
　[ii] A ×(B ∩ C) ⊃ (A × B) ∩ (A × C)
を示さなければいけません. これは
　[i'] x ∈ A ×(B ∩ C) ならば x ∈ (A × B) ∩ (A × C)
　[ii'] x ∈ (A × B) ∩ (A × C)　ならば x ∈ A ×(B ∩ C)
をいうのと同じです. ですから x ∈ A ×(B ∩ C) というのは A の元と B ∩ C の元を使って x がどう書けるのか, x ∈ (A × B) ∩ (A × C) というのは x が A × B の元と A × C の元を使ってどう書けるのか, ということをまず考えなければいけません.

> 左辺について　ｘ∈（Ｂ∩Ｃ）とすると、ｘ∈Ｂかつｘ∈Ｃ
> また、a∈Ａとすると、
というのだと思考の順番がまったく逆です.

21165．Re: 集合の証明について
名前：紀沙    日付：5月24日(火) 20時39分
返信ありがとうございます。
ですが、そもそもデカルト積の意味がよく分からなくて・・・。
教科書には、Ａ×Ｂ＝（a、ｂ）（a∈Ａ、ｂ∈Ｂ）
となっていたのですが。。。

21166．Re: 集合の証明について
名前：紀沙    日付：5月24日(火) 20時51分
次の証明ではだめでしょうか？（[i]について）
ｘ∈（Ｂ∩Ｃ）とする。ｘ∈Ｂより（Ｂ∩Ｃ）⊂Ｂ
同様に（Ｂ∩Ｃ）⊂Ｃ
Ａ×（Ｂ∩Ｃ）⊂（Ａ×Ｂ）かつＡ×（Ｂ∩Ｃ）⊂（Ａ×Ｃ）
よってＡ×（Ｂ∩Ｃ）⊂（Ａ×Ｂ）∩（Ａ×Ｃ）

21171．Re: 集合の証明について
名前：ast    日付：5月24日(火) 23時12分
本当に,

> 教科書には、Ａ×Ｂ＝（a、ｂ）（a∈Ａ、ｂ∈Ｂ）
> となっていたのですが。。。

というのは本当に本当ですか? 本当にこのように書かれている教科書をお使いでしたら, 非常に有害ですので今すぐ捨てるなり燃やすなりしてください. 普通の教科書をお使いなら, かならず

　{代表的な表記 | 表記の変数が満たすべき条件}

あるいは

　{代表的な表記 ; 表記の変数が満たすべき条件}

のような表記法を採用しているはずです (この表記法をとるとき, "{", "|" や "}" にはちゃんと意味がありますので省略は許されません). 今の場合であれば

　A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

と書かれているはずです. そしてこれは, もし x ∈ A × B であるならば, かならず適当な a ∈ A と b ∈ B が見つかって, x = (a, b) という形に書くことができる, ということを表しています.

21173．Re: 集合の証明について
名前：ast    日付：5月24日(火) 23時38分
すみません,
> もし x ∈ A × B であるならば, かならず適当な a ∈ A と b ∈ B が
> 見つ かって, x = (a, b) という形に書くことができる, ということを
> 表しています.
を少し訂正します.

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} という記法は, もし x ∈ A × B であるならば, かならず適当な a ∈ A と b ∈ B が見つかって, x = (a, b) という形に書くことができる, 逆に a ∈ A かつ b ∈ B が満たされる限りにおいて対 (a, b) は A × B の元である, ということを表しています.
---------------------------------------------------------
では改めて.

紀沙さんの No.21166 は証明としてはだめだと思います. なぜなら, A ×(B ∩ C) のどんな元をとってもそれは (A × B) ∩ (A × C) に入っている, ということを言わなければならないのに, 一切 A ×(B ∩ C) の元を取り出していないからです.

もう少し詳しく言うと
> ｘ∈（Ｂ∩Ｃ）とする。ｘ∈Ｂより（Ｂ∩Ｃ）⊂Ｂ 同様に（Ｂ∩Ｃ）⊂Ｃ
> Ａ×（Ｂ∩Ｃ）⊂（Ａ×Ｂ）かつＡ×（Ｂ∩Ｃ）⊂（Ａ×Ｃ）
という 2 行の間に論理の飛躍があります. 上の行ではきちんと元の対応関係を根拠に集合の包含関係を示してありますが, 下の行ではそれがまったくありません (直積の第一成分について何も言及されていません). これでは根拠のない決め付けになってしまいます.

ここでは, x ∈ A ×(B ∩ C) をとれば, 直積の定義から適当な a ∈ A と b ∈ B ∩ C を使って x = (a, b) と書くことができるということからはじめなければなりません. すると, b ∈ B ですから, 対 (a, b) は条件 a ∈ A かつ b ∈ B を満たす対なので, これは (a, b) が A × B の元であることを意味します. 同時に, b ∈ C ですから, 同様の議論で対 (a, b) は A × C の元でもあることが示せます. つまりこれは, 対 (a, b) が (A × B) ∩ (A × C) であることを意味します. すなわち, x ∈ (A × B) ∩ (A × C) です.

21187．Re: 集合の証明について
名前：紀沙    日付：5月25日(水) 21時59分
ast様、返信ありがとうございました。
直積の意味がよく分からなかったので、とても助かりました。
もう一度確認してみます。ご丁寧にありがとうございました！

21156．助けてください  
名前：あずさ（高２)    日付：5月23日(月) 22時19分
ド・モルガンの法則が教科書・参考書見てもよく解かりません。誰か教えてください。


21180．Re: 助けてください
名前：soredeha    日付：5月25日(水) 2時58分
①ドモルガンの法則には、集合と論理があります。
②公式の証明の説明がほしい。
③ドモルガンの法則を使う問題の解き方の解説がほしい。
以上、希望を、お聞かせください。

21154．不等式の証明  
名前：tomo    日付：5月23日(月) 20時40分
不等式の証明がなかなか解けなくて苦しんでいます。
解くポイントなどあったら教えてください。

特に、どんなときに相加･相乗平均を使えばいいか、決定的なものがあれば教えてください。

よろしくお願いします。

21142．証明。  
名前：高校１年生。    日付：5月22日(日) 21時19分
Original Size: 472 x 269, 15KB

『中学生の範囲で解けるます』と出題され
角度や辺の比、面積比など考えてみたのですが…
いまいち証明ができません。

よかったら教えてください。お願いします。

-----問題----------------
図のように、円Ｏの直径ABによってわけられる半円周上を動く点Cがあり、
AC＞BCをみたす△ABCの辺上にBC＝CRとなる点Rをとる。
OCとBRの交点をPとし、直線APとBCの交点をQとするとき次の問いに答えなさい。
(1)RQ//ABであることを証明しなさい。
(2)OB＝BCのとき、△ABCと△RQCの相似比を求めなさい。


21148．Re: 証明。
名前：らすかる    日付：5月23日(月) 8時12分
(1)
点Pを通りCAに平行な直線を引き、ABとの交点をEとする。
点Pを通りCBに平行な直線を引き、ABとの交点をFとする。
すると△OCA∽△OPE、△OBC∽△OFPとなるので、
OE=OA×(OP/OC)=OB×(OP/OC)=OF
従ってAF=AO+OF=BO+OE=BEなので
△BRA=(BA/BE)△BPE=(AB/AF)△APF=△ABQとなり、
RからABまでの距離とQからABまでの距離は等しいので、RQ//AB。
(2)
OB=BCのとき∠ABC=60°となるので、CA：CR=CA：CB=√3：1
従って△ABCと△RQCの相似比は√3：1
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21155．Re: 証明。
名前：高校１年生。    日付：5月23日(月) 22時6分
＞らすかるサン

ありがとうございます。
マネをして自分で何回も解いてみました
やっぱり補助線なんですねぇー。
そう引くのかぁ。。
その発想はどうやって浮かぶのでしょうか??

21157．Re: 証明。
名前：らすかる    日付：5月23日(月) 22時31分
私も、どこに補助線を引けば良いかがすぐにわかるわけではありません。
上の回答に至るまでの間、いろんな場所に補助線を引く可能性を考えて
試行錯誤しています。
この問題の場合は、△RAB=△QABを示すためにどこかに補助線を引けば
良いわけですが、補助線を引ける可能性がたくさんあって、結構悩みました。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21167．Re: 証明。
名前：高校１年生。    日付：5月24日(火) 21時12分
いろいろありがとうございます。

『BC＝CR』という条件がどこかで
でてくるのかと思ってたんですけど出てこないですよね。

21174．Re: 証明。
名前：らすかる    日付：5月24日(火) 23時39分
はい、BC=CRは使っていないですね。
BC≠CRでも成り立ちますから、多分BC=CRは
(1)には役に立たないと思います。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21183．Re: 証明。
名前：矢作勝美    日付：5月25日(水) 11時8分
＞面積比
による（１）の別解．
|ＡＯ|＝|ＯＢ|⇔|△ＰＣＡ|＝|△ＰＢＣ|⇔|△ＰＣＡ|：|△ＡＢＣ|＝|△ＰＢＣ|：|△ＡＢＣ|⇔|ＲＰ|：|ＲＢ|＝|ＱＰ|：|ＱＡ|⇔|ＲＰ|：|ＰＢ|＝|ＱＰ|：|ＰＡ|⇔△ＰＱＲ∽△ＰＡＢ

21138．積分  
名前：恭子    日付：5月22日(日) 21時1分
∫{0から1}√xdx

ルートのついたものが初めてです。
宜しくお願いします


21141．Re: 積分
名前：中川　幸一    日付：5月22日(日) 21時19分
Hint です。

√x = x1/2 です。
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

21143．Re: 積分
名前：恭子    日付：5月22日(日) 23時11分
∫{0から1}(√x)'
2∫{0から1}1/2√xでよろしいのでしょうか

21145．Re: 積分
名前：中川　幸一    日付：5月22日(日) 23時15分
不定積分は

∫√x dx
=∫x1/2 dx
=1/((1/2) + 1) x(1/2)+1 + C
=(2/3)x3/2 + C
(=(2/3)x√x + C)

となります。
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

21146．Re: 積分
名前：恭子    日付：5月23日(月) 0時23分
不定積分の公式を使うのですね。
この答えは2/3でよいのでしょうか

21147．Re: 積分
名前：中川　幸一    日付：5月23日(月) 0時34分
はい, そうです。
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

21134．どうやるんですか？  
名前：すすか（中３）    日付：5月22日(日) 19時54分
この問題は別の人が先生にあてられて困ってる問題です。
私もわからないので教えてください。

次の時、ａ、ｂの値を求めなさい。

（ｘ-2）（ｘ+ｂ）がｘ二乗-ａｘ+10の形に変形できるとき。


21137．Re: どうやるんですか？
名前：みっちぃ    日付：5月22日(日) 20時3分
(x-2)(x+b)=x^2-ax+10と変形できるので，左辺を展開して
x^2+(b-2)x-2bがx^2-ax+10と変形できれば良い．

従って，b-2=-aで-2b=10なので，b=-5，a=7．

21139．Re: どうやるんですか？
名前：すすか（中３）    日付：5月22日(日) 21時16分
ｘ＾２ってｘ二乗を表しているんですよね？
といていただきありがとうございました。

21133．集合について  
名前：紀沙    日付：5月22日(日) 19時38分
初めまして。
すごく初歩的な質問なのですが、教えてください。
集合において、
普遍集合Ｕ＝　AＵ（Aの補集合）　
とおけますでしょうか？？


21150．Re: 集合について
名前：ast    日付：5月23日(月) 8時41分
A の補集合というのが U - A = {x | x は U の要素であって A の要素でない} という意味であれば U = A ∪ (A の補集合) は成り立ちます.

21151．Re
名前：信長    日付：5月23日(月) 9時14分
＞astさん
はじめまして信長と申します。
つかぬ事をお伺いしますがastさんは女性でしょうか、
そうでないでしょうか。2ちゃんでastさんの話(女性だという話)
があってちょっと気になったもので、もしよろしければご返答下さい。

21181．Re: 集合について
名前：soredeha    日付：5月25日(水) 3時11分
全体集合U=A∪(Aの補集合)
なら、ＯＫでしょう。

21128．解析ですが教えてください  
名前：あき　一回生    日付：5月22日(日) 16時21分
Ｆ（ｘ、ｙ）＝・ｘ＾２－ｙ＾２／｜ｘ｜＋｜ｙ｜　｛（ｘ，ｙ）≠（０，０）｝　　・０　｛（ｘ、ｙ）＝（０，０）｝
とするとき、Ｆ（ｘ、ｙ）は原点で連続か？
よくわかんないんで教えてください


21129．Re: 解析ですが教えてください
名前：のぼりん    日付：5月22日(日) 17時17分
通常の数学記法に従って
＞　Ｆ（ｘ、ｙ）＝・ｘ＾２－ｙ＾２／｜ｘ｜＋｜ｙ｜
を解釈すると F(x,y)=x2–(y2/|x|)+|y| です。このとき、y2=x＞0 とすると F(x,y)=–1≠F(0,0) なので、F は原点で不連続です。他方、(x,y)≠(0,0) のとき F(x,y)=(x2–y2)/(|x|+|y|) ということであれば、
　　　F(x,y)=(x2–y2)/(|x|+|y|)=(|x|+|y|)(|x|–|y|)/(|x|+|y|)=|x|–|y|
です。よって、(0,0)≠(x,y)→(0,0) のとき F(x,y)→0=F(0,0) で、原点で連続です。

※　式は判り易く書いて貰えると助かります。

21131．Re: 解析ですが教えてください
名前：あき　一回生    日付：5月22日(日) 18時5分
すいません。ありがとうございました

21122．対数関数  
名前：IGA(高２）    日付：5月22日(日) 7時17分
次の関数のグラフをかけ。
y=log3√(x+3)

それで解説によるとy=log3xのグラフをｘ軸中心に1/2縮め、ｘ軸方向にー３平行移動したもの

私はy軸方向に1/2倍するという表現を考えたのですがこれは正しいでしょうか？
お願いします。


21125．Re: 対数関数
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月22日(日) 13時45分
＞1/2縮め
と言う表現が不明確ですが、
y軸方向に1/2倍に拡大し（縮小し）と解釈すれば、
どちらの表現も同等であり、且つ正しい。

21117．確認  
名前：高校生    日付：5月21日(土) 18時4分
(1)９００を素因数分解せよ。2^(2)*3^(2)*5^(2)
(2)９００すべての約数の和を求めよ。　405450
(3)2^(a)*3^(b)*5^(c)のすべての約数の和を求めよ　　6
a,b,cは0以上の整数


21118．Re: 確認
名前：らすかる    日付：5月21日(土) 20時40分
(1) ○ (2) × (3) ×
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21119．Re: 確認
名前：ヨッシー    日付：5月22日(日) 0時21分
たとえば、６の約数の和は　１＋２＋３＋６　です。
これを素因数分解した形で書くと　１＋２＋３＋２・３　です。
また、ａ・ｂ　（ａ，ｂは素数）の形で表される数（例えば　ａ＝２，ｂ＝３だと６です）
の約数は、１，ａ，ｂ，ａｂ なので、その和は
　ａｂ＋ａ＋ｂ＋１
です。これを、少し変形してみましょう。
　（中略）
ａ2ｂ　で表される数の約数は
　１，ａ，ａ2，ｂ，ａｂ，ａ2ｂ
なので、その和は
　ａ2ｂ＋ａ2＋ａｂ＋ａ＋ｂ＋１
です。これを、少し変形してみましょう。

何かつかめませんか？
変形って、一体どんな変形でしょう？それがポイントです。
　
http://yosshy.sansu.org/

21124．Re: 確認
名前：高校生    日付：5月22日(日) 12時44分
ヨッシーさん
ごめんなさい。
よくわかりません。どんな変形なのか思いつきません

21127．Re: 確認
名前：信長    日付：5月22日(日) 16時18分
＞高校生さん
(a+1)(b+1)
(a^2+a+1)(b+1)
というふうに変形ができますね。
確認として投稿されている(2),(3)の答えはどう導いてそうなってしまったのでしょうか。まさか出鱈目じゃないかとはおもいません（す）けどねえ。

21113．角度の問題  
名前：あいう    日付：5月21日(土) 15時53分
次の問題が分からないので教えてください（６年生です）

三角形ABCがあります。いま、底辺のBC上の点DとAを直線で結ぶと角BACが二等分されました。ABとADの和がDCでADとACの和がBCのとき角ADBは何度ですか


21120．Re: 角度の問題
名前：らすかる    日付：5月22日(日) 2時31分
6年生とのことですが、回答が小学校の範囲を超えるかも知れません。
∠BAD=∠CAD=●とします。
まず、辺AC上に、AB=AEとなるように点Eをとります。
すると、∠BAD=∠EAD、AB=AE、ADは共通ですから、
△ABDと△AEDは合同となります。
条件から、AD+AC=BC=BD+DC=BD+AB+AD ですから、
AE+EC=AC=BD+AB=BD+AE となり、EC=BD=ED、
従って△EDCは二等辺三角形です。
ここで∠C=○とおくと、∠EDC=∠ECD=○、
これより∠AED=○○ (○2個分の意味)なので、
∠ABD=∠AED=○○です。
ここまでで、三角形の内角の和は180°ですから、
∠CAB+∠ABC+∠BCA=●●○○○=180°とわかります。
次に、∠ADF=∠AFDとなるようにBD上に点Fをとります。
△AFDは二等辺三角形です。
∠AFD=∠ADF=∠CAD+∠DCA=●+○=●○
∠DAF=180°-∠AFD-∠ADF=●●○○○-●○-●○=○
よって∠CAF=∠CAD+∠DAF=●+○=∠CFAですから、△CAFは
二等辺三角形となり、AC=FCがわかります。
条件からAD+AC=BCですから、AD+AC=AF+FC=BF+FC
従ってAF=BFなので、△FABは二等辺三角形です。
すると∠DAB=●=∠DAF+∠FAB=∠DAF+∠FBA=○+○○=○○○
●=○○○とわかりましたので、これと●●○○○=180°から
●●○○○=●●●=180°
ゆえに●=60°、○=20°、∠ADB=●○=60°+20°=80°となります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21121．Re: 角度の問題
名前：あいう    日付：5月22日(日) 7時14分
らすかる様ありがとうございます。今後もよろしくお願いします

21110．中国の剰余定理？  
名前：高校3年    日付：5月21日(土) 11時28分
7で割って3、11で割って5余る数は、77で割るといくつあまるか？

答えは、38と解るんですが、
証明の仕方がわからないので教えてください。


21112．Re: 中国の剰余定理？
名前：のぼりん    日付：5月21日(土) 13時30分
高校3年さん、こんにちは。求める数を n とします。n を 7 で割った余りは 3、11 で割った余りは 5 だから、n=7a+3=11b+5 と表せます。これから、7a–11b=2 です。ここで、11 と 7 は互いに素なので、7x+11y=1 となる x と y が存在します。試行錯誤して 2×11–3×7=1 という関係を思い付きます。そこで、x=11k–3、y=–7k+2 と書けます。二倍して、7(22k–6)–11(14k–4)=2 なので、a=22k–6、b=14k–4 です。よって、n=7(22k–6)+3=11(14k–4)+5=154k–39=77(2k–1)+38 （k は任意の整数）が一般解です。

21114．Re: 中国の剰余定理？
名前：花パジャ    日付：5月21日(土) 17時28分
別解)
7a-11b=2　から　7(a-b)=4b+2=2(2b+1)
a-b=2m　とおけるので　7m=2b+1
m=2l+1　とおけるので　b=7l+3
n=11b+5=77l+38

21132．Re: 中国の剰余定理？
名前：高校3年    日付：5月22日(日) 18時35分
のぼりんさん、花パジャさん
返事ありがとうございます。

のぼりんさんの証明について質問なのですが、

<x=11k–3、y=–7k+2 と書けます。

とは、どう考えるのでしょう。
ユーグリッドの互除法までは、分かったのですが、
この定義から分からなくなってしまいました。
どうかお願いします。

21163．Re: 中国の剰余定理？
名前：矢作勝美    日付：5月24日(火) 12時19分
＞中国の剰余定理？
というか，和算風の別解です．

まず
＞7で割って3、11で割って5余る数は、
が１つでも存在すると，それをＭとして，そのような数の全体は，Ｍ＋７７ｋ（ｋ＝…，－１，０，１，…）となります．何故なら，Ｍ＋７７ｋは条件を満たし，逆に，Ｍ，Ｎがそのような数なら，Ｍ－Ｎは７と１１の公倍数だからです．

さて
＞7で割って3、11で割って5余る数は、
次の様に存在します．７ｘ－１が１１の倍数となる整数ｘ，１１ｙ－１が７の倍数となる整数ｙに対して，Ｍ＝７ｘ×５＋１１ｙ×３がそれです．実際に割ってみれば確かめられます．あとは目の子でｘ＝８，ｙ＝２を見付け，Ｍ＝５６×５＋２２×３＝３４６から，７７を繰り返し引いていけば，３８に至ります．

21106．加法定理の応用？  
名前：さくら    日付：5月21日(土) 9時8分
昨日授業でならったのですが、全く分かりません。テストに出るみたいなので、教えてください。よろしくお願いします。

sin2A+sin2B+sin2Ｃ＝4sinAsinBsinC


21107．Re: 加法定理の応用？
名前：Rattle    日付：5月21日(土) 9時25分
A+B+C=180°のような条件はつきませんか？

21108．Re: 加法定理の応用？
名前：さくら    日付：5月21日(土) 9時35分
つきました(汗)

21111．Re: 加法定理の応用？
名前：Rattle    日付：5月21日(土) 12時12分
C=180°-A-Bとおけるので、
sin2C=sin(360°-2A-2B)=-sin(2A+2B)=-2sin(A+B)cos(A+B)
また、sin2A+sin2B=2sin(A+B)cos(A-B)
よって、sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B){cos(A-B)-cos(A+B)}
{ }=-2sinAsin(-B)となるので、
(与式)=-4sin(A+B)sinAsin(-B)
=4sinAsinBsin(A+B)
sin(A+B)=sin(180°-C)=sinCだから、
(与式)=4sinAsinBsinCとなります。

21097．確率2  
名前：つかさ    日付：5月21日(土) 0時17分
１個のサイコロを４回投げて出た目をa,b,c,dとする。
(1)積abcdが６００となる確率

(2)積abcdが３の倍数となる確率

連続投稿ですが宜しくおねがいします・


21101．Re: 確率2
名前：みっちぃ    日付：5月21日(土) 1時29分
(2)の方は，典型問題ですのでそちらから先にします．
『さいころの積と倍数』の問題は，間違いなく余事象を取ります．
この問題の余事象は，『さいころを4回投げて，積が3の倍数にならない確率』です．
このとき，4回の目は全て1,2,4,5のどれかになっています．
その確率は(4/6)^4=16/81．

従って，求める確率は1- 16/81=65/81．

(1)600=2^3*3*5^2なので，4回ふって積が600になるとき，出る目は(4,5,5,6)の並び替えしかありません．

よって，その場合の数は，4,5,5,6をa,b,c,dに並び替える並べ方だけ．
このときの考え方は，4つのマスを作って，順にマス目にa,b,c,dと名前をふっておきます．
その4つのマスに，4,6を1回ずつ，5を2回あてはめるときの場合の数になります．
これは，カードを並び替えて数字を作るような例で見たことがあると思います．
⇒4C2*2*1=12通り．
a,b,c,dが取りうる全事象が6^4なので，確率は1/72．

21102．Re: 確率2
名前：らすかる    日付：5月21日(土) 1時37分
(1) 12÷6^4＝1/108 ですね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21105．Re: 確率2
名前：みっちぃ    日付：5月21日(土) 1時50分
こちらも…．すんません

21116．Re: 確率2
名前：つかさ    日付：5月21日(土) 17時35分
みっちぃ様、らすかる様
ありがとうございます。

いつもお世話になりましてすみません。
今後もよろしくお願いします。

21096．確率  
名前：つかさ    日付：5月21日(土) 0時15分
箱の中に赤青黄の同じ大きさのボールが５個ずつ入っている。
これを３個取り出すとき次の問いに答えよ。
(1)３個とも同じ色である確率

(2)３個とも異なる色である確率

宜しくお願いいたします。


21099．Re: 確率
名前：みっちぃ    日付：5月21日(土) 1時20分
確率を求めるときには，『大きさのボール』と書いていても，ボールに区別を付けましょう．
つまり，ボールに番号を打ちます．赤1～赤5，青1～青5，黄1～黄5です．

すると，全事象は『15個の区別があるボールから3つ選ぶ』場合の数なので，15C3=455通り．

(1)
3個とも赤いボールが出る場合の数:赤1～赤5の中から3つ選ぶので5C3=10通り．
3個とも青いボールのときも，黄色いボールのときも10通りなので，『3個とも同じ数』の場合の数は30通り．
よって，30/455=6/91．

(2)
『全て異なる色がでる』場合の数は，
赤1～赤5から1個⇒5通り
青1～青5から1個⇒5通り
黄1～黄5から1個⇒5通り
の15通りなので，その確率は15/455=3/91．

21103．Re: 確率
名前：らすかる    日付：5月21日(土) 1時42分
(2) 赤青黄5通りずつなので、5^3/455＝25/91 ですね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21104．Re: 確率
名前：みっちぃ    日付：5月21日(土) 1時50分
ごめんなさい．急いで書きすぎて，誰もしないようなミスを…，はづかしいっす．

21115．Re: 確率
名前：つかさ    日付：5月21日(土) 17時34分
みっちぃ様、らすかる様
ありがとうございます。

解説もあり大変参考になりました。

21095．円周角の定理について  
名前：中3    日付：5月21日(土) 0時14分
円周角の定理について、
ひとつの弧に対する円周角は一定で、その弧に対する中心角の2分の1
の証明は教科書に書いてあるんですが、
ひとつの弧に対する円周角が一定であることの証明はどのようにすればいいんでしょうか？
たとえば、円Oの円周上にA,B,P,Qがあったすると、
∠APB=∠AQBとなることの証明手順です。
よろしくお願いします。


21098．Re: 円周角の定理について
名前：みっちぃ    日付：5月21日(土) 1時14分
中心角の定理を間に挟んでやれば，簡単に証明できます．

円の中心を取って，それをOとすると
∠APB=1/2*∠AOB
∠AQB=1/2*∠AOB
が中心角の定理より成り立つので，∠APB=∠AQB．

というのはいかがでしょう?

21100．Re: 円周角の定理について
名前：中3    日付：5月21日(土) 1時21分
いわれてみて、「あぁっ！」って納得できました。
どうもありがとうございました！

21093．三次方程式を公式を使って解く方法がイマイチわかりません。  
名前：カルダノ志望（高３）    日付：5月20日(金) 19時21分
三次方程式を公式を使って解くところでひとつわからないところがあります。誰かわかりやすく教えてください。
それは最後のほうで３乗根をもとめるところです。
例えば　u^3=-10+√-243=-10+9√3i
解の一つが　u=2+√3i　になるそうですがこの求め方がどうもわかりません。あとのところは納得ができましたがここだけが納得できません誰かお願いします。すいません初歩的な質問で。


21094．Re: 三次方程式を公式を使って解く方法がイマイチわかりません。
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月20日(金) 19時46分
N(α) = αα_ と置くと、
N(αβ) =N(α)N(β).
N(u3) = N(u)3 = 100 + 243 = 343 = 73.
N(u) = 7 と置いて探してみれば見つかる。

21089．解けましたが合ってるかどうか答えが無いのでわかりません  
名前：へ（高1)    日付：5月20日(金) 13時28分
AAAABBBBの8文字を正方形の4頂点および各辺の中点に配置する方法は何通りあるか。ただし平面内で回転させて一致するものは同じものとする。

(自分の解き方）
まず□と◇に関してそれぞれ
①回転させても見分けがつかない場合　例)□＝AAAA(左上、左下、右下、右上)
②-ⅰ回転させると見た目が変わる場合がある　例)□＝ABAB
②-ⅱ回転させると見た目が変わる場合がある　例)□＝ABBA
の３パターンあり◇についても同じことがいえるのでそれぞれについて数えるので①②③を数えて30通りになりました。
答えが間違っている場合、もっと簡単な解き方がある場合がありましたらよろしくお願いします。


21091．Re: 解けましたが合ってるかどうか答えが無いのでわかりません
名前：らすかる    日付：5月20日(金) 16時14分
頂点にAが4つまたはBが4つの場合
　それぞれ1通りずつで計2通り
頂点にAが3つまたはBが3つの場合
　頂点で1つの異なる文字の位置を固定し、◇の回転が4通り
　あるから、それぞれ4通りずつで計8通り
頂点にAもBも2つの場合
　頂点の文字の並べ方は、Aが隣り合うか反対側かの2通り。
　隣り合う時向きが4通り、反対側の時向きが2通りある。
　□でAが隣、◇でAが隣の時…4通り
　□でAが隣、◇でAが反対側の時…2通り
　□でAが反対側、◇でAが隣の時…2通り
　□でAが反対側、◇でAが反対側の時…2通り
　計10通り。
従って合計で2+8+10=20通り。

# ゆっくり確認している時間がないのでちょっと不安…
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21092．Re: 解けましたが合ってるかどうか答えが無いのでわかりません
名前：花パジャ    日付：5月20日(金) 16時15分
「A」も「B」も回転に対して非対称だから...などという突込みがありそうな...

頂点(中点)の文字の比で分類して、固定してしまえばいい気が
1)4:0のとき
　頂点がAかBかで、2通り。
2)3:1のとき
　1つの方がAかBか2通り、
　例えば上記をAとすると
　　AoB
　　o o
　　BoB
　残ったBが中点(o)の何処に入るかで4通り、
　で、2×4=8通り。
3)2:2のとき
　頂点だけ考えると
　　AoA
　　o o
　　BoB
　か
　　AoB
　　o o
　　BoA
　かになる。
　前者の場合、4つの中点(o)のうちAになる2箇所を選ぶので、4C2=6通り。
　後者は、頂点だけ見ると180°回転して同じになるので、
　左上のAの時計回りに考えて前後、右下のAの時計回りに考えて前後、
　とに分けて考えると、180°回転して同じになるものを抜かすと、
　AB-AB,BA-BA,AB-BA,AA-BBの4通り。

以上より
　2+8+6+4=20通り

21109．Re: 解けましたが合ってるかどうか答えが無いのでわかりません
名前：へ（高1)    日付：5月21日(土) 9時54分
らすかるさん、花パジャさん、よくわかりました。ありがとうございます。

21082．う～んさっぱり  
名前：へ（高1)    日付：5月19日(木) 22時8分
個数の処理の問題で
それぞれの条件を満たす整数(x,y,z)の組の個数を求めよ。
①x+y+z=11,1≦x≦6,1≦y≦6,1≦z≦6

②x+y+z≦11,x≧1,y≧1,z≧1

①はx+y+z=8,0≦x≦5,0≦y≦5,0≦z≦5にするのかなぁとは思いましたがその後がわかりません。

②は≦でなく＝ならばわかるのですが≦になるとわかりません。


話は変りますが掲示板の使い方に書いてあった｢あまり難しい問題や、未解決問題に類する問題（フェルマーの最終定理、四色問題など）｣フェルマーの最終定理、四色問題以外にどのようなものがあるのですか？


21083．Re: う～んさっぱり
名前：らすかる    日付：5月19日(木) 22時49分
(1)
まず11個の○の間に２本の仕切りを入れてx,y,zに分けると
考えると、10C2通りです。
しかし、これではxかyかzが7以上の分を含んでしまいますので、
その分を引きます。
xが7以上となるのは、(x-6)+y+z=5, 1≦(x-6)≦3, 1≦y≦6, 1≦z≦6
となる組合せの数ですから、5個の○に2本の仕切りを入れると
考えて4C2通り、またy,zについても同じなので3倍して、
答は10C2-4C2×3=27通りとなります。
(2)
11個の○の間または右端に３本の仕切りを入れ、右端の仕切りより
右は数えないものと考えれば良いので、11C3=165通りです。
(例)
○○｜○○○○｜○○○｜○○ x=2, y=4, z=3, 余り2 (x+y+z=9)
○｜○○○○○｜○○○○○｜ x=1, y=5, z=5, 余り0 (x+y+z=11)

未解決問題については、↓こちらのページを見てみて下さい。
http://www.alpha-net.ne.jp/users2/eijitkn/mondai.html

21087．Re: う～んさっぱり
名前：へ（高1)    日付：5月20日(金) 7時45分
らすかるさん、よくわかりました。ありがとうございます。

21077．マクローリン展開についての質問です  
名前：kojima    日付：5月19日(木) 19時42分
log(1+x)をlimRn=0(n->∞)でマクローリン展開すると、
＝0＋x/1＋x^2/2＋x^3/3…x^n/n…
となりますよね？

log(1+x)のxの部分にsinxや2xなどなんでもいいのですが、
x以外の変数が入った場合なぜそのまま公式に代入していいのでしょうか？

それとf(x)＝log(1+sinx)はsinxをtなどと文字でおいて公式に代入して解く方法ではなく、そのままの式をf'(x),f''(x),…と微分した式を出してマクローリン展開できるのかどうか教えてください。

自分でやってみたところ、三項目までは合っていました。
しかし、第四項の係数が1/4!になってしまい、答えの係数の1/12とずれてしまったのです。どうかよろしくお願いします。


21078．Re: マクローリン展開についての質問です
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月19日(木) 20時39分
＞それとf(x)＝log(1+sinx)はsinxをtなどと文字でおいて公式に代入して解く
f(x)＝log(1 + g (x)) で、 g (x) がマクローリン展開可能で、g (0) = 0 なら出来ます。
ただし収束半径などが一般に変わることに注意。
例えば g (x) = e^x - 1 .

＞そのままの式を f ' (x), f '' (x) , … と微分した式を出してマクローリン展開できるのかどうか
勿論出来ます。

係数は 1/12 です。計算を確認してください。

21079．Re: マクローリン展開についての質問です
名前：黒蟻    日付：5月19日(木) 20時57分
log(1+x)＝0＋x/1＋x^2/2＋x^3/3…にx＝sintを入れるとlog(1+sint)＝0＋sint/1＋(sint)^2/2＋(sint)^3/3…となります。ただし、これはlog(1+sint)のマクローリン展開ではありません(右辺が∑ci*t^iの形をしていない)。log(1+sint)のマクローリン展開は、普通はf(x)＝log(1+sinx)とおいてf'(x),f''(x),…と微分した式を出して求めると思います。

21080．Re: マクローリン展開についての質問です
名前：kojima    日付：5月19日(木) 21時29分
コギトエルゴスムさん。(違いますかね？)黒蟻さん。
返信ありがとうございます。

＞f(x)＝log(1 + g (x)) で、 g (x) がマクローリン展開可能で、g (0) = 0 なら出来ます。

g(0)＝0にならなければならないということは、
マクローリン展開が出来るcosxやe^xでは駄目なのですよね？
何故代入していいものとしてはいけないものがあるのでしょうか？
そこが一番知りたいところなのです。
それらについての記述もお願いします。

それと、xやx^2はもうすでにマクローリン展開されているということ
なのでしょうか？


＞ただし収束半径などが一般に変わることに注意。
例えば g (x) = e^x - 1 .

収束半径が一般に変わるとはどういうことでしょうか？

質問攻めですがお願いします。

21090．Re: マクローリン展開についての質問です
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月20日(金) 15時44分
g (0) = 0 の場合、
log (1 + t) = t - t2/2 + t3/3 - ........
の t に g (x) = a1x + a2x2 + a3x3+ .....
を代入して

log (1 + g (x)) = a1x + a2x2 + a3x3+ ..... -(a1x + a2x2 + a3x3+ .....)2/2 + (a1x + a2x2 + a3x3+ .....)3/3 - ....

を整理すると、次数の低い順に係数が定まって行きますが、
g (0) ≠ 0 の場合は定数項だけでも無限級数になります。

g (x) = sin x = x - x3/6 + .........

を代入すると、log(1 + sin x)
= (x - x3/6 + ....) - (x - x3/6 + .... )2/2 + (x - x3/6 + .... )3 - (x - x3/6 + ....)4/4 + ........

の 4 次の項だけを計算すると、 (1/12)x4 .

＞それと、xやx^2はもうすでにマクローリン展開されているということ
なのでしょうか？

そう考えてよいと思います。

＞収束半径が一般に変わるとはどういうことでしょうか？
log (1 + t) のマクローリン展開の収束半径は 1 ですが、
f(x)＝log(1 + g (x)) , g (x) = e^x - 1 の場合は
f (x) = x, 収束半径 ∞ となる。

21130．Re: マクローリン展開についての質問です
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月22日(日) 17時31分
補足：
(1) これは証明を必要とする事柄ですが、略しました。

(2) 実例追加 : log(1 + 7x) のマクローリン展開の収束半径は 1/7

21152．Re: マクローリン展開についての質問です
名前：kojima    日付：5月23日(月) 10時17分
整理するとは微分を行い、a1,a2,a3...
というように求めていくということだったんですね…(今頃気づいた

収束半径を求める場合r＝lim(n→∞)|C_n+1/C_n|から求める
ということを知らなかったので、収束半径とは？と思っていました。
注:Cn＝f^(n)(a)/n!

log(1+7x)の場合、過程をかなり省略しますが
r＝lim(n→∞)|(-1)×(n+1/n)×1/7|
＝1/7

f(x)＝log[1+g(x)],g(x)＝e^x-1
の場合はどう計算すれば良いのでしょう？

マクローリン展開すると
一階微分ですでにf'(0)＝1となってしまい
C_2＝0が出てきて、C_n＝C_(n+1)＝0となり
収束半径の値が出てこないのですが…。

21153．Re: マクローリン展開についての質問です
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月23日(月) 16時58分
＞r＝lim(n→∞)|C_n+1/C_n|
これはいつでも適用できる方法ではありません。

log (1 + (e^x - 1)) = log e^x = x で、
収束半径 ∞ .

21170．Re: マクローリン展開についての質問です
名前：kojima    日付：5月24日(火) 23時0分
この場合の収束半径は如何にして求めるのでしょうか？
いまひとつ収束半径の定義が判っていないので教えて頂けませんか？
(言葉だけでなくｘなど文字を使って頂けると幸いです。

私自身、収束半径|x-a|＝r＝|lim(n→∞)C_n/C_(n+1)|だと思っていましたから。

21184．Re: マクローリン展開についての質問です
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月25日(水) 15時33分
一般に

g (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3+ .....

の収束半径とは、この級数が |x| ＜ r なら収束し、 |x| ＞ r なら発散するような r のことで

す。r＝|lim(n→∞)C_n/C_(n+1)| が収束するなら、 r が収束半径となりますが、存在しない場合

もあるので、その場合は別の方法を考えるということになります。

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/complex/complex6/compl6_4.html
など参照。

21075．互いに素  
名前：darkstar    日付：5月19日(木) 16時34分
一次以上の実数係数の多項式F(x)、G(x)が互いに素とは
どういった条件ですか？


21076．Re: 互いに素
名前：ヨッシー    日付：5月19日(木) 16時42分
因数分解したとき、共通の因数がない、ということでしょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

21081．Re: 互いに素
名前：darkstar    日付：5月19日(木) 21時52分
ではF(x)=2xとG(x)=2x+2は互いに素ですか？

21084．Re: 互いに素
名前：アカギ    日付：5月20日(金) 0時40分
２がありそう…(´･д･)

21085．Re: 互いに素
名前：tellurium    日付：5月20日(金) 1時2分
実数係数と言っているので、2xと2x+2は互いに素です。
もし整数係数での話だったら、2が最大公約因子です。

21086．Re: 互いに素
名前：darkstar    日付：5月20日(金) 1時43分
ありがとうございます。
なんかいろいろ考えてたらごっちゃになちゃって。
すっきりしました。

21070．見にくくてｺﾞﾒﾝﾅｻｨ  
名前：りさ***高②    日付：5月18日(水) 22時5分
　　　 x　　　　2　　　　　 d　　　　　　 2
f(x)＋∫　g(t)=3x　＋2x＋1,　―f(x)=g(x)＋4x
0　　　　　　　　　　dx　

を満たす関数f(x),g(x)を求めよ、って問題なんですけど求め方がぃまぃちゎかりません｡


21071．Re: 見にくくてｺﾞﾒﾝﾅｻｨ
名前：りさ***高②    日付：5月18日(水) 22時7分
なんかすごぃｽﾞﾚちゃぃました　汗
すぃません　ゃっぱ大丈夫です;;

21066．√(1+x)をマクローリン展開した式  
名前：のんびり屋（高３）    日付：5月18日(水) 19時13分
√(1+X)のマクローリン展開をした式がわかりません。
項数nを使った一般項を教えてください。


21072．Re: √(1+x)をマクローリン展開した式
名前：みっちぃ    日付：5月19日(木) 1時29分
マクローリン展開のx^nの係数は，f^(n) (0)/n!です．
f^(n) (x)はf(x)をn回微分した関数．

f^(0) (x)=f(x)=(1+x)^(1/2)
f^(1) (x)=f'(x)=(1/2)*(1+x)^(-1/2)
f^(2) (x)=f"(x)=(-1/4)*(1+x)^(-3/2)
f^(3) (x)=(3/8)*(1+x)^(-5/2)
f^(4) (x)=(-3*5/16)*(1+x)^(-7/2)…
となっています．

ここから推測できるf^(n) (x)= (-1)^(n-1) *(1/2)^n *{1*3*5*…*(2n-3)}*(1+x)^{-(2n-1)/2} (n=2,3,…)
です．
(このへんの計算は結構感覚的なので，自力で探してみてください)

奇数だけの積1*3*5*…*(2n-3) =1*2*3*…*(2n-2)/{2*4*…(2n-2)}
=(2n-2)!/{2^(n-1)*(n-1)!}となります．

従って，n=2,3,…でのx^nの係数は (-1)^(n-1) *(2n-2)!/{2^(2n-1)*(n-1)!}となります．
ちなみに，0!=1なので，この係数はn=1でも有効．

当然，定数項は1です．

21074．Re: √(1+x)をマクローリン展開した式
名前：のんびり屋（高３）    日付：5月19日(木) 14時21分
わかりました。丁寧に解説していただき、ありがとうございました。

21064．二項定理  
名前：武（高２)    日付：5月18日(水) 17時10分
（問題）
(ａ^2＋ｂ^3／ａ)^10を展開したときｂ^21／ａの係数を求めなさい。

解答見ても10Ｃ7をどのようにして求めたのか解かりません。詳しい説明よろしくお願いします。


21068．Re: 二項定理
名前：KINO    日付：5月18日(水) 19時52分
二項定理を用いると，展開式には
10Ck*(a2)10-k*(b3/a)k=10Ck*a2*(10-k)+(-1)*kb3k
という項が出てきます。
文字の部分が b21/a=a-1b21 に一致するような k を求めると，
a の指数について：2*(10-k)+(-1)*k=-1,
b の指数について：3k=21.
b の指数に関する条件から，k=7. これは a の指数に関する条件もみたしています。
よって b21/a の係数は 10C7 となります。

21063．(untitled)  
名前：ぷぃ    日付：5月18日(水) 16時15分
パップスの定理の射影幾何を使った証明とプトレマイオス・オイラーの定理の証明を教えて下さい。

21055．(untitled)  
名前：みらく。    日付：5月17日(火) 17時36分
タンクに水をいっぱい入れるのに、Aの水道だけでは８時間、Bの水道だけでは６時間かかる。AとBを同時に使うと何時間かかるか？
どうやって考えたら解けるのですか？教えてください。


21057．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月17日(火) 17時58分
タンクには２４リットルの水が入ると考えて、
Ａは１時間に３リットル、Ｂは１時間に４リットル入れる。
２つだと、１時間に７リットル入る。　と考えましょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

21058．Re: (untitled)
名前：みらく。    日付：5月17日(火) 20時41分
ありがとうございました。

21051．三角関数  
名前：IGA(高２）    日付：5月17日(火) 6時14分
三角関数で積和変換公式、和積変換公式がありますよね。
みなさんは覚えましたか？それともテストを受けてるときだったらテスト中に導きましたか？
教えてください。
お願いします。


21052．Re: 三角関数
名前：ヨッシー    日付：5月17日(火) 8時33分
私は、一通り覚えて、実際には加法定理から導いてましたね。
覚えたというのは、どんなタイプの公式だったか？
　cosＡ＋cosＢ　の形には使えても、
　sinＡ＋cosＢ　の形には使えないとか、
　ａcosＡ＋ｂcosＢ　もダメだとか
判断がつく程度に。頭に２が付くとか 1/2 が付くとかは、導いて確認してましたね。
　
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21067．Re: 三角関数
名前：IGA(高２）    日付：5月18日(水) 19時14分
参考になります。
有り難うございました。

21048．一次変換  
名前：初夏    日付：5月17日(火) 1時7分
点Pを通る傾き２の直線がｙ＝３ｘと交わる点をP´とする。
PをP´に対応させる一次変換を表す行列Aをもとめよ。
という問題で、ひとつはP（ｘ、ｙ）と（ｘ´、ｙ´）の傾きからの関係式、もうひとつはｙ´＝３ｘ´をどう関係させればいいのでしょうか。
宜しくお願いします


21049．Re: 一次変換
名前：KINO    日付：5月17日(火) 1時40分
一次変換を表す行列 A は，(1,0) が写った先を (a,b), (0,1) が写った先を (c,d) とすると，
|a c|
|b d|
となります。
それはなぜかというと，任意の点 P=(p,q) は (p,q)=p(1,0)+q(0,1) と表せるので，一次変換を f で表すと，一次変換の性質より
f((p,q))=pf((1,0))+qf((0,1))=(ap,bp)+(cq,dq)=(ap+cq,bp+dq)=A(p,q) となるからです。
というわけで，(1,0) を通る傾き 2 の直線 y=2(x-1) と y=3x の交点は (-2,-6), (0,1) を通る傾き 2 の直線 y=2x+1 と y=3x の交点は (1,3) なので，求める行列は
|-2 1|
|-6 3|
となります。

21054．Re: 一次変換
名前：初夏    日付：5月17日(火) 17時17分
ありがとうございました。

21042．どうやるんですか？  
名前：すすか（中３）    日付：5月16日(月) 20時53分
次の式を因数分解しなさい。

（１）ｘ二乗+２ｘ+１　　　（２）ｘ二乗+４ｘ+４

（３）ｘ二乗+１２ｘ+３６　（４）ａ二乗+１４ａ+４９

（５）ｘ二乗-６ｘ+９　　　（６）ａ二乗-１６ａ+６４

ちなみに（１）の答えが（ｘ+２）二乗、（２）が（ｘ+４）二乗で
合ってますか？
それと（３）～（６）を教えてください


21043．Re: どうやるんですか？
名前：ヨッシー    日付：5月16日(月) 22時43分
これらの因数分解をする前に、展開の問題
(x+1)2
(x+2)2
(x+3)2
(x+4)2
(x+5)2
(x+6)2
(x+7)2
(x+8)2
(x+9)2

(x-1)2
(x-2)2
(x-3)2
(x-4)2
(x-5)2
(x-6)2
(x-7)2
(x-8)2
(x-9)2

を、全部やりましょう。
因数分解はある種のひらめきですが、経験したことのないことについては
ひらめきようがありません。
　　
http://yosshy.sansu.org/

21059．Re: どうやるんですか？
名前：すすか（中３）    日付：5月17日(火) 22時13分
ひらめきました。
わざわざ問題をだしていただき
ありがとうございました。
問題集を利用して忘れないように
しています。

21036．極限  
名前：ひろ    日付：5月16日(月) 12時42分
lim[x→0]{e^(x)-1}/x=1を用いて求めよ。ロピタルは使わないこと

lim[x→0]{e^(2x)+2e^(x)-3}/e^(3x)-1

よろしくお願致します。


21038．Re: 極限
名前：花パジャ    日付：5月16日(月) 15時36分
x≠0で
(e^(2x)+2e^(x)-3)/(e^(3x)-1)=(e^(x)+3)/(e^(2x)+e^(x)+1)
だからx→0で　→4/3

21046．Re: 極限
名前：ひろ    日付：5月16日(月) 23時57分
ありがとうございました。

21030．訂正  
名前：トム（大1）    日付：5月15日(日) 23時12分
すいません間違いました。
『y＝arccosXのとき』→『ｙ＝cot^-1（ｘ）のとき』
でした。お詫びします。

21029．逆三角関数  
名前：トム（大1）    日付：5月15日(日) 23時0分
大学で初めて逆三角関数を習ったのですが、
『y＝arccosXのとき、
　　ｄ^2ｙ/dx^2＝sin^2（y）sin（2y）を示せ。』
という問題ができませんでした。どうしても違う結果になってしまいます。ご指導のほどお願い致します。


21031．Re: 逆三角関数
名前：tomo（高２）    日付：5月16日(月) 0時1分
Y=coｔ^-1(X)より、X=cot(Y)=1/tan(Y)で、両辺をｘで微分して、 1=-1/sin^2(Y)・dy/dx　　dy/dx＝-sin^2(Y)　となり、もう一回両辺をｘで微分すると、　d^2/dx^2＝-2sin(Y)cos(Y)・dy/dx=2sin^3（Y)cos(Y)となって、あとはこの式をsinの２倍角を使えば、示せると思います。 説明下手なんで、わかりにくかったらすいません；

21032．Re: 逆三角関数
名前：トム（大1）    日付：5月16日(月) 0時44分
できましたー（＞ロ＜）
説明が分かりやすくて助かりました。
本当にありがとうございましたｍ（＿＿）ｍ

21024．マクローリンについて  
名前：大    日付：5月15日(日) 14時48分
マクローリンの所のlog{x+1}の所間違ってません？


21034．Re: マクローリンについて
名前：ヨッシー    日付：5月16日(月) 9時1分
あえて、「どこが？」と聞いてよろしいですか？
　
http://yosshy.sansu.org/

21039．Re: マクローリンについて
名前：大    日付：5月16日(月) 16時47分
すいません。合ってました。ln１＝０だと知りませんでした

21040．Re: マクローリンについて
名前：ヨッシー    日付：5月16日(月) 17時0分
はい。安心しました。(^^;
　
http://yosshy.sansu.org/

21023．不等式の証明  
名前：おっさん（社会人）    日付：5月15日(日) 14時40分
最近、数学を勉強してみようと思い、数検など受けていますが・・・
次の不等式の証明がどうしてもできない・・・
どなたか、ヒントでもいいので、教えてください。

ｘ＞ｙ＞０，ｚ＞ｗ＞０で
ｘ＋ｙ＞ｚ＋ｗ，ｘｙ＝ｚｗ のとき
ｘ＞ｚ＞ｗ＞ｙ であることを証明せよ。

ｘ＞ｗ，ｚ＞ｙ は導けるのですけれど・・・


21025．Re: 不等式の証明
名前：矢作勝美    日付：5月15日(日) 20時46分
　ｘｙ＝ｚｗ　⇔　ｘ／ｗ＝ｚ／ｙ
より，この値を文字でおき，それが１より大きいことを見ればよいでしょう．

21027．Re: 不等式の証明
名前：花パジャ    日付：5月15日(日) 21時17分
x(x+y)>x(z+w)とか

21028．Re: 不等式の証明
名前：おっさん（社会人）    日付：5月15日(日) 22時24分
アドバイスありがとうございます。
アドバイスに従い、考えてみたんですけど
どうも理解力に乏しいのでしょうか？
やっぱり、ｘ＞ｗ、ｚ＞ｙまでしか導けません・・・
完全解答が欲しい・・・

21033．Re: 不等式の証明
名前：らすかる    日付：5月16日(月) 4時2分
(x-y)^2＝(x+y)^2-4xy＞(z+w)^2-4zw＝(z-w)^2
x-y＞0、z-w＞0 だから x-y＞z-w
これと x+y＞z+w を辺々加えて２で割ると x＞z
これと xy=zw から x/z=w/y＞1 なので w＞y
条件より z＞w なので x＞z＞w＞y
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21035．Re: 不等式の証明
名前：矢作勝美    日付：5月16日(月) 10時1分
各変数正より
　ｘ／ｗ＝ｚ／ｙ＝ｔ＞０
なるｔが存在して
　ｘ＞ｙ＞０，ｚ＞ｗ＞０，ｘ＋ｙ＞ｚ＋ｗ　⇔　ｗｔ＞ｙ＞０，ｙｔ＞ｗ＞０，(ｗ－ｙ)ｔ＞ｗ－ｙ
この第１，２式よりｙを消して
　ｗｔ^{２}＞ｗ＞０　　∴　ｔ＞１
これと第３式より
　(ｗ－ｙ)ｔ＞ｗ－ｙ＞０　　∴　ｘ＞ｚ，ｗ＞ｙ

21041．Re: 不等式の証明
名前：おっさん（社会人）    日付：5月16日(月) 19時20分
ありがとうございました

21022．不定積分（高２）  
名前：tomo    日付：5月15日(日) 13時2分
∫　sin^2x／（1＋sin^2x　）ｄｘ　の積分が全く解けません。回答をお願いします。わかりにくいですが、sin^2xは、sin2xではなく、(sinX)^2です。　


21026．Re: 不定積分（高２）
名前：矢作勝美    日付：5月15日(日) 21時4分
　ｔ＝ｔａｎ(ｘ／２)
とおき，部分分数分解すればよいでしょう．

21047．Re: 不定積分（高２）
名前：tomo（高２）    日付：5月17日(火) 0時10分
その方法は前に試したんですが、計算が正しければ、2∫4ｔ^2／｛（t^2+1)(t^4+6t^2+1)｝dx＝2∫1／(1+t^2)dxー2∫(1+t^2)／(t^4+6t^2+1)dxとしか分解できず、どうしても右の分数が積分できません。誰かわかりませんか？

21053．Re: 不定積分（高２）
名前：矢作勝美    日付：5月17日(火) 16時8分
　ｔ^{２}＋６ｔ＋１＝(ｔ^{２}＋３)^{２}－８
でしょう．

21015．面積  
名前：数学できない人（高3）    日付：5月15日(日) 1時29分
直線　ｙ＝kxが,曲線　ｙ＝x^2-4x　とx軸で囲まれる部分の面積Sを2等分するとき,k,Sの値をそれぞれ求めよ
Sの値はできたのですがｋの値ができません


21016．Re: 面積
名前：らすかる    日付：5月15日(日) 2時32分
y=kx と y=x^2-4x との交点のx座標は 0 と k+4 なので、
∫[0～k+4]kx-(x^2-4x)dx = S/2
からkが求められます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21017．Re: 面積
名前：ヨッシー    日付：5月15日(日) 6時29分
私の計算に間違いがなければ、
　k^3+12k^2+48k+32=0
を解かないといけないのですが、これはきれいには解けませんね。
　
http://yosshy.sansu.org/

21018．Re: 面積
名前：数学できない人（高3）    日付：5月15日(日) 9時57分
答えには三乗根が入っていました

21020．Re: 面積
名前：花パジャ    日付：5月15日(日) 10時48分
計算の途中で展開すると難しくなります。
件の式は(k+4)^3=32です。

21007．三角関数の合成  
名前：IGA(高２）    日付：5月14日(土) 16時54分
次の式をrcos(θ-α）の形に変形せよ。ただしr>0とする。

(1)sinθ+cosθ
教科書で公式で
asinθ+bcosθ=√(a^2+b^2)sin（θ+a)とするのは学んだのですが、
cosの形にするのは学んでません。
どうすればいいでしょうか。
お願いします。


21008．Re: 三角関数の合成
名前：ヨッシー    日付：5月14日(土) 17時23分
合成の公式といっても、結局は加法定理なわけです。
たとえば、
　ａsinθ＋ｂcosθ
において、ａ＝cosφ、ｂ＝sinφ　となるようなφがあれば、この式は
　cosφsinθ＋sinφcosθ＝sin(θ＋φ)
と書けます。ところが、実際はそのようなａ，ｂばかりではありません。
第一、sin2φ＋cos2φ＝１ にあたる、ａ2＋ｂ2＝１ が
成り立つとも限りません。
そこで、√(ａ2＋ｂ2) で割って、
　(ａ／√(ａ2＋ｂ2))sinθ＋(ｂ／√(ａ2＋ｂ2))cosθ
とすると、
　ａ／√(ａ2＋ｂ2)＝cosφ、ｂ／√(ａ2＋ｂ2)＝sinφ
となるφはなにがしか存在するので、そのφに対して
　sin(θ＋φ)
とすることが出来ます。ただし、√(ａ2＋ｂ2) で割ったままではいけませんので、掛け戻して
　√(ａ2＋ｂ2)sin(θ＋φ)
とします。

同様のことを、cosの加法定理
　cos(θ＋φ)＝cosφcosθ－sinφsinθ
について考えると、
　sinθ＋cosθ＝√２{(1/√2)cosθ－(-1/√2)sinθ}
より、cosφ＝1/√2、sinφ＝-1/√2
となるφを考えると、。。。（以下略）
　
http://yosshy.sansu.org/

21012．Re: 三角関数の合成
名前：IGA(高２）    日付：5月14日(土) 20時26分
>第一、sin2φ＋cos2φ＝１ にあたる、ａ2＋ｂ2＝１ が
成り立つとも限りません。
そこで、√(ａ2＋ｂ2) で割って

がわかりません。

何故成り立つとは限らないのですか。
また何故、√(ａ2＋ｂ2)で割るのですか？
教えてください。
お願いします。

21014．Re: 三角関数の合成
名前：ヨッシー    日付：5月15日(日) 0時41分
例えば、
　2sinθ＋2cosθ
において、cosφ＝２，sinφ＝２ となるようなφはありませんね。
φが実数の範囲では　sinφ も cosφも、－１以上１以下ですから。
また、そうでなくても、
　(1/2)sinθ＋(1/2)cosθ
において、cosφ＝1/2，sinφ＝1/2 となるφもありません。
cosφ＝1/2 なら、sinφ＝±√3/2 だからです。
これで、ａsinθ＋ｂcosθ において、必ずしも、
　cosφ＝ａ、sinφ＝ｂ
となるφが見つかるとは限らないことが分かると思います。

一方、√(ａ2＋ｂ2) でくくって、
　ａsinθ＋ｂcosθ＝√(ａ2＋ｂ2){(ａ/√(ａ2＋ｂ2))sinθ＋(ｂ/√(ａ2＋ｂ2))cosθ}
とすると、
　(ａ/√(ａ2＋ｂ2))sinθ＋(ｂ/√(ａ2＋ｂ2))cosθ
の部分は、
　ａ/√(ａ2＋ｂ2)＝cosφ
　ｂ/√(ａ2＋ｂ2)＝sinφ
となるφは存在します。
　{ａ/√(ａ2＋ｂ2)}2＋{ｂ/√(ａ2＋ｂ2)}2＝１
が成り立ち、sin、cos の関係を満たしているからです。
そのために、√(ａ2＋ｂ2) で割った（というより、くくり出した）のです。
　
http://yosshy.sansu.org/

21050．Re: 三角関数の合成
名前：IGA(高２）    日付：5月17日(火) 6時12分
わかりました。
有り難うございました。

21001．(untitled)  
名前：リンコ    日付：5月14日(土) 11時48分
32人がタクシーに乗って5000ｍ離れた地点に行きたい。5人乗り(運転手を含まない)タクシーは2000ｍまで280円で、あとは360ｍごとに50円加算される。4人乗りタクシーは、2000ｍまで260円で、あとは380ｍごとに50円加算される。いずれも端数は切り上げられる。最も安く利用するといくらになるか。

よろしくお願いします。


21004．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月14日(土) 13時28分
途中に計算を入れて、問題を難しくしていますが、要するに、
「目的地に行くまでに、５人乗りタクシーは７３０円。４人乗りタクシーは
６６０円かかります。３２人が出来るだけ安く移動するには、それぞれの
タクシー何台ずつ利用すればいいでしょう？」
という問題ですね。
　
http://yosshy.sansu.org/

21060．Re: (untitled)
名前：リンコ    日付：5月17日(火) 22時13分
意外と簡単な問題だったんですね。ありがとうございました。

20997．2題  
名前：数学できない人（高3）    日付：5月14日(土) 3時14分
点Ｏを原点とする空間の2点Ａ(1,3,5),Ｂ(6,－2,10)と,直線ＡＢ上の点Ｐがある
(1)｜ベクトルＯＰ｜が最小となる点Ｐの座標を求めよ
ベクトルＯＰ･ベクトルＡＢ＝0ってことが分かったのですが計算方法がわかりません。
もう一題は
等差数列{an}(nは項数です)2,5,8,11,14,…,{bｎ}3,7,11,15,…の二つの数列に共通に現れる数を小さい順に並べてできる数列の第ｎ項を求めよ。また,{an}の始めの第1000項までのうちで,{ｂｎ}と共通なものの和を求めよ。
この問題は最初の問題はできたのですが後半の問題ができません。おねがいします


20998．Re: 2題
名前：ヨッシー    日付：5月14日(土) 8時12分
(1)
点Ｐの座標は、ＡＢ＝(5, -5, 5)＝5(1, -1, 1) より、
(1, 3, 5) + t(1, -1, 1) = (1+t, 3-t, 5+t)
と表せます。
教科書通りに書くと、点(1, 3, 5) を通り、ベクトル(1, -1, 1) に平行な
直線の方程式の、媒介変数表示
　x = 1+t, y = 3-t, z = 5+t
です。
ＯＰ＝(1+t, 3-t, 5+t)
ＡＢ＝5(1, -1, 1)
より、
ＯＰ・ＡＢ＝５(1+t, 3-t, 5+t)・(1, -1, 1)
　　＝５{(1+t)-(3-t)+(5+t)}＝５(3+3t)＝０
より、t=-1
これより、Ｐ(0, 4, 4)　となります。
　
http://www.nobel.co.jp/nobel/okoku/gekijo/index.html

20999．Re: 2題
名前：ヨッシー    日付：5月14日(土) 8時36分
an は公差３、bn は公差４であり、最初の共通項は11であるので、
求める数列は、初項１１，公差１２の等差数列で第ｎ項は
　11+12(n-1)＝12n-1
an の最初の１０００項のうち、bn　と共通なものは
　１０００÷４＝２５０（項）
なので、12n-11 の第１項１１から、第２５０項２９９９までの和を求めればよい。
（１１＋２９９９）×２５０÷２＝３７６２５０
　
http://yosshy.sansu.org/

21002．Re: 2題
名前：数学できない人（高3）    日付：5月14日(土) 12時2分
解く事ができました
1つ目のベクトル問題なんですが
(1)で求めた点Pに対して,ΔOAPの面積をもとめよ
というのが分かりません

21005．Re: 2題
名前：ヨッシー    日付：5月14日(土) 13時29分
∠ＯＰＡは直角なんですね。
だとすると？
　
http://yosshy.sansu.org/

21011．Re: 2題
名前：数学できない人（高3）    日付：5月14日(土) 18時11分
内積が0ってことですね？

21021．Re: 2題
名前：ヨッシー    日付：5月15日(日) 11時5分
というより、ＯＰが最小になるように、∠ＯＰＡが垂直になる位置を求めたのですよね？
　
http://yosshy.sansu.org/

21037．Re: 2題
名前：ヨッシー    日付：5月16日(月) 14時31分
△ＯＡＰの面積を求めるのに、
∠ＯＰＡ＝90°
であることがわかったら、あと何がわかれば面積が出ますか？
　
http://yosshy.sansu.org/

20994．極限  
名前：つかさ    日付：5月13日(金) 22時32分
また極限ですがお願いいたします
(1)lim[x→+∞]√{(x+3)(5x-1)}/(x+3)

(2)lim[x→-∞]√{(x+3)(5x-1)}/(x+3)

(3)lim[x→+∞]√(3x^2+x+2)-√(3x^2+6x-4)

よろしくおねがいします


20995．Re: 極限
名前：c.e.s.    日付：5月13日(金) 23時20分
(1)lim[x→+∞]√{(x+3)(5x-1)}/(x+3)
=lim[x→+∞]√{(1+3/x)(5-1/x)}/(1+3/x)
　↑分母と分子をxで割る
=√{(1+0)(5-0)}/(1+0)=√5

(2)lim[x→-∞]√{(x+3)(5x-1)}/(x+3)
=lim[x→+∞]√{(-x+3)(-5x-1)}/(-x+3)
　↑分母と分子を負の数で割るとマズいので、いったん変換…☆
=lim[x→+∞]√{(-1+3/x)(-5-1/x)}/(-1+3/x)
=√{(-1+0)(-5-0)}/(-1+0)=-√5
☆の例：√(5×3)/-1=√{(5×3)/(-1)^2}とはできない。

(3)lim[x→+∞]√(3x^2+x+2)-√(3x^2+6x-4)
=lim[x→+∞]{√(3x^2+x+2)-√(3x^2+6x-4)}{√(3x^2+x+2)+√(3x^2+6x-4)}/{√(3x^2+x+2)+√(3x^2+6x-4)}
　↑定石：分子の有理化
=lim[x→+∞]{(3x^2+x+2)-(3x^2+6x-4)}/{√(3x^2+x+2)+√(3x^2+6x-4)}
=lim[x→+∞](-5x+6)/{√(3x^2+x+2)+√(3x^2+6x-4)}
=lim[x→+∞](-5+6/x)/{√(3+1/x+2/x^2)+√(3+6/x-4/x^2)}　←分母と分子をxで割る
=(-5+0)/{√(3+0+0)+√(3+0-0)}=-5/(2√3)

20996．Re: 極限
名前：つかさ    日付：5月13日(金) 23時35分
解説までしてくれてとてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。

20993．わかるかな  
名前：はなチャッピー20号    日付：5月13日(金) 22時0分
次の「α」には同じ数が入ります。何でしょう？
Q1　30×α＝2700
　　α×80＝7200
　　α－35＋22＋13＝α
　　360÷α＝４
http://avg-maker.com/208847.html


21003．Re: わかるかな
名前：ＴＯＭ    日付：5月14日(土) 12時14分
α＝９０

20987．三角関数  
名前：IGA(高２）    日付：5月13日(金) 5時3分
cosx=cos{2*2/x}
=2cos^2{x/2}-1
とあったのですが
cos{2*2/x}=2cos^2{x/2}-1

となる過程を教えてください。お願いします。


20990．Re: 三角関数
名前：ヨッシー    日付：5月13日(金) 14時1分
２倍角の公式
　cos２α＝cos2α－Sin2α
　　　＝２cos2α－１
　　　＝１－２Sin2α
は、ご存知ですか？
　
http://yosshy.sansu.org/

21006．Re: 三角関数
名前：IGA(高２）    日付：5月14日(土) 16時49分
わかりました。有り難うございました。

20979．２次不等式  
名前：りな    日付：5月12日(木) 18時59分
２つの2次次方程式 ax^2-3x+a=0 , x^2-ax+a^2-3a=0について、次の条件を満たすように、定数aの値の範囲を定めよ。
(1)少なくとも一方が次数の解をもたない
(2)一方だけが実数の解をもつ

２つ続けてすいません↓↓ぉねがいします☆


20982．Re: ２次不等式
名前：c.e.s.    日付：5月12日(木) 20時1分
「(1)少なくとも一方が『実数』の解をもたない」ですか？

問題より、a≠0。ax^2-3x+a=0…☆、x^2-ax+a^2-3a=0…★とする。
(1)「少なくとも一方が実数解をもたない」
⇔「☆が実数解をもたない」または「★が実数解をもたない」
⇔(☆の判別式)<0または(★の判別式)<0
⇔9-4a^2<0またはa^2-4(a^2-3a)<0
⇔a<-3/2または3/2<aまたはa<0または4<a
⇔a<0または3/2<a
(2)「一方だけが実数の解をもつ」
⇔「「☆が実数解をもたない」かつ「★が実数解をもつ」」または「「☆が実数解をもつ」かつ「★が実数解をもたない」」
⇔「(☆の判別式)<0かつ(★の判別式)≧0」または「(☆の判別式)≧0かつ(★の判別式)<0」
⇔「9-4a^2<0かつa^2-4(a^2-3a)≧0」または「9-4a^2≧0かつa^2-4(a^2-3a)<0」
⇔…
⇔-3/2≦a<0または3/2<a≦4

20978．確率です。  
名前：りな    日付：5月12日(木) 18時57分
Aのゲームは５枚の１００円硬貨を同時に投げたとき、表の出た硬貨をもらえる。Bのゲームは１つのさいころを投げて、３以上の目が出るとその目の枚数だけの１００円硬貨をもらえ、２以下の目が出るとその芽の枚数だけの１００円硬貨を支払う。A、Bどちらのゲームに参加する方が有利か。

よろしくおねがぃします☆


20985．Re: 確率です。
名前：Kurdt    日付：5月12日(木) 21時10分
こんばんは。

(1) A のゲーム
まずは確率を求めましょう。

表0枚 ： 5C0/2^5
表1枚 ： 5C1/2^5
表2枚 ： 5C2/2^5
表3枚 ： 5C3/2^5
表4枚 ： 5C4/2^5
表5枚 ： 5C5/2^5

これをもとに A のゲームの期待値を求めると、
　(5C0/2^5)*0 + (5C1/2^5)*100 + (5C2/2^5)*200
　　+ (5C3/2^5)*300 + (5C4/2^5)*400 + (5C5/2^5)*500 = 250
となります。

(2) B のゲーム
確率は全て 1/6 なのでそれを利用して期待値を求めると、
　(1/6)*(-100) + (1/6)*(-200) + (1/6)*300
　　+ (1/6)*400 + (1/6)*500 + (1/6)*600 = 250
となります。


期待値が同じなのでどちらとも同じだけ有利と考えていいでしょう。
http://fairytale.holy.jp/

20977．数学☆  
名前：ピー    日付：5月12日(木) 18時53分
山頂の高さが１０ｍの東の頂上から、池の向こうにある山の頂上を見上げると仰角が３０°であった。また、水面に映った山頂のふ書くは４５°であった。山頂の水面からの高さを求めよ。


20981．Re: 数学☆
名前：ヨッシー    日付：5月12日(木) 19時38分

こんな位置関係になります。
　
http://yosshy.sansu.org/

20976．(untitled)  
名前：tetuo    日付：5月12日(木) 18時41分
三角関数で、TAN－１の意味がわかりません。わかりやすく図や、式で説明してほしいです。
よろしくおねがいします。


20980．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月12日(木) 19時11分
tan-1 は、tan の逆関数です。たとえば、
　tan(π/4)＝１　に対して、　tan-1１＝π/4
といった具合です。
tan が１になるような角度は、π/4 だけではなく、5π/4、-3π/4 など
いっぱいありますが、一般的には、
　－π/2＜tan-1ｘ＜π/2
の範囲で、関数の値を決めます。

同様に、Sin-1、Cos-1 もあります。
　
http://yosshy.sansu.org/

20972．(untitled)  
名前：カノン    日付：5月12日(木) 11時46分
ある商品を買うのに100個までは定価どうりであるが、101個以上買う場合は100個を超える分については2割引となる。ある金額でこの商品を買う場合、半分ずつの金額で2回に分けて買ったときと、1回でまとめて買ったときでは買える個数に20個の差があり、いずれもはんぱは出ない。この金額を、1/4と3/4に分けて買うと、1回でまとめて買ったときとの個数に差は何個になるか。

よろしくおねがいします。


20989．Re: (untitled)
名前：花パジャ    日付：5月13日(金) 11時26分
個数をx、金額をs、定価をaとすると
　s=ax (x≦100)
　s=100a+0.8a(x-100)=20a+0.8ax (x≧100)
一括での個数をx、半分ずつの1回分の個数をyとする
x≦100とすると、
　s=ax=2ay　∴x=2y
で、題意にそぐわない。
y≧100とすると
　s=20a+0.8ax=2(20a+0.8ay)　∴x=2y+25
で、題意にそぐわない。
x≧100,y≦100とすると
　s=20a+0.8ax=2ay ∴x=2y+0.5y-25
0.5y-25=±20なので
　y=50±40
x≧100,y≦100の条件より、x=200,y=90で、s=180a
1/4の方の個数をy,3/4の方の個数をzとすると
　45a=ay, 135a=20a+0.8az
これを解いて
　y=45, z=143.75
個数に半端はないので...

21000．Re: (untitled)
名前：カノン    日付：5月14日(土) 11時27分
最初の方の場合わけでX=2y,X=2y+25が題意にそぐわないといえるのは、何でいえるのでしょうか？

21019．Re: (untitled)
名前：花パジャ    日付：5月15日(日) 10時26分
題意より x=2y±20 だから

20971．(untitled)  
名前：カノン    日付：5月12日(木) 11時34分
正会員と準会員が同人数いるサークルが積立金で食事をすることにした。ただし、準会員は1000円自己負担とした。1人7000円のフランス料理にすると、60000円不足し、6000円の中華料理にすると、正会員が1人欠席すると積立金から支払うことができ、準会員が1人欠席すると積立金では不足する。積立金はいくらか。

解説によると、正会員、準会員をxとすると、フランス料理の時にかかる費用は　7x+6x=13（千円）となる。ということから始まっているのですが、6xの意味がよくわかりません。ここから教えてください。


20973．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月12日(木) 12時52分
１人当たりの費用が７０００円ですが、準会員は１０００円自分で出しているので、
積立金から出るのは、１人当たり６０００円だけです。
　
http://yosshy.sansu.org/

20988．Re: (untitled)
名前：カノン    日付：5月13日(金) 11時20分
おかげ様で納得できました。ありがとうございました。

20968．極限  
名前：つかさ    日付：5月12日(木) 8時7分
lim[x→0]{e^(x)-1/x}=1, lim[x→0]{sinx/x}=1を使って解け。
ロピタルは使わないこと

(1)lim[x→0]{e^(3x)-1/sin2x-x}

(2)lim[x→0]{e^(2x)+e^(x)-2/sin4x}

詳しく教えて頂けると助かります。
よろしくお願いします。


20969．Re: 極限
名前：みっちぃ    日付：5月12日(木) 8時27分
(1) lim[x→0] {e^(3x)-1}/{sin(2x)-x}
この後，少し不自然な書き方をしますが，お許しください．
(紙に問題を解くときは，分数のままのほうがわかりやすいと思います．)

=lim[x→0] {e^(3x)-1} ÷{sin(2x)-x}
÷の前後を，それぞれxで割った．(紙でやってるときは，分母・分子をxで割ってください)
=lim[x→0] [ {e^(3x)-1}/x] ÷[sin(2x)/x -x/x}]
公式にあるxは，分母・分子で同じ形をしていないといけないので，
=lim[x→0] [ 3*{e^(3x)-1}/(3x)] ÷[2*sin(2x)/2x -1}]
=3÷(2-1)=3


(2)lim[x→0]{e^(2x)+e^(x)-2/sin4x}
要領は，全く同じです．
=lim[x→0] {e^(2x)+e^(x)-2}÷{sin(4x)}
=lim[x→0] [{e^(2x)-1}/x + {e^(x)-1}/x]÷{sin(4x)/x} (÷の前後をxで割った．)
=lim[x→0] [2*{e^(2x)-1}/x + {e^(x)-1}/x]÷{4*sin(4x)/(4x)}
=(2+1)/4=3/4

20986．Re: 極限
名前：つかさ    日付：5月12日(木) 23時38分
ありがとうございます。
わかりやすくて助かりました。

20964．五角形の角度  
名前：tetuo    日付：5月12日(木) 2時6分
五角形で辺の長さがわかっていて、角度を求めたいのですが、どうしたらいいのですか。


20965．Re: 五角形の角度
名前：らすかる    日付：5月12日(木) 3時34分
辺の長さだけでは角度は決まりませんので、求めることは出来ません。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20975．Re: 五角形の角度
名前：tetuo    日付：5月12日(木) 18時34分
わかりました。角度は求められないのですね。
ありがとうございました。

20963．数列・・・  
名前：けい　高２    日付：5月11日(水) 23時20分
{1/(2^m +1)}+(1/(2^m +2)}+{1/(2^m　+3)}+……+{1/(2^m +2^m)}　
を求めよって問題なんですがどうすればよいのやらさっぱりです。

教えて下さい。よろしくお願いします。


20970．Re: 数列・・・
名前：豆    日付：5月12日(木) 8時46分
m→∞の極限値を求めるのじゃないのですね？

21013．Re: 数列・・・
名前：けい　高２    日付：5月14日(土) 23時35分
えーすいません。
えっと・・・極限ではなくて
{1/(2^m +1)}+(1/(2^m +2)}+{1/(2^m　+3)}+……+{1/(2^m +2^m)}　
＞1/2
となってて、どうしてそうなるのかがわからないんです。
お願いします。

21061．Re: 数列・・・
名前：豆    日付：5月18日(水) 11時14分
久方振りに下がってみたら，レスがついていました．
m=1のとき，与式=1/3で成立しません．mにはなにか条件があると思います．
再質問されるなら，下がってしまったので，新規で出して下さい．

21062．Re: 数列・・・
名前：ヨッシー    日付：5月18日(水) 11時44分
ｍ＝１　だと、
１／（２＋１）＋１／（２＋２）＝７／１２＞１／２
なので、成り立ちます。
ｍ＝０ だと　１／２ になるので、ｍ：自然数じゃないでしょうか？
　
http://yosshy.sansu.org/

21073．Re: 数列・・・
名前：豆    日付：5月19日(木) 10時57分
ヨッシーさん，下の方までどうもでした　(>_<)
完全に区分求積から頭が離れませんでしたが，
m=1のとき，OKですから，単調増加を示せば示せばよいのですね．
（逆だとの早とちりが命取り）
1/(2^(m+1)+2k-1)+1/(2^(m+1)+2k)=(1/2)(1/(2^m+k-1/2)+1/(2^m+k))
＞(1/2)・2・(1/(2^m+k))=1/(2^m+k)
これで，k=1～2^mの足し算でOKですね．

20960．教えてください。。。。  
名前：mikuni　　    日付：5月11日(水) 18時2分
高２です。加法定理が全く分からないんです。。。。良かったら教えてください。

次の関数のグラフを書け。また、この関数の最大値、最小値を求めよ。
ｙ=－ｓiｎｘ+ｃoｓｘ

お願いします。


20961．Re: 教えてください。。。。
名前：ＴＯＭ    日付：5月11日(水) 22時15分
三角関数の合成じゃないですか？

20962．Re: 教えてください。。。。
名前：motichan    日付：5月11日(水) 22時33分
Original Size: 383 x 240, 271KB

これグラフです。このグラフから
最小値:ｘ＝３π/４＋２ｎπ
最大値:ｘ＝７π/４＋２ｎπ
のときであることがわかりますからあとは数値を代入するだけです。


20966．Re: 教えてください。。。。
名前：mikuni　　    日付：5月12日(木) 7時1分
ありがとうございます。あの、グラフがどうしてそうなるのか教えていただきたいのですが。。。。

20992．Re: 教えてください。。。。
名前：X    日付：5月13日(金) 17時52分
横から失礼します。
TOMさんの仰るとおり、三角関数の合成を使うと
y=√2cos(x+π/4)　①
①のグラフは
y=cosx
のグラフのy軸方向に√2倍引き伸ばしたグラフ
y=√2cosx
をx軸方向に-π/4だけ平行移動したものになります。
よって①は
x+π/4=2nπ,つまりx=-π/4+2nπのとき最大値√2を取り、
x+π/4=π+2nπ,つまりx=3π/4+2nπのとき最小値-√2を取ります。
(但し,nは整数)
(注：
n-1=mとおくと
x=-π/4+2nπはx=7π/4+2mπ
∴mを改めてnに置き換えればmotichanさんのレスにおける①が最大になる場合のxと一致します。)

20948．確率  
名前：ひろ    日付：5月10日(火) 23時20分
10本のくじのうち当たりくじが2本ある。始めにA君次にB君が
1本ずつくじを引くとする。
次の確率を求めよ。
(1)A君、B君ともに当たる確率
(2)B君だけが当たる確率
(3)B君が当たる確率

よろしくお願いします。


20951．Re: 確率
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月11日(水) 0時36分
＞(1)A君、B君ともに当たる確率
に付いて。

当たりクジ同志区別がなく、又はずれクジ同志区別がないから、
1/( 10 C 2 ) = 1/45

20952．Re: 確率
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月11日(水) 0時52分
＞(3)B君が当たる確率
に付いて。

これは (1), (2) と無関係なので
2/10 = 1/5

20955．別解
名前：らすかる    日付：5月11日(水) 3時0分
(1) 2/10×1/9＝1/45
(2) 8/10×2/9＝8/45
(3) (1)+(2)=1/5
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20959．Re: 確率
名前：ひろ    日付：5月11日(水) 14時53分
我疑う故に存在する我様、らすかる様

ありがとうございます。
もっと勉強しないとおいていかれそうです。

20947．方程式  
名前：ひろ    日付：5月10日(火) 23時17分
x^(logx)=1000x^(2)をとけ。(logは常用対数)
よろしくお願いします。


20953．Re: 方程式
名前：KINO    日付：5月11日(水) 1時24分
まず，両辺を x^2 で割ると，x^{(log x)-2}=10^3.

次に，対数の定義から，x=10^(log x) と変形できることを利用すると，左辺は x^{(log x)-2}=10^[(log x){(log x)-2}] となります。

これであとは両辺の指数を比較して，(log x){(log x)-2}=3 となります。
y=log x とおいて式を見やすくすると，
y^2-2y-3=0. これを解くと y=-1 または 3.
つまり log x=-1 または 3. よって x=10^(-1)=1/10 または 10^3=1000.

20957．(ほとんど同じですが)別解
名前：らすかる    日付：5月11日(水) 3時15分
両辺の常用対数をとると
log{x^(logx)}=log{1000x^2}
(logx)logx=log1000+2logx
(logx)^2-2logx-3=0
(logx-3)(logx+1)=0
logx=3,-1
∴x=1000,1/10
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20958．Re: 方程式
名前：ひろ    日付：5月11日(水) 14時51分
KINO様、らすかる様
大変詳しく教えて頂きありがとうございました。

20946．三平方の定理  
名前：ゆうた大一    日付：5月10日(火) 22時12分
一辺の長さが１の正方形に傾きが３０°の正方形Bが内接している。
同様にBの正方形に３０°傾いて内接している正方形Cがある。
正方形Cの一辺の長さｃの長さはいくらか？
教えてください。
図を添付したかったのですが、はることができませんでした。


20954．Re: 三平方の定理
名前：らすかる    日付：5月11日(水) 2時51分
正方形Bのまわりに4つある直角三角形は、直角を挟む辺の長さの比が
1：√3 で、合計が 1 だから、2辺の長さは 1/(1+√3) と √3/(1+√3)
従って斜辺の長さは √{(1/(1+√3))^2+(√3/(1+√3))^2}=√3-1
正方形Bと正方形Cの辺の長さの比も 1：√3-1 になるから、
正方形Cの辺の長さは (√3-1)^2=4-2√3
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20942．漸近線  
名前：kohra    日付：5月10日(火) 14時7分
素朴な質問かもしれませんが、数学Ⅲにおいて漸近線という概念が出てきますが、一般的には漸近線は直線だけをいうのでしょうか？もし、曲線も含めればあらゆる関数において、漸近線が無数にあるということになりますよね。どうでしょうか？


20945．Re: 漸近線
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月10日(火) 16時48分
一般的には直線、或いはその片側（半直線で無限に遠ざかるほう）をいいます。
曲線同志の場合は曲線 A が 曲線 B 漸近する、などという場合もありますがあまり見かけません。
射影幾何的にいうと、二つの（曲）線が無限遠点において接すると云う事になります。

20939．中線定理について  
名前：ぴぃ　２年生    日付：5月10日(火) 11時25分
またまた質問なんですが、次↓のような中線定理の逆の証明ってできるんですか？
△ABCの辺BC上に点Mをおき、AB^+AC^=2(AM^+BM^) 成り立つなら、
点Mは辺BCを二等分する。


20940．間違えました…
名前：ぴぃ　２年生    日付：5月10日(火) 11時27分
> △ABCの辺BC上に点Mをおき、AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) 成り立つなら、
> 点Mは辺BCを二等分する。

20941．Re: 中線定理について
名前：顔なし    日付：5月10日(火) 13時17分
AMがBCと垂直である必要場有ると思うのですがどうでしょうか？

20943．Re: 中線定理について
名前：豆    日付：5月10日(火) 14時27分
AB^+AC^=2(AM^+BM^)を満たすBC上の点Mは
中点以外にもう1つあるので，逆は成り立ちません．

20944．Re: 中線定理について
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月10日(火) 16時37分
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender2&dd=19&re=8957
参照

20929．どうやるんですか？  
名前：すすか（中３）    日付：5月9日(月) 20時29分
和と積が、それぞれ次のようになる２つの整数を求めなさい。

（１）和が+5、積が+6　　　（２）和が-5、積が+6

（３）和が+5、積が-6　　　（４）和が-5、積が-6

お願いします。


20930．Re: どうやるんですか？
名前：ＴＯＭ    日付：5月9日(月) 21時10分
こういうとき積から考えるとよいですよ

（１）和が＋５　積が＋６
　　　
積が＋６を考えるとき掛け算九九を思い出します。
１×６　２×３のどちらか？
　和が＋５なのは・・・２＋３＝５　　よって２と３

同様にやって見ましょう。
積が－６の場合は符号も考慮しましょう。

20932．Re: どうやるんですか？
名前：すすか（中３）    日付：5月9日(月) 22時24分
（２）は１と６　　　（３）は-１と６　　（４）は-２と-３
　　　　　　　　で合ってますか？

20933．Re: どうやるんですか？
名前：ＴＯＭ    日付：5月9日(月) 22時36分
（２）積が６　和がー５
　和が負で積が正つまり両方負ということです。
　あとは積の＋６から　－１とー６か　－２とー３
　　　　和がー５なのは　－２とー３になります

（３）あってます。
（４）もやってみましょう

20934．Re: どうやるんですか？
名前：ＴＯＭ    日付：5月9日(月) 23時15分
すすかさん
このスレの５個下の20911に返信が着てますよ
これはわかったのかな？御礼も忘れずにしましょう。

20923．接弦定理の証明  
名前：ぴぃ　２年生    日付：5月9日(月) 15時19分
接弦定理の証明を詳しく教えてください！！
鋭角、直角、鈍角の３つの場合について証明する方法を
教えてください。


20926．Re: 接弦定理の証明
名前：ＴＯＭ    日付：5月9日(月) 18時6分
参考にしてみてください
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/m3cir106.htm
http://jukucho.no-ip.org/~jukucho/step/setugen2.wmv

20938．Re: 接弦定理の証明
名前：ぴぃ　２年生    日付：5月10日(火) 11時15分
ありがとうございます。

20922．サイコロ  
名前：ひろ    日付：5月9日(月) 13時46分
3つのサイコロを同時に投げるとき次を求めよ
(1)
出た目の数の和が１４になる確率

(2)
出た目の数の和が１６以上になる確率

よろしくお願いします。


20927．Re: サイコロ
名前：ヨッシー    日付：5月9日(月) 18時18分
サイコロをＡ，Ｂ，Ｃの３個とします。
(1)
Ａが１のとき、Ｂ，Ｃがどんな目でも１４にはなりません。
Ａが２のとき、Ｂ、Ｃが（６，６）の１通り。
Ａが３のとき、（５，６）（６，５）の２通り。
　・・・
Ａが６のとき、（２，６）（３，５）（４，４）（５，３）（６，２）の５通り。
以上、計１５通りで、すべての目の出方は６×６×６＝２１６なので、
　１５／２１６＝５／７２

(2)
Ａが１，２，３のときは、Ｂ，Ｃがどんな目でも１６以上にはなりません。
Ａが４のとき、（６，６）の１通り。
Ａが５のとき、（５，６）（６，６）（６，５）の３通り。
Ａが６のとき、（以下略）
　
http://yosshy.sansu.org/

20936．Re: サイコロ
名前：ひろ    日付：5月10日(火) 7時30分
ヨッシー様
有難うございます。
これを式で表すことは可能でしょうか

20956．Re: サイコロ
名前：らすかる    日付：5月11日(水) 3時9分
(1)
サイコロの目nを7-nに対応させて考えると、
出た目の数の和が14になる確率は、出た目の数の和が7になる確率に等しい。
出た目の数の和が7になる場合の数は、○○○○○○○の間に仕切り2本を
入れる場合の数に等しいから、求める確率は6Ｃ2/6^3=5/72

(2)
(1)と同様に考えると、(4Ｃ2+3Ｃ2+2Ｃ2)/6^3=5/108
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20967．Re: サイコロ
名前：ひろ    日付：5月12日(木) 8時4分
らすかる様、遅くなりましてすみません。
ありがとうございました。
(2)は7/216になってしまったのですが・・・

20974．Re: サイコロ
名前：らすかる    日付：5月12日(木) 14時59分
4Ｃ2＝6, 3Ｃ2＝3, 2Ｃ2＝1 ですから、
(4Ｃ2＋3Ｃ2＋2Ｃ2)/6^3＝(6+3+1)/6^3＝10/216＝5/108 となると思います。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20921．方程式  
名前：ひろ    日付：5月9日(月) 13時43分
連立方程式を解け。
4^(x)-4^(y)=48
2^(x+y)=32

x+y=5
2^(2x)-2^(2y)=48
2^(x)=a　, 2^(y)=bとおくと
a^(2)-b^(2)=48
ここから先がわかりません。
よろしくお願いします。


20925．Re: 方程式
名前：ヨッシー    日付：5月9日(月) 17時27分
x+y=5 より y=5-x ですから、
　４^x－４^(5-x)＝４８
Ｘ＝４^x とおくと、
　Ｘ－４^5/Ｘ＝48
両辺Ｘを掛けて
　Ｘ^2－1024＝48Ｘ
　Ｘ^2－48Ｘ－1024＝０
　(Ｘ－６４)(Ｘ＋１６)＝０
Ｘ＞０ より　Ｘ＝６４
　４^x＝６４　より　ｘ＝３
　
　
http://yosshy.sansu.org/

20937．Re: 方程式
名前：ひろ    日付：5月10日(火) 7時32分
ヨッシー様
有難うございます。
よく考えれば思いつく問題ですね。
すみませんでした。

20919．べき級数  
名前：あき　一回生    日付：5月9日(月) 9時13分
δ＞０において、区間（ーδ、δ）でべき級数ΣＡｎＸ＾ｎ≡０｛ｎ：０→∞｝ならＡｎ＝０を示せ。という問題がわかりません。解答を見ても省略されているので助けてください。


20924．Re: べき級数
名前：我疑う故に存在する我    日付：5月9日(月) 16時36分
冪級数が項別微分できることはご存知ですか？
以下これを認めます。

＞ΣＡｎＸ＾ｎ≡０
に x = 0 を代入して a_0 = 0.
両辺を微分してから x = 0 を代入して a_1 = 0, .....
以下同様。

20931．Re: べき級数
名前：あき　一回生    日付：5月9日(月) 22時8分
助かりました。

20911．お願いします  
名前：すすか（中３）    日付：5月8日(日) 21時30分
次の式を展開しなさい。

（１）（ａ-1+b）（ａ+2+b）　　　（２）（ｘ-3ｙ+5）（ｘ-3ｙ-5）

（３）（ｘ-ｙ-2）の二乗


20912．Re: お願いします
名前：アカギ    日付：5月8日(日) 22時6分
(a+b+c)(d+e+f)=a(d+e+f)+b(d+e+f)+c(d+e+f)
=ad+ae+af+bd+be+bf+cd+ce+cf
↑の分配法則を適用すれば地道ですが解けます。
（３）二乗の問題は前と後ろに同じものを代入です。
しかし、三年ってことと、前と後ろの括弧に同じものがあることを考えると…
たとえば（１）であればa+b=Mのようにおいてみると
(M-1)(M+2)のようになります。これだと
(a+b)(a+c)=a^2+a(b+c)+bcとして少し簡単に解くことができます。

20913．Re: お願いします
名前：すすか（中３）    日付：5月8日(日) 22時11分
すいません、私の頭ではよくわかりません
わかりやすい解き方はないでしょうか？

20917．Re: お願いします
名前：Kurdt    日付：5月9日(月) 5時36分
おはようございます。

(1)
(a-1+b)(a+2+b)
= (M-1)(M+2)　：　M=a+b とおく
= M2+M-2
= (a+b)2+(a+b)-2　：　M をもとに戻す
= (a2+2ab+b2)+(a+b)-2
= a2+2ab+b2+a+b-2

(2)
(x-3y+5)(x-3y-5)
= (M+5)(M-5)　：　M=x-3y とおく
= M2-25
= (x-3y)2-25　：　M をもとに戻す
= (x2-6xy+9y2)-25
= x2-6xy+9y2-25

(3)
(x-y-2)2
= (M-2)2　：　M=x-y とおく
= M2-4M+4
= (x-y)2-4(x-y)+4　：　M をもとに戻す
= (x2-2xy+y2)-4(x-y)+4
= x2-2xy+y2-4x+4y+4

どれも M などに置きかえることで展開の公式が使えるようになります。
http://fairytale.holy.jp/

20906．(untitled)  
名前：ユキ　高2[高1]    日付：5月8日(日) 19時17分
a,b,cを相異なる実数とする。このとき[1]a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3を因数分解せよ[2]a^3/[a-b][a-c]+b^3/[b-c][b-a]+c^3/[c-a][c-b]を計算せよというものなんですがまず[1]はどうやってまとめればいいんでしょうか。


20909．Re: (untitled)
名前：c.e.s.    日付：5月8日(日) 19時54分
因数分解の定石の1つに「最低次数の文字について整理」というのがあります。今回はどれも3次なので、どれでも構いません。試しにaについて整理してみます。
a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3
=(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+cb^3-bc^3　→aについて整理
=(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b-c)(b+c)
=(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)}　→共通因数のくくりだし
=(b-c){a^3-ab^2-abc+cb^2-ac^2+bc^2}
=(b-c){(c-a)b^2+(c^2-ac)b+a^3-ac^2}　→{}の中をbについて整理
=(b-c){(c-a)b^2+c(c-a)b-a(c-a)(c+a)}
=(b-c)(c-a){b^2+cb-a(c+a)}
=(b-c)(c-a)(b-a)(b+(c+a)) →{}の中をc(最低次数の文字)について整理してもいいけれども2次式なのでそのまま因数分解
=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) →見栄えをよくする
定石は経験で身に付きますが、意図して定石を列挙してみてもいいかもしれません。

20914．Re: (untitled)
名前：ユキ　高2[高1]    日付：5月8日(日) 22時47分
あっやっぱりaでまとめてよかったんですね。ありがとうございました。あと[2]はまず整式にするんですか?

20915．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月8日(日) 22時56分
整式という言い方は適当でありません。
いわゆる、通分です。
まず、最初の２項の通分をしましょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

20916．Re: (untitled)
名前：ユキ　高2[高1]    日付：5月9日(月) 1時20分
一度展開してから通分しようとしたらややこしくなってしまったのですが、この場合はどうすればいいんですか?

20918．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月9日(月) 6時25分
通分したときの分母は
(a-b)(a-c)(b-c)
にするのが一番簡単です。
　
http://yosshy.sansu.org/

20935．Re: (untitled)
名前：ユキ　高2[高1]    日付：5月10日(火) 0時1分
解けました。アドバイスありがとうございました!!

20902．数列　高２です。  
名前：パゲ    日付：5月8日(日) 13時49分
「初項が正、第２項と第４項の和が２０、第４項と第６項の和が８０である等比数列の初項から第ｎ項までの和を求めよ」
という問題です。数列やりはじめです。お願いします。


20910．Re: 数列　高２です。
名前：ＴＯＭ    日付：5月8日(日) 20時29分
等比数列の一般項　ａ１・ｒ＾（ｎ－１）
ここでａ１＞０

ａ２＋ａ４＝２０→　ａ１・ｒ＋ａ１・（ｒ＾３）＝２０　
ａ４＋ａ６＝８０→　ａ１・（ｒ＾３）＋ａ１・（ｒ＾５）＝８０
　　
　ａ１・ｒ（１＋ｒ＾２）＝２０・・・　（１）
　ａ１・ｒ＾３（１＋ｒ＾２）＝８０・・・（２）

（２）÷（１）
　　ｒ＾２＝４
　　ｒ＝±２
ｒ＝２のとき　ａ１＝２
ｒ＝－２のとき　ａ１＝－２
ここでａ１＞０よりｒ＝２のとき　ａ１＝２　
あとはＳｎの公式
Ｓｎ＝ａ１（ｒ＾ｎ　－１）／（ｒ－１）　に代入
　　＝２（２＾ｎ　－１）／１
　＝２＾（ｎ＋１）－２

20900．写像  
名前：あき　一回生    日付：5月8日(日) 1時32分
次の証明を教えてほしいです。
写像ｆ：Ｘ→Ｙ、ｇ：Ｙ→Ｚとし、
（１）ｇ○ｆが単射ならｆは単射
（２）ｇ○ｆが全射ならｇは全射


20903．Re: 写像
名前：のぼりん    日付：5月8日(日) 15時31分
あきさん、こんにちは。

(1)　x,x'∈X、f(x)=f(x') だとします。
　このとき gof(x)=gof(x') ですが、gof は単射なので、x=x' です。

(2)　∀z∈Z を取ります。
　gof が全射なので、∃x∈X;gof(x)=z です。
　y=f(x)∈Y とおけば、g(y)=gof(x)=z です。

20907．Re: 写像
名前：あき　一回生    日付：5月8日(日) 19時17分
ありがとうございます。
理解しました。
なんか高校までと違うので戸惑ってました

20895．回転体の体積と表面積について  
名前：motichan    日付：5月7日(土) 20時44分
ｙ＝ｆ（ｘ）をｘ軸について回転させたとき
体積　：　∫ｙｄｘ

表面積：　∫２πｙ√{(dx)^2+(dy)^2}
　　　　＝∫２πｙ√{1+(dy/dx)^2}dx

このようになりますがなぜ体積の場合はｄｘでよいのに表面積の場合はｄｘを底辺、ｄｙを高さとする三角形の斜辺の長さでなければいけないのでしょうか？


20896．Re: 回転体の体積と表面積について
名前：motichan    日付：5月7日(土) 20時45分
補足　高専３年です。

20899．Re: 回転体の体積と表面積について
名前：らすかる    日付：5月8日(日) 1時16分
体積の方は微小区間に対してyの変化量が無視出来ますが、
表面積の場合、斜めの部分はどんなに微小な区間をとっても
斜めであって、無視出来ないからです。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20904．Re: 回転体の体積と表面積について
名前：motichan    日付：5月8日(日) 15時58分
なぜ無視できたりできなかったりするんでしょうか？すいません…

20905．Re: 回転体の体積と表面積について
名前：らすかる    日付：5月8日(日) 17時57分
# 体積は、∫πy^2dx ですよね？
細かく輪切りにした場合を想像して下さい(あるいは絵を描いてみて下さい)。
円錐を輪切りにすることを考えると良いと思います。

体積の場合、各輪切りの体積の合計で求めれば、輪切りの幅を細かくすれば
するほど端の階段状の部分の誤差は小さくなり、実際の体積に近づきます。
体積の主たる部分が端以外の「y」の分だからです。
従って、階段状の部分の誤差は無視出来ます。

それに対して、表面積の場合、もし「輪切りの幅」を加算することにした場合、
どんなに輪切りの幅を細かくしても表面積に近づかず、
「表面積の{(底辺)/(斜辺)}倍」の値に近づくだけです。
表面積を正しく求めるためには、十分細かく輪切りにして、
それぞれの表面積を求めるために斜辺の長さを求めなければならないのです。

式で考えると次のようになります。
体積の場合、輪切りの体積は πy^2・⊿x と π(y+⊿y)^2・⊿x の間ですが
⊿yが十分小さければ πy^2・⊿x≒π(y+⊿y)^2・⊿x なので ⊿yを無視出来ます。
表面積の場合、輪切りの表面積は約 2πy√(⊿x^2+⊿y^2) であり、
⊿x に対して ⊿y が十分小さくないため、無視出来ません。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20908．Re: 回転体の体積と表面積について
名前：motichan    日付：5月8日(日) 19時51分
なるほど！図と解説でだいぶわかりました！ありがとうございました。

20894．数Ａの問題、4STEP演習問題より  
名前：けーすけ＠高2    日付：5月7日(土) 20時18分
こんにちは。いつもお世話になっています。

問題>>三角形ABCの内心をI,三角形IBCの外心をDとすると
四点A,B,C,Dは一つの円周上にあることを証明せよ

というものです。
よろしくお願いします・


20898．Re: 数Ａの問題、4STEP演習問題より
名前：忍    日付：5月7日(土) 23時58分
∠BAC+∠BDC=πを示す方針で。

20887．グラフ  
名前：ゆうた（大１）    日付：5月7日(土) 19時26分
y=x-[x]のグラフの作り方が分かりません。
解説では、0<x<1、1<x<2など区切ってありますが、なぜ区切るのかが分かりません。
教えてください。お願いします。


20889．Re: グラフ
名前：らすかる    日付：5月7日(土) 19時50分
そのように区切れば、ガウス記号が外せるからです。
例えば、
0≦x＜1 の範囲では [x]=0 ですから、y=x-[x] → y=x
1≦x＜2 の範囲では [x]=1 ですから、y=x-[x] → y=x-1
この区切り毎にグラフを書けば良いのです。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20883．正五角形と正六角形  
名前：トム（大１）    日付：5月7日(土) 16時55分
　辺の長さが等しい正五角形と正六角形が、一辺で接している図があるとします。僕はその図をみて、その五角形が正五角形であると証明できません。どうすればその五角形が正五角形だと証明できるでしょうか。
なお、六角形は正六角形であるということは既知としてかまいません。
しかし、分度器は使用不可です。
　ほんとうに困っています。ご指導のほど宜しくお願いします。


20884．Re: 正五角形と正六角形
名前：らすかる    日付：5月7日(土) 17時12分
「正五角形と正六角形が、一辺で接している図」ならば正五角形なのは当り前です。
しかし、ただ単に「正五角形っぽい五角形と正六角形が一辺で接している図」ならば、
その五角形は正五角形かどうかはわかりませんので、正五角形と証明出来るはずが
ありません。証明するには、何か他に材料が必要です。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20920．Re: 正五角形と正六角形
名前：トム    日付：5月9日(月) 11時56分
ありがとうございました。

20882．(untitled)  
名前：のん    日付：5月7日(土) 15時25分
Original Size: 437 x 440, 12KB

ちょっと前の中学入試の算数の問題なのですが、

図のように半径が３センチの大円のまわりを半径１センチの小円がすべることなく回転し、また大円は矢印の方向に毎分２回転するものとします。
最初小円の中心は図のAの位置にあり、
大円が回転をはじめて２０秒後に小円が４０度だけ進んだとするとき、
小円は毎分何回転していますか？

という問題なのですが、どうもよくわかりません。
小円の回転数は大円から見た場合と、地面から見た場合とは
違うと思いますし・・・
円の回転は難しい・・・


20885．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月7日(土) 17時42分
一般的には、外から見た場合の回転を考えるべきでしょう。

まず、小円が（大円に対して）全然動かないなら、大円が１周する間に
小円も同じ方向に１回転します。
一方、大円は動かず、小円が大円のまわりを回るとすると、大円のまわりを
１周する間に、小円は４回転します。

２０秒間に大円は時計回りに２４０°回ります。
これから２００°分小円は逆に回るので、８００°分反時計回りに回ります。
よって、２０秒間に　８００－２４０＝５６０°回り、１分間には
１６８０°で、４と２／３回転します。
　
http://yosshy.sansu.org/

20886．Re: (untitled)
名前：のん    日付：5月7日(土) 18時23分
Original Size: 492 x 256, 9KB

返信ありがとうございます。
でもそれだと小円や大円の半径は無関係ですよね・・？？・

図を見てほしいのですが、
自分は、
青点Ｑは３×２×π×240°/360°＝４πすすむ。
かみあってるので、
もし赤点Ｐも４πすすめば小円は最初の状態から動かない。
だけど、
大円の４０度分、時計回りに回転してるので、
大円２００度分の10/3*πだけ進んでいる。
だから
２０秒で10/3÷2小円の円周＝5/3回転したことになり、
５回転/分
これって間違ってますか？


20888．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：5月7日(土) 19時46分
横レスです。
＞でもそれだと小円や大円の半径は無関係ですよね・・？？
そんなことはありません。
200°×4＝800°のところで1:(1+3)という半径の比が使われています。

＞これって間違ってますか？
残念ながら間違っています。
のんさんの考え方では、大円から見た小円の回転速度を言っていますが、
この問題は外からみた回転速度を答えるものと思いますので、
小円自体の公転分も考慮に入れなければなりません。
その分が小円40°分の1/9回転であり、10/3÷2-1/9=14/9となりますので、
1分では14/3回転となります。

この問題は、大円の回転分と小円の回転分を最初から
分けて考えた方が考えやすいように思います。
大円が240°時計回りに回転したことにより、
小円は反時計回りに240°×3＝720°回転し、
大円のまわりを大円40°分転がったことにより、
小円は時計回りに40°×3＋40°＝160°回転するので、
合計して反時計回りに720°－160°＝560°＝14/9回転、
つまり1分間では14/3回転する。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20890．Re: (untitled)
名前：のん    日付：5月7日(土) 20時0分
Original Size: 685 x 340, 14KB

＞200°×4＝800°のところで1:(1+3)という半径の比が使われています。

なるほど。
でも具体的に800°ってどの角度なんですか？
角度は半径が変わっても同じような気がするのだけど・・・。

例えば、図を見てほしいのですが、
小円がとまっていて、大円が右に６０度回転した場合、
小円も６０度回転してますよね。
（もちろん外側から見た図です）


20891．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：5月7日(土) 20時2分
800°というのは、小円が大円のまわりを200°転がった時の
小円の回転角度です。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20892．Re: (untitled)
名前：のん    日付：5月7日(土) 20時13分
何度も何度もすみません！
わかりました！
あーすっきりです（汗

20秒で5/3回転は大円からみた小円の自転速度
そして、反対方向に公転しているのが２０秒で1/9回転
だから
(5/3-1/9)×３＝14/3ですね！
なるほど。。。
なるほど！！！！
ありがとう

20893．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：5月7日(土) 20時16分
はい、その通りです。
こちらも、納得してもらえてすっきりです（笑
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20880．logの不等式  
名前：calamity    日付：5月6日(金) 21時53分
座標平面上で不等式
2(log(3)x-1)≦log(3)y-1≦log(3)x/3+log(3)[2-x] (3)は底です
を満たす点(x,y)全体の作る領域をDとする。

(1)Dを座標平面上に図示せよ。
(2)a<2の範囲にある定数aに対し、y-axのD上での最大値M(a)を求めよ。

という問題なのですが、logのグラフを書いた事がなくてわかりません。
そのあたりの説明を特に詳しくしていただけるとありがたいです。
解答解説のほうをよろしくお願いします。


20881．Re: logの不等式
名前：KINO    日付：5月6日(金) 22時31分
(1) 対数のグラフを描くわけではありません。log を外すことを考えましょう。

一番最初に真数条件をおさえておきます。
x>0, y>0, x/3>0, 2-x>0 より，0<x<2, y>0 の範囲に D があることがわかります。
次に，不等式に出てくる式を全て log(3) の中に閉じ込めます。
具体的には，対数の性質を用いて
2(log(3)x-1)=2log(3)(x/3)=log(3)((x/3)^2),
log(3)y-1=log(3)(y/3) などとやっていきます。
log(3)x/3+log(3)[2-x] をまとめることは，ご自身で試みてみてください。

対数の大小関係は真数の大小関係と密接なつながりがあります。
いま，底 3 は 1 より大きいですので，対数の大小関係はそのまま真数の大小関係になります。
式で説明すると，正の数 a, b について，log(3)a≦log(3)b であることと a≦b であることは同値になります。

このように考えると，どうやら D は上に凸な放物線と，下に凸な放物線に挟まれた図形の第1象限の部分になるようです。どういう放物線かは計算すればわかると思います。

(2) D の図を見ながら考えましょう。
a<2 を適当に固定したとし，y-ax=k とでもおいて，直線 y=ax+k が D と交点を持つような k のうち，最大値を求めれば，それが M(a) になります。k は直線の y 切片になっていることに注意してください。

20897．Re: logの不等式
名前：calamity    日付：5月7日(土) 22時13分
わかりやすい解説ありがとうございます！
(1)は無事書く事ができました
(2)なんですけど、a<2だからaが負の場合も当然あるので
場合わけをする必要があると思うんですがどこからすればいいのか
わかりません。
交点の(3/2,3/4）を通るのが最大になるときと、
接するときが最大の時があって、接するときどうすればいいんでしょうか？

20872．高１デス（・∀・；）  
名前：natsumi    日付：5月5日(木) 21時4分
数学じゃなくて、情報の授業で出た問題なんですが、
一応数学分野なので、質問させてください・・・。

１、次の十進数表現された数を８ビットの二進数で表現せよ。
（負数は２の補数表現を使うこと）

って問題で、－７を２進数表現しなくてはならないのですが、
負の整数の表現方法がよくわかりません。この他にも沢山
問題があるので、最初でつまづいてるわけにはいかなくて；；
誰か教えて下さい！！


20873．Re: 高１デス（・∀・；）
名前：らすかる    日付：5月5日(木) 21時25分
+7 は 00000111 ですね。
これを補数にすれば-7になります。
2の補数は、ビットを反転して1を足せば良いので
00000111
　　↓ ビット反転
11111000
　　↓ １加算
11111001
となり、答は 11111001 となります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20874．Re: 高１デス（・∀・；）
名前：ＴＯＭ    日付：5月5日(木) 21時36分
http://www.pursue.ne.jp/jouhousyo/sysad/sysad010.htm
をどうぞ


　２　）７　　１
　　　－－－
　２　）３　　１
　　　－－－
　２　）１　　１
　　　－－－
　　　　０
２進数に変換した結果　１１１　８ビット表現にするには
　　　上位５桁（１１１は３桁なんで８桁にするため）は
　　　０を補充
　　　０００００１１１

あとは補数処理です

20868．高2です。  
名前：郷みひろ    日付：5月5日(木) 17時55分
1から20までのすべての自然数の積は、2＾ｎで割り切れる。この時の、ｎの最大数を求めよ。

ｘの関数ｙ＝ｋｘ＾2－（ｋ－1）ｘ－2ｋ－1がある。この関数のグラフは、ｋの値に関わり無く、2つの定点を通る。定点の座標を求めよ。

ｋについての恒等式として考えると書いてますが、何で恒等式になるんですか？良く意味がわかりません。


20869．Re: 高2です。
名前：KINO    日付：5月5日(木) 19時29分
とりあえず最初の質問についてだけ。
1 から 20 までの数を掛け合わせたものを素因数分解することを考えます。それは 1 から 20 までの数を素因数分解したものを掛け合わせれば得られます。
素因数分解したものを掛け合わせたときに，2 の m 乗が出てきたとすると，2^m で割り切れ，2^(m+1) では割り切れないことがわかります。
よって n=m であることがわかります。
では指数 m をどのように求めたらよいのでしょうか。
それには，1 から 20 までの偶数を素因数分解したときの 2 の指数を全て足し合わせたもので与えられます。

たとえば，1 から 10 まで掛け合わせた数を素因数分解したときの 2 の指数は，
2=2^1, 4=2^2. 6=2^1*3, 8=2^3, 10=2^1*5 より，
1+2+1+3+1=8 となり，この場合は 2^8 で割り切れるが，2^9 では割り切れないことがわかります。
同じ要領でやってみてください。

20871．Re: 高2です。
名前：黒蟻    日付：5月5日(木) 20時22分
(a，b)が定点だとすると、どんな実数kに対してもb＝ｋa＾2－（ｋ－1）a－2ｋ－1が成り立つことになります。式変形して、k(a－2)(a＋1)＋a－1＝b …＊がどんな実数kについても成り立つことになります。よって、kに色々な値を代入すれば、＊からa，bについての方程式がたくさん得られ、それらの方程式からa，bを特定することが出来ます。kには、計算が楽になるような うまい値を入れましょう。k＝0，k＝1を＊に代入するとb＝a－1，(a－2)(a＋1)＋a－1＝b が得られます。ここから定点(a，b) (の候補)が完全に求まります。求まった(a，b)は、単に定点の候補にすぎないので、ちゃんと定点になっているかも確かめましょう。

20865．行列のトレースの証明  
名前：tomo    日付：5月5日(木) 14時34分
大学1年のtomoといいます。
行列で、対角成分の和をトレース　tr（A)などと書きますが、
Aがｍ×ｎ行列、Bがｎ×ｍ行列のとき、
tr（AB)＝tr（BA)を証明したいのですが、どうすれば良いでしょうか？
宜しくお願いします。


20866．Re: 行列のトレースの証明
名前：花パジャ    日付：5月5日(木) 16時6分
tr(AB)
=Σ(i)Σ(j)a(i,j)b(j,i)
=Σ(i)Σ(j)b(j,i)a(i,j) 掛け算の入替え
=Σ(j)Σ(i)b(j,i)a(i,j) 足し順の入替え
=Σ(i)Σ(j)b(i,j)a(j,i) 添え字の入替え
=tr(BA)
てな感じかと

20870．Re: 行列のトレースの証明
名前：tomo    日付：5月5日(木) 19時42分
分かりました。
ご丁寧にありがとうございました！

20860．(untitled)  
名前：キム    日付：5月5日(木) 8時53分
今、sin1ﾟを求めようと頑張っています(くだらないっていわれました)。sin3ﾟまでは何とか実数で表せたのですが、sin1ﾟをカルダノの解法で表すと必ず虚数になってしまいます。でも、あれって実数ですよね。だから、どこか間違ってると思うんですが、さっぱり検討がつきません。高校１年です。


20862．Re: (untitled)
名前：tellurium    日付：5月5日(木) 10時44分
ルートの中には虚数が含まれますが、互いに共役な複素数を足しあわせるので実数になります。というか、虚数を使わずに代数的に表示することはできません。

20863．Re: (untitled)
名前：U n k o    日付：5月5日(木) 11時7分
どこも間違っていないと思われます。
実数でも　虚数表示されえます。
たとえば、 (2＋i)＾(1/3) ＋ (2－i)＾(1/3) = 4 となります。

20864．便乗質問
名前：らすかる    日付：5月5日(木) 12時58分
＞telluriumさん
もし御存知でしたら教えて頂きたいのですが、
「sin1°は虚数を使わずに代数的に表示することが出来ない」
というのは証明されているのでしょうか？
単純にカルダノの解法で解いて虚数が出て来たものは
どうしようもないと思いますし、四則と平方根と整数で
表せないことは存じているのですが、これにｎ乗根を加えても
表示出来ないのかどうかは、ずっと疑問のまま残っています。

また、どこかのサイトで以下の表記も見かけたのですが、
これは関係ないでしょうか？
「実は１の原始ｎ乗根はすべて、有理数から累乗根を繰り返し
とることによって表示することができることが知られている」
岩波講座　現代数学への入門
代数入門２　上野健爾著　（岩波書店）　Ｐ．２６２

# 私自身、上記の厳密な意味がよくわかっておりません。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20875．Re: (untitled)
名前：キム    日付：5月5日(木) 22時33分
虚数を使わずにsin1ﾟを表すことは無理なんですね。でも、もう少し頑張ってみます(^^)
あと、よく考えたら高校２年でした(^^;)

20876．Re: (untitled)
名前：tellurium    日付：5月5日(木) 23時34分
「平方根だけで」と書けばいいところを勢い余って「代数的に」とか書いてしまい、
問題をかえってややこしくしてしまいました。sin1°が有理数・加減乗除・n乗根（中身は正の実数）だけで表わせないことの証明は確かに厄介ですね。もう少し考えさせてください。

『現代数学への入門』からの引用についてですが、「1の原始n乗根」と書いた時点で「有理数の冪根」とも言えるので、その文脈では正負の実数の「累乗根」は実数の範囲に取るというようなルールがあるのでしょうね。1の原始n乗根は有理数・加減乗除・m乗根(m≦n-1、中身は任意)だけで表わせるので、そのようなことを言っているのだと思いますが…。

20879．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：5月6日(金) 5時12分
＞telluriumさん
返答ありがとうございます。
あまり詳しくないので頓珍漢なことを言っていたら申し訳ないのですが、
「1の原始n乗根が有理数・加減乗除・m乗根で表せる」というのは、
(有理数・加減乗除・累乗根による式)＋i×(有理数・加減乗除・累乗根による式)
という形式で書けるというのとは意味が違うのでしょうか？
もし同じ意味だとすると、sin1°は1の原始360乗根の虚部なので、
sin1°が有理数・加減乗除・累乗根による式で書けるということに
なるように思えるのですが、この考え方は間違っていますでしょうか？
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20854．曲線と直線  
名前：おじょう　高3    日付：5月4日(水) 23時4分
放物線y=x^2+2x-5とｘ軸との2交点をＡ．Ｂとする。
この2交点でこの放物線と接する円の方程式を求めよ。

とりあえず、ｘ軸との交点は出しました。
この先はどうすればいいのでしょうか?
解答解説のほうよろしくお願いいたします。


20857．Re: 曲線と直線
名前：みっちぃ    日付：5月5日(木) 0時40分
必ず，図をしっかり描いてから読んでください．
交点は，x=-1±√6なのでa=-1-√6，b=-1+√6とします．(a,bはA,Bのx座標)


『円と放物線がAで接する』とあれば，『円と放物線のAにおける接線は一致する』と考えられます．

Aについての放物線の接線は簡単に求まるので，これが，円の接線となります．
つまり，y=-2√6(x+1+√6)が，Aにおける円の接線．

ここで，『円の接線は，その接点と中心を結んだ直線と直交する』という性質があります．
そこで，『Aを通り，Aにおける接線と垂直に交わる直線』の方程式を求めます．
y=(1/2√6)*(x+1+√6)⇔y=x/2√6 +(1+√6)/2√6…①です．
この直線上に，求めたい円の中心があるわけです．

次に，同様の操作をBについて行います．最終的に求まる直線は，
y=(-1/2√6)*(x+1-√6)⇔y=-x/2√6 +(√6-1)/2√6…②です．
この直線上にも，中心があります．

つまり，①，②の交点が円の中心なので①，②を解くと，(-1,1/2)が中心．

半径は，(-1,1/2)と，(-1+√6,0)の距離なので，半径=5/2．
よって，方程式は(x+1)^2+(y-1/2)^2=25/4．

実は，計算を簡単にするためには，交点自体求めない方法もあるのですが，難しいので省略します．

20853．曲線と直線  
名前：おじょう　高3    日付：5月4日(水) 23時2分
円Ｃ　(x-1)^2+(y-2)^2=5の中心をＡとする。
原点Ｏを通り点Ａからの距離が1/√2である直線をｐ.q.とする時
円Ｃに内接し、かつp.q.に接する円の半径を求めよ。

どこからどのように手をつけていいのか分かりません。
最後までの解答解説のほうよろしくお願いいたします。


20855．Re: 曲線と直線
名前：みっちぃ    日付：5月5日(木) 0時8分
p,qは，原点を通る直線なので，y=mxと置くと，
『y=mxとA(1,2)の距離が1/√2』なので，点と直線の距離より
|m-2|/√(m^2+1) =1/√2⇒2(m-2)^2=m^2+1⇒m^2-8m+7=0⇒m=1,7．

求める円は，C:(x-1)^2+(y-2)^2=5に内接し，y=x，y=7xに接します．
ここで，求める円をC1:(x-a)^2+(y-b)^2=c^2とでも置くと，
a,b,cについて，確実にa,b,c>0が言えます．…(*)
(c>0は当たり前ですが，a,b>0は，図を描いてみると，必ずC1の中心は第一象限にあることがわかります．)

『円と直線が接する』⇒『中心と直線の距離=半径』が成り立つので，
(p,q)とx-y=0の距離=r⇒|a-b|/√2=c…①
(p,q)と7x-y=0の距離=r⇒|7a-b|/2√2=c…②

『CがC1を内接する』⇒『CとC1の中心の距離+C1の半径=Cの半径』が成り立つので，
√{(a-1)^2+(b-2)^2}+c=√5…③

ここまでのポイントは，このように方程式を立てるためには，直線をy=mxと置いたり，求める円の方程式を置いたりする必要があります．
数学の文章題では，問題文の条件を方程式として記述することが多々ありますので，
どうしていいかわからないとなったときは，とりあえず方程式が立つように，文字を使って何か置いてみましょう．

①～③を解きます．
①:|a-b|=c√2，②:|7a-b|=2c√2から，cを消去して2|a-b|=|7a-b|…④となります．
④について絶対値をはずしたいので，両辺を2乗すると，
4(a^2-2ab+b^2)=(49a^2-14ab+b^2)⇒(45a^2-6ab-3b^2)=0⇒-3(b+5a)(b-
3a)=0
よって，b=-5a,3aですが，(*)からa,b>0なので，b=-5aだと不適．
従ってb=3a．
これを，①に代入して，|-2a|=√2c⇒2a=√2c(∵a>0)⇒c=(√2)a…④

また，b=3a，c=(√2)aを③に代入して
√{(a-1)^2+(3a-2)^2}+(√2)a=√5⇒√{10a^2-14a+5}=√5-(√2)a
両辺を２乗して10a^2-14a+5=5-(2√10)a+2a^2⇒8a^2-2(7-√10)a=0⇒a=0,(7-√10)/4．
(*)より,a>0なので　a=(7-√10)/4となり，c=(7√2-2√5)/4．

20859．Re: 曲線と直線
名前：toto    日付：5月5日(木) 2時47分
図形的に考えるとの場合です。
※円Ｃに外接する場合と、内接する場合の2つできます。
　円Ｃは原点を通り、
　円Ｃと求める円の接点、求める円の中心が、直線ＯＡ上にあり、
　Ｏから接点までが直径で 2√5となっています。

求める円の中心をＰ、半径をrとします。
Ａ(1，2)とＰから、直線ｐにおろした垂線の足をＢ，Ｑとすると
　△ＡＢＯ∽△ＰＱＯとなりますので、
内接の場合
　　ＡＢ＝1/√2，ＰＱ＝r
　　ＯＡ＝√5，ＯＢ＝(2√5)－r
　以下、相似比を利用した方程式による計算で
　　r＝{(10√2)－(2√5)}/9
外接の場合
　　ＡＢ＝1/√2，ＰＱ＝r
　　ＯＡ＝√5，ＯＢ＝(2√5)＋r
　以下、相似比を利用した方程式による計算で
　　r＝{(10√2)＋(2√5)}/9

みっちぃさんへ
　横からすみません。
(p,q)とx-y=0の距離=r⇒|a-b|/√2=c…①
→(a,b)とx-y=0の距離=r⇒|a-b|/√2=c…①
(p,q)と7x-y=0の距離=r⇒|7a-b|/2√2=c…②
→(a,b)と7x-y=0の距離=r⇒|7a-b|/5√2=c…②
として、なぞって計算し直すと同じ値になりました。

20851．順列！（円？）  
名前：ゆうた    日付：5月4日(水) 21時30分
金が１個、赤が４個、青が４個の計９個のビーズで環状のブレスレットを作る場合、作り方はいくつ？ってのが、解説を読んでも分かりません。
どうか教えてください。


20852．Re: 順列！（円？）
名前：らすかる    日付：5月4日(水) 22時31分
金の位置を基準に考えます。
赤４個と青４個の並べ方は、単純に(数珠順列でなく)円順列で考えると
8Ｃ4=70通りです。
全部の色が異なるなど、対称形が存在しない場合は、全てのパターンが
裏返しを含めて２倍に数えられていますので、２で割ったものが答となります。
しかし、この問題のように裏返しても同じになるパターンがある場合
（例えば「金赤青青赤赤青青赤」）は、対称形は１回しか数えられていません
ので、単純に２で割るわけにはいきません。
対称形がある場合は、まず対称形の個数を計算します。
対称形は、金を通る直径で半分ずつに分けた時、両側に赤青それぞれ２個ある
場合で、片側の分だけ計算すれば何通りあるかが出ます。
従って、対称形の個数は4Ｃ2=6通りとなります。
結局、最初に計算した70通りのうち、6通りは対称形で、残りの64通りは
非対称形とわかりましたので、非対称形の場合の数は2で割り、対称形の
場合の数はそのままにすることにより、64÷2＋6＝38通りとなります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20856．Re: 順列！（円？）
名前：ゆうた    日付：5月5日(木) 0時27分
ありがとうございます。
ちょっと分からないところがあるのですが、左右非対称は裏返すと同一になるから２で割るってのは、理解できました。でも左右対称も裏返せば同じではないのですか？なぜ、対称系はそのままで、非対称系だけ２で割るのか、そこのところがいまいち理解に苦しみます。

20858．Re: 順列！（円？）
名前：らすかる    日付：5月5日(木) 1時11分
例えば、70通りの中には
金青青赤青赤赤青赤
金赤青赤赤青赤青青
という2通りがあって、裏返すと一致するので2で割ります。
ところが、
金赤青青赤赤青青赤
は含まれていますが、これを裏返した
金赤青青赤赤青青赤
は同じもので、70通りの中に1個しかありません。
従って対称形は2で割ってはいけないのです。
もっと簡単な例で考えるとわかりやすいかも知れません。
金１個、赤２個、青２個で考えると、
単純計算で6通り、これを列挙すると
(1) 金赤赤青青
(2) 金赤青赤青
(3) 金赤青青赤
(4) 金青赤赤青
(5) 金青赤青赤
(6) 金青青赤赤
となるのはよろしいでしょうか。
これを見るとわかるように、(1)と(6)、(2)と(5)は裏返すと
一致するので、ダブっています。従って(1)(2)を数えたら
(5)(6)を数えてはいけないので、2で割ります。
しかし、(3)と(4)は裏返して自分自身になるので、ダブって
いませんね。従って(3)(4)はそのまま2個と数えます。
これでおわかりいただけるでしょうか。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20861．Re: 順列！（円？）
名前：ゆうた    日付：5月5日(木) 9時45分
わかりました。
全ての通りを計算した中で、対称系は裏返すと自分自身と同じになるから、他のものとはダブらない。非対称系はペアーがいて、それと同じ様になるってことですね。なぜ、６を引いて、さらに６を足すのか分からなかったのですが、わかりました。
ありがとうございました。

20847．僕だけ簡単な問題ですが、わかりませんので教えてください。  
名前：ノリ　中２    日付：5月4日(水) 17時52分
r b= - ------ 　　　ar-1

が、どうして
r b= ------- 　　　1-ar

になるのかわかりません。
回答欄に順番にこう書いてありましたが
次にどうしてこうなるのか
何度考えてもわかりません。
教えてください。


20849．Re: 僕だけ簡単な問題ですが、わかりませんので教えてください。
名前：Ｂｏｂ    日付：5月4日(水) 20時26分
ｒｂ＝－１／（ａｒ－１）

ここでですが
例として　－１／２　＝１／（－２）　　なのはわかりますか？

これをつかうと
右辺＝－１／（ａｒ－１）
　　＝１／－（ａｒ－１）
　　＝１／（－ａｒ＋１）
　　＝１／（１－ａｒ）

どうでしょうか？

20850．Bobさんありがとうございました。
名前：ノリ　中２    日付：5月4日(水) 21時19分
－１／２　＝１／（－２）　　
が今までわかっていませんでした。

b=-r/ar-1 は

b=r/-（ar-1）ということですね。
b=r/-ar+1　となり
b=r/1-ar となるんですね。
ありがとうございました。

20844．(untitled)  
名前：レン　高２    日付：5月4日(水) 7時35分
ｎ次式の多項式で表された関数f（x）は
　ｆ"（x）-2xf’（x）+8f（x）=0、f（1）=-5/4を満たす
（1）ｎの値を求めよ　　（2）f（x）を求めよ
（1）についてですが、解答を見ると最高次数のみに着目してｎを求めているのですが、なぜ最高次数でないといけないのでしょうか？？
ｆ（x）=ax^ｎ+ａx^（ｎ-1）+ａx^（ｎ-2）…としたとき、
x^（ｎ-1）の係数に着目しても解けそうな気がするのですが答が合いません。よろしくお願いします。


20845．Re: (untitled)
名前：花パジャ    日付：5月4日(水) 9時8分
最高次以外は係数が0になりうるから

20848．Re: (untitled)
名前：レン　高２    日付：5月4日(水) 18時11分
よく考えたらそうですね…あまり考えず質問してしまいました。
花パジャさん、ありがとうございました

20838．ベクトル  
名前：calamity    日付：5月3日(火) 0時11分
またまたベクトルです。苦手意識がつく前にわからないところを
すべて洗い出したいと思うので今日もお願いします。
OA//CB,CB<OA,OA=1,OC=AB=Lの等脚台形OABCがある。
点Oから辺ABまたはその延長上に垂線をおろしその交点をDとし、
ベクトルOA＝ベクトルa　ベクトルOC＝ベクトルc　内積ベクトルa・c＝mとする。
(1)ベクトルAB,ODをベクトルa、ベクトルｃ、L、mを用いて表せ。
(2)点Dが辺ABを2:1に内分し、かつ∠AOCの二等分線上にあるとき、
L,mの値を求めよ。
できるだけ詳しくお願いします。家を三日ほど空けるので返信が
遅くなります。申し訳ありません。


20840．Re: ベクトル
名前：豆    日付：5月3日(火) 14時31分
(1)BCの延長線上にOから垂線を下ろしその足をD、CからOA上への垂線の足をEとすると、
OC→=OD→+OE→である。　
また、OE→=(OC→・OA→)OA→/|OA→|=mOA→/1=ma→なので、
OD→=c→-ma→
よって、AB→=OD→-OE→=c→-2ma→
OD→=OA→+tAB→とおけるので、
OD→=a→+t(c→-2ma→)=(1-2mt)a→+tc→
OD→・AB→=0より、
((1-2mt)a→+tc→)・(-2ma→+c→)=0
(1-2mt)(-2m)1^2+(1-2mt-2mt)m+tL^2=0
∴t=m/L^2
よって、OD→=(1-2m^2/L^2)a→+(m/L^2)c→

(2)DがABを2：1に内分することから、
OD→=OA→+(2/3)AB→
(1-2m^2/L^2)a→+(m/L^2)c→=a→+(2/3)(-2ma→+c→)より、
1-2m^2/L^2=1-4m/3
m/L^2=2/3　　(このふたつは同値です)　・・・(イ)
OCの延長上にFをとり、OF=OA=1とすれば、
OF→=c→/Lであり、ODは∠AOFの2等分線だから、
OD→=1/2(a→+c→/L)なので、
(1-2m^2/L^2)a→+(m/L^2)c→=1/2(a→+c→/L)より、
1-2m^2/L^2=1/2
m/L^2=1/(2L)　(このふたつも同値)　・・・(ロ)
(イ)、(ロ)より、
L=3/4、m=3/8

20877．Re: ベクトル
名前：calamity    日付：5月5日(木) 23時46分
いつもありがとうございます。
もう一度自分でやって定着させたいと思います。

20835．正五角形の作図の証明（？）  
名前：βーカロチン    日付：5月2日(月) 17時42分
この下のサイトの作図の仕方で、ＡＢの長さを２とし、ＡＦの長さを求めることができる理由、求めるための式、求め方を教えてください。
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/2061/index.html


20836．Re: 正五角形の作図の証明（？）
名前：kei    日付：5月2日(月) 18時49分
AB=CD=2
∴三平方の定理よりAD=√5
ところで、DE=AC=1より、AE=1+√5
∴AF=AE=1+√5

20846．Re: 正五角形の作図の証明（？）
名前：βーカロチン    日付：5月4日(水) 16時11分
答えてもらって大変ありがたいのですが、何しろ中１ですので三平方の定理はちょっとわかりませんそれ抜きでお願いします。
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/2061/index.html

20867．Re: 正五角形の作図の証明（？）
名前：βーカロチン    日付：5月5日(木) 17時44分
すいません。こちらのほうでかいけつしました。ありがとうございました。

20834．円錐螺旋について  
名前：haru    日付：5月2日(月) 15時28分
少し難しいかもしれませんが、よろしくお願いします。頂角２αの直円錐面：x=ucosv,y=usinv,z=ucotα上で、母線と定角βで交わっている曲線と、その弧長sと曲率を求めよという問題がありました。この問題がさっぱりわかりません。わかりましたら教えてください。因みにこの曲線を円錐螺旋というそうです。


20839．vol １
名前：みっちぃ    日付：5月3日(火) 14時21分
まず，円錐螺旋をパラメータで表してみましょう．つまり，
円錐螺旋C:(x,y,z)=(u*cos(v),u*sin(v),u*cot(α))としたとき，uとvの関係式を求めましょう．
このとき，最後に求める曲率は，『弧長を偏角で微分したもの』で，この場合，偏角=vです．
したがって，uをvで表すことを考えます．

ここで，『母線と定角βで交わっている』というキーワードを定式化してみましょう．
これは，『任意の母線の方向ベクトルと，Cの方向ベクトルが角度βで交わっている』と読み替えます．

母線は，(0,0,0)とbを一つ固定したときの(cos(b),sin(b),cot(α))を通るものだとすると，この母線の方向ベクトルは(cos(b),sin(b),cot(α))と置ける．

20841．Re: 円錐螺旋について
名前：みっちぃ    日付：5月3日(火) 14時47分
では，uをvの関数とみてu=u(b)，v=bにおけるCの方向ベクトルを考えます．このとき，u'という記号を用いますが，u'=du/dvを表します．
方向ベクトルは，変位ベクトルの各成分を微分したものなので，
(u'(b)*cos(b)-u(b)*sin(b),u'(b)*sin(b)+u(b)*cos(b),u'(b)*cot(α))です．
以下，u(b),u'(b)→u,u'と表記します．

この２つの方向ベクトルの内積=u'*{1+cot^2(α)}=u'/sin^2(α)
母線の方向ベクトルの大きさ=√{1+cot^2(α)}=1/sin(α) (0<α<Π/2は保証されている)
Cの方向ベクトルの大きさ=√[u^2+u'^2{1+cot^2(α)}]=√{u^2+u'^2/sin^2(α)}

さて，２つの方向ベクトルがβで交わっているので，
u'/sin^2(α)=cos(β)/sin(α)*√{u^2+u'^2/sin^2(α)}
両辺を2乗して，
u'^2*{sin^2(β)/sin^2(α)}=cos^2(β)*u^2．

ここで，円錐螺旋は一つ求めればよいので，普通に両辺２乗を解いたものを考える．
u'*{sin(β)/sin(α)}=u*cos(β)⇔du/dv=ku (k=sin(α)*tan(β))
さて，本当は一つbを固定していたが，全てのbに対して，上式が成り立つので，u,vの関係式は，du/dv=kuの解u(v)のうち一つ．
よって，u=e^(kv)とできる．

したがって，C:(x,y,z)=(e^(kv)*cos(v),e^(kv)*sin(v),e^(kv)*cot(α))．

20843．vol ３
名前：みっちぃ    日付：5月3日(火) 14時55分
先ほどのはvol２です．

後は，円錐螺旋の長さs(v)と曲率χ(v)を求めて終わりです．
s(v)=∫√{(dx/dv)^2+(dy/dv)^2+(dz/dv)^2}dv
=∫e^(kv)*√{1+k^2/sin^2(α)} dv=e^(kv)*√{1/k^2+1/sin^2(α)}．

χ(v)=ds/dv =e^(kv)*√{1+k^2/sin^2(α)}．
てな感じで求まりました．計算などは多少，自信薄です．すみません

20928．Re: 円錐螺旋について
名前：haru    日付：5月9日(月) 19時45分
ありがとうございました。

20831．(untitled)  
名前：WS.＠高３    日付：5月1日(日) 21時9分
なるほど！条件の強弱と要素をごちゃ混ぜにして考えていたため
いつまでたっても考えが進歩しませんでした・・・。
ほんとうにありがとうございますM(- -)M


20832．Re: (untitled)
名前：WS.＠高３    日付：5月1日(日) 21時11分
すみません、20826に対してだったのですが、削除キーをいれず
ミスってしまいましたM(- -)Mご迷惑おかけします。

20826．(untitled)  
名前：WS.＠高３    日付：5月1日(日) 2時3分
再びお世話になります。

a,bを実数の定数とする。a(1)=a,a(2)=b,a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)+r(n=1,2,・・・)で定まる数列a(n)がa(1)=a(2)=a(3)でなく、かつ、任意の自然数nに対してa(n+3)=a(n)を満たすための実数p,q,rの条件を求めよ。

という問題なんですが、解答の書き出しが

a(3)=cとおく。任意の自然数nに対してa(n+3)=a(n)が成り立つためには【a(3)=p*a(2)+q*a(1)+r】、【a(4)=p*a(3)+q*a(2)+r=a(1)】、【a(5)=p*a(4)+q*a(3)+r=a(2)】が必要だから、・・・と書いてあるんですが、

A→Bが真のときBはAであるための必要条件で包含関係としてA⊆Bが成り立ちますよね？でも任意のnにたいしてa(n+3)=a(n)が成り立つということをA、【a(3)=p*a(2)+q*a(1)+r】、【a(4)=p*a(3)+q*a(2)+r=a(1)】、【a(5)=p*a(4)+q*a(3)+r=a(2)】が成り立つことをBとするとA⊇Bのような気がしてなりません、だったら何故AであるためにはBが必要という書き方になるのかが理解できません・・・長くなって申し訳ありませんがどなたか教えてください。（問題の本質的なところはそこが理解できれば理解できると思うのでよいです。）m(- -)m


20827．Re: (untitled)
名前：KINO    日付：5月1日(日) 2時33分
教科書の該当箇所で確認していただきたいのですが，「必要条件」という概念に関して何か誤解があるようです。

「A ならば B」が真の時，B が A の必要条件と呼ばれることは確かです。
これは，A が成り立っているとき，必ずBが成り立っていなければならない，といったニュアンスを含んだ用語です。

「すべての n に対して成り立つ」ならば，当然「特別ないくつかの n に対して成り立つ」わけですが，「特別ないくつかの n に対して成り立つ」からといって，必ずしも「すべての n に対して成り立つ」わけではありませんね。こう考えると，どちらがどちらの必要条件なのか，わかるのではないかと思います。

＞A→Bが真のときBはAであるための必要条件で包含関係としてA⊆Bが成り立ちますよね？

いまの問題で，集合 A や B が一体何を表すのか，いまいちよくわからないので，これについてはなんとも言えません。

20828．Re: (untitled)
名前：ast    日付：5月1日(日) 4時58分
> A→Bが真のときBはAであるための必要条件で包含関係としてA⊆Bが成り立ちますよね？

という書き方からして, 「条件の集まり」と「その条件を満たす要素からなる集合」とが区別できておらず, 混同しているのでしょう.

条件 P を満たす要素の全体からなる集合を A, 条件 Q を満たす要素の全体からなる集合を B とすれば、P ならば Q が真であるとき A ⊆ B です.

　A := {x | x は P を満たす}
　B := {x | x は Q を満たす}

> A⊇Bのような気がしてなりません
というのは, 一方がもう片方より条件が多いということがいいたいのだと想像できそうです. そうであれば、あなたが「気がして」いるそれは条件の強弱の問題です.

上と同じ記号を使うと P のほうが Q より強い条件であるということです. 条件が多くなれば, ハードルが高くなるのですから, それを満たすことができる要素の数は必然的に減ります. つまり, Q より P のほうが強い条件であるならば A ⊆ B でなければなりません.

20830．Re: (untitled)
名前：WS.＠高３    日付：5月1日(日) 21時5分
なるほど！条件の強弱と要素を混同して考えてました。

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