ヨッシーの八方掲示板

2004年03月の投稿ログ

14095．複素数

名前：つばさ　日付：3月31日(水) 19時19分

複素数平面上で正三角形ＰnＱnＲn(n=1,2,…)を
次の(i)(ii)のように定める。
(i)Ｐ1,Ｑ1,Ｒ1は複素数0,1,1/2+√3/2iで表される点である。
(ii)Ｐn+1＝Ｒn、Ｑn+1はＱnＲnの中点、Ｒn+1は正三角形ＰnＱnＲnの
外側にある。

このときＲnを表す複素数Znを求めよ。

と言う問題なんですけど、どう考えるんですか？

14088．あ～くサイン

名前：両津　勘吉 日付：3月31日(水) 17時24分

sin^-1 x)^2 (←アークサインｘ）
＝sin^-2 x 　（←アーク二乗サインｘ　？？）
とはできませんよね…？

(sin^2 x)^2
=(sinx)^4
と出来そうでしたので…アセアセ
教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

	14094．Re: あ～くサイン
	名前：K.N.G. 日付：3月31日(水) 18時24分
	sin^-1x は，sin(x) の逆関数であって，{sin(x)}^-1 (即ち, 1/sin(x))ではありません．ですから，　(sin^-1x)² = sin^-2x は成り立ちません．

	14096．Re: アークサイン
	名前：両津　勘吉日付：3月31日(水) 20時13分
	返信どうもありがとうございます。 (sinx)^2　＝sin^2 x　と書けるのに、 (sinx)^-1　はsin^-1 x　と書けないのですね…。変な感じがしますね…。

	14097．Re: あ～くサイン
	名前：ast 日付：3月31日(水) 20時24分
	変とか言うなら, そもそも慣習からとはいえ (sin(x))^2 を sin^2 x と書くことのほうが異様なんだが・・・. いづれにしても sin^(-1)(x) と 1/sin(x) を混同するのは見た目に惑わされる典型ですね. きちんと意味を把握して使う分には混乱なんてするハズもないことですが.

	14098．Re: あ～くサイン
	名前：両津　勘吉日付：3月31日(水) 20時39分
	なるほど。どうもありがとうございました。

14086．図形って

名前：なほ(新高3) 日付：3月31日(水) 17時22分

三角形ＡＢＣは底辺ＢＣ＝a,Ａからの高さをaとし、
ＢＣに平行な直線がＡＢ、ＡＣとい交わる点をそれぞれＰ、Ｑとし
Ｐを通りＡＣに平行な直線とＱを通りＡＢに平行な直線との交点をＲ
とする。ＰＱ＝x、三角形PQRと三角形ABCの共通部分の面積をyとするとき、ｙをｘであらわせ。またグラフを示せ。

14074．数Ⅰ

名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ 日付：3月31日(水) 16時5分

次の各々について、正しいモノはどれか。また正しくないモノは、正しくない理由を示して、正しく直せ。

（１）√４＝±２　（２）３６の平方根は６である。
（３）√（１－√２）＾２＝√２－１
（４）ｘ＜０、ｙ＞０　のとき√ｘ＾２ｙ＝ーｘ√ｙ

間違いなく（１）（２）は正しくないですよね。
（３）（４）が正しい理由を教えてくれませんか？解答集では正しいとかいてあるんですが、あたってないような気がするのですが。
お願いします。

	14077．Re: 数Ⅰ
	名前：ヨッシー日付：3月31日(水) 16時10分
	すぐ下の記事 14068 をご覧下さい。　 http://yosshy.sansu.org/

	14079．Re: 数Ⅰ
	名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ日付：3月31日(水) 17時2分
	あぁ（４）は問題をよく読んでなかったです。（３）がその答えが出るまでの過程を示してくれませんでしょうか？お願いします。

	14080．Re: 数Ⅰ
	名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ日付：3月31日(水) 17時4分
	あ！わかったような・・・きがします。しかしそしたら √（１－√２）＾２＝√２－１ではなく √（１－√２）＾２＝±（１－√２）になるのではないのでしょうか？

	14082．Re: 数Ⅰ
	名前：Sar 日付：3月31日(水) 17時15分
	直下の記事に書きましたが、√(a^2) = \|a\| です(\|a\|はaの絶対値) よって、√(1-√2)^2 = \|1-√2\| = √2 - 1 となるわけです。

	14093．Re: 数Ⅰ
	名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ日付：3月31日(水) 18時5分
	あぁ～わかりました。 Sarさんありがとうございました。わかりやすかったです。

14068．平方根

名前：Ｙｕｋｉｅ(春から中１) 日付：3月31日(水) 11時5分

参考書に√４＋√９＝√１３ではなく
√４＋√９＝２＋３
　　　　　＝５
　　　　　＝√２５
になると書いてありましたが、４の平方根は２，－２、９の平方根は３，－３になりますよね？なのに何で２＋３であって±２たす±３という考え方をしないんですか？でもそう考えると答えが複数になってしまう･･･

	14069．Re: 平方根
	名前：ヨッシー日付：3月31日(水) 11時9分
	「４の平方根」は２と－２ですが、そのうち負でない方（０を考慮してこういう表現をします）を「平方根４」と言って、√４　と書きます（一般に「ルート４」と読みます）　 http://yosshy.sansu.org/

	14072．Re: 平方根
	名前：えいぶ日付：3月31日(水) 14時58分
	４の平方根→±２ √４→２－√４→－２と定められています。

	14073．Re: 平方根
	名前：Stone-Wall 日付：3月31日(水) 16時0分
	確認ですが、 √｛（-2）^2｝ = -2 [ ルート（マイナス２の二乗）＝マイナス２ ] でいいのですよね。

	14076．Re: 平方根
	名前：ヨッシー日付：3月31日(水) 16時7分
	ちゃいます。　√｛（-2）^2｝ = √4 = 2 です。一般に　√{a^2}＝ a (a≧0) 　　　　　　＝ -a (a＜0) です。　 http://yosshy.sansu.org/

	14078．Re: 平方根
	名前：Stone-Wall 日付：3月31日(水) 16時26分
	それは決まりごとと思ってよろしいのでしょうか？それとも論理的にそうなるのでしょうか？数学のできない大学生ということがばればれですね…本当お恥ずかしい限りです。

	14087．Re: 平方根
	名前：Sar 日付：3月31日(水) 17時23分
	√(a^2) = \|a\| というのが定義だと思います。別に-\|a\|にしても帳尻は合わせられるのですが、敢えて煩雑にする事もないでしょう、と。わざわざ「正の平方根」「負の平方根」なる言葉もある事ですし。 (正しくは、「負でない平方根」「正でない平方根」と言うべきですか) しかし、やはりヨッシーさんの書かれた様に「aの平方根のうち負でない方を√aと表記する」と考えるのが簡明な気がします。

	14091．Re: 平方根
	名前：Stone-Wall 日付：3月31日(水) 17時51分
	なるほど。ありがとうございます。 √a^2 = \|a\| 聞いたことがあるような気がします。

14067．平面図形２題、わかりません。新高1です。

名前：パゲさん 日付：3月31日(水) 9時30分

①鋭角三角形ＡＢＣの外接円の中心をＯとし、線分ＯＡ、ＢＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとする。∠Ｂ＝４∠ＯＭＮ、∠Ｃ＝６∠ＯＭＮとするとき、∠ＯＭＮを求めよ。
②三角形ＡＢＣで∠Ａ＝６０°、∠Ｂ＝２０°、ＡＢ＝１のとき、１/ＡＣ－ＢＣの値を求めよ。

	14070．Re: 平面図形２題、わかりません。新高1です。
	名前：ヨッシー日付：3月31日(水) 11時45分
	∠ＯＭＮ＝１として、角度の比を丸数字で表しています。 ∠ＡＯＣは∠ＡＢＣの２倍（円周角） ∠ＡＯＢは∠ＡＣＢの２倍ＮＯの延長上の点をＬとすると、∠ＬＯＢ＝∠ＬＯＣであり、これを考慮して、 ∠ＢＯＬ、∠ＬＯＡ、∠ＡＯＣの大きさを、１０，２，８と決めます。一方、ＭからＢＣに垂線ＭＨを下ろすと、 ∠ＯＭＨ＝∠ＭＯＬであり、　∠ＮＭＨ＝∠ＯＭＨ－∠ＯＭＮ＝１　∠ＯＮＭ＝１　（∠ＮＭＨと錯角）以上より、ＯＭ＝ＯＮ、ＯＢ＝ＯＡ＝２ＯＭより、 △ＢＯＮは、30°、60°、90°の直角三角形になります。以下略ですが、∠ＯＭＮ＝12°　になります。 (2) の方は、　１／(ＡＣ－ＢＣ)　でしょうね？　普通。　 http://yosshy.sansu.org/

	14071．ありがとうございます！
	名前：パゲさん日付：3月31日(水) 12時58分
	①はわかりました！②は１／ＡＣ－ＢＣですよ。かっこはつきません。

	14090．Re: 平面図形２題、わかりません。新高1です。
	名前：ヨッシー日付：3月31日(水) 17時43分
	△ＡＢＣのＡＢ上にＢＤ＝ＢＣとなる点Ｄを取ると、 △ＡＢＣと△ＡＣＤは相似になります。今、ＡＣ＝ｘとおくと、ＡＤ＝ｘ^2 であり、　ＢＣ＝ＢＤ＝１－ｘ^2 と表されます。よって、　（１／ＡＣ）－ＢＣ＝ｘ^2－１＋(１／ｘ) 　　　＝(ｘ^3－ｘ＋１)／ｘ　　　・・・・・・(1) 一方、ＣＤ＝ＢＣ・ｘであり、上図の正三角形の１辺は　２ＡＣ＋ＣＤ＝２ｘ＋ｘ(１－ｘ^2)＝１より、３ｘ－ｘ^3＝１　・・・・・・(2) (2) を (1) に代入して、　（１／ＡＣ）－ＢＣ＝{(３ｘ－１)－ｘ＋１}／ｘ＝２となります。　 http://yosshy.sansu.org/

14066．平面図形２題、わかりません。新高1です。

名前：パゲさん 日付：3月31日(水) 9時26分

わかりません。

14060．極限

名前：超ほげほげ(高１) 日付：3月31日(水) 5時57分

おはようございます。

(1)lim[x→0]　sinx/2x の値を求めよ。

(2)lim[x→0](x^2)/sinx の値を求めよ。

どうやるのでしょうか？教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

	14062．Re: 極限
	名前：ヨッシー日付：3月31日(水) 6時18分
	lim[x→0]　sinx/x = １という公式があります。使っちゃダメなら、sinｘをマクローリン展開して、この公式を導きます。 (1) は lim sinx/x × 1/2 (2) は lim x ÷ sinx/x です。　 http://yosshy.sansu.org/

	14063．Re: 極限
	名前：バカ殿（旧ほげほげand味噌汁）日付：3月31日(水) 6時54分
	理解できました。わかりました。どうもありがとうございました。

14044．またまた因数分解で苦戦中

名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ 日付：3月30日(火) 17時30分

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc
の公式を使って以下の問題を解くとします。

x^3+y^3+8z^3-6xyz
この式を因数分解せよ。
上の公式とこの式の違いは係数があるということです。
これは８、６の場合この公式を使用できますが、他にはどのような数の組み合わせでこの公式を使用できるでしょうか？あとこの2ペアの法則みたいなのはあるんでしょうか？
変な質問ですいませんが、お願いします。

あと
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3
を因数分解するとき上記の公式をつかって解き(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3＝０であることに気づくときれいになくなり因数分解できますが。
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3が０であるということをは実際に計算する以外の方法でわかりますか？その方法を教えて下さい。

以上の二問に回答してくだされば幸いです。

	14047．Re: またまた因数分解で苦戦中
	名前：Stone-Wall 日付：3月30日(火) 18時31分
	一つ目の質問について、因数分解する式の中に　○＾3＋△＾3＋◇＾3－3○△◇ の形を見出せれば、その公式が使えるのです。つまり、あなたの言っている式　　x^3+y^3+8z^3-6xyz を、　　x^3+y^3+(2z)^3-3xy(2z) としてみるとどうですか？わかりやすくなりませんか？ですから、次のような式も公式が使えますよ。　　27x^3+125y^3+8z^3-270xyz x^9+y^6+z^3-3x^3y^2z 二つ目の質問について、 (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3＝0*(・・・)+3(a-b)(b-c)(c-a) ではありませんか？｛（・・・）は省略しています｝

	14048．訂正
	名前：Stone-Wall 日付：3月30日(火) 18時36分
	27x^3+125y^3+8z^3-270xyz を、 27x^3+125y^3+8z^3-90xyz に直してください。

	14051．Re: またまた因数分解で苦戦中
	名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ日付：3月30日(火) 18時53分
	Stone-Wallさんすごくわかりやすい解説ありがとうございました。つまり27x^3+125y^3+8z^3-90xyzを (3x)^3+(5y)^3+(2z)^2-3(3x)(5y)(2z) というふうにやるのですね。理解できました。二つ目のやつは計算の過程ではなく(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3の問題を見たときにすんなりと「この足し算は０である」とわかる方法はないかということをきいております。すいません説明不足でした。二つ目の質問回答お願いします。

	14052．Re: またまた因数分解で苦戦中
	名前：Stone-Wall 日付：3月30日(火) 19時19分
	私の理解不足であったとしたらすみませんが、 (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3＝０ではなく、 (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3-3(a-b)(b-c)(c-a) ={(a-b)+(b-c)+(c-a)}{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2-(a-b)(b-c)-(b-c)(c-a)-(c-a)(a-b)} =0 つまり、簡単に書けば、 (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3-3(a-b)(b-c)(c-a)=0 ではありませんか？そしてこの両辺に、 3(a-b)(b-c)(c-a) を足してみると、 (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3＝3(a-b)(b-c)(c-a) とはなりますよね？あなたがおっしゃっているのは、 (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 について、公式を用いると (a-b)+(b-c)+(c-a) の部分がでてきて0になる、ということをどうすれば気づけるかということでしょうか？もし質問の意図を解していないとしたらごめんなさい。

	14054．Re: またまた因数分解で苦戦中
	名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ日付：3月30日(火) 19時37分
	あぁ～すいません。勘違いしてました。 Stone-Wallさん、丁寧な解説ありがとうございました。今後ともよろしくお願いいたします。

	14055．Re: またまた因数分解で苦戦中
	名前：Stone-Wall 日付：3月30日(火) 19時49分
	どういたしまして。こちらこそよろしくお願いします。それと、さっき私が述べたところで (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 について、公式を用いると (a-b)+(b-c)+(c-a) の部分がでてきて0になる、ということをどうすれば気づけるか、ということなんですが、これに関してはいわゆる「感」しかないと思うのですが、「いや、こういうところから、この公式を使えば簡単になる、ということに気づける」という意見のある方、是非書き込みして下さい。

14036．上記の方々程丁寧ではありませんが…

名前：Stone-Wall 日付：3月30日(火) 11時33分

なけなしの数学Ⅲの知識で答えます。もし間違っていたら、どなたか訂正してください。

逆関数とは、 y=f(x)という関数において、 x=a 、 y=b という値をとるとき、すなわち b=f(a)という関係が成り立つときに、a=f(b)という関係が成り立つ関数のことをいいます。ですから、簡単に言えば、
y=f(x) を x について解き、変数のxとyを入れ替えれば、逆関数となるのです。ということは、ある関数とその逆関数の定義域と値域は逆になっているわけです。

　　　　　　　　　　　　　y=x　　　　　　　　　　　　　(1)

という式において、定義域が x≦2 という値をとるならば、
値域は y≦2 となります。

よって (1) 式の逆関数の定義域は x≦2 、値域は y≦2 となります。

また、

　　　　　　　　　　　 y=-x (3)

という関数において、定義域が x≧2 ならば値域は y≦-2となりますから、（３）の逆関数の定義域は x≦-2 、 y≧2 となります。

おそらく、論述式の問題のとき、どう理由をつければよいのか、というご質問なのかもしれませんが、こういう場合は前述のように、一般的に自明とされていますので、理由はいらないと思います。あえてつけつなら、逆関数をとられる方の式（上の式で言えば（１）、（３））の定義域、値域を書いて、「従って」と続けるのがよろしいかと・・・

何分久しぶりなもので、もし「そんなんじゃダメだ」とお思いの方、訂正してください。

	14038．Re: 上記の方々程丁寧ではありませんが…
	名前：Stone-Wall 日付：3月30日(火) 11時38分
	訂正 y=-x(3) を　　　　　　　　y=-x (3) にして下さい。なお、（１）から（３）にとんだ理由は特にありません。本当は（１）の逆関数を（２）として書いていたのですが、それを削除してしまっただけです。

	14039．Re: 上記の方々程丁寧ではありませんが…
	名前：Stone-Wall 日付：3月30日(火) 11時40分
	まだうまく書けませんね。 y=-x(3) ではなく y=-x (スペース)　　　　(3) と間を空けています。

	14046．Re: 上記の方々程丁寧ではありませんが…
	名前：ほげほげ人間日付：3月30日(火) 18時15分
	stone-wallさん、どうもありがとうございます。

	14057．Re: 上記の方々程丁寧ではありませんが…
	名前：ほげほげ人間日付：3月30日(火) 20時10分
	お陰さまで解決することが出来ました。どうもありがとうございました。

14031．逆関数

名前：ほげほげ人間 日付：3月30日(火) 8時49分

ｙ＝ｘ　(x≦２)の逆関数を求めよ。

という問題で、
答え、ｙ＝ｘだと思いますが、定義域はどうやって求めればよいのでしょうか？ｘ≦２かｘ≧２かわからないのですが…。

同様にｙ＝－ｘ（ｘ≧２）についても、
ｘ≦-２かｘ≧-２かわかりません。

よろしくお願いします。m(_ _)m

	14032．Re: 逆関数
	名前：ほげほげ人間日付：3月30日(火) 8時53分
	グラフを書いて目で見てわかる。という方法ではなく、グラフを書かなくてもわかる考え方を教えていただけないでしょうか… よろしくお願いします。

	14033．Re: 逆関数
	名前：S 日付：3月30日(火) 11時7分
	こんにちは。社会人です。トライアルですが、･･･＞ｙ＝ｘ　(x≦２)の逆関数を求めよ。 (1) y = f(x) = x　とおいて、逆関数を g とすると、 x = g(y) = g(f(x)) 式の両端について x に y を代入すると、 y = g(f(y)) 従って元の関数から、 y = g(y) y に x を代入すると、 x = g(x) 右辺は当初指定した逆関数であるから、求める逆関数は y = x (2) x≦2　から逆関数について、 x = g(y) ≦ 2 元の関数 y = x　から g(x) ≦ 2 これは逆関数の値域であるが、逆関数は y = x すなわち逆関数について、 x = y = g(x) ≦ 2 ゆえに逆関数の定義域は、 x ≦ 2 でどうでしょうか。

	14035．Re: 逆関数
	名前：花パジャ日付：3月30日(火) 11時31分
	きちんとした回答はSさん等の他の方々にお任せするとして >ｙ＝ｘ　(x≦２)の逆関数を求めよ。 >ｘ≦２かｘ≧２かわからないのですが…。 ...元の関数でx=1は定義域に含まれるので、y=1は値域に含まれ、この値域が逆関数の定義域なので、x=1は逆関数の定義域に含まれるので、x≧2ではない >同様にｙ＝－ｘ（ｘ≧２）についても、 >ｘ≦-２かｘ≧-２かわかりません ...元の関数でx=3は定義域に含まれるので、y=-3は値域に含まれ、この値域が逆関数の定義域なので、x=-3は逆関数の定義域に含まれるので、x≧-2ではないてな、雑な考え方も出来て得かと

	14037．Re: 逆関数
	名前：Stone-Wall 日付：3月30日(火) 11時35分
	すみません、間違って新しく書き込みしてしまいました。上記をみていただければ…

	14042．Re: 逆関数
	名前：えいぶ日付：3月30日(火) 14時28分
	端的に言うとf(x)の逆関数,g(x)の定義域を求めたいときはf(x)の値域を求めyをxに変える,ということです。例えばy=f(x)=-x(x≧2)の逆関数の定義域は 1.y=f(x)の値域を求める。→y≧-2 2.求めたもののyをxにかえる。→x≧-2 これで求めることが出来ます。

	14045．Re: 逆関数
	名前：ほげほげ人間日付：3月30日(火) 18時13分
	皆様、どうもありがとうございます。すみません…混乱してしまいました。問題がｙ＝ｘという対称になっている形ですので、混乱してしまいます。問題設定が悪かったようです。（私の頭も…）ごめんなさい。申し訳ありませんが、 y=-3x+4 (x≦2)　の逆関数を求めよ。という問題で、もう一度、解説をお願いできますでしょうか…？これだと、 (1) y = f(x) = -3x+4　とおいて、逆関数を g とすると、 x = g(y) = g(f(x)) 式の両端について -3x+4 に y を代入すると、 y = g(f(y)) 従って元の関数から、 y = g(y) y に -3x+4 を代入すると、 x = g(-3x+4) 右辺は当初指定した逆関数であるから、求める逆関数は ??? (2) x≦2　から逆関数について、 -3x+4 = g(y) ≦ 2 元の関数 y = -3x+4　から g(-3x+4) ≦ 2 ・・・？？？といった感じになるのでしょうか？大変申し訳ありませんが、もう一度お願いできますでしょうか…。すみません・・・

	14049．Re: 逆関数
	名前：花パジャ日付：3月30日(火) 18時40分
	>(1) y = f(x) = -3x+4　とおいて、逆関数を g とすると、 x=g(y)、これは、左辺がxで右辺はyだけの関数でxが現れない、そのように変形すればよいのです。この場合、y=-3x+4　から　x=(4-y)/3　(あ、表記は私の趣味^^;) なので、g(y)=(4-y)/3 x≦2 -3x≧-6 -3x+4≧-2 y≧-2

	14056．Re: 逆関数
	名前：ほげほげ人間日付：3月30日(火) 20時9分
	Ｓさん、花バジャさん、stone-wallさん、えいぶさん、どうもありがとうございます。お陰さまで理解することが出来ました。どうもありがとうございました。＾＾

	14065．Re: 逆関数
	名前：S 日付：3月31日(水) 9時7分
	おはようございます。＞花パジャさんのセンスのある MESSAGE にさそわれて僕ももう少し書き込みたくなりました。あえてガチガチやっていくことをお許しいただきますと、＞ほげほげ人間さんの＞(1) y = f(x) = -3x+4　とおいて、逆関数を g とすると、 x = g(y) = g(f(x)) の後、式の両端について y を代入すると、 y = g(f(y)) y = g(-3y+4) ここで、 X = -3y+4　とおくと、 y = (-1/3)(X-4) 従って、 (-1/3)(X-4) = g(X) 右辺は当初の逆関数であるから、 X を x、 g(X) を y に書き替えて、求める逆関数は y = (-1/3)x + 4/3 定義域については、途中 x に y を代入したのであるから、 x = y = (-1/3)(X-4) ≦ 2　から X ≧ -2 すなわち逆関数の定義域は x ≧ -2 ＞花パジャさんの数学的センスには及びもつきませんが御参考まで。

14027．恥ずかしながら大学生（新３学年）です

名前：Stone-Wall 日付：3月29日(月) 22時22分

　大学生にもなって恥ずかしい限りですが、どうしても気になっていることがあって書き込みしました。　円に関して２点、半減期に関して1点お聞きしたいことがあります。 Ⅰ．円に関して（１）円の周りの長さを直径で除した値は一定であり、これを円周率と　　　定めたそうですが、「円の周りの長さを直径で除した値は一定」　　　というのは、どのようにして証明されたのでしょうか？（２）扇形の弧の長さや面積を求めるときに「扇形の弧の長さ及び面積　　　は、扇形の中心角に比例する」という事実を用いますよね。直感　　　的にはわかりますが、どのようにして証明されたのでしょうか？ Ⅱ．半減期に関して　ある物質が一定時間が経つと一定の割合で減少するとします。例えば半減期というのは、物質が1/2の量になるまでの時間のことで、同じ長さとなりますよね。　これを一般的に、ある一定時間tが経った時、ある物質の k（＜1）倍の量が無くなる（前段落の言い方をすれば、残る物質の量は (1-k) 倍になる）とし、ある時の物質の量を C とすると、　　　　　　　　　　　　　dC/dt=-kC　　　　　　　　　　　 (a) と表せますよね。ところが、式(a)の両辺を t で積分すると　　　　　　　　　　　　C=C'*e^-kt　　　　　　　　　　　　　(b) となるそうなんですが何故でしょうか？（ただし C' は物質の最初の量、＊は積の記号、 e は自然対数 e^-kt は e の -kt 乗を表しています。）また、　　　　　　　　　　　　C=C'exp(-kt)　　　　　　　　　　　　(c) という書き方もあるみたいですが、(b)と(c)が同じものなのかわかりません。　どうかひとつよろしくお願いします。

	14034．Re: 恥ずかしながら大学生（新３学年）です
	名前：花パジャ日付：3月30日(火) 11時13分
	Ⅱ．(b)=(c) (a)dC/dt=-kC 雑なやり方で(丁寧なやり方は失念) 　dC/C=-kdt 両辺積分して　ln(C)=-kt+A 今、C'=exp(A)と置いて(c)

	14040．Re: 恥ずかしながら大学生（新３学年）です
	名前：Stone-Wall 日付：3月30日(火) 12時34分
	御教授ありがとうございます。でもやはり、積分の前後の操作は理解できたのですが、積分する段階がわかりません。途中過程を書いていただけませんでしょうか？質問しておきながらずうずうしいですが、よろしくお願いします。なお、Ⅰ．に関しても引き続きお願いします。

	14050．Re: 恥ずかしながら大学生（新３学年）です
	名前：花パジャ日付：3月30日(火) 18時52分
	∫dC/C=∫(1/C)dC=ln(C)+定数　　(ln(x)の微分は1/x) ∫(-kdt)=-k∫dt=-kt+定数 Ⅰ．はう～ん球面上の円では成立しないし、なんと答えるべきか...

	14053．Re: 恥ずかしながら大学生（新３学年）です
	名前：Stone-Wall 日付：3月30日(火) 19時33分
	なるほど、よくわかりました！花パジャさん、御教授ありがとうございました。 I.に関して、引き続きどなたかよろしくお願いします。歴史的には、微分・積分学が現れる以前に発見されたらしいです。そのときに証明されたのか、それとも実験的にそうなると発見されたのかは知りませんが、普遍的に円の面積、円周について述べていくためには、「実験的」では不十分ですよね。演繹の開始点なのですから…

	14058．Re: 恥ずかしながら大学生（新３学年）です
	名前：花パジャ日付：3月30日(火) 20時44分
	(1)相似だから (2)そもそも角度とは... 　　円の面積と同様みたいのぢゃだめかしらん

	14059．Re: 恥ずかしながら大学生（新３学年）です
	名前：Stone-Wall 日付：3月30日(火) 21時41分
	ぶり返してすみませんが、 dC/C=-kdt の両辺を "tで" 積分するわけですが、 ∫dC/C=∫(1/C)dC=ln(C)+定数というのは、左辺をCで積分しているように見えます。何分数Ⅲは苦手なもので、その辺のところお願いします。あとⅠ．に関して、詳しくお願いします。しつこいですが、どうぞよろしくお願いします。

	14099．Re: 恥ずかしながら大学生（新３学年）です
	名前：花パジャ日付：4月1日(木) 0時29分
	>dC/C=-kdt >の両辺を "tで" 積分するわけですが、いいえ。 (1/C)*(dC/dt)=-k の両辺を "tで" 積分するのが丁寧な説明かと思いますが....

14022．久しぶりですが・・・

名前：スライム 日付：3月29日(月) 20時47分

中学一年の復習をしているのですが図形とは相性が悪すぎます。
本題ですが、ドリルにあった問題で答えに開設がないので
とき方を教えてくれませんか？
問題は・・・・
底面の長方形の２辺が１０ｃｍ、７ｃｍで、高さが７ｃｍ
の四角形の体積
という問題です。どうぞよろしくお願いします

	14024．Re: 久しぶりですが・・・
	名前：arc 日付：3月29日(月) 21時1分
	四角形に体積はありません・・・。四角柱か四角錘になります。 1077=490cm³が四角柱の体積。四角錘は490/3cm³になります。解き方というか、体積（面積）の求め方の基礎です。縦×横×高　が四角柱の体積。

	14041．Re: 久しぶりですが・・・
	名前：スライム日付：3月30日(火) 13時8分
	そうなのですか・・・・。公式を覚えておかないとわかるはずないですね＾＾；ありがとうございました

14018．すみません　私も連続質問です　（中1）No.4

名前：Arice 日付：3月29日(月) 19時52分

ある電車が750ｍの鉄橋を渡りはじめてから、渡り終わるまで35秒かかり、また、同じ速さで1050ｍのトンネルを通過するとき、40秒はまったくトンネルにかくれていた。このとき次の問いに答えよ。
（1）電車の長さをⅹｍとして、電車の速さに関しての方程式をつくり、電車の長さを求めよ。また、電車の速さを求めよ。
（2）この電車の反対方向から長さ150ｍの貨物電車が毎秒16ｍの速さで進んできて、この電車とすれちがった。このとき、出会ってからすれ違い終わるまでにかかった時間を求めよ。

	14023．全部一気に答えます。
	名前：arc 日付：3月29日(月) 20時51分
	◆1-1 男子をx人、女子をy人とすると、 x + y = 1200 0.98x + 1.04y = 1218 ◆1-2 上の式を解いて、 52x + 52y = 62400 52x + 49y = 60900 3y = 1500 , y=500 , x=700　が求められる。 ◆2 （水溶液+溶媒）/（溶媒）＝（濃度）濃度8%の100gの水溶液は、（塩8g）+（水92g）これに160gの水を足すので(塩8g+Xg)+（水252g） (252+k)/k = 10 , 252 = 9k , k=28 k=8+X , 求めるのはXなので、X=20。答え20g ◆3 とりあえず答えが出たので書きます・・。使用できる教室は35部屋。受験者数は1320人。 40人ずつ別けると33部屋で丁度。 40人のクラスを15部屋、36人のクラスを20部屋の計35部屋で丁度。 ◆4-1 (750+x)/35 = (1050-x)/40 x=90（列車の長さ）速度は4m/s ※4-2はやっていません。もしかしたら間違いがあるかもしれません。よく読んでみてください。

	14026．ありがとうございます
	名前：Arice 日付：3月29日(月) 21時11分
	arcさん、ありがとうございます。またお世話になるときはよろしくお願いします。

14016．すみません　私も連続質問です　（中1）No.3

名前：Arice 日付：3月29日(月) 19時47分

ある学校の入学試験で、試験場として使用できる教室の数は決まっている。受験生を1教室に40名ずつ入れると、ちょうど２教室余るので、36名入れる教室と40名入れる教室をつくることにした。その結果、36名入れる教室の数と、40名入れる教室の数との比を4：3にすると受験生全員を空席なく入れることができた。次の問いに答えよ。
（1）使用できる教室の数をⅹとして方程式をつくれ。
（2）この学校の受験生の数を求めよ。

	14021．Re: すみません　私も連続質問です　（中1）No.3
	名前：えいぶ日付：3月29日(月) 20時34分
	教室の数をxとします。 1教室に40名ずつ入れると、ちょうど２教室余るなので生徒の人数は40(x-2)となります。 36名入れる教室の数:40名入れる教室の数＝4：3 なので生徒の人数は364x/7+36*3x/7人です。この２つが生徒の人数を表しているので＝で結びます。

14015．すみません　私も連続質問です　（中1）No.2

名前：Arice 日付：3月29日(月) 19時43分

8％の食塩水100ｇに、水160ｇと食塩をくわえたら、10％の食塩水ができた。くわえた食塩の量は何ｇか？

	14020．Re: すみません　私も連続質問です　（中1）No.2
	名前：えいぶ日付：3月29日(月) 20時29分
	求める塩の量をxとして順に考えていくと 8％の食塩水100ｇってことで水…92 g,塩…8 g 水160ｇと食塩x gをくわえるなので水…92+160 g,塩…9+x g この食塩水が10％の濃度、ということは…

14014．すみません　私も連続質問です　（中1）No.1

名前：Arice 日付：3月29日(月) 19時41分

Ａ高等学校の昨年度の生徒は男女合わせて1200人であった。今年度は昨年度に比べ男子は2％減少し、女子は4％増加したので合計1218人になった。次の問いに答えよ。
（1）昨年度の女子の生徒数をⅹ人として方程式を作れ。
（2）今年度の女子の生徒数を求めよ。

	14019．Re: すみません　私も連続質問です　（中1）No.1
	名前：えいぶ日付：3月29日(月) 20時15分
	すみませんと言っているだけいいかもしれませんがあまりに連続する数が多いとただ宿題の押し付けのように感じてしまうこともあります。本題。男女合わせて1200人ここで女子の人数をxとするので男子の人数は1200-xになります。男子は2％減少、女子は4％増加なので男子(1-0.02)(1200-x)人,女子(1+0.04)xになります。合計が1218人なのでこれから方程式を作ります。

	14025．ありがとうございます
	名前：Arice 日付：3月29日(月) 21時9分
	えいぶさん、図星です(ToT) どうもありがとうございました。これに懲りずにまたの機会にはよろしくお願いいたします。

	14029．Re: すみません　私も連続質問です　（中1）No.1
	名前：くぼ日付：3月30日(火) 0時59分
	・・・。

14010．すいません連続質問です。

名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ 日付：3月29日(月) 18時25分

a^6-b^6の因数分解なのですが、a^3=A(b^3=B)と置いてやってみました。
A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)
=(a^3-b^3)(a^6+a^3b^3+b^6)
=(a-b)(a^2+ab+c^2)(a^6+a^3b^3+b^6)
ここまでしかできませんでした。答えを見る限りまだ因数分解できるようです。

あと前質問した(a+b)(b+c)(c+a)+abcの因数分解なのですが3回やっても同じ答えになり間違えます。ご指摘願います。
(a+b)(b+c)(c+a)+abc={a^2+a(b+c)+bc)}(b+c)+abc
=(a^2+aA+bc)A+abc
=a^2A+aA^2+bcA+abc
=a^2(b+c)+a(b+c)^2+(b+c)bc+abc
=a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+3abc+b^2c+bc^2
=a^2(b+c)+a(b^2+c^2+3bc)+bc(b+c)
ここから因数分解ができません。指摘お願いします。
以上の二つの質問に答えて下さるとうれしいです。

	14011．Re: すいません連続質問です。
	名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ日付：3月29日(月) 18時29分
	訂正 (a-b)(a^2+ab+c^2)(a^6+a^3b^3+b^6)→(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^6+a^3b^3+b^6)

	14012．Re: すいません連続質問です。
	名前：ast 日付：3月29日(月) 19時7分
	前半. ＞=(a^3-b^3)(a^6+a^3b^3+b^6) ・・・次数増えてるやん；＞a^6-b^6の因数分解なのですが、a^3=A(b^3=B)と置いてやってみました。＞A^3-B^3 ダウト。

	14013．Re: すいません連続質問です。
	名前：ast 日付：3月29日(月) 19時15分
	後半の問題はたすき掛けやね。

	14028．Re: すいません連続質問です。
	名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ日付：3月30日(火) 0時26分
	は・・・英単語２５語覚えてからの疲れでしょうか・・・変なミスばかりしていますね・・・やり直してみます。（汗

	14043．Re: すいません連続質問です。
	名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ日付：3月30日(火) 16時11分
	できました。astさんありがとうございました。今後ともよろしくお願いいたします。

14003．因数分解本当にまったくわからないです。

名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ 日付：3月29日(月) 16時58分

(x^2-x+1)(x^2-x+2)-12
=(A+1)(A+2)-12
=A^2+3A+3-12
=A^2+3A-9
=x^4-2x^3+4x^2-3x-9
とまでやりました。が、できません。
はぁ～もう本当に因数分解の方法がすぐに思いつきません。
お願いします！

	14007．Re: 因数分解本当にまったくわからないです。
	名前：ast 日付：3月29日(月) 17時38分
	＞=(A+1)(A+2)-12 ＞=A^2+3A+3-12 ダウト。

	14008．Re: 因数分解本当にまったくわからないです。
	名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ日付：3月29日(月) 17時50分
	あ・・・・た、単純ミス。すいません。astさん指摘ありがとうございます。もう一度やってみます。

	14009．Re: 因数分解本当にまったくわからないです。
	名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ日付：3月29日(月) 18時2分
	できました。astさんありがとうございました。今後ともよろしくお願いいたします。

13998．関数

名前：味噌汁 日付：3月29日(月) 15時4分

関数y=√(2x-4)のグラフを描くのに、

「ｘ≧２で単調に増加することから、特別な点(2,0),(4,2)などをとってグラフを描く」

と書いてあるのですが、この文章が引っかかります。
「ｘ≧２で単調に増加することから、特別な点(2,0),(4,2)などをとってグラフを描く」のではなく、
「特別な点(2,0),(4,2)などをとってみると、ｘ≧２で単調に増加することがわかるから、グラフを書ける」
ではないでしょうか？
よろしくお願いします。

	14000．Re: 関数
	名前：ヨッシー日付：3月29日(月) 16時38分
	点(2,0),(4,2)などをとってみなくても、ｘ≧２で単調に増加することはわかります。 2x-4 は負では困りますから、ｘ≧２は絶対です。その範囲で、ｘが増えると、 2x-4 も増え、√(2x-4) も増えますから、単調増加と言えます。逆に点(2,0),(4,2)を通ったとしても、その間が単調増加とは限らない例はたくさんあります。例　ｙ＝－ｘ^2＋７ｘ－１０　 http://yosshy.sansu.org/

	14006．Re: 関数
	名前：味噌汁日付：3月29日(月) 17時27分
	なるほど。よくわかりました。そういうわけだったのですね。管理人さん、どうもありがとうございました。ぜひまた教えてくださいっ。＾＾

13996．3円の楕円の交点座標

名前：左田俊幸 日付：3月29日(月) 10時20分

2円に内接するもうひとつの円と交差する2点の直交座標を計算したいのですが宜しくお願いします。

	13997．Re: 3円の楕円の交点座標
	名前：ヨッシー日付：3月29日(月) 11時15分
	２円に内接するということは、２円は交わっているはずですね？それに内接する円というのは、図のような円ということになりますが、それで良いでしょうか？また、交差する２点とは？　 http://yosshy.sansu.org/

13993．気付いていますか?(ごめんなさい)(小学6年生)

名前：受験勉強君 日付：3月28日(日) 23時24分

皆さん［Ａ］君が僕に出してくれた(迷惑かも知れない)「変な問題」に取り組んでいただいて大変光栄なのですが、あれから［Ａ］の不注意により、だいぶ問題が変わっています。なのでそこのところをご確認下さい。(こんなことを言うと［Ａ］君に怒られそうだが・・・・(＾＾;:))

13991．図形ってむずい

名前：なほ(新高3) 日付：3月28日(日) 21時37分

正三角形の周および内部の点をP、辺BC、CA、ABの長さをそれぞれ
a,b,c(a＞b＞c)とし、Pから辺BC、CA、ABへ下ろした垂線の長さを
それぞれｘ,y,zとするとき、ｘ＋y＋zを最大・最小にする点Pの位置を
求めよ。

	13992．Re: 図形ってむずい
	名前：ヨッシー日付：3月28日(日) 22時14分
	ＡＢＣが正三角形なのですか？ならば、ａ＞ｂ＞ｃ　というのは変でしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	13994．訂正
	名前：なほ(新高3) 日付：3月28日(日) 23時50分
	よっしーさんのいう通りです三角形の周および内部の点をP、辺BC、CA、ABの長さをそれぞれ a,b,c(a＞b＞c)とし、Pから辺BC、CA、ABへ下ろした垂線の長さをそれぞれｘ,y,zとするとき、ｘ＋y＋zを最大・最小にする点Pの位置を求めよ。

	13995．Re: 図形ってむずい
	名前：幾何日付：3月29日(月) 0時34分
	△ABCの面積をSとおくと、ax+by+cz=2S （一定）

	14017．続き
	名前：幾何日付：3月29日(月) 19時50分
	a,b,c はすべて正、x,y,z はすべて非負だから x+y+z ≦ (a/c)x+(b/c)y+z = 2S/c 等号は (x,y,z) = (0, 0, 2S/c) ⇔ PがCに一致するとき成立するのでこのとき x+y+z は最大となる。

13989．証明

名前：ジャグラ 日付：3月28日(日) 21時0分

こんばんわ、数学的帰納法により二項定理をどのように導くのか
教えて頂きたいです。と言うかこの二項定理ってすごく私にとって難しく
感じるのですが、皆さんは簡単に納得しているのでしょうか？＾－＾；
それに便上して３平方の定理についても教えてほしいです・・・。
他のＨＰ等で証明を見たのですが、いまいち私の理解力が悪いのでより分かり
やすい微分積分、数学的帰納法、軌跡、ベクトル等の考え方を用いて証明する
ことはできませんでしょうか？＿？

♯変な事言ってるかもしれません･･･。

	14005．Re: 証明
	名前：ヨッシー日付：3月29日(月) 17時18分
	二項定理　(ａ＋ｂ)ⁿ＝Σ_k=0～nnＣkａ^kｂ^n-k ですが、ｎ＝１のとき成り立つ。ｎ＝ｔのとき成り立つと仮定して、ｎ＝ｔ＋１のときを考えると、　(ａ＋ｂ)^t+1＝(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)^t 　　＝(ａ＋ｂ)Σ_k=0～ttＣkａ^kｂ^t-k ａ^t+1 とｂ^t+1 の係数は、１であることは明らかです。それ以外の項について、ａ^sｂ^t+1-s の項は、　ａ×tＣs-1ａ^s-1ｂ^t+1-s　＋　ｂ×tＣsａ^sｂ^t-s からできているので、その係数は、　tＣs-1 ＋ tＣs です。　tＣs-1 ＋ tＣs　＝ t!/{(t+1-s)!(s-1)!} ＋ t!/{(t-s)!s!} 　　＝t!{s+(t+1-s)}/{(t+1-s)!s!} 　　＝(t+1)!/{(t+1-s)!s!}＝t+1Ｃs となり、ｎ＝ｔ＋１の場合にも、　(ａ＋ｂ)ⁿ＝Σ_k=0～nnＣkａ^kｂ^n-k は成り立ちます。このような感じです。　 http://yosshy.sansu.org/

	14030．Re: 証明
	名前：ジャグラ日付：3月30日(火) 1時3分
	ヨッシーさん返答ありがとうございます。なんとか理解できました＾～＾　ここでふと思ったのですが、もし（a＋b＋････n)^nと中身もn個あるのを展開させようとすれば、どのようになるのでしょうか・・・。理解力がないもので二項定理を応用して今度はこうなるのではないか！と検討すらつけられない状況です・・・。微分とかしないとダメですか？(w それと３平方の定理の質問ですが、実は３平方の定理じゃありませんでした！！（笑）・・・じゃないよね。三角形に内接する円について考えてたら間違いました。もう一つの質問はマジで意味不明でした！

13987．因数分解が・・・苦手だ・・

名前：IGA（まもなく高１） 日付：3月28日(日) 18時51分

ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc

a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)

(a+b)(b+c)(c+a)+abc

以上の三つの式が因数分解できません。
自分なりに何通りもやっていろいろ組み合わせを考えたのですができそうなところでできなくなってしまうのです・・・ようするにできません。
解き方の過程を教えてください。

	13988．Re: 因数分解が・・・苦手だ・・
	名前：Bob 日付：3月28日(日) 19時45分
	ａについて降ベきの順（２乗の項，１乗の項，定数項の順）にしてみましょう。

	13999．Re: 因数分解が・・・苦手だ・・
	名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ日付：3月29日(月) 16時19分
	ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=a^2(b+c)+a(b^2+c^2)+bc(b+c)+2abc Bobさんの言うとおり降べきの順に直し共通因数を括りだしてみました。しかしできません。あと(a+b)(b+c)(c+a)+abcは (a+b)(b+c)(c+a)+abc={a^2+(b+c)a+bc}(b+c)+abc までできましてできそうなかんじがしたのですが・・（ｂ＋ｃ）を文字でおいてもできませんでした。あとa(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)も a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)=a^2c+a(b+c)(b-c)-bc(b-c) までやりました。がここからまたわかりません。（ｂ－ｃ）を文字でおいてみたりしたんですができませんでした。要するに三つ途中までやったのですがわかりませんでした。ご教授お願いします。

	14001．Re: 因数分解が・・・苦手だ・・
	名前：ヨッシー日付：3月29日(月) 16時41分
	１番目は、＞ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=a^2(b+c)+a(b^2+c^2)+bc(b+c)+2abc では、降べきに直したことにはなりません。 2abc が残っています。　a^2(b+c)+a(b^2+2bc+c^2)+bc(b+c) です。b^2+2bc+c^2 をちょっと変形してやると、共通因数がまず出てきますね。　 http://yosshy.sansu.org/

	14002．Re: 因数分解が・・・苦手だ・・
	名前：ヨッシー日付：3月29日(月) 16時58分
	他の２つも、降べきになりきっていないか、計算間違いかです。３つとも、同じ方針で解けます。　 http://yosshy.sansu.org/

	14004．Re: 因数分解が・・・苦手だ・・
	名前：IGA（まもなく高１）＠別のＰＣ日付：3月29日(月) 17時0分
	え！そうなんですか？すいませんでした。一度やり直してみます。お忙しい中教えて下さりありがとうございました。 Bobさん、ヨッシーさん今後ともよろしくお願いします。

13985．教えてください！！

名前：宿題に追われている中２です 日付：3月28日(日) 18時3分

どのホームページ見てもないんですが、「モーレーの定理」の
証明を教えていただけませんか？ただし、中２なので
sinやcosなどの三角関数を使わない証明をお願いします。
モーレーの定理はわからん！！

	13986．Re: 教えてください！！
	名前：ヨッシー日付：3月28日(日) 18時13分
	とりあえず、こちらを紹介しておきます。　 http://yosshy.sansu.org/

	13990．Re: 教えてください！！
	名前：宿題に追われている中２です日付：3月28日(日) 21時5分
	なんか、よくわかりません。他の証明はないのでしょうか？

13984．最新版(小学6年生)

名前：受験勉強君 日付：3月28日(日) 16時36分

上の図形と次の条件をうまく利用して正方形ＫＬＮＭの面積を求めなさい。
1，四角形ABCDは台形で円とちょうどABCDの4点で接しています。
2，弧ABの長さは円周の長さの4分の1です。
3，斜線部分の面積は3220.9837cm2です。
4，点Dから辺ECに引いた垂線と辺ECの交点を点Oとします。その時EO：OC=123：77になります。また点Eは台形の底辺BC上に存在します。
5，辺DEとDCの比は整数比になります。
6，辺DEと辺DCは内側が鏡になっているため、もし辺DEか辺DCに辺ECから光を放った場合、光は跳ね返ります。辺EC上にある点Gから辺DE上にある点Fに向けて光を放つとまた点Gにその光が戻ってきました。三角形FHGはその時の光の通り道です。
7，FI：IH=231：544、HJ：JG=85：8、また、ILとLJの長さは等しいです。
8，HK：KI =9：7、HN：NJ =11：3です。
また、上の図は正確ではありません。

13982．もう一言言い忘れました。

名前：受験勉強君 日付：3月28日(日) 11時54分

僕の前に送ったメールはすべて消去して下さい。(もういらないので・・・・)これからも宜しく御願いいたします。(＾＾)

13981．訂正します。すいません。(小学六年生)

名前：受験勉強君 日付：3月28日(日) 11時52分

上の図形と次の条件をうまく利用して正方形ＫＬＮＭの面積を求めなさい。
1，四角形ABCDは台形で円とちょうどABCDの4点で接しています。
2，弧ABの長さは円周の長さの4分の1です。
3，斜線部分の面積は3220.9837cm2です。
4，点Dから辺ECに引いた垂線と辺ECの交点を点Oとします。その時EO：OC=123：77になります。また点Eは台形の底辺BC上に存在します。
5，辺DEとDCの比は整数比になります。
6，辺DEと辺DCは内側が鏡になっているため、もし辺DEか辺DCに辺ECから光を放った場合、光は跳ね返ります。辺EC上にある点Gから辺DE上にある点Fに向けて光を放つとまた点Gにその光が戻ってきました。三角形FHGはその時の光の通り道です。
7，FI：IH=231：544、HJ：JG=85：8、また、ILとLJの長さは等しいです。
8，GI：IF=7：9、FK：KH=11：3です。

また、上の図は正確ではありません。

この間、おっしゃって下さったことを友人［Ａ］に話してみると
「あっ、確かに解けないかも・・・・。」といって新しく作り直した問題をもらいました。だけど相変わらず難しくて解けません。問題文には「上の図」と書いてありますが、それは添付の図のことです。(図はふたつあります)

たびたびすいませんでした。

13973．因数分解です・・・ダメですできません

名前：IGA（まもなく高１） 日付：3月27日(土) 19時21分

x^2+x-y^2-5y-6

x^2+xy-2y^2-4x-5y+3

3x^4-x^2y^2-2y^4

因数分解せよ。
いろいろ試行錯誤して考えたのですがわかりません。
お願いします。
あと因数分解のコツみたいなものはないでしょうか？お願いします。

	13974．Re: 因数分解です・・・ダメですできません
	名前：富山日付：3月27日(土) 19時44分
	一番上はxについての定数部分をまず因数分解します

	13975．Re: 因数分解です・・・ダメですできません
	名前：IGA（まもなく高１）日付：3月27日(土) 21時38分
	やってみたのですが、よくわかりません。 x^2+xを因数分解して-y^2-5y-6を因数分解してもできないようなきがするのですが。すいませんお願いします。

	13976．1番最初
	名前：Bob 日付：3月27日(土) 21時50分
	x^2+x-y^2-5y-6＝x^2+x-（y^2＋5y＋6）　　　　　　　＝ｘ＾２＋ｘ－（ｙ＋３）（ｙ＋２）たすきがけ　１　　　－（ｙ＋２）　１　　　　（ｙ＋３）　　　　（ｘ－ｙ－２）（ｘ＋ｙ＋３）二つ目も上と同じ三つ目はおきかえてみましょうｘ＾２＝A　　ｙ＾２＝Bと

	13979．Re: 因数分解です・・・ダメですできません
	名前：天才3号日付：3月28日(日) 10時59分
	はじめまして天才3号です。☆彡え･･･私は何がなんだか･･･小学生6年なのでまだ分かりません。因数分解とは･･･教えてください☆彡これからもよろしくお願いします。

	13983．Re: 因数分解です・・・ダメですできません
	名前：IGA（まもなく高１）日付：3月28日(日) 12時6分
	たすきがけですか！あ～ｘ＾２＋ｘ－（ｙ＋３）（ｙ＋２）がたすきがけできるとは気づきませんでした。なるほど～Ｂｏｂさんご丁寧に有り難うございました。まだ因数分解は慣れないんで・・・有り難うございました。

13968．大変すいません

名前：受験勉強君 日付：3月27日(土) 2時22分

僕こういう面ではオオバカなんです。さらに数値を間違っていました。［Ａ］さんに失礼ですよね。
訂正
1872.9711(隣の問題と見間違っていました)→1478.0997cm2です。

13965．すいません。

名前：受験勉強君 日付：3月27日(土) 0時1分

Mという記号を図に書き忘れました。新しい図は次の通りです。
文章も入れときます。

次のような図形があります。次の条件のもとで正方形ＫＬＮＭの面積を求めなさい。
1，四角形ABCDは台形で円とちょうどABCDの4点で接しています。
2，弧ABの長さは円周の長さの4分の1です。
3，斜線部分の面積は1872.9711cm2です。
4，点Dから辺ECに引いた垂線と辺ECの交点を点Oとします。その時EO：OC=123：77になります。
5，内側が鏡になっている辺DEと辺DCに辺EC上にある点Gから辺DE上にある点Fに向けて光を放つとまた点Gにその光が戻ってきました。三角形FHGはその時の光の通り道です。
6，FI：IH=41：64、HJ：JG=20：1、また、ILとLJの長さは等しいです。
7，GI：IF=7：9、FK：KH=11：3です。

また、図は正確ではありません。

	13971．Re: すいません。
	名前：ヨッシー日付：3月27日(土) 11時7分
	文章の通り書いても、図のようにはなりません。もう一度見直してみて下さい。特に、4 のところで、急に E, O という点が出てきますが、 E とはどういう点なのか？O は、図のどの点なのか？など、不明な点があります。前の記事は消しておきます。　 http://yosshy.sansu.org/

	13978．Re: すいません。
	名前：えいぶ日付：3月27日(土) 23時57分
	整理してみますと 1，四角形ABCDは台形で円に内接している。 2，弧ABの長さは円周の長さの4分の1。 3，円の面積-台形の面積=1478.0997cm2 4，点Dから辺ECに下ろした垂線の足を点Oとする。またEはEO：OC=123：77である点。 5，EC上に点G,DE上に点F,CD上にHがある。このときこれらは∠FGE=∠HJC,∠JHC=∠FHD,∠HFD=∠GFEを満たす。 6，IはFHを41：64に内分する点、JはHGを20：1に内分する点である。また点LはIJの中点である。 7，GI：IF=7：9が成り立っていてKはFHを11：3に内分する点である。以上の条件で正方形ＫＬＮＭの面積を求めなさい。 …ということだそうです。N,Mに関する情報が一切出てこないのでKLの長さを求める問題のようです。

	13980．Re: すいません。
	名前：天才3号日付：3月28日(日) 11時15分
	はじめまして天才３号です。☆彡待っていてください。いま私とおとうさんが必死に取り組んでいます。

13963．(untitled)

名前：ＴＭ2 日付：3月26日(金) 23時26分

すいません。　へロンの公式の意味が全然わかりません。　僕、中学生なんですけど、お願いです、バカな僕に教えてください

	13966．Re: (untitled)
	名前：えいぶ日付：3月27日(土) 0時58分
	頼み方ももう少し考えた方が… まずはネットで検索してどんなところが分からないのかを見つけてください。ちなみにへロンの公式は3角形の3辺から面積を出す公式です。

	13970．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月27日(土) 8時54分
	三辺が、ａ，ｂ，ｃである三角形の面積は √{(ａ＋ｂ＋ｃ)(ｂ＋ｃ－ａ)(ｃ＋ａ－ｂ)(ａ＋ｂ－ｃ)}／４であるというのが、ヘロンの公式です。これでは長いので、ｓ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)／２　とおくと、 √{ｓ(ｓ－ａ)(ｓ－ｂ)(ｓ－ｃ)} と書けるので、通常はこのように書きます。例、三辺が３，４，５の(直角)三角形の面積（明らかに６ですが）上の方の式 √(１２・６・４・２)／４＝２４／４＝６下の方の式　ｓ＝（３＋４＋５）／２＝６　に対して √(６・１・２・３)＝６　 http://yosshy.sansu.org/

13961．直線のパラメータ表示

名前：CIEL（高１） 日付：3月26日(金) 20時43分

こんばんわ。
直線の表し方で、方程式表示からパラメータ表示への書き換え方がよくわかりません。というか何通りも書ける気がするのですが・・・
できれば (1)y=x+2 (2)y=2/3x-1という問題を例にして教えてください。
よろしくお願いします。

	13962．Re: 直線のパラメータ表示
	名前：えいぶ日付：3月26日(金) 20時58分
	パラメータ表示、いわゆる溶媒変数表示ですが１次式のときはそれほど難しくありません。 tを溶媒変数とします。 (1)y=x+2 xをtとおいて代入するとy=t+2 したがって(x,y)=(t,t+2) (2)y=2/3x-1 xをtとおいてもいいのですが分数をなくすためxを3tとおきます。代入するとy=2t-1 したがって(x,y)=(3t,2t-1) パラメータ表示は基本的にあらゆる答えが存在し一意的に定まりません。最終的に見やすい形にするのが望ましいです。

	13967．Re: 直線のパラメータ表示
	名前：CIEL（高１）日付：3月27日(土) 1時0分
	えいぶさんありがとうございます。なんとかやってみます。

	13969．Re: 直線のパラメータ表示
	名前：ヨッシー日付：3月27日(土) 8時40分
	媒介変数　ですね。　 http://yosshy.sansu.org/

	13977．Re: 直線のパラメータ表示
	名前：えいぶ日付：3月27日(土) 23時16分
	すみません(^^; 溶媒って…変換で溶媒しか出なかったものでつい…

13953．超基礎

名前：IGA（まもなく高１） 日付：3月26日(金) 16時35分

春休みの課題なんです。
超基礎なんですがなぜかできません。お願いします。
2/5a^3b-a^2b^2+2/5ab^3という計算です。
一応途中までやりました。以下のようになりました。
2/5a^3b-a^2b^2+2/5ab^3=2/5ab(a^2-5/2ab+b^2)
ここからいっぽもうごけません・・・
ご指摘をお願いします。

	13954．Re: 超基礎
	名前：IGA（まもなく高１）日付：3月26日(金) 16時35分
	因数分解せよという問題です。

	13956．Re: 超基礎
	名前：ヨッシー日付：3月26日(金) 17時32分
	係数を 2/5 でなく 1/5 にすれば、 (ab/5)(2a^2-5ab+2b^2) です。　2a^2-5ab+2b^2 は、たすき掛けで因数分解できるでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	13957．Re: 超基礎
	名前：IGA（まもなく高１）日付：3月26日(金) 17時38分
	うむ・・１／５ですか。たしかに。しかし何を根拠にそう考えたんですか？

	13958．Re: 超基礎
	名前：ヨッシー日付：3月26日(金) 17時59分
	「分数はイヤ！」それだけです。　 http://yosshy.sansu.org/

	13959．Re: 超基礎
	名前：IGA（まもなく高１）日付：3月26日(金) 18時51分
	ああ、なるほど。有り難うございます。

	13960．Re: 超基礎
	名前：富山日付：3月26日(金) 19時46分
	2a^2-5ab+2b^2の因数分解ですね。 aを未知数とする二次方程式と考えて解の公式を使うという方法もあります。

	13972．Re: 超基礎
	名前：IGA（まもなく高１）日付：3月27日(土) 19時15分
	富山さん有り難うございます。

13952．円弧長の求め方

名前：ban 日付：3月26日(金) 16時18分

はじめまして。
一つ質問させてください。
一辺の長さがaである正方形OABCと，
頂点Bを通るような半径rの円Pがあります。
頂点A，Cからこの円に接線を引き，その接点をそれぞれ
S，Tとします。
角OBA=θとするとき，円弧STの長さをa，rおよびθを用いて
表したいのですが，行き詰ってしまいました。
お教えいただければ幸いです。

13949．(untitled)

名前：ultimate/新高１ 日付：3月26日(金) 15時6分

こんにちわ＾＾　解き方が分かりません。どなたか教えてくださいm(__)m

＜１＞次の図の斜線部の面積を求める。
＜２＞２点ABで交わる二つの円C,Dで二つの弧AB上にP,Qをとる。APとBQそれぞれの延長と円の交点をR,SとするときPS//RQを証明する。
＜３＞三角形ABCで<B=2<Cとし、辺BC上に点DをBD=ACになるようにとるとき<ADB=30度なら<Cは何度か（図はありません）

と言う問題です。一つでもいいので教えてください。画像見にくいかも知れませんがよろしくお願いします。

	13950．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月26日(金) 15時10分
	＜１＞は、こちら　 http://yosshy.sansu.org/

	13951．Re: (untitled)
	名前：えいぶ日付：3月26日(金) 15時34分
	<2>AQを結ぶ。円Ｄの円周角は等しいから∠APS=∠ABS 円Ｃの円周角は等しいから∠ARQ=∠ABQ ゆえに∠APS=∠ARQがいえます。

	14064．Re: (untitled)
	名前：ultimate/新高１日付：3月31日(水) 7時59分
	遅くなってすいませんヨッシーさん、えいぶさん、ありがとうございましたm(__)m

13946．よろしくお願いします。

名前：スライム 日付：3月26日(金) 12時57分

初めまして。これからお世話になると思うので
よろしくお願いします。ちなみに今年中３になります。

早速ですが、中２の問題の「逆」をいいなさいというのが
あるのですが。こういう問題はどう答えるべきなのでしょうか？

２直線が平行ならば、同位角は等しい。
お願いします。

	13947．Re: よろしくお願いします。
	名前：ヨッシー日付：3月26日(金) 13時25分
	「２直線が平行ならば、同位角は等しい。」という表現の是非はともかく、逆をいうなら、「同位角が等しいならば、２直線は平行」です。　２直線Ａ，Ｂに、別の直線Ｃが交わっているとき、「２直線Ａ，Ｂが平行ならば、Ｃによって出来る同位角は等しい」のような表現の方が、正確でしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	13948．Re: よろしくお願いします。
	名前：スライム日付：3月26日(金) 15時0分
	早い返信有難う御座いました。詳しい説明で納得できました。今後ともよろしくです＾＾

13942．整式の乗法と乗法公式

名前：IGA（まもなく高１） 日付：3月25日(木) 17時8分

(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
展開せよ

という問題です。
自分なりに共通なものを文字でおいていろいろやったのですが、自分のやりかただと、たとえ共通なものを文字とおいてもすごくめんどくさくなり、答えも違います。
答えまでの過程を教えてくださるとありがたいです。
お願いします。

	13943．Re: 整式の乗法と乗法公式
	名前：えいぶ日付：3月25日(木) 17時17分
	へロンの公式の証明の途中式でもありますね。 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) ={(a+b)²-c²}{c²-(a-b)²} =(a+b)²c²-(a+b)²(a-b)²-c⁴+(a-b)²c² =-c⁴+{(a+b)²+(a-b)²}c²-(a+b)²(a-b)² =-c⁴+(2a²+2b²)c²-(a²-b²)² =-c⁴+2a²c²+2b²c²-a⁴+2a²b²-b⁴ =-a⁴-b⁴-c⁴+2a²b²+2b²c²+2c²a²

	13955．Re: 整式の乗法と乗法公式
	名前：IGA（まもなく高１）日付：3月26日(金) 16時48分
	わぁ有り難うございます。すごくわかりやすかったです。えいぶさん今後ともよろしくお願いします。

13941．教えてください

名前：まい　（中３） 日付：3月25日(木) 16時43分

問題　　

２つのビーカーA,Bにはそれぞれ１０％の食塩水が３００g入っている。

いま、ビーカーAからⅹｇの食塩水を取り出し、代わりにⅹｇの水を入れる。
また、ビーカーＢにはⅹｇの水を入れてかき混ぜてから、ⅹｇの食塩水を取り出す。

これらの操作のあと、２つのビーカーの食塩水の濃度を調べたところ、
ビーカーＡの食塩水とビーカーＢの食塩水の濃度の比は８：９になったという。

このとき、ⅹの値を求めよ。

長くなってすみません。アドバイスおねがいします。

	13944．Re: 教えてください
	名前：ヨッシー日付：3月25日(木) 18時42分
	最初の状態　食塩水３００ｇ　そのうち食塩は３０ｇＡのビーカー　ｘｇ（そのうち食塩は０．１ｘｇ）を取りだし、ｘｇの水を足す　その結果　食塩水３００ｇ　そのうち食塩は（３０－０．１ｘ）ｇＢのビーカー　ｘｇの水を足す　食塩水（３００＋ｘ）ｇ　そのうち食塩は３０ｇ　ｘｇの食塩水（そのうち食塩は３０ｘ/(３００＋ｘ)ｇ）を取り出す　その結果　食塩水３００ｇ　そのうち食塩は、３０－{３０ｘ/(３００＋ｘ)}ｇ食塩水の量が同じなので、濃度の比は、食塩の量の比です。　３０－０．１ｘ：３０－{３０ｘ/(３００＋ｘ)}＝８：９これを解きます。きれいな数値になりますよ。　 http://yosshy.sansu.org/

	13945．Re: 教えてください
	名前：まい　（中３）日付：3月25日(木) 20時18分
	くわしいご解説どうもありがとうございました。

13936．どういう切り口がありますか？？

名前：あん(新高３) 日付：3月24日(水) 23時41分

半径ｒ、中心角２θ(０°＜θ＜９０°)のおうぎがたに正方形が内接するときの面積を出せ。(正方形の一辺は半径上ではない)

	13937．Re: どういう切り口がありますか？？
	名前：えいぶ日付：3月25日(木) 2時42分
	図のように内接しているとします。 AOB=2θよりAOE=θです。また正方形の１辺をxとします。 AE=x/2なので三角形AOEについて tanθ=AE/OE=x/2OEが成り立ちます。ゆえにOE=x/(2tanθ) またDF=x/2,EF=x,OD=rなので△DOFについてピタゴラスの定理を使うと OF^2+(OE+EF)^2=OD^2 (x/2)^2+{x/(2tanθ)+x}^2=r^2 あとはxについての方程式を解いてください。

	13939．Re: どういう切り口がありますか？？
	名前：あん(新高３) 日付：3月25日(木) 3時4分
	ありがとうございました。

13933．(untitled)

名前：IGA（まもなく高１） 日付：3月24日(水) 17時48分

展開せよ
(x+2y+z)^2
解答集の答えは・・x^2+4y^2+z^2+4xy+4yz+2zx
なのですが・・
私はアルファベット順にならべてしまったのです。
zxをxzにしてしまったのです。しかし学校ではアルファベット順にならべるようにとならったのですが・・・なぜか解答は違うのです。ほかにも同じような問題があってそれらもまたアルファベット順になってないときがあるのです。なぜでしょう？あと解答は指示がない限り降べきの順にしなくてもいいんですよね？
以上の２つの質問に答えてくださるとありがたいです。お願いします。

	13934．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月24日(水) 18時2分
	実質的には、どうでもいいです。ただ、慣習的に　ｘ→ｙ→ｚ→ｘ　という循環型にして、　ｘｙ、ｙｚ、ｚｘという書き方をする場合が多いです。この順序を意識しておくと、ベクトルの外積（私のページ参照）などで、ちょっとだけ役に立ちます。また、順序は、ｘｙ、ｙｚ、ｚｘ　のもの（いわゆるアルファベット順）とｙｚ、ｚｘ、ｘｙ　のもの（欠けてるもののアルファベット順）があるようです。降べきにすべきかどうかも、どうでもいいことですが、第１項を見ただけで、その式が何次かわかる、という点で、降べきにする場合が多いようです。（整式の割り算の筆算などにも便利）　 http://yosshy.sansu.org/

	13935．Re: (untitled)
	名前：IGA（まもなく高１）日付：3月24日(水) 23時27分
	あ～なるほどそういうことですか。あの～降べき順にならべないとテストで×になるってことはありませんよね？

	13938．Re: (untitled)
	名前：えいぶ日付：3月25日(木) 2時44分
	「降べきの順で並べよ」という指定がない限り×にはならないでしょう。

	13940．Re: (untitled)
	名前：IGA（まもなく高１）日付：3月25日(木) 12時2分
	ヨッシーさん。えいぶさん有り難うございました。

13928．新高校一年生です

名前：もも日付：3月23日(火) 19時1分

この問題の式が浮かばなくて頭が痛いです^_^;

問題　対角線の長さが１３、周の長さが３４である長方形の面積を求めよ。

対角線をどのように活用していいのかがわかりません。

	13929．Re: 新高校一年生です
	名前：Bob 日付：3月23日(火) 19時10分
	http://bbs5.cgiboy.com/p/74/00242/　でやりかたをかいておきました。

	13930．Re: 新高校一年生です
	名前：もも日付：3月23日(火) 21時13分
	とてもたすかりました。本当にありがとうございました。

13925．春休みの課題

名前：IGA（まもなく高１） 日付：3月23日(火) 17時35分

高校で出された春休みの課題の一部です。

xについての整式Ａ，Ｂが次の等式を満たすときＡ，Ｂを求めよ。
2A-B=4x^3-x^2+3・・・[1] A+2B=2x^2-6+5x+2x^3・・・[2]
おなじような問題がありそれをみると[1]-[2] [1]+[2]
としてうまくＡとＢが消えるのですが・・この場合ＡとＢは消えません。それで無理やりＡとＢを消そうとしたのですがうまくいきません。
解説お願いします！すいません初歩的な問題で・・

	13926．Re: 春休みの課題
	名前：nabeX 日付：3月23日(火) 17時42分
	2A-B=4x^3-x^2+3と言うことは両辺を2倍すれば 4A-2B=8x^3-2x^2+6　ですね。これとA+2B=2x^2-6+5x+2x^3で考えればAが求められます。 Aがわかれば2A-B=4x^3-x^2+3からBが求められますね。

	13927．Re: 春休みの課題
	名前：IGA（まもなく高１）日付：3月23日(火) 18時8分
	あ～そういう方法がありましたか。有り難うございます！

13919．二次方程式の計算

名前：順平(中学２年) 日付：3月23日(火) 16時4分

ｘ^2＋５ｘ＋１＝５
自分で計算しますと答えがｘ＝－５±√４１／２なりますが、解答見ますとｘ＝５／２±√５になっています。計算の仕方教えて下さい。お願いします。

	13920．Re: 二次方程式の計算
	名前：小谷日付：3月23日(火) 16時19分
	解答が間違っていると思います。

	13932．Re: 二次方程式の計算
	名前：順平日付：3月24日(水) 16時46分
	ありがとうございました。

13918．連立方程式

名前：小谷日付：3月23日(火) 15時56分

次の連立方程式を、グラフを用いて解け。

(1)
・y = 2x - 1
・y = 2(x-2) + 3

(2)
・y = -x + 3
・y = -(x + 1/2)

問題集の通りに問題は写してあります。
お願いします。

	13921．Re: 連立方程式
	名前：ヨッシー日付：3月23日(火) 16時23分
	で、グラフは描いてみたのでしょうか？　 http://yosshy.sansu.org/

	13922．Re: 連立方程式
	名前：小谷日付：3月23日(火) 16時42分
	グラフも描いてみたのですが、(1)は1本のグラフに、(2)は2本の平行線になってしまい、交点が見つかりませんでした… 引き続き、お願いします。

	13923．Re: 連立方程式
	名前：ヨッシー日付：3月23日(火) 16時54分
	これは、連立１次方程式の、ある形として、一度はぶつかる問題なのですが、では、グラフを使わずに、式だけで解くと、どうなるでしょうか？ (1) は、０＝０　のような形になり、 (2) は、０＝７／２　のような形になります。　（両辺に適当な数を掛ければ、０＝１にも０＝４にもなりますが） (1) は、正しい式ですね。(2) は正しくありません。結論から言うと、 (1) の答えは、y=2x-1 を満たす、任意の x, y (2) の答えは、これら２式を同時に満たす x, y の値はないと言うことになります。 (1) は、２つの直線が完全に重なって、この直線上の点なら、どんな点でも、２つの式（実際には同じ式が２つあるだけです）を満たします。 (2) は、どこまで行っても、２つの直線は交わらないので、交点はありません。　 http://yosshy.sansu.org/

	13924．Re: 連立方程式
	名前：小谷日付：3月23日(火) 17時2分
	判りやすい説明、ありがとうございました。

13916．なんで？

名前：nakamoto 日付：3月22日(月) 13時42分

どうして三角形の三角の三等分線をつなぐと正三角形になるんですか？教えてください。さっきはアドレスをまちがっていました。

	13917．Re: なんで？
	名前：えいぶ日付：3月22日(月) 13時59分
	モーレーの定理で検索してみてください。

13911．またまた・・・

名前：ロビー２００ 日付：3月21日(日) 2時31分

すいません、解けない問題があるのでご指導お願いします。

Q　関数ｆ（ｘ）＝（２＾ｘ＋２＾－ｘ）/２　について
　　f（Ｘ）＝２　を満たすＸをもとめよ。

汚くてすいません＾＾；

	13913．Re: またまた・・・
	名前：K.N.G. 日付：3月21日(日) 5時2分
	f(x) = (2^x + 2^-x)/2 のとき, 　f(x) = 2 ⇔ (2^x + 2^-x)/2 = 2 ⇔ 2^x + 2^-x = 4 ---(1). 式(1)の両辺に, 2^x を掛けて, 　(2^x)² + 1 = 4(2^x) ⇔ (2^x)² - 4(2^x) + 1 = 0 ---(2). ここで, 2^x = t (ただし, t > 0) と置くと, 　(2) ⇔ t² - 4t + 1 = 0, 　∴ t = 2 ± √3 (これらの解は, t > 0を満たしている). 従って, t = 2^x より, 　2^x = 2 ± √3. 両辺の対数(底を2とする)をとって, 　log₂(2^x) = log₂(2 ± √3) ⇔ x = log₂(2 ± √3) ---(Answer).■ #修正1回.

	13914．Re: またまた・・・
	名前：ロビー２００日付：3月21日(日) 23時23分
	わかりやすく解説してもらってありがとうございました。お馬鹿な僕でもよくわかりました＾＾

13905．式と証明

名前：あいこ(高１) 日付：3月20日(土) 20時31分

|x|<1,|y|<1のとき、| (x+y) / (1+xy) | < 1を証明せよ。

という問題で、私は以下のように証明いたしました。

証明)
{|(x+y)/(1+xy)|}^2-1
={(x+y)/(1+xy)} - 1
=x+y-1-xy/1+xy
=(x-1)(y-1)/1+xy

ここで、|x|<1,|y|<1より
x-1<0,y-1<0から
分子=(x-1)(y-1)>0････*１

また、|xy|<1より-1<xy<1
ゆえに　1+xy>0････*２

*１*２より
{(x+y)/(1+xy)} - 1 >0

ここで、

この先が進みません。これまでの手順に誤りが生じておりましたら、御指摘していただければ幸いです。

	13906．Re: 式と証明
	名前：流血の魔術師日付：3月20日(土) 20時50分
	最初の変形からさっぱり意味がわからないけども、｜(ｘ+ｙ)/(１+ｘｙ)\| ＜1 を証明したいなら、｜ｘ+ｙ｜＜｜１+ｘｙ\| を証明したらいいのでは？

	13907．Re: 式と証明
	名前：あいこ(高１) 日付：3月20日(土) 21時19分
	御回答有難うございます。私はとても遠回りな方法で解いたようです。 \| (x+y) / (1+xy) \| < 1　⇔　\| (x+y) / (1+xy) \| -1 < 0 という考えの下、解答を作成いたしました。流血魔術師さんがおっしゃる解法は解答に載っていたのですが、私の解法はのっていませんでした、やはり根本から間違えているのでしょうか？

	13909．Re: 式と証明
	名前：流血の魔術師日付：3月20日(土) 21時41分
	うーん、そもそも {\|(x+y)/(1+xy)\|}^2-1 ={(x+y)/(1+xy)} - 1 こう変形できるんでしょうか？ｘ＝１、ｙ＝１を代入してもホントにそうなりますか？

	13910．Re: 式と証明
	名前：あいこ(高１) 日付：3月20日(土) 21時58分
	成り立ちませんね。(^^;

13903．お尋ね致します

名前：橋本　洋三 日付：3月19日(金) 13時33分

私は視覚障害が在り電卓に大変不住をこれまでしてきたため
友人と共に音声環境でPCインストールにより
関数レベルの電卓を製作しているのですが
下記の件について解らず質問させていただきました。
世間では数千円ほどで手に入る時代となり
気にもならないでしょうが、視覚障害者にはそのような電卓がございません。
ましてやPCがこれだけ普及しているにもかかわらず
小数点である私たちの環境の者は不住でして。
パソコンと言う物は第一に計算の道具です。
当然エクセルなどのソフトも音声が乗りません。
ですから友人と共に製作中なのです。
下記が質問ですので、宜しくお願いします。

その１
立方根を求める公式。
その２
常用対数（ｌｏｇ１０ｘ）を求める公式。
上記に附きましてご解答下さい。
突然のメールで失礼とは思いますが
何卒失礼をお許し下さい。
http://ems.ms9.jp

	13908．Re: お尋ね致します
	名前：キューダ日付：3月20日(土) 21時39分
	実際に、「電卓」等と呼ばれているものの中で、どのように実装されているかは解りませんが、立方根あたりでは、ニュートン法が十分使えるのではないでしょうか？ａの立方根はｙ＝ｘ＾３－ａというグラフの、ｘ切片に現れますが、それを接線を仲立ちにして、求める方法です。 x_n+1 = (2 x_n^3 + a) / (3 x_n^2) x_n+1とx_n の差が十分小さくなったとき、その値がaの立方根みなしていいでしょう。対数の方については、文献を紹介します。岩波数学辞書第３版　数表８（関数近似式の係数）に精度１０桁ほどで求められる式が載っています。

13900．円

名前：つばさ　日付：3月18日(木) 18時37分

円Ｃ:x^2＋(2a－6)x＋y^2＋(2a－４)y＋11－10a=0
３点P(4,－2)Q(0,－4)R(6,－4)を頂点とする△PQRとする。
△PQRとＣが共有点を持つためのaの範囲は？

という問題なんですがどう考えたら良いですか？
円の中心にも半径にもaがくるんで困ってます。

	13902．Re: 円
	名前：ヨッシー日付：3月19日(金) 12時32分
	a(2x+2y-10)+(x^2-6x+y^2-4y+11)=0　・・・(1) より、2x+2y-10=0, x^2-6x+y^2-4y+11=0 の解(2,3),(4,1) は、 aの値にかかわらず、(1)を満たします。つまり、(1) で表される円は常に２点(2,3),(4,1) を通ります。 △ＰＱＲとの位置関係は、図のようになりますが、円(1)が、Ｒを通る場合、辺ＰＱと接する場合が、それぞれ、a の限界となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	13904．Re: 円
	名前：つばさ　日付：3月19日(金) 18時28分
	わかりやすい図を作っていただきありがとうございます。まず定点をしらべなきゃいけないんですね。

13897．すみません　

名前：ロビー２００ 日付：3月18日(木) 1時27分

Q.物体を放り投げたときの軌跡は二次関数になるらしい。
　ある物体のほう物運動を観測したら、（ⅹ,z）＝（1,2），（2,3）（4,1）の3点を通ることがわかった。
　ただし、ここでｘは水平方向、ｚは鉛直方向の位置座標を表す。この物体の達する最高点の位置を求めよ。

この問題がよくわからないのです。3点の座標を見るに最高点は（2,3）かなぁっと思うのですが・・・。
ご指導よろしくお願いします。

	13898．Re: すみません
	名前：momono 日付：3月18日(木) 9時21分
	z = ax^2 + bx + cとおいて3点を代入すればa, b, cがもとまり、平方完成すれば頂点がわかります。

	13901．Re: すみません
	名前：ロビー２００日付：3月19日(金) 1時44分
	ありがとうございました＾＾理解できました

13895．わかりません！

名前：雄（中学生） 日付：3月17日(水) 23時53分

十元連立非線形偏微分方程式って何ですか？教えてください！

13890．式と証明

名前：あいこ(高１) 日付：3月17日(水) 20時56分

ｘについての多項式Ｑを2x^2+5で割ると7x-4余り、更に、その商を3x^2+5x+2で割ると3x+8余る。このとき、Ｑを3x^2+5x+2で割ったときの余りを求めよ。

という問題で、
「解答」
Ｑを2x^2+5で割ったときの商をＳ、Ｓを3x^2+5x;2で割ったときの商をＴとすると
Ｑ＝(2x^2+5)Ｓ+7x-4
Ｓ＝(3x^2+5x+2)Ｔ+3x+8
したがって
Ｑ＝(2x^2+5){(3x^2+5x+2)Ｔ+3x+8}+7x-4
　＝(3x^2+5x+2)(2x^2+5)Ｔ+(2x^2+5)(3x+8)+7x-4
　＝(3x^2+5x+2)(2x^2+5)Ｔ+6x^3+16x^2+22x+36
よって、求める余りは、6x^3+16x^2+22x+36を3x^2+5x+2で割ったときの余りに等しいから　　8x+32

「解答」の〝よって〟からの意味が良く分かりません。御指導宜しくお願い致します。

	13891．Re: 式と証明
	名前：K.N.G. 日付：3月17日(水) 22時17分
	例えば, ｢17を3で割ったときの余り｣を求めるとき　17 = 34 + 5 より, 求める余りは 5... としてしまっては誤りですよね. 右辺の第2項の'5'はまだ3で割ることができて, 　17 = 34 + 31 + 2 = 3(4+1) + 2 より, 余りは 2 とすべきです. 　Q = (3x^2 + 5x + 2)(2x^2 + 5)T + 6x^3 + 16x^2 + 22x + 36 についても同様のことが言えます. 下線部分は3次なので, 2次である 3x^2 + 5x + 2 でまだ割ることができて, 　6x^3 + 16x^2 + 22x + 36 = (3x^2 + 5x + 2)P + R と変形できるはずなのです(P, Rはともにxの式). このように変形できれば, 　Q = (3x^2 + 5x + 2)(2x^2 + 5)T + (3x^2 + 5x + 2)P + R 　　= (3x^2 + 5x + 2){(2x^2 + 5)T + P} + R となって, この R が本当の余りとなるわけです. ですから, > よって、求める余りは、6x^3+16x^2+22x+36を3x^2+5x+2で割ったときの余りに等しいとなります.

	13893．Re: 式と証明
	名前：あいこ(高１) 日付：3月17日(水) 23時29分
	K.N.Gさん、御返事有難うございました。私は〝余り〟の意味について忘れていた部分があったようです。K.N.Gさんの示された例で理解できました。心からお礼申し上げます。

13888．算数嫌い？

名前：レッキー 日付：3月17日(水) 16時50分

はじめまして
難しい問題や質問が並んでいる中、こんなことを聞いていいものかと
恥かしい気もします
５年生の娘が　文章問題が苦手だといいます。
「掛け算なのか割り算なのか　どっちを使って計算したらいいかわからない」
そうです。
算数嫌いにしないためにもどうアドバイスしたらいいものかと
私も頭を悩ませています
できたら　よきアドバイスお願いします

	13889．Re: 算数嫌い？
	名前：ヨッシー日付：3月17日(水) 17時4分
	まずは、文章の意味が十分読みとれているかという、いわゆる「国語力」が十分かという問題があります。あとは、お聞きのように、掛け算か、割り算か迷うという場合は、何か簡単な数字（私の場合、よく、２×３＝６を使います）で、式の作りを理解して、実際の数値を当てはめるようなことをしています。例）距離＝速さ×時間　という式があったとき、　距離が６，速さが３，時間が２に当たります。（２と３でも良い）　速さ（３）が分からないときは、２と６を使って、６÷２　ですから　距離（６）÷時間（２）　という具合です。　 http://yosshy.sansu.org/

13886．覚え書きコーナー　"三次方程式の解の公式" について

名前：abc 日付：3月17日(水) 15時21分

昨日三次方程式に初めて挑戦してみたのですが、どうしても分からない
個所が在ったのでお尋ねさせてください。

段落「実際の問題を解きましょう」の
√３ｉ/９の三乗根の一つは(３＋√３ｉ)/６・・・
という部分なのですが

√３ｉ/９の三乗根はどのように求められたのでしょうか？
数学辞典などを参考にして見様見真似で試してみたのですが
式の変形がiの三乗根の所で分からなくなってしまいました。
それとも虚数の扱い方自体が間違っているのでしょうか？

	13887．Re: 覚え書きコーナー
	名前：ヨッシー日付：3月17日(水) 16時32分
	基本的には、私のページの「ミニ講座」の「複素数と複素数平面」の中の「累乗根」のところの方法によっています。長さが、√3/9 の３乗根である √3/3 偏角が90°の 1/3 の30°で、 √3(cos30°＋ｉsin30°)/3＝(3＋√3ｉ)/6 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

13884．平方完成教えてください！！

名前：じゅん 日付：3月17日(水) 13時20分

放物線y=-x2+ax+a2の頂点の座標を求める問題なんですが、
ｙ＝－x2+ax+a2
=-(x2-ax)a2
まではわかるんですけど、ここからがわからないので教えてください。高２です。

	13885．Re: 平方完成教えてください！！
	名前：ヨッシー日付：3月17日(水) 13時25分
	私のページの「ミニ講座」の「二次関数の最大・最小」や「二次方程式の基礎」などを、ご覧下さい。　 http://yosshy.sansu.org/

13877．答え合わせをお願いできますでしょうか。

名前：味噌汁 日付：3月17日(水) 2時33分

すみません。合っているか不安なので、確認をお願いできますでしょうか。

問題：y=|x|をxで微分せよ。

ｘ＞０のとき、y'＝１
ｘ＜０のとき、y'＝－１
ｘ＝０のとき、
y=f(x)とおくと、
p=f(0+h)-f(0)/h =|h|/h
lim[h→+0]p=1
lim[h→-0]p=-1
ゆえに、ｘ＝０のとき微分不可能。

これで合っていますでしょうか？
よろしくお願いします。

	13892．Re: 答え合わせをお願いできますでしょうか。
	名前：K.N.G. 日付：3月17日(水) 22時26分
	あっていると思います. グラフを描いてみると明らかですよね. グラフは V字型で, 原点のところは尖っているので, x = 0 で微分不能. x > 0 では, y = x のグラフで, その傾き(y ')は 1. x < 0 では, y = -x のグラフで, その傾き(y ')は -1.

	13899．Re: 答え合わせをお願いできますでしょうか。
	名前：味噌汁日付：3月18日(木) 11時22分
	あんしんしました。 K.N.Gさん、どうもありがとうございました。助かりました。＾＾♪

13874．(untitled)

名前：空き瓶6本で1本無料 日付：3月16日(火) 23時35分

あるコーラ会社では、
空き瓶6本を持っていくと1本無料でもらえるサービスを実施している。
いまこのコーラを67本飲むには最も少ない場合で何本買えばよいか。

という問題を次のように考えたのですが、これであってますか？
(解答)
67÷6 ＝ 11.・・・なので、
67-11＝56本買えばよい。

	13879．Re: (untitled)
	名前：隆日付：3月17日(水) 4時48分
	Ａ･･･空き瓶を持っていく本数、Ｂ･･･合計本数とします。　Ａ　Ｂ　６　７　12　14 　18　21 　24　28 　30　35 　36　42 　42　49 　48　56 　54　63 　55　64 　56　65 　57　66 　58　67 よって、58本買えばよい。と思いました。違っていたらすみません。

	13880．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月17日(水) 9時3分
	今、１本買ったとして、それを飲むと、飲んだ数１本、空き瓶１本です。５本買って飲み、空き瓶６本と１本交換してそれも飲むと、飲んだ数７本、空き瓶１本です。さらに、５本買うと、飲んだ数１３本、空き瓶１本です。 (６７－１)÷６＝１１であり、１＋５×１１＝５６　本買うと、飲んだ数は、１＋６×１１＝６７　本となり、５６本買うといいことになります。最初の記事の　６７÷６＝１１．・・・・　６７－１１＝５６　は、たまたまであって、例えば、６６本飲みたいときに　６６÷６＝１１　　６６－１１＝５５（本）買ったのでは、６５本しか飲めません。　 http://yosshy.sansu.org/

13871．連立崩れ？？

名前：ピグ日付：3月16日(火) 21時5分

283x＋380y=148,381　x=? y=?
知り合いから、こんな問題を出されました。
xとyはおそらく整数だろうと考え、答えは何とか出したのですが、これはそもそもどの分野の問題なのでしょう？解き方もあわせて教えて下さい。
宜しくお願いします。

	13872．Re: 連立崩れ？？
	名前：アカギ日付：3月16日(火) 22時17分
	与えられた式をｙ＝～の形に直す。そしてｘ－ｙ軸平面にそのグラフを書く。その直線上の点が答えかと…(ﾟ.ﾟ) 分野は…わかんないです_(._.)_

	13873．Re: 連立崩れ？？
	名前：ケロ日付：3月16日(火) 22時27分
	3x＋380(x+y)=148,381 とすると、どこかで見たような形。 148,381=380(x+y)+3x とひっくり返すと、さらに見たような形。 148,381を380で割ると、商が(x+y)、あまり3x。

	13875．Re: 連立崩れ？？
	名前：ピグ日付：3月16日(火) 23時50分
	これ、頭が283xなんですが、なぜ3x＋380(x+y)=148,381になるのでしょう？？

	13876．Re: 連立崩れ？？
	名前：ケロ日付：3月17日(水) 0時37分
	(3+380)x＋380y=148,381⇔3x+380x+380y=148,381。 xとyが整数の場合のつづき、　 148,381÷380=529…261 となるので、x=87,y=442 だから、このグラフは点(87,442)を通る。よって、283(x-87)+280(y-442)=0, 283(x-87)=-280(y-442)。 283と280は互いに素だから、 x-87=280k, y-442=-283k　とおける。したがって、 x=280k+87, y=-283k+442（kは整数）。

	13878．Re: 連立崩れ？？
	名前：ピグ日付：3月17日(水) 2時41分
	> (3+380)x＋380y=148,381⇔3x+380x+380y=148,381。 (3+380)xはどこから現れた数字ですか？もとの定義は283xですが。 > xとyが整数の場合のつづき、　 > 148,381÷380=529…261 > となるので、x=87,y=442 だから、このグラフは点(87,442)を通る。 > よって、283(x-87)+280(y-442)=0, 283(x-87)=-280(y-442)。 280(y-442)=の280はどこから現れましたか？？ > 283と280は互いに素だから、 > x-87=280k, y-442=-283k　とおける。したがって、 > x=280k+87, y=-283k+442（kは整数）。これは結局xとyの答えはそれぞれ何で、どの分野の問題なのでしょう？

	13881．Re: 連立崩れ？？
	名前：ヨッシー日付：3月17日(水) 10時7分
	まずは、私の解法です。 283x＋380y を面積で表したのが、左の図です。　380-283＝97 が、右上のでっぱりになります。一方、148381÷283＝524・・・89 を表したのが、右の図です。あまりの 89 が飛び出ています。次に、283 を１列ずつ切り取って、89 の横に、高さが 97 になるようにつぎ足していきます。この部分がちょうど長方形になったところで、左右の図が一致します。ところで、283÷97＝2・・・89 であるので、283 を 96 個つぎ足したところで、ちょうど 97 の倍数になり、長方形になります。　89＋283×96＝27257＝97×281　・・・　ｙ＝281 で、ｘは　(148381－380×281)÷283＝147 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	13882．Re: 連立崩れ？？
	名前：ヨッシー日付：3月17日(水) 10時40分
	式の操作だけで解くとこんな感じです。　283x＋380y=148,381 　　283x＋(283+97)y=148,381　より　283(x+y)+97y=148,381 　　(97×2 + 89)(x+y)+97y=148,381　より　89(x+y)+97(2x+3y)=148,381 　　89(x+y)+(89+8)(2x+3y)=148,381　より　89(3x+4y)+8(2x+3y)=148,381 　148,381÷8＝18,547・・・5 であり、　89÷8＝11・・・1 であるので、　89×5＝8×55＋5 を利用して　148,381＝89×5 + 8×18,492 となり、１つの解として　3x+4y=5, 2x+3y=18492 を得ます。また、89の係数を８増やし、８の係数を89減らした　3x+4y=13, 2x+3y=18403 　3x+4y=21, 2x+3y=18314 なども、解です。これを、kを整数として、　3x+4y=5+8k, 2x+3y=18492-89k とおき、これを解くと、　x=380k-73953, y=-283k+55466 ここで、x,y ともに正になるような k として、 k=195 とすると、 x=147, y=281 を得ます。合同式かどこかの単元に出てきそうな問題です。　　　 http://yosshy.sansu.org/

	13883．Re: 連立崩れ？？
	名前：Bob 日付：3月17日(水) 11時56分
	大学の整数論（代数学）で習う。合同式かユークリッドの互除法かな？あと考えられるのは「二元1次方程式の整数解」かな？

	13894．Re: 連立崩れ？？
	名前：ピグ日付：3月17日(水) 23時33分
	大変参考になりました！ありがとうござます。

	13896．Re: 連立崩れ？？
	名前：ケロ日付：3月18日(木) 1時6分
	あれー。最近、画面の見過ぎで目ががちゃがちゃ。クイズ感覚で考えたので、整数になったのは全くの偶然です。一般には使えません。ピグさんごめんなさい。ヨッシー師匠、Ｂｏｂさんどうも。

13866．三角形の面積の答えを教えてください。

名前：わからん 日付：3月15日(月) 13時38分

ヘロンの公式などあったのかと思うくらい数学から遠ざかっている者です。
三辺の長さがわかっている三角形の面積の出し方がよくわかりません。
教えてください。
例えば　ａ＝16　ｂ＝10.5　ｃ＝14.7　の三角形では、どうなるのでしょう。
よろしくお願いします。

	13867．Re: 三角形の面積の答えを教えてください。
	名前：K.N.G. 日付：3月15日(月) 14時0分
	> 例えば　ａ＝16　ｂ＝10.5　ｃ＝14.7　の三角形計算が少し面倒ですがヘロンの公式を用いて面積を求めることができます. ヨッシーさんのホームページ(左上の[ホームページ]のリンク先)の｢覚え書きコーナー｣のところに｢ヘロンの公式｣について掲載されてますので詳しくはそちらを.

13865．行列の問題

名前：eppc 日付：3月15日(月) 11時50分

次の行列の固有値を求めなさい。
　2　-1
　-1　2
（カッコをどうやってつければいいのかわかりません。）
私は社会人で、資格試験に出された問題です。
固有値について調べてみたのですが、元々行列は苦手だったのでさっぱり思い出せませんでした。
宜しくお願い致します

	13868．Re: 行列の問題
	名前：ヨッシー日付：3月15日(月) 14時28分
	Ａを任意の行列とするとき、　Ａ^2＝λＡとなるようなλがＡの固有値です。λＡ＝λＥＡ　（Ｅは単位ベクトル）より、　Ａ^2－λＥＡ＝Ｏ　(Ａ－λＥ)Ａ＝Ｏここで、Ａ－λＥの逆行列が存在すると、両辺左からそれをかけて、　Ａ＝Ｏとなり、Ａが一意にＯとなるので不適。よって、Ａ－λＥ　が逆行列を持たないようなλが、固有値（の候補）となります。成分で書くと、 (２－λ　－１) (－１　２－λ) が逆行列を持たないということで、　(２－λ)^2－１＝０　２－λ＝±１　λ＝１，３　 http://yosshy.sansu.org/

	13931．Re: 行列の問題
	名前：eppc 日付：3月24日(水) 10時46分
	ヨッシー様。遅くなりまして申し訳ありません。回答ありがとうございました。理解しきれていませんが、もう少し考えてみます

13862．＝カクリツ＝

名前：かか（ちゅうさん） 日付：3月14日(日) 23時16分

円に内接している正三角形がある。この円に適当に弦を描くとき、
その弦が正三角形の一辺より長くなる確立を求めよ。

よろしくお願いします！

	13863．Re: ＝カクリツ＝
	名前：えいぶ日付：3月15日(月) 0時52分
	http://genryu.cside4.com/yoshitago/donnwa2/berut.htm こちらをご覧ください。

13860．しつもんです

名前：数学日付：3月14日(日) 20時37分

また質問です。教えてください

辺の長さが５、１２、１３ｃｍである三角形の内接円の半径を求めよ
考え方と答えを教えてください

	13861．Re: しつもんです
	名前：momono 日付：3月14日(日) 21時44分
	参考までに http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/s1sc203.htm

13856．ご解答、よろしくお願い致します。

名前：中山晃一 日付：3月14日(日) 16時0分

はじめまして、よろしくお願い致します。

今年の灘中の問題なのですが、答えしかわかりませんので、宜しくご指導のほどお願い致します。

１２番　２２分の１３
１３番　３０２．５

	13858．Re: ご解答、よろしくお願い致します。
	名前：n(中一) 日付：3月14日(日) 19時26分
	１は図のとおりです２は面積が７８５だから（７８５－１０×１８）/２＝３０２．５

	13859．Re: ご解答、よろしくお願い致します。
	名前：n(中一) 日付：3月14日(日) 19時31分
	１の一番上のところに線一本入れるの忘れてました。

	13870．ありがとうございました
	名前：中山晃一日付：3月15日(月) 18時9分
	そうそうのお返事に感謝します。あつかましいですが、また、宜しくお願いします。

13855．どうか教えてください

名前：レッド（高校三年生） 日付：3月14日(日) 14時9分

「三山崩し」というゲームがあります。三つの皿にある玉を交互に一つの皿から任意に取り、最後に取れば勝ちというやつです。
　あれは必ず先手必勝か先手必敗になり、二進法でそれが証明できるそうなのですが分かりません。どうか証明を教えてください

	13869．Re: どうか教えてください
	名前：キューダ日付：3月15日(月) 17時4分
	３つの数のXORをとり、それが、０になるようにして相手に手番を渡します。すると、相手はどのような取り方をしても、３数のXORが非０の状態で、手番を渡さざるを得ません。自分の手番の時再び、XOR０で、手番を渡します。その繰り返しで、勝てます。ただし、自分の手番の時、既にXORが０なら、相手が最善を尽く限り勝てません。

13851．絶対値

名前：味噌汁(高１) 日付：3月14日(日) 10時7分

|x|={ x (x≧0)
{ x (x＜0)

とありますが、x=0のときはなぜ、上なのでしょうか？
0は正の数ですか？

	13852．Re: 絶対値
	名前：ヨッシー日付：3月14日(日) 10時59分
	それはあまりにも短絡的です。　\|ｘ\|＝ｘと書けるのは、正の数だけだとお思いですか？ｘ＝０のときも　\|ｘ\|＝ｘ　は成り立ちますよね？その上で、この式のどこがおかしいか、もう一度お考え下さい。ちなみに、\|ｘ\|＝－ｘ　（ｘ＜０）　です。まぁ、期待されている回答は、こんなのでしょう。別に、 \|ｘ\|＝ｘ　（ｘ＞０）　　　－ｘ　（ｘ≦０）でも良いし、 \|ｘ\|＝ｘ　（ｘ＞０）　　　０　（ｘ＝０）　　　－ｘ　（ｘ＜０）でも良いのですが、ｘ＝０をどこに含めるかの１つの形としてたまたまｘ＞０の中に、含めているだけです。　 http://yosshy.sansu.org/

	13854．Re: 絶対値
	名前：味噌汁(高１) 日付：3月14日(日) 13時26分
	すごくよくわかりました。管理人さん、どうもありがとうございました。

13848．教えてください！！

名前：広日付：3月14日(日) 2時34分

次の式を簡単にせよ。(cosθ/1-sinθ)-cosθ/1+sinθ
お願いします。

	13850．Re: 教えてください！！
	名前：ヨッシー日付：3月14日(日) 6時45分
	cosθ/(1－sinθ)－cosθ/(1＋sinθ) ですね？厳密に書くと　{cosθ/(1－sinθ)}－{cosθ/(1＋sinθ)} ですが．．．１．通分して足す。分子は展開して整理する。２．sin^2θ＋cos^2θ＝１　を使って、分母を簡単にする。３．約分する４．sinθ/cosθ＝tanθ　を使う。答えは、２tanθ　です。　 http://yosshy.sansu.org/

	13857．ありがとうございました!!!
	名前：広日付：3月14日(日) 19時9分
	よくわかりました。

13841．球に内接する正四面体

名前：はちべえ（高校生） 日付：3月12日(金) 22時53分

半径１の球に内接する正四面体の1辺の長さはどう出せばいいんでしょうか。
宜しくお願いします。

	13843．Re: 球に内接する正四面体
	名前：ヨッシー日付：3月13日(土) 8時27分
	正四面体ＡＢＣＤにおいて、△ＢＣＤの重心をＧとすると、ＡＧを３：１に内分する点Ｏが、外接球の中心になります。いま、ＧＢ＝ｘ　とおくと、正四面体の１辺は√3ｘ、 △ＡＧＢにおける三平方の定理より、ＡＧ＝√2ｘＡＯ＝3√2ｘ/4 であるので、ＡＯ＝１のとき、ｘ＝2√2/3、正四面体の１辺は 2√6/3 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	13864．Re: 球に内接する正四面体
	名前：はちべえ（高校生）日付：3月15日(月) 2時15分
	ありがとうございました！よく分かりました。

13840．回転体の体積（定積分）

名前：ぴっぴ　　（大学生） 日付：3月12日(金) 22時9分

次の図形をｘ軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。

x+ｙ＝２、x軸、y軸とで囲まれた三角形

	13844．Re: 回転体の体積（定積分）
	名前：S 日付：3月13日(土) 8時29分
	おはようございます。社会人です。求める体積 = ∫[0,2] πy^2 dx = ∫[0,2] π(2-x)^2 dx = π∫[0,2] (4-4x+x^2) dx = π [4x-2x^2+x^3/3][0,2] = π(8/3) ･･･（答）

13839．代数

名前：数学日付：3月12日(金) 21時37分

初めまして。この問題の解き方を教えてください

１０進法で表して３桁以上の平方数に対し、１０の位をa、１の位をbとおいたときa+bが偶数となるならばbは０または４となることを証明せよ

	13845．Re: 代数
	名前：ヨッシー日付：3月13日(土) 10時26分
	任意の数の十の位の数をｍ、一の位の数をｎとすると、その数は、　100ｋ＋10ｍ＋ｎ　と書けます。100ｋの部分は、２乗したときの下２桁に関係ないので、　10ｍ＋ｎの部分で考えます。　(10ｍ＋ｎ)^2＝100ｍ^2＋20ｍｎ＋ｎ^2 であり、下２桁に関係するのは、20ｍｎ＋ｎ^2 の部分です。 20ｍｎは、一の位が０、十の位が偶数なので、両者の和は偶数です。よって、ａ＋ｂが偶数であることは、ｎ^2 の一の位と十の位の数の和が、偶数であることと同値です。それをもとに、ｎ＝０～９について調べると、　ｎ＝０，２，８のときだけで、この時のｂは、順に０，４，４となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	13846．余談ですが...
	名前：K.N.G. 日付：3月13日(土) 11時36分
	今年の東大の入試問題に同様の問題がでてましたね.

13827．2次方程式

名前：Aya 日付：3月11日(木) 18時18分

aを実数とする。2次方程式xの２乗-２ax+a+１/４＝０の全ての解が１より大きい実数であるとき、aの値の範囲を求めよ。
只今、高２です。ご指導お願いします。

	13830．Re: 2次方程式
	名前：ast 日付：3月11日(木) 18時43分
	二次方程式 ax^2 + bx + c = 0の解　　←→ 二次関数 y = ax^2 + bx + c の x 軸との交点の x 座標と読み替えると, 問題の解に課せられた条件は, グラフを描いて関数の条件としてなにを課すのか考えてみると良いでしょう.

	13831．Re: 2次方程式
	名前：あいこ(高１) 日付：3月11日(木) 18時57分
	さらにヒントとして、・判別式Dの正、負・軸の位置・ⅹ＝1のときのｙの値の正、負について考えてみたください。

	13832．Re: 2次方程式
	名前：ast 日付：3月11日(木) 20時0分
	# ローマ数字は機種依存文字です.

	13834．Re: 2次方程式
	名前：あいこ(高一) 日付：3月11日(木) 21時26分
	私の誤りによって、文を読み取ることができなかった方々に、深くお詫び申し上げます。かつ、以後このようなことがないよう、肝に命じ、投稿させていただきます。 astさん、御指摘、有難うございました。

13826．不等式の証明

名前：あいこ(高１) 日付：3月11日(木) 17時37分

a、bは実数とする。
|a|-|b|≦|a-b|を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

|a|-|b|≧0、|a-b|≧0･･･(1)
(|a-b|)^2-(|a|-|b|)^2
=(a-b)^2-(a^2-2|ab|+b^2)
=2(|ab|-ab)≧0
よって
(|a|-|b|)^2≦(|a-b|)^2
ゆえに(1)より
|a|-|b|≦|a-b|

また等号が成り立つのは
|ab|=ab
よって
ab≧0のときである

解答には、等号が成り立つ場合について、
(a-b)b≧0
と書いてありました。私の、ab≧0　は間違いでしょうか？御回答宜しくお願い致します。

	13828．Re: 不等式の証明
	名前：ast 日付：3月11日(木) 18時31分
	答え云々の前にすでに(1)が間違っています. 例えば a=1, b=-2 とかでやってみましょう.

	13833．Re: 不等式の証明
	名前：あいこ(高一) 日付：3月11日(木) 21時17分
	astさん、御回答有難とうございました。 aとbの関係について提示されていないので、(1)のような関係だと断定することはできないんですね。分かりました。続きを考えてみます。

	13838．Re: 不等式の証明
	名前：花パジャ日付：3月12日(金) 16時31分
	たとえば(1)の前に　\|a\|-\|b\|<0の場合には与式は成立、ただし、等号は成立しない　\|a\|-\|b\|≧0の場合を検討すると付け加え、　また等号が成り立つのは　\|ab\|=ab　かつ　\|a\|-\|b\|≧0 　なので　ab=\|ab\|=\|a\|\|b\|≧\|b\|\|b\|=b^2 　すなわち　(a-b)b≧0 とか、てまとめる

13823．お願いします。

名前：ひなこ（中二） 日付：3月11日(木) 15時15分

2つあるんですが、∠ｘと∠ｙを求めなさいです。
見にくいかもしれませんがよろしくお願いします。

	13825．Re: お願いします。
	名前：ヨッシー日付：3月11日(木) 16時59分
	左の方のは、「円に内接する四角形の向かい合う２つの角の和は１８０°」を利用すれば出来ます。右の方は、条件が抜けていませんか？点Ｄはどんな点ですか？　 http://yosshy.sansu.org/

	13836．Re: お願いします。
	名前：ひなこ（中二）日付：3月12日(金) 13時46分
	点Ｄは、辺AEと半円の交点です。ちなみに、求める∠ｘは∠DCBです。よろしくお願いします。

	13837．Re: お願いします。
	名前：ヨッシー日付：3月12日(金) 16時13分
	それは分かるんですが、例えば、左の図（ＡＢとＣＤが平行）だと、x=125°です。一方、右の図（Ｄが弧ＡＢの中点）だと x=135°になり、ＣとかＤの位置が固定されないと、角度が定まらないのです。　 http://yosshy.sansu.org/

	13847．Re: お願いします。
	名前：ひなこ（中二）日付：3月13日(土) 22時6分
	すいませんでした。条件が抜けていました。弧BC＝弧DCでした。よろしくお願いします。

	13849．Re: お願いします。
	名前：ヨッシー日付：3月14日(日) 6時31分
	それなら、△ＢＤＥは直角三角形で、∠ＤＢＥ＝20° △ＢＣＤは、ＢＣ＝ＣＤの二等辺三角形で、角はそれぞれ 20°、20°、140° よって、ｘ＝140° 　 http://yosshy.sansu.org/

	13853．Re: お願いします。
	名前：ひなこ（中二）日付：3月14日(日) 11時51分
	ありがとうございました。これからもお世話になると思います。そのときは、よろしくお願いします

13818．プログラミング（素数の判定）

名前：とも（高３） 日付：3月11日(木) 9時4分

２以上の自然数を入力して、その数が素数かどうかを判定するプログラムは
10 REM ｿｽｳ
20 INPUT N
30 FOR I=2 TO N-1
40 IF (N MOD I)=0 THEN 80
50 NEXT I
60 PRINT N;"ﾊｿｽｳ"
70 GOTO 90
80 PRINT N;"ﾊ　ｿｽｳ　ﾃﾞﾊﾅｲ"
90 END
であるが
このプログラムは効率が悪い。原因を指摘し、プログラムを改良せよ。
また、改良したプログラムを利用し、１００００以下の自然数のなかで、最も大きい素数を探せ。

ご指導のほどよろしくお願いします。

	13819．Re: プログラミング（素数の判定）
	名前：ヨッシー日付：3月11日(木) 9時28分
	たとえば、101 が素数かどうかを調べるのに、2～100 まで全ての整数について調べる必要があるでしょうか？・100 より、もっと手前で終わってもいいのではないか？・全ての整数でなくてもいいのではないか？という観点で、考えてみて下さい。　 http://yosshy.sansu.org/

	13820．Re: プログラミング（素数の判定）
	名前：えいぶ日付：3月11日(木) 14時38分
	もう少しヒントを出すと例えば18を2から順に割っていくと 18/2=9 18/3=6 18/4=4.5 18/5=3.6 … となりますがそれ以上は6,9以外で割り切れないことは明らかですよね？ではどこまで割れば十分でしょうか？また、素数は 2,3,5,7,11,13,17,19,23… 差に注目すると1,2,2,4,2,4,2,4…となっています。４以上の偶数は明らかに素数ではないので階差が1になることはありえません。また2,2,2と続けばどれかは３の倍数になってしまいます。結局2,3,5の後は2,4と増やして割っていけばＯＫです。数学検定の問題集に類題があったので参考にしています。

	13835．Re: プログラミング（素数の判定）
	名前：とも（高３）日付：3月11日(木) 23時14分
	よくわかりました。ありがとうございました。数学検定を受けてみようと思い勉強を始めたのですが、分からないことだらけですので、今後ご指導願うことがあると思いますがそのときはよろしく御願いします。

13815．等号成立

名前：あいこ(高一) 日付：3月11日(木) 8時3分

a≧b≧0のとき。
2√^(ab)≧0の等号が成り立つのは，

2√^(ab)＝ 0 のときである。

a≧b≧0から、等号はb=0のときに成り立つ。

ここで、質問ですが、

a≧b≧0から、等号はb=0のときに成り立つ。

のところが疑問に思います。a=0でも等号は成り立つのではないでしょうか。

度々申し訳ありません。御回答宜しくお願い致します。

	13816．Re: 等号成立
	名前：とも（高３）日付：3月11日(木) 8時23分
	＞a=0でも等号は成り立つのではないでしょうか成り立ちますよしかし a≧b≧0であるからa=0のときb=0ですよね。「a=0のとき」とまで言わなくても「b=0のとき」とだけ言えばいいのです。ですから等号はb=0の時成り立つといえます。

	13822．Re: 等号成立
	名前：あいこ(高１) 日付：3月11日(木) 15時12分
	ともさん、御指導有難うございます。 a≧b≧0、なのでb=0であれば、必然的にa=0になるんですね。わざわざa=0,b=0と書かなくても、b=0と記せばよいのですね。

	13829．Re: 等号成立
	名前：ast 日付：3月11日(木) 18時39分
	＞a≧b≧0、なのでb=0であれば、必然的にa=0になるんですね。違います. 「2√(ab) = 0」ならば「a = 0 または b = 0」です. これは, [i] a ≠ 0 かつ b = 0 [ii] a = 0 かつ b = 0 [iii] a = 0 かつ b ≠ 0 の三つの場合からなります. しかし, 今の場合 a ≥ b ≥ 0 なので [iii] の場合は存在しないというのがともさんの仰ったことです. そうして, 「[i]または[ii]」というのは単に「b = 0」というのと同じだということです.

13814．絶対値と不等式

名前：あいこ(高一) 日付：3月11日(木) 7時46分

実数aの絶対値｜a｜は，0または正の実数で，次のようになる。
a≧0のとき｜a｜＝a，
a＜0のとき｜a｜＝-a
・・・(1)
したがって，
｜a｜≧a，｜a｜≧ -a
・・・(2)

(1)は理解できるのですが、なぜそれから(2)が導けるのでしょうか？

御指導宜しくお願い致します。

	13817．Re: 絶対値と不等式
	名前：ヨッシー日付：3月11日(木) 8時24分
	ａ≧０のとき、｜ａ｜＝ａ≧０より、　｜ａ｜≧ａ　は、｜ａ｜＝ａ　なので成り立つ　｜ａ｜≧－ａ　は、－ａ≦０　なので成り立つａ＜０　のとき、｜ａ｜＝－ａ≧０　より　｜ａ｜≧ａ　は、ａ＜０　なので成り立つ　｜ａ｜≧－ａ　は、　｜ａ｜＝－ａ　なので成り立つ。結局、ａと－ａのどちらかが、正でどちらかが負なのですが（０の場合を除く）正の方であっても、｜ａ｜に一致するだけで、それより大きくはならない、ということです。　 http://yosshy.sansu.org/

	13821．Re: 絶対値と不等式
	名前：あいこ(高１) 日付：3月11日(木) 15時9分
	なるほど！良く分かりました。ヨッシーさん、御回答有難うございました。

13802．数列について

名前：一生（高１） 日付：3月10日(水) 17時48分

数列の穴埋め問題なのですが規則性が見えなくて困ってます教えてもらえれば幸いです

1,2,□,9,14,□,27

	13803．Re: 数列について
	名前：ヨッシー日付：3月10日(水) 19時29分
	それをやるなら、 (x-2)(x-4)(x-5)(x-7)/72 -(x-1)(x-4)(x-5)(x-7)/15 +(x-1)(x-2)(x-5)(x-7)/2 -7(x-1)(x-2)(x-4)(x-7)/12 +3(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)/20 としないと、1,2,4,5,7 項目の値が、1,2,9,14,27 になりません。ちなみに、これだと 3,6 項目は、44/9, 179/9 になります。　でも、本当はどうなんでしょう？　 http://yosshy.sansu.org/

	13804．Re: 数列について
	名前：ヨッシー日付：3月10日(水) 19時38分
	あ、消されてる。「それをやるなら」が、空を切ってる。 0,2,□,9,14,□,27 なら、簡単ですが。　 http://yosshy.sansu.org/

	13805．Re: 数列について
	名前：一生（高１）日付：3月10日(水) 19時45分
	そうですね　始めが０なら５、２０でいいんですが・・・・この問題うちの教師が作ったんで勘違いして作ったようなきがしてきました（ーー；）わざわざありがとうございました

	13806．Re: 数列について
	名前：数列日付：3月10日(水) 21時0分
	n \| (12^n + 11^n + 1) なる正整数nは、小さいほうから 1,2,3,9,14,15,27, ... だそうです。 # ゼッタイ違うって。

	13811．Re: 数列について
	名前：えいぶ日付：3月11日(木) 2時35分
	あ、すみません。削除してしまって。投稿した後間違いに気づいて誰にも見られないように消そうと速攻で消したんですがヨッシーさんにみられていましたか（汗ですので汚名返上(?)ということで、数列さんのものと以下のものを見つけました。英語ページで数列を見つけたんですが翻訳力が無いので翻訳サイトで変換した後意訳しました。 {1、2、...、n}の空でない部分集合の要素の数の1/2が≦√n 一応原文はこちら Number of nonempty subsets of {1,2,...,n} in which exactly 1/2 of the elements are <= sqrt(n). この後数列は次のように続くそうです。 0,1,2,5,9,14,20,27,83,119,164,219,285,363,454,1819,2379… 0,2,□,9,14,□,27と答えが一致してるところが妙に楽しいです。

	13812．Re: 数列について
	名前：えいぶ日付：3月11日(木) 2時58分
	他に0,2,5,9,14,20,27…つまりa_n=(n^2+n-2)/2と \|n-1.5\|-n+1.5が n=1のとき1.5-1-1+1.5=1 n>1のときn-1.5-n+1.5=0を利用して a_n=(n^2+n-2)/2+\|n-1.5\|-n+1.5 =(n^2-n+1+\|2n-3\|)/2 で出すことも可能なことは可能です。多少面倒ですが。

13800．数３の行列について。

名前：隆日付：3月10日(水) 15時55分

　　　　　　　　　　　　　　ar　cr
上の問題で（１）はＡＢＣ＝（as　cs）で合っていたのですが、
（２）の答えが合いません。
　　　　　　　ar+sc　br+sd　
私はＢＣＡ＝（　０　　０　）と計算し、
　sr+sc　br+sd
（　０　　０　）Ｂ＝ｋＢとし、
これをくくり、左辺が逆行列を持たなければいいので、
ｋ＝０　ｏｒ　ｋ＝ａｒ＋ｓｃとなりました。

でも解答ではｋ＝ａｒ＋ｓｃとしかかいていなかったのですが、
解答のｋ＝ａｒ＋ｓｃでは０も含まれるのでしょうか？と思いました。
どうでしょう。。。

	13801．Re: 数３の行列について。
	名前：ヨッシー日付：3月10日(水) 16時4分
	(1) がその答えであっているなら、問題の方のＡの並びが違っています。 (2) は、逆行列云々を持ち出さなくても、　ＢＣＡＢを計算してしまって、ｋＢと比較すればいいでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	13807．Re: 数３の行列について。
	名前：隆日付：3月10日(水) 22時13分
	ああ、そうですね。よく分かりました。ありがとうございました。今問題解いていて悩んだんですが、直円錐の体積の公式ってどういった経緯ででてくるのですか？教えてください。

	13810．Re: 数３の行列について。
	名前：とも（高３）日付：3月11日(木) 0時11分
	回転体の体積を求めることによって公式を導くことができます。ｙ＝ｒｘ／ｈ　を、ｘ軸を中心として回転させたとき、断面Sは S=πy^2 =π(ｒｘ／ｈ)^2 ∴求める体積Vは V=∫[0→h]Sdx =π(r/h)^2∫[0→h]x^2dx =π(r/h)^2*(h^3/3) =(πhr^2)/3 ということです。

13798．こんにちは

名前：まみむ 日付：3月10日(水) 15時14分

みなさん　こんにちは
中三になりそうな、まみむです
いきなりですが面白い数学の問題はありませんか？

	13799．Re: こんにちは
	名前：柿日付：3月10日(水) 15時27分
	こんにちは僕も中学生です面白い問題ですか？よくわかりませんねほかの皆さんおしえてあげてください

	13808．Re: こんにちは
	名前：n(中一) 日付：3月10日(水) 22時22分
	中学に入ってやらされた問題を自分なりにアレンジしたものです一辺の長さがすべて等しくて１つの頂点には４つの三角形と五角形で構成されている。この立体の展開図を描きなさい

13796．行列の階数

名前：坂上作光 日付：3月10日(水) 9時18分

「Ａを(l,m)行列、Ｂを(m,n)行列とすれば、rank（ＡＢ）は
[rank（Ａ）＋rank (B) - ｍ]より小ではない。」という公式（定理）について、その証明法を（記述した参考書や専門書を含めて）御教示戴ければ、
幸甚に存じます。宜しくお願い申し上げます。　

	13797．Re: 行列の階数
	名前：おおさわ＠長期休暇日付：3月10日(水) 14時31分
	こんにちは。その証明なら、うる覚えで申し訳ないですが、佐竹一郎さんの「数学選書1 線形代数学」に載っていたと思います。緑色のハードカバーの本です。少し大きな書店には大体あるかと。 http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

13790．数学と確率

名前：アカギ 日付：3月10日(水) 0時39分

確率の分野に出てくる「同様に確からしい」という言葉の意味を調べました。
すると、これは何が確かで、なぜ「らしい」のか…などの答えは出ず…。（どなたかわかれば教えてくださいm(__)m）どうやら概念的なものらしいです。

そして、同様に確からしいということは、証明できず、仮定であるようなのです。この仮定のもと、サイコロの目の１が出る確率が１／６とかやってるんですよね。確率って数学ですかね？一番数学っぽくなくはないですか？
理論と「証明」を大事にする数学なはずなのに…(-_-)？

追伸…こういう話ってここの掲示板でしては駄目ですか？(T_T)深いですか？

	13791．Re: 数学と確率
	名前：ケロ日付：3月10日(水) 2時21分
	アカギさんと同じ事を思っていましたが、深くは考えたことがありませんでした。でも、ほかの数学の分野でも同じ様な気がしてきました。三角形や球といっても、現実に完全な球は存在していません。理想的な球を想像して、それについて考えているわけです。１，２，３、．．．という数にしても、何を数えるのかといえば、部屋の中にある電気器具なのか、テレビなのか、同じ機種のテレビなのか、同じ機種のテレビでも、ブラウン管に傷のあるテレビなのか、枠に傷のあるテレビなのかで、数える数え方が違ってきます。どこかで線を引いたり、少しの違いを無視したり、理想化して数えるわけです。ですから、確率の場合も起こりうる場合を理想化して考えているのではないでしょうか。

	13792．Re: 数学と確率
	名前：ast 日付：3月10日(水) 3時37分
	＞理論と「証明」を大事にする数学なはずなのに…(-_-)？というのは, 大学でやる「確率論」をどこかで一度体験されればしっくり来ると思います. ＞同様に確からしいということは、証明できず、仮定であるようなのです。サイコロの目が出る確率が 1/6 なのは「理想的なさいころ」の場合だけです. これは, ひとつの「確率モデル」だということです.

	13793．Re: 数学と確率
	名前：アカギ日付：3月10日(水) 4時21分
	>>理想的なサイコロとは何ですか？正六面体ということですか？違うんですよね？多分。サイコロはめんどくさいのでコインの裏表にしましょう。例えば１０回コインを投げたとき、表６、裏４だったとき確率は表６／１０　裏４／１０だといえます。（よね？）しかし、これは試行回数が少ないがためにおこる偏りである。１００回…１００００回……１０００００００００…回行えばさらに精度は上がる。（大数の法則、確率の収束）しかし、無限回行うと１／２になるというのが前提ですよね？この値に収束することの証明は不可能で、収束するとしよう、ということですよね？だから、これは理想的なコインというよりは、同様に確からしいと仮定しよう、ということではないですか？（広い意味では理想的なコインといえるかもしれないが、コインそのものがもつ性質ではない）大きく異なるのは、三角形や球だって…というのは、物、物質、形などを理想的なものと仮定しているのに対して、この場合は、同様に確からしいという理論を仮定しています。ここが数学っぽくないな、と思う僕なりの根拠です。 >>大学でやる「確率論」公理的確率というやつですか？コルモゴロフ…みたいな名前の人（曖昧）が考えた確率論ですか？序論のようなものは読みましたが…。少し勉強が足りないかもしれないですねm(__)m

	13794．Re: 数学と確率
	名前：アカギ日付：3月10日(水) 4時25分
	あ、そうだ。あと一つわからないのが広い意味での「理想的なコイン」（←察してください。）を無限回投げたときの表の出る確率はちょうど「１／２」なんですかね？そうだとするとあと任意のｎ回投げたときに確率が変わるような気がするんですが…これは無限を理解していないからなのですか？また、ちょうど「１／２」にならないとすると確率論がまったくもって何が何やらわかりませぬm(__)m

	13795．Re: 数学と確率
	名前：ast 日付：3月10日(水) 6時15分
	無限の"後"のn回って一体なんでしょう？有限のイメージの延長で無限を捉えていませんか？裏が出る確率も表が出る確率も等しく 1/2 であるような「理想的なコイン」を投げるという「確率モデル」では何が言えるか？というのを考えるのが数学で扱う確率論です. 現実のコインや現実のサイコロなんて, そもそも数学は扱っていません.

	13809．Re: 数学と確率
	名前：アカギ日付：3月10日(水) 22時54分
	>>現実のコインや現実のサイコロなんて, そもそも数学は扱っていませんでも、中学校か高校かで、導入部分において、実際のコインを投げますよね？あれは数学ではないですか？ただの導入ですか？それと、無限の概念はやはり間違っていますか？無限回投げるとちょうど１／２で表が出るのでしょうか？_(._.)_

	13813．Re: 数学と確率
	名前：ast 日付：3月11日(木) 4時49分
	＞無限回投げるとちょうど１／２で表が出るのでしょうか？_(._.)_ ええと、「極限」という概念はお持ちですか？ # この場合いわゆる ε-N 論法ですが. ＞導入部分において、実際のコインを投げますよね？此処は繰り返し同じ試行を繰り返したとき　「各事象が起きる確率は無限回の試行で適当な値に収束するハズ」というのを無条件に認めて話をしようというだけであって, これを仮定してからが数学の範疇です. ### と一番初めの話に戻ってしまいましたね. # 私は解析系が特に苦手で, したがって確率論は表面的にしかやって # ないので, これ以上うまく説明できません.

	13824．Re: 数学と確率
	名前：アカギ日付：3月11日(木) 15時43分
	極限という概念は…持っているつもりでしたが…しっかり持っていないようです(_)極限について勉強してから出直します。ε-N 論法…聞いたことないけど、検索してがんばってみます。ケロさん、astさん、ありがとうございました>^_^<

13786．新・高２です。複素数の計算問題です。

名前：yamada 日付：3月7日(日) 20時7分

こんにちは、複素数の計算問題で分からないものがあります。
よろしくお願いします。

X(3乗)－5X(2乗)＋4＝0
　
答.X＝－2、１±√3i

(私がやってみた考え方）
P(X)＝X(3乗)－5X(2乗)＋4＝0
とおくと、　P(1)＝0
P(X)はX－1を因数にもつので
P(X)＝(X－1)｛X(2乗)－4X－4｝
したがって(X－1)8＝0
ゆえに　X＝1,8　(答)

計算間違いでしょうか。
それともやり方が全くちがうのでしょうか。
初歩的な問題と思いますがよろしくお願いいたします。

	13787．Re: 新・高２です。複素数の計算問題です。
	名前：ヨッシー日付：3月7日(日) 20時28分
	まず、　X^3－5X^2＋4＝0　の答えは、　X＝－2、１±√3i ではありません。その前後に　x^3+8=0 のような問題はありませんか？さて解答ですが、 P(X)＝(X－1)｛X^2－4X－4｝までは正しいですが、　X^2－4X－4＝0 がうまく解けていないようです。　 http://yosshy.sansu.org/

13783．確率苦手なんです

名前：夏希日付：3月7日(日) 17時57分

私は、確率苦手なんですが、この問題の解き方を教えて下さい。

袋の中に赤球２個と白球４個入っている。この袋から球を２個取り出すとき、次の問に答えなさい。
(１)この袋から１個取り出し、色を調べてからもどす。これを２回繰り返すとき、２個とも赤球である確率を求めなさい。
(２)この袋から同時に２個の球を取り出すとき、少なくとも１個は赤球である確率を求めなさい。

	13784．Re: 確率苦手なんです
	名前：K.N.G. 日付：3月7日(日) 19時0分
	袋の中; {●●○○○○}. (1) 2個とも赤球であるためには, 　｢1回目に赤球を取り出し, かつ, 2回目にも赤球を取り出す｣必要があります. 　1回目に赤球を取り出す確率は 2/6 = 1/3. 　2回目に赤球を取り出す確率も 2/6 = 1/3. 'かつ'は掛け算ですから, 上の 2つの確率を掛けて, 　(1/3) * (1/3) = 1/9 となります. (2) 同時に 2個の球を取り出すとき, (少なくとも 1つは赤球である確率) 　= 1 - (2個とも白球である確率) です. (2個とも白球である確率)は, 　₄C₂/₆C₂ = 6/15 = 2/5 であるから, 求める確率は, 　1 - (2/5) = 3/5 となります.

13773．(untitled)

名前：春也（中３） 日付：3月7日(日) 8時10分

すぐ問題に入らせてもらいます。
　
（１）２直線y＝３ｘ＋１とｙ＝ａ-２ｘとがｘ軸上で交わるとき、定数ａを求めなさい。
（２）２つの関数ｙ＝１/４ｘ２(ｙイコール四分の一ｘ二乗）と
ｙ＝ａｘ＋１で、ｘの値が０から２まで増加するときの変化の割合が等しいとき、関数ｙ＝ａｘ＋１とｘ軸との交点の座標を求めなさい。

	13775．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月7日(日) 9時33分
	(1) ｘ軸上で交わるとありますが、具体的にｘ軸上のどこで交わるかを調べます。　実際には、ｙ＝３ｘ＋１　から求められます。　その点を、ｙ＝ａ－２ｘ　も通るようにａを決めればいいです。　答えは、ａ＝－２／３ (2) ｙ＝ｘ^2／４において、ｘが０から２まで変化するとき、ｙは　０から１に変化するので、変化の割合は、（　　）です。　一方、ｙ＝ａｘ＋１　において、変化の割合は、どの位置でもａです。　これにより、ａを求めれば、ｘ軸との交点も出すことが出来ます。　答えは、（－２，０）　 http://yosshy.sansu.org/

13772．連立方程式なんですが・・・

名前：七菜（中２） 日付：3月7日(日) 7時59分

２つ問題あるんですが、どう解いてよいのか分かりません。教えて下さい。

①連立方程式ｘ×ｙ＝６
　　　　　　ｘ-ｙ＝２ａ　
の解が、方程式２ｘ-３ｙ＝７をみたすとき。ａの値と、この連立方程式の解を求めなさい。
　
②ある学校の今年度の生徒数は、昨年度に比べると男子の生徒数が４％増加し、女子の生徒巣が１％減少したので、全体として８人増加して５８３人になった。今年度の男子の生徒数と女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。
　
と言うことなんですが･･･。どなたか、お願いします。

	13774．Re: 連立方程式なんですが・・・
	名前：ヨッシー日付：3月7日(日) 9時27分
	(1)連立方程式　ｘｙ＝６，２ｘ－３ｙ＝７　の解が、ｘ－ｙ＝２ａ　を満たす、　とも解釈できます。が、きれいな答えになりませんねぇ。　誤植はないですか？　もし、なければ、そのまま解くしかありませんが。 (2) 連立方程式の単元でしょうか？それなら、　昨年度の男子数をｘ人、女子数をｙ人とし、　　ｘ＋ｙ＝５８３－８　　０．０４ｘ－０．０１ｙ＝８　を解けばいいです。答えは、男子２８６人、女子２９７人　 http://yosshy.sansu.org/

	13782．Re: 連立方程式なんですが・・・
	名前：七菜（中２）日付：3月7日(日) 17時51分
	すみません！間違っていました。正しくはこれです↓ 連立方程式は　ｘ＋ｙ＝６､ｘ-ｙ＝２ａ　の解が､方程式２ｘ-３ｙ＝７をみたすとき､ａの値と､この連立方程式の解を求めなさいでした。

	13785．Re: 連立方程式なんですが・・・
	名前：ヨッシー日付：3月7日(日) 19時12分
	考え方は、上に書いたのと同じです。ｘ＋ｙ＝６､２ｘ-３ｙ＝７　の解が､方程式ｘ-ｙ＝２ａをみたすと言い換えても良いです。　 http://yosshy.sansu.org/

13768．極限

名前：味噌汁 日付：3月7日(日) 0時8分

lim[h→0]1/hの値はどうやって求めるのでしょうか？

	13770．Re: 極限
	名前：S 日付：3月7日(日) 4時15分
	おはようございます。社会人です。トライアルですが、･･･ (i)　いま、 h(1)＞h(2)＞…＞h(n-1)＞h(n)＞…＞0　とすると、 1/h(n) - 1/h(n-1) = ｛h(n-1) - h(n)｝/h(n)h(n-1) ＞ 0 従って、｛1/h(n)｝は単調増加数列である． (ii)　一方、｛1/h(n)｝がある数 a に収束すると仮定すると、ある正の数 ε に対してある自然数 N があって、 n＞N について \|1/h(n) - a\|＜ε \|1/h(n)\| - \|a\|＜ε 1＜\|h(n)\|(ε + \|a\|)　これは矛盾である． … [1] 従って、｛1/h(n)｝は収束しない． (iii)　ゆえに、 1/h (h → 0)　は無限大に発散する．でどうでしょうか。 [1] のところがちょっとあやふやなのですが、その他誤謬などが有りましたら加筆訂正願います。

	13771．Re: 極限
	名前：ast 日付：3月7日(日) 6時1分
	lim[h→0]1/h は定まりませんね.

	13776．Re: 極限
	名前：S 日付：3月7日(日) 12時0分
	#13770 に付いて P.S. 他の BBS（　http://www.yuki.to/math/prybbs.html?mode=res&no=9438 参照　）にもお伺いを立てましたところ、･･･ (ii) の [1] は h(n)=1/a　とすれば矛盾にならないから、「あらゆる h(1)＞h(2)＞…＞h(n-1)＞h(n)＞…＞0　では」とすべきであるとの suggestion を頂きました。

	13777．Re: 極限
	名前：S 日付：3月7日(日) 12時15分
	P.S.-2 (ii) の 1＜\|h(n)\|(ε + \|a\|)　は仮定の成り立つ必要条件ですから、「べての h(n) について」と断ると矛盾となるのがはっきりして良いのですね。

	13778．Re: 極限
	名前：ast 日付：3月7日(日) 12時36分
	lim_[h→-0] 1/h = -∞ ですね.

	13779．Re: 極限
	名前：S 日付：3月7日(日) 16時37分
	P.S.-3　訂正と追記（訂正） #13777 の･･･「べての h(n) について」と断ると･･･は･･･「すべての h(n) について」と断ると･･･のミス入力です。（追記）また、 1＜\|h(n)\|(ε + \|a\|)　これは矛盾である．については、 h(n) はいくらでも小さくすることが可能であるから、 \|h(n)\| ＜ 1/(ε + \|a\|)　のとき矛盾となるのですね。

	13780．Re: 極限
	名前：味噌汁日付：3月7日(日) 17時9分
	わざわざ他の掲示板まで聞いてくださりどうもありがとうございます。どうもありがとうございました。

	13788．Re: 極限
	名前：S 日付：3月7日(日) 22時3分
	こんばんは。うかつなことで大変失礼致しました。＞ast さんの comment にも有りますが、前述の別の BBS で h→-0 を看過しているとの御指摘を受け、次も考えました。 (iv)　｛h(n)｝が負の点列の場合を考えると、 h(1)＜h(2)＜…＜h(n-1)＜h(n)＜…＜0　で 1/h(n) - 1/h(n-1) = (h(n-1) - h(n))/h(n)h(n-1) ＜ 0 従って、｛1/h(n)｝は単調減少である． (v)　一方、｛1/h(n)｝がある負の数 b に収束すると仮定すると、ある正の数 ε に対してある自然数 N が在って n＞N について \|1/h(n) - b\| ＜ ε \|1/h(n)\| - \|b\| ＜ ε 1 ＜ \|h(n)\|(ε + \|b\|) ここで、 h(n) はいくらでも -0 に近付けることが可能であるから、 \|h(n)\| ＜ 1/(ε + \|b\|) とすることが出来る．このとき、 1 ＜ \|h(n)\|(ε + \|b\|) ＜ 1 これは矛盾である． (vi)　ゆえに、｛1/h(n)｝は -∞ に発散する． (i) ～ (vi) から、 lim(h→0) 1/h　は　h→+0 で +∞、 h→-0 で -∞ すなわち、与式による極限値は存在しない．が正解のようです。なお、この ε－N 論法はこの問題には冗長に過ぎるようです。もっと単純に考えて良いという例の RES が前述の BBS にありますから御参照下さい。

	13789．Re: 極限
	名前：S 日付：3月7日(日) 22時23分
	P.S.-4 また勘違い致しました。＞なお、この ε－N 論法はこの問題には冗長に過ぎるようです。は僕の早とちりで、この論法においての「背理法」が冗漫なのでした。「数学は必要かつ十分なるをもって美とする」という何かの本で読んだことを思い出しました。

13761．三等分線

名前：知久（中一） 日付：3月6日(土) 21時3分

三等分線ってどのようにして書けばいいんですか？
教えてください！！

	13763．Re: 三等分線
	名前：花パジャ日付：3月6日(土) 21時31分
	例えばここの管理人であるヨッシーさんのPageをご覧下さい

	13767．Re: 三等分線
	名前：知久（中一）日付：3月6日(土) 21時58分
	ありがとうございます！上のやつは間違いなので気にしないでください！

13751．あってますか？

名前：pen 日付：3月6日(土) 18時40分

Ｐ（Ｘ）をＸ-2で割ると余りは7、商Ｑ（Ｘ）をＸ+3でわると余りは1である。Ｐ（Ｘ）をＸ+3で割った余りは？Ｐ（2）＝7、Ｑ（-3）＝1そして？？？

	13756．Re: あってますか？
	名前：ヨッシー日付：3月6日(土) 19時31分
	Ｐ（ｘ）＝(x-2)Ｑ（ｘ）＋７という式が、作れないと、この先進めません。　 http://yosshy.sansu.org/

	13757．Re: あってますか？
	名前：pen 日付：3月6日(土) 19時46分
	ひやー？貴重な時間を割いて頂いてるのにすみません。決して遊んでいるわけではありません。見捨てないでーーー。やる気と根性だけはばっちりです。

	13760．Re: あってますか？
	名前：momono 日付：3月6日(土) 20時58分
	設問に書かれているとおりに式を立てていけば答えにたどり着けるとおもいますよ。

	13762．Re: あってますか？
	名前：知也（大学4回生）日付：3月6日(土) 21時11分
	Q(x)=(x+3)R(x)+1とするとP(x)=(x-2){(x+3)R(x)+1}+7=(x-2)(x+3)R(x)+(x-2)+7 P(-3)=2 なので余りは２です。こういうやり方も知ってると便利です。

	13764．Re: あってますか？
	名前：pen 日付：3月6日(土) 21時35分
	皆様ご協力に感謝します。なんて嬉しい。。。頑張ります。

13745．図形

名前：yurina 日付：3月6日(土) 15時23分

球は、平面図形を回転させた立体なのですが、何の平面図形を回転させた物なのでしょうか？

	13746．Re: 図形
	名前：Bob 日付：3月6日(土) 16時42分
	半円ではないでしょうか？

	13747．Re: 図形
	名前：ヨッシー日付：3月6日(土) 17時0分
	普通に答えるなら、半円でしょうが、真ん中のような図形でも良いし、360回す間に、ダブるところがあってもかまわないなら、全円でも良いでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	13748．Re: 図形
	名前：yurina 日付：3月6日(土) 17時10分
	有難うございます！！良くわかりました！！

13744．平面ベクトルの誘導問題

名前：壮陽（大学受験生） 日付：3月6日(土) 15時18分

平面の3点O,A,Bが1直線上にはなく、位置ベクトルがそれぞれ
0,a,bであるとする。このとき、3点O,A,Bを通る円の中心Cの位置ベクトルcを次の手順によりa,bで表す。以下の空欄を埋めよ。
(1)
aに垂直なベクトルdを用いてb=ta+dとおく。このとき、実数tをa,bを用いて表すとt=（イ）である。従って、dをa,bを用いて表すとd=（ロ）となる。
(2)
点Cは2点O,Aから等距離にあるので、点Cの位置ベクトルは実数sを用いて
c=a/2+sd
と表すことが出来る。点Cが点Bからも等距離にあることを利用して、a,bを用いてsを表すと、s=（ハ）となる。以上より、cはa,bを用いて表すことが出来る。

以上、イ,ロ,ハの穴埋めなので問題文が長いのですが誘導している意図と位置ベクトルの意味合いがよく分からないので、教えてください。
ここに書くのは初めてですが、どうかよろしくお願いします。

	13749．Re: 平面ベクトルの誘導問題
	名前：ヨッシー日付：3月6日(土) 17時32分
	(1) ∠ＢＯＡ＝θとすると、　ｔａの長さは、　\|ｂ\|cosθ　なので、　ｔａ＝ａ\|ｂ\|cosθ/\|ａ\| より、　ｔ＝\|ｂ\|cosθ/\|ａ\| さらに、cosθ＝ａ・ｂ/\|ａ\|\|ｂ\|　より、　ｔ＝ａ・ｂ/\|ａ\|²・・・（イ）ｄ＝ｂ－ｔａ＝（略）・・・（ロ） (2) (1)と同様に、ａ＝ｕｂ＋ｅとなるｅを考えると、ｅ＝（略）そこで、　ｃ＝ｂ/2＋ｗｅとして、ｃ＝ａ/2＋ｓｄと合わせて、ｓ、ｗを求めると、　ｓ＝{\|ａ\|²(\|ｂ\|²)－ａ・ｂ}/２{\|ａ\|²\|ｂ\|²－(ａ・ｂ)²} となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	13769．Re: 平面ベクトルの誘導問題
	名前：壮陽（大学受験生）日付：3月7日(日) 3時14分
	どうもありがとうございます。 (1)→(2)への繋ぎ方がよく解ってとても助かりました。ただ（ハ）に入れる答えが s={\|a\|²(\|b\|²-a・b)}/2{\|a\|²\|b\|²-(a・b)²} と出てしまい上の答と合ってないので、その点確認お願いします。

13742．ありがとうございます。助かります。

名前：pen 日付：3月6日(土) 12時9分

①は計算したら凄い変な√つきの答えになったけどいいのでしょううか？

	13743．Re: ありがとうございます。助かります。
	名前：ヨッシー日付：3月6日(土) 14時22分
	それはきっと、計算間違いです。最終的に√は付きません。　 http://yosshy.sansu.org/

	13752．Re: ありがとうございます。助かります。
	名前：ヨッシー日付：3月6日(土) 18時51分
	一連の記事のやりとりは、右上の「返信」を押してから書き込んで下さい。他の人の記事もありますので、どの記事から話が繋がっているのか？独立した話なのか？が分かりません。というわけで、上の２つの記事は、まとめてこの下に置きます。　 http://yosshy.sansu.org/

	13753．先生家にきて下さい---。
	名前：ヨッシー＠penさんの代理日付：3月6日(土) 18時55分
	①2Ｘ2乗-（5Ｙ+1）Ｘ+2Ｙ2乗+Ｙ+1の時点で違いますか？③Ｘ3乗+Ｘ2乗+（Ａ-2）Ｘ-Ａ＝0が2重解を持つとき実数の定数Ａは？④Ｘ2乗+ＭＸ+1＝0、Ｘ2乗-2ＭＸ+3Ｍ＝0について少なくとも一方が虚数解を持つ範囲は？また一方だけが虚数解を持つのは？⑤1の3乗根のうち虚数の一つをωとする時、ω6乗、ω5乗+ω4乗+1、ω11乗+ω0乗は？⑥Ｘ4乗+Ｘ2乗-12を有理数、実数、複素数の範囲で因数分解せよ。⑦Ｘ4乗-3Ｘ3乗+Ｘ2乗+Ｘ＝0を解くと？⑧（Ｘ2乗+2Ｘ-3）（Ｘ2乗+2Ｘ+4）＝8を解くと？ http://yosshy.sansu.org/

	13755．Re: ありがとうございます。助かります。
	名前：ヨッシー日付：3月6日(土) 19時29分
	(1) 違いますか？と言われると、「違います」としか言いようがありません。もう一度、元の式と見比べてみて下さい。 (3) 　x=1 を代入すると０になるので、(x-1) で括れます。　(x-1)(x^2+2x+A)＝０　x^2+2x+A＝０　の解のひとつが x=1 であるか、　x^2+2x+A＝０自身が重解を持つかです。 (4) 　２つの式の判別式をＤ１，Ｄ２とすると、「少なくとも一方が虚数解」・・・Ｄ１＜０　または　Ｄ２＜０「どちらか一方が虚数解」・・・Ｄ１＜０かつＤ２≧０　または　Ｄ１≧０かつＤ２＜０ (5) ω^3＝１　ですから、　ω^6、ω^9、ω^12 なども全部１です。すると、例えば、　ω^10＝ω　のように、簡単に出来ます。また、ｘ^3＝１から導かれる　(x-1)(x^2+x+1)＝０　より、　ω^2＋ω＋１＝０であることも、利用できます。 (6) Ｘ＝ｘ^2 とおくと、　ｘ^4＋x^2－12＝Ｘ^2＋Ｘ－12＝(Ｘ＋４)(Ｘ－３) 　　＝(ｘ^2＋４)(ｘ^2－３)・・・有理数の範囲ｘ^2－３を √3 を使ってさらに因数分解したのが、実数の範囲ｘ^2＋４を 2i を使ってさらに因数分解したのが、複素数の範囲　です。 (7) 　x^4-3x^3+x^2+x=0 　x=0 とすると(左辺)=0　→ x をくくり出す　x=1 とすると(左辺)=0　→　(x-1) をくくり出すこの時点で、x(x-1)(ｘの２次式)=0 になるので、あとは２次方程式を解くだけです。 (8) Ｘ＝ｘ^2＋２ｘとおくと、　(Ｘ－３)(Ｘ＋４)＝８展開して　Ｘ^2＋Ｘ－２０＝０　(Ｘ＋５)(Ｘ－４)＝０　(ｘ^2＋２ｘ＋５)(ｘ^2＋２ｘ－４)＝０　ｘ^2＋２ｘ＋５＝０　または　ｘ^2＋２ｘ－４＝０　 http://yosshy.sansu.org/

	13758．Re: ありがとうございます。助かります。
	名前：pen 日付：3月6日(土) 19時57分
	申し訳ありません。わかりました。救いのようなこのページを作って下さって感謝します。使い方になれてなくてほんとにすみません。①も解いて教えて下さい。

	13759．Re: ありがとうございます。助かります。
	名前：ヨッシー日付：3月6日(土) 20時6分
	(1) 元の式は　2ｘ2乗-5ｘｙ+2ｙ2乗+ｘ+ｙ-1　です。 penさんの書かれたのは、2Ｘ2乗-（5Ｙ+1）Ｘ+2Ｙ2乗+Ｙ+1 です。下の式を展開して、上の式になりますか？（小文字、大文字は別にして）あと、ｘの２乗は、ｘ^2 のように書きます。　 http://yosshy.sansu.org/

	13765．Re: ありがとうございます。助かります。
	名前：pen 日付：3月6日(土) 21時39分
	ボンミスでした。。。申し訳ありません。ありがとうございました。頑張ります。

13737．テスト直前、お願いします

名前：pen 日付：3月6日(土) 0時33分

①解の公式で因数分解せよ。2ｘ2乗-5ｘｙ+2ｙ2乗+ｘ+ｙ-1
②ｘの多項式ｐ（ｘ）をｘ-1、ｘ-2、ｘ-3でわった余りが2,5,8、の時ｐ（ｘ）を（ｘ-1）、（ｘ-2）、（ｘ-3）でわった余りは？

	13739．Re: テスト直前、お願いします
	名前：えいぶ日付：3月6日(土) 2時5分
	(1)2x^2-5xy+2y^2+x+y-1 問題が解の公式の利用を求めているのでそれに従います。 xについての２次方程式と考え、解いてください。２つの解p,qが得られたら2(x-p)(x-q)が求める答えです。 (2) 条件よりP(1)=2,P(2)=5,P(3)=8です。 P(x)を(x-1)(x-2)(x-3)で割ったときの商をQ(x),余りをR(x)とおきます。割る式が３次式なのでR(x)は２次式であり,ax^2+bx+cとおけます。ゆえにP(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+ax^2+bx+cとおけます。あとは両辺に1,2,3を代入して得られる連立方程式を解いてください。

13734．複素数の問題

名前：taku(高2) 日付：3月5日(金) 23時9分

(-1)*(-1)=1になることを、以下の語句を用いて説明しなさい。
「複素数平面」「i」「回転移動」「極形式」「偏角」
どうか、宜しくお願いします。

	13735．Re: 複素数の問題
	名前：S 日付：3月6日(土) 0時7分
	こんばんは。社会人です。トライアルですが、･･･ (1) -1　を複素数平面で書き表すと、 z1 = -1 + 0i　で絶対値は　√((-1)^2 + 0^2) = 1　である． (2) また、これを極形式で書く場合は偏角の代表を π として良いから、 z1 = 1(cosπ + isinπ) (3)　このとき、 z2 = (-1)(-1) = z1z1　は偏角 π の z1 をさらに π だけ回転移動したことを意味するから、 z2 の絶対値は 11 = 1、偏角は π + π = 2π (4)　従って、 z2 = 1(cos2π + isin2π) = 1(1 + i0) = 1 (5)　ゆえに、 (-1)(-1) = z1z1 = z2 = 1 (終) でどうでしょうか。

	13736．Re: 複素数の問題
	名前：taku(高2) 日付：3月6日(土) 0時31分
	ありがとうございます。 >極形式で書く場合は偏角の代表を π として良いからというのは、どういう意味でしょうか。

	13738．Re: 複素数の問題
	名前：えいぶ日付：3月6日(土) 1時55分
	偏角はπ,3π,5π…とありますがどれも同じなのでその代表としてπを選んでよい、ということでしょう。

	13740．Re: 複素数の問題
	名前：えいぶ日付：3月6日(土) 2時14分
	複素数平面上において-1は極形式でcosπ+isinπであり,その偏角はπ,絶対値は1である。 (-1)(-1)はcosπ+isinπをπだけ回転移動することを意味し,移動後の偏角はπ2=2π=0,絶対値は1となる。以上から求める答えはcos0+isin0であり,これは1に他ならない。答えは一つではないのでこのような感じでもＯＫです。

	13741．Re: 複素数の問題
	名前：taku(高2) 日付：3月6日(土) 10時16分
	あぁ、そういうことだったんですね！よく分かりました。ありがとうございました！m(_ _)m

13729．書き出さずにできますか？

名前：佳子（小学５年） 日付：3月5日(金) 13時48分

ある整数があります。
29で割ると、21余り、37で割ると、８余ります。
このような整数で、一番小さい整数は？

	13730．Re: 書き出さずにできますか？
	名前：ヨッシー日付：3月5日(金) 14時30分
	この問題に限って、ということなら、上の図は、29を何倍かして21を足した面積と、37を何倍かして８を足した面積が等しいところを表した図です。右の図にも、29 が現れているので、同じ高さで切ると、緑の部分は同じ大きさです。右図では、黄色の部分は、８の倍数なので、左の黄色も、８の倍数になるには、ｘの部分が８の倍数である必要があります。その中で、一番小さいのは８（０ではダメですね）なので、この図形の面積を出すことで、求める数を出すことが出来ます。答えは１００７です。　 http://yosshy.sansu.org/

	13731．Re: 書き出さずにできますか？
	名前：佳子（小学５年）日付：3月5日(金) 16時6分
	すみません、面積の出し方がわかりません。

	13732．Re: 書き出さずにできますか？
	名前：ヨッシー日付：3月5日(金) 16時26分
	こういうふうに、縦横１のマスが、いっぱい並んでいると、考えて下さい。一番上の段差は１です。緑の縦がなぜ 27 になるかは、前の記事の右の図と照らし合わせて、考えて下さい。　 http://yosshy.sansu.org/

	13733．Re: 書き出さずにできますか？
	名前：佳子（小学５年）日付：3月5日(金) 17時4分
	よくわかりました、ありがとうございました。

13711．期末前で・・・

名前：慶一郎　高校1年 日付：3月4日(木) 21時27分

すみません！もう１問解からないところがあります！教えてください!!
問、図のように、底面の半径がrｃｍ、高さがｈｃｍの円錐の形をした容器がある。この容器に、深さの３分の１のところまで水を入れたとき、あと何ｃｍ^3の水が入るか。
お願いします(>△<)

	13712．Re: 期末前で・・・
	名前：Bob 日付：3月4日(木) 21時44分
	今入っている水の水面の半径は（１／３）ｒ高さは（１／３）ｈ水の体積は{（１／３）ｒ｝＾２・π・（１／３）ｈ・（1／３）あとは容器の体積から引けばいいでしょう。

	13713．Re: 期末前で・・・
	名前：慶一郎　高校1年日付：3月4日(木) 22時10分
	容器の体積の求め方はｒ×ｒ×π×hでいいんですか？

	13715．Re: 期末前で・・・
	名前：Bob 日付：3月4日(木) 22時14分
	×（１／３）を忘れているよ。

	13716．Re: 期末前で・・・
	名前：知也（大学4回生）日付：3月4日(木) 22時19分
	容器全体は1/3πr＾2hで相似比が3:1だから容器：水の体積比は27:1つまり殻の部分は1/3πr＾2h(1-1/27)だと思います。

	13717．Re: 期末前で・・・
	名前：慶一郎　高校1年日付：3月4日(木) 22時19分
	あっ、すいません(^_^;)ありがとうございました！！

	13718．Re: 期末前で・・・
	名前：慶一郎　高校1年日付：3月4日(木) 22時23分
	ちなみに答えは８１分の２６πｒ^2hｃｍ^3です。

13710．微分

名前：つばさ　日付：3月4日(木) 21時18分

方程式x^3－ax^2－a^2x＋b^3=0が異なる３つの実数解を持つとき点(a,b)の存在範囲を図示せよ。

f(x)=x^3－ax^2－a^2x＋b^3とおく
f'(x)=(3x－a)(x－a)
条件を満たすにはa≠0、f(a)f(－a/3)＜0
f(a)(－a/3)=(b^3－a^3)(5/27a^3＋b^3)

という問題で上のように考えたんですが
どこか間違ってますか？
もしあってるとしたらここからどう考えるんですか？

	13721．Re: 微分
	名前：つばさ　日付：3月4日(木) 23時25分
	すいません。 f'(x)=(3x＋a)(x－a) でした。

	13725．Re: 微分
	名前：豆日付：3月5日(金) 11時31分
	上の式のチェックはしていませんが，質問の意図から進め方は下記の通りでいいんじゃないでしょうか？複号は同順です． A^3±B^3=(A±B)(A^2干AB+B^2) 第２因子=(A^2+B^2+(A干B)^2)/2≧0 等号はA=B=0

	13726．Re: 微分
	名前：つばさ　日付：3月5日(金) 11時49分
	そうしてしまうと５の３乗根がでてきますがいいんでしょうか？

	13727．Re: 微分
	名前：豆日付：3月5日(金) 12時55分
	何故駄目なのかな？いいと思いますが．

	13728．Re: 微分
	名前：つばさ　日付：3月5日(金) 13時16分
	図示する問題なのでもっときれいな数字になるのかな？と思ってしまって…

13709．期末前で・・・

名前：慶一郎　高校1年 日付：3月4日(木) 20時52分

切羽詰っています(>_<)この問題の解き方を教えてください！
問、図のように、ＡＢ＝３、ＡＤ＝２、ＡＢ＝１である直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。この直方体を３点Ｂ，Ｄ，Ｅを通る平面で切るとき、切り口の△ＢＤＥの面積を求めよ。
お願いしますm(__)m

	13714．Re: 期末前で・・・
	名前：知也（大学4回生）日付：3月4日(木) 22時12分
	へロンで一発では？

	13720．Re: 期末前で・・・
	名前：M2R 日付：3月4日(木) 23時4分
	△BDEの各辺を求めてから、その3辺を元に余弦定理でどの角でもよいのでcosの値を求めます。出たcosからsinの値が出せますね。で、あとはS=1/2bcsinAの面積公式を使えば出ると思います！辺の長さがルートで出てくるのでヘロンの公式は使わない方がいいでしょう。（計算が大変なので…）

	13723．Re: 期末前で・・・
	名前：高橋　道広日付：3月5日(金) 9時1分
	期末テストの範囲に対応する解き方をするのが一番でしょう。ベクトルでも解けますし　余弦定理でも解けます。小学生なら　図を使って解きます。面積は33-1/2(12+23+3*1)=7/2　となります。 http://micci.sansu.org/

13705．確立の問題

名前：eppc 日付：3月4日(木) 17時33分

ある事柄に対して、２０人中１５人が賛成、５人が反対であった。この２０人の中から無作為に３人選ぶとき、三人とも賛成となる確立はどれか。

20C3=1140, 15C3=455, 455/1140=0.32
でよいのでしょうか？もしくは、15/20=0.75なのかな？と。

私は社会人で、資格試験に出された問題です。
宜しくお願い致します。

	13707．Re: 確立の問題
	名前：arc 日付：3月4日(木) 18時25分
	確率ですね…。 20個の球があり、そのうち15個が白球、5個が赤球である。無作為に3個の球を同時に取った場合、3個とも白球である確率。と同じですね。この場合は同時に取るので、組み合わせを使い、 ₁₅Ｃ₃ / ₂₀Ｃ₃ = 455/1140 = 91/228 ≒ 0.399122807 ≒ 40% となります。＞もしくは、15/20=0.75なのかな？ 20個の球があり、そのうち15個が白球、5個が赤球である。無作為に1個の球を同時に取った場合、その球が白球である確率。 ₁₅Ｃ₁ / ₂₀Ｃ₁ = 15/20 = 3/4 = 0.75 = 75% となります。答えとしては、確率なので分数でよいと思います。３個取る場合＝91/288 １個取る場合＝3/4

	13724．Re: 確立の問題
	名前：eppc 日付：3月5日(金) 9時55分
	arcさま。解答ありがとうございます。考え方は合っていた様でホッとしました。 455/1140≒0.4ですよね。どうして0.32なんてなったのやら。。。実は択一の問題で (1)0.19 (2)0.25 (3)0.34 (4)0.40 (5)0.75 となっていたので私のだと答えがないのですよ、なので間違っているのかな？と思い投稿させていただきました。本当にありがとうございました。

13700．書き足りませんでした。

名前：ＨＢＫ（中学2年） 日付：3月4日(木) 1時52分

申し訳ありません。角Ａ＝２０・角ＦＢＣ＝６０・角ＦＣＢ＝５０
角ＤＥＦ＝Ｘです。よろしくお願いします。

	13702．Re: 書き足りませんでした。
	名前：Bob 日付：3月4日(木) 14時34分
	ラングレーの問題ですね。今現在でわかっている角を記入し ∠FBC＝20°となるようなFをAC上に作ってみましょう。

13699．始めまして。

名前：ＨＢＫ（中学2年） 日付：3月4日(木) 1時50分

いきなりで申し訳ないのですが、三角形ＡＢＣでＡＢ＝ＡＣの時
Ｘの角度を求めるという問題なのですが、答えは30と出ているのですが、
とき方が分かりません。よろしくご教授お願いします。

13698．軌跡と領域の問題

名前：りりぃ（高２） 日付：3月3日(水) 22時15分

先日、管理人様から、数学を教えてもらったのですが、
ちょっと忙しくて、パソコンを開く時間がなくて、
礼を言えませんでした＞＜先日は分かりやすい教え方ありがとうございました!!

また数学をやっていてわからない問題があったので、教えて下さい！！
ｙ軸と平行な軸をもつ１つの放物線があり、直線l：ｙ＝ｋｘ+ｋの２乗
+１はｋがどんな値でもこの放物線に接している。
(1)この放物線の方程式を求めよ。
(2)この放物線と直線ｌとの接線の座標をｋで表せ。
(3)ｋがすべての実数値をとるとき、直線ｌの通過する領域を求め、図示せよ。

なんか・・・さっぱりわかりません＞＜
よろしくおねがいします。。。

	13719．Re: 軌跡と領域の問題
	名前：ケロ日付：3月4日(木) 22時29分
	y=kx+k^2+1…(い)。 xを定数、kを変数と見ます。 y=(k+x/2)^2-x^2/4+1。最小値は-x^2/4+1です。今度はxを変数と考えると、 y=-x^2/4+1…(ろ)。 (い)と(ろ)を連立させます。 (x+2k)^2=0となりますから、あきらかに(い)と(ろ)は接しています。 (1)放物線の方程式y=-x^2/4+1。 (2)接点の座標(-2k,-k^2+1)。 (3)直線lの通過する領域y≧-x^2/4+1。となると思います。

	13781．Re: 軌跡と領域の問題
	名前：りりぃ（高２）日付：3月7日(日) 17時18分
	ありがとぅございました！！ちゃんと自分のものになるまで何度も解きたいと思います！！

13691．既約分数

名前：ヤマト（高1） 日付：3月3日(水) 17時15分

a＾2-(b＋c)＾2/(a＋c)＾2-c＾2
を既約分数式にせよ。　この問題が分かりません、教えてください。
簡単な問題ですみません

	13693．Re: 既約分数
	名前：ast 日付：3月3日(水) 19時58分
	あなたが, 本当にその問題を解きたいので教えて欲しいと思うならそして, それが自分にとって簡単で無いのなら, 軽々しく簡単な問題などと言わないことです. # あなたなりの回答者への配慮でしょうけれど, それは無用の配慮です. さて, 普通の分数を既約分数にするとき, どうしたんでしたっけ？約分したんですよね, コレも同じです. 約分するときどうしましたっけ？共通因数で分子分母を割ったんですよね. ぱっと見で分からない共通因数を見つけるのに何をしたら良いのでしたっけ？普通の分数のときは, 共通因数が分からなかったら素因数分解を利用しましたよね？さて, 何をすべきか見えてきましたか？

13690．合同条件

名前：アカギ 日付：3月3日(水) 15時25分

三角形の合同条件について教えてください。
三辺相当、二辺挟角相当、二角挟辺相当。と一般的に３つあげられますが、３つ目に関しては二角一辺相当でよいともいえます。そもそも合同条件とは何でしょうか？図形を書くために考えられたものなのでしょうか？
また、決定条件というのもあるようですが、合同条件とは違うものなのでしょうか？
ぜひ教えてくださいm(__)mお願いします。

	13694．Re: 合同条件
	名前：ast 日付：3月3日(水) 20時4分
	与えられた条件で三角形が描けるかどうか, 描けるならどれだけ描けるかというのが「決定条件」. 与えられた二つの図形が「同じ大きさ・同じ形である」かどうかを判定するのが「合同条件」. # 「同じ形」で「異なる縮尺」であるものは相似であるという.

	13695．Re: 合同条件
	名前：ast 日付：3月3日(水) 20時16分
	＞与えられた条件で三角形が描けるかどうか, 描けるならどれだけ＞描けるかというのが「決定条件」. 嘘だった; 「三角形の形が大きさまで込めて唯一つに定まる条件のこと」ですね. # 言い換えれば, 与えられた条件を持つ三角形が「唯一つに定まる」 # ための "条件の与え方" を「決定条件」という. 適当に検索してみた. こことか, こことか, こことか.

	13696．Re: 合同条件
	名前：健康第一日付：3月3日(水) 20時59分
	△ABC, △DEFについて AB=DE, BC=EF, CA=FD, ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F　...() が成立するとき、△ABCと△DEFは合同である、といいます。ご存知のように、()は十分条件ではありますが必要条件ではありません。三辺合同定理、二辺夾角合同定理、二角夾辺合同定理は、それぞれの条件が、二つの三角形が合同であるための必要十分条件であることを主張しています。

	13697．Re: 合同条件
	名前：アカギ日付：3月3日(水) 21時30分
	ありがとうございますm(__)m で、合同条件と決定条件…同じじゃないですか？考え方というか、見る方向が違うってことですかね？その辺がいまいちわからないのですよ(;_;) 引き続きよろしくお願いします。。

	13701．Re: 合同条件
	名前：健康第一日付：3月4日(木) 5時43分
	決定条件とは、私なりに書けば、三角形の全ての辺と角が唯一つに定まるための条件、ということですから同一の決定条件を満たす二つの三角形は合同ですね。つまり、中身は同じということです。

	13703．Re: 合同条件
	名前：アカギ日付：3月4日(木) 14時42分
	＞＞健康第一さんありがとうございます。中身は同じ…つまり、見方が違うということですよねっ！？見ても違いがわからなかったというか、何かイマイチすっきりしなかったので。これであってるなら、解決です>^_^<

	13704．Re: 合同条件
	名前：ast 日付：3月4日(木) 15時19分
	まあ, 見方の違いと捉えるのは良いことでしょう. 以下は, 適当に流し読みしてください. 要らぬ混乱を抱えたら元も子もありませんから. 確かに, 二つの命題（「決定条件」と「合同条件」）の内容はよく似ています. これは, 二つの命題のうち, 一方を認めればそれを用いて直ちに他方が得られるという構図になっているということです. だからといって, 混同してよいわけでもありません. そもそもの命題の主張は　　辺の長さや角度が与えられて三角形が決まるかどうかを判定する条件はこうだ, というのと　　三角形が二つあたえられて　二つが同じかどうかを判定する条件はこうだ, ということなので, 論理の立脚点からして本当は全然違います. # 私は不勉強なので, 「決定条件」という言葉はこのスレッドで初めて # 知りましたが.

	13706．Re: 合同条件
	名前：アカギ日付：3月4日(木) 18時16分
	>>論理の立脚点からして本当は全然違います. そういうことですよね！わかりました～。合同条件は三辺相当、二辺挟角相当、二角挟辺相当。決定条件は三辺がわかる、二辺とその間の角がわかる、二角とその間の辺がわかる。といったところでしょうか？>^_^< >>astさんわかりやすい説明をありがとうございます！しかし、言葉を知らなかったのにそんなすぐわかる、または調べれるんですか？検索サイトではあまりいい説明は見つからなかったのでここに書いたんですが…(^^ゞ

	13708．Re: 合同条件
	名前：ast 日付：3月4日(木) 19時48分
	＞相当ではなく「相等」（= 互いに等しい）ですね. ＞検索適当に言葉を組み合わせればいろいろ見つかるものです. と言っても, 私が参考にしたサイトは, 既に引用したところぐらいなんですが・・・.

	13722．Re: 合同条件
	名前：アカギ日付：3月4日(木) 23時45分
	>>相等 ……(_)恥ずかしい…何か違和感あったんですが…。三辺相等とか一発変換できなかったので…まぁ…言い訳ですが。。合同条件は扱われるのに、決定条件はあまり扱われないですね。だからわからなくって。。いい勉強になりました。ありがとうございます。最近こういう基本について、中学や高校の教科書を見ながら考えています。数学っておもしろいですね>^_^<ｗ？

13679．0^0について

名前：数好（中1） 日付：3月1日(月) 21時46分

学校の先生によると
０＾０＝１らしいです。
そうしないとある公式（複数）が成り立たなくなってしまうそうです。
自分としては３つほど考えがあり
０＾１＝０
①０／０において上としたが同じ数字だから１である。
②０／０において上が０だから０だ。
③０／０において～／０はありえないからこれはない。
http://www.geocities.jp/t16777216/index.html

	13680．Re: 0^0について
	名前：中川　幸一日付：3月1日(月) 21時50分
	これは定義されていません。強いて言えば解なしですね。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	13681．Re: 0^0について
	名前：あ～く＠高３日付：3月1日(月) 22時39分
	＞中川さんそうなんですかぁ。私は演習書でlim[x→+0]x^x=1を求める問題があったので、つい0⁰=1と定義してもよいのかと思いこんでいました。一応y=x^xのグラフを書けばy\|_x=0での値は１に近づくと分かりますが、それで定義していいわけではないですしね。今回の此の件は大変勉強になりました。

	13682．Re: 0^0について
	名前：中川　幸一日付：3月1日(月) 23時14分
	通常この問題は, y=x^x とおいて, lim[x→0]y では考えられません。 z=x^y とおいて, lim[x→0, y→0]z を考えた方がまだ自然ですが, 0⁰は, 大きさが定まらない数値的な量を表しますので, 0/0 と同じ扱いになります。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	13685．Re: 0^0について
	名前：arc 日付：3月2日(火) 1時58分
	0^0って定義されていないのですか。関数電卓では0^0=1となりますね。中高では「実数nの0乗は1」と定義していました…。指数法則的なものを今一度勉強してみようと思います。

	13686．Re: 0^0について
	名前：ast 日付：3月2日(火) 3時58分
	＞arc さんもしかして, 前スレでご自身が引用なさった pdf の記事の一番最後の脚注を読み漏らしましたか？

	13688．Re: 0^0について
	名前：arc 日付：3月2日(火) 17時10分
	＞astさん読んでおります…。学校で先生が「0^0=1」と定義されているものとして授業を進めていたので、一般にも完全に定義されているのかと思っていた次第でございます。

13672．一般角と弧度法◎

名前：まきょ【高１】 日付：3月1日(月) 16時44分

*:*…**☆はじめまして☆*:*…**

θが第２象限の角のとき、次の角は第何象限の角になりうるか。

①2θ　　　　　②θ/2　　　　　③θ/3

とゆう、数Ⅱの問題なんですけど……
どうやって解けばイイのかまったくわかりません。
テスト週間なのに…汗》
誰か教えてくださいm（_ _）m

答えは
　①第３、または第４象限の角
　②第１、または第３象限の角
　③第１、または第２、または第４象限の角
となります。　

分かる人は解き方を教えてくれるとうれしいです。よろしくおねがいします。

	13673．Re: 一般角と弧度法◎
	名前：M2R 日付：3月1日(月) 17時19分
	こんにちは、はじめまして。M2Rと申します。この問題でθは第2象限の角ですからθのとりうる範囲は 90°<θ<180°、-270°<θ<-180°になりますね。これを利用すると、　①は180°<2θ<360°か-540°<2θ<-360° 　②は45°<θ/2<90°か-135°<θ/2<-90° 　③は30°<θ/3<60°か-90°<θ/3<-60° となります。テスト期間大変ですが頑張ってください！！！

	13674．Re: 一般角と弧度法◎
	名前：まきょ【高１】日付：3月1日(月) 17時49分
	M2Rさん、ありがとうございます！！１番苦手な数学は明日です。がんばります(ё_ё) ①と②はおかげで解けました◎ だけど、③が解けません。。。第１と第４象限にはなるんですけど、どうやっても第２象限にはならないんですよ（>_<）問題文に第２象限って書いてあるからでしょうか？？違いますよね…！？

	13676．Re: 一般角と弧度法◎
	名前：ヨッシー日付：3月1日(月) 18時9分
	0°から 360°までを、1/3 倍すると、0°から 120°までとなり、元の第１から第４象限が、30°きざみに写されます。それを超えるところは、やはり30°ずつ象限が入れ替わるので、結局、元々第２象限だった角（赤）は、１，２，４象限に現れます。ちなみに、角度で言うと、　810°＜θ＜900°　に対して、　270°＜θ/3＜300° となります。 θ/3 を 0°から360°まで、評価しようとすると、元の角は 0°から1080°まで、調べないといけません。　 http://yosshy.sansu.org/

	13677．Re: 一般角と弧度法◎
	名前：ヨッシー日付：3月1日(月) 18時12分
	あ、第２象限が見つからなかったんでしたね。ついでに全部書くと、　90°＜θ＜180°　→　30°＜θ/3＜60°　（第１象限）　450°＜θ＜540°　→　150°＜θ/3＜180°　（第２象限）　810°＜θ＜900°　→　270°＜θ/3＜300°　（第４象限）です。　 http://yosshy.sansu.org/

	13678．Re: 一般角と弧度法◎
	名前：まきょ【高１】日付：3月1日(月) 21時21分
	…そういうことかぁ◎ 　＞30°ずつ象限が入れ替わるので、結局、元々第２象限だった角（赤）は、１，２，４象限に現れます。ってゆうのが図のおかげでわかりました！！第２象限の謎が解けてよかったです。このカラフルな図、すっごくわかりやすいです（>_<）学校の教科書とかもこんなに分かりやすいの使ってくれればいいのに…笑》ヨッシーさん、ありがとうございました☆ また来ちゃうかもです♪(^-^)ノ”

13671．中３の問題

名前：えいぶ 日付：3月1日(月) 16時43分

平行四辺形ABCDで∠ACB=15°,∠DBC=15°でACとADが対称の中心oで交わっているとき∠ACDを求めなさい。
という問題が分かりません。
解法の指示をお願いします。

	13675．Re: 中３の問題
	名前：ヨッシー日付：3月1日(月) 17時53分
	∠ＣＯＥ＝15°となる線ＯＥを引きます（ＥはＢＣ上の点）。すると、ＢＯ，ＯＤ，ＯＥ，ＥＣ，ＥＤは全て等しく、 ∠ＤＥＢ＝90°なので・・・以下略　 http://yosshy.sansu.org/

	13687．Re: 中３の問題
	名前：えいぶ日付：3月2日(火) 16時25分
	分かりました。ありがとうございました。

13662．数学的帰納法

名前：みさき１７歳 日付：3月1日(月) 11時13分

（問題）
ｎは２以上の自然数で、ａ＞０のとき、不等式（１＋ａ）ｎ＞１＋ｎａを証明しなさい。

ｎ＝ｋ＋１のとき
左辺＝(１＋ａ)^ｋ+1
ここから先どのように(ｎ＝ｋのとき(１＋ａ)^ｋ＞１＋ｋaをどのように利用するの?)考えれば良いのでしょうか？
教えて下さい。よろしくお願いします。

	13665．Re: 数学的帰納法
	名前：ヨッシー日付：3月1日(月) 11時44分
	（１＋ａ）^ｎ＞１＋ｎａ　ですね。 (１＋ａ)^ｋ＞１＋ｋa の両辺に（１＋ａ）を掛けてみて下さい。　 http://yosshy.sansu.org/

	13669．Re: 数学的帰納法
	名前：みさき１７歳日付：3月1日(月) 14時44分
	＞(１＋ａ)^ｋ＞１＋ｋa の両辺に（１＋ａ）を掛けてみて下さい。１＋(ｋ＋１)ａ＋ｋａ^2＞１＋(ｋ＋１)ａ＝右辺 ∴左辺＞右辺理解出来ました。ありがとうございました。

13656．同一の数字を使った２乗

名前：ピカケ（大学１年） 日付：3月1日(月) 3時56分

6x6、66x66、666x666、6666x6666、66666ｘ66666の答えにはパターンがあり、66ｘ66の答えが分かると他の乗法の答えはすぐに推測できます。しかし、4の場合はパターンがなく、答えを推測するこはできません。他の数字では3と9の場合も、同じようなパターンが生じます。パターンが生じる場合は数字が3の倍数、答えがマジックスクエアー（すみません、日本語が分かりません）になることまではたどりつきました。どうして、このようなパターンが生じるのかがよく分かりません。一体、どのようなことが起きているのでしょうか？ヒントとして次のものをもらいましたが、依然としてよく分かりません。よろしくお願いします。
6x6 = 4x9 = 4(10-1)
66x66 = 44x99 = 44(100-1)
666x666 = 444x999 = 444(1000-1)
6666x6666 = 4444x9999 = 4444(10000-1)

	13661．Re: 同一の数字を使った２乗
	名前：ヨッシー日付：3月1日(月) 10時44分
	例えば、66x66 = 44x99 において、99 が出来るためには、 9 と 11 が必要です。 11 の方は、数字の並び方から一目瞭然です。 9 はどこから出てくるかというと、66x66 の、左の 66 に掛けられている 3 と、右の 66 に掛けられている 3 とが掛け合わさって出来ています。ですから、約数に 3 を含まない 4 や 5 などでは、99 が生まれないのです。 6x6 あるいは、３桁以上の場合も同様です。　 http://yosshy.sansu.org/

	13663．Re: 同一の数字を使った２乗
	名前：ピカケ（大学１年）日付：3月1日(月) 11時26分
	回答ありがとうございます。すみませんが、ヨッシー先生の回答の前に、ヒントとしてもらった公式もあまりよく理解できていません。なぜ、元の式６ｘ６を４ｘ９４や（１０－１）に変換するのでしょうか？そこのところから、全然分からないのですが、説明してもらえますか？それから、９９ができるためには９と１１が必要というのは理解できますが、１１の方は数字の並び方から一目瞭然とありますが、どの数字の並び方のことを指しているのですか？その数字がどこから出てくるのかという点も説明してください。どうして９９が生まれなければならないのでしょうか？ヒントのような式に変換しなければならない理由は何ですか？このようにパターンを分析して次の式の答えを推測するのは帰納法ですか、それとも演繹法ですか？質問ばかりですみません。

	13664．Re: 同一の数字を使った２乗
	名前：ヨッシー日付：3月1日(月) 11時40分
	最終的には、　xx…xx × (100…00-1)　(x の数と、0 の数はそれぞれ同じ) という形にしたいわけです。そうすると、　xx…xx × (100…00-1) ＝xx…xx00…00 - xx…xx となり、計算が楽になる、というか、よく似た形になるわけです　　6x6　　= 40-4 = 36 　 66x66 　= 4400-44 = 4356 　666x666　= 444000-444 = 443556 6666x6666 = 44440000-4444 = 44435556 66666x66666= 4444400000-44444 = 4444355556 100…00-1 は 99…99 ですから、9 と 11…11 が必要になります。＞11 の方は、数字の並び方から一目瞭然というのは、66x66 の、左の 66 も右の 66 も、11 で割りきれることは、明らかである。　ということです。　 http://yosshy.sansu.org/

	13666．Re: 同一の数字を使った２乗
	名前：ヨッシー日付：3月1日(月) 12時51分
	こういうことです。　 http://yosshy.sansu.org/

	13667．Re: 同一の数字を使った２乗
	名前：ピカケ（大学１年）日付：3月1日(月) 13時45分
	早速の回答、ありがとうございます。２の場合を試しにやってみました。 2x2= 1x4= 1(10-6) 22x22= 11x44 = 11(100-66) どうして３の倍数だけ、そのようなパターンが生じて、その他の数字の場合は異なるのか、まだ分かりません。たとえば、６の場合、数字が増えるのに比例して答えの数字も４と５が増えているのがよく分かりません。特定の数字の場合だけ、どうしてそのようなパターンが生じるのか、そして他の数字の場合は、そのようなパターンが生じないのか、やわりよく分かりません。アドバイスをお願いします。

	13668．Re: 同一の数字を使った２乗
	名前：ヨッシー日付：3月1日(月) 14時39分
	( )の中が、 (10-1) (100-1) (1000-1) (10000-1) (100000-1) だから、 40-4=36 4400-44=4356 444000-444=443556 44440000-4444=44435556 4444400000-44444=4444355556 という、面白いことになるのであって、４での例のように (10-6) (100-56) (1000-556) (10000-5556) では、そういうことになりません。 10 や 100 や 1000 や 10000 や 100000 から引かれる数は 1 でないといけません。そしてそのためには、 9, 99, 999, 9999, 99999 などを生じさせる必要があり、そのためには、３の倍数でないとダメなのです。　 http://yosshy.sansu.org/

	13670．Re: 同一の数字を使った２乗
	名前：ピカケ（大学１年）日付：3月1日(月) 16時31分
	ありがとうございました。何だか、少し分かりかけてきました。どうしてそうなるかというよりも、こういう場合はそうなると考えた方がいいということでしょうか。数学を理解するには、柔軟な考えが必要ですね。

13655．確率の証明

名前：ぽぽぽんが（中３） 日付：3月1日(月) 2時4分

赤球６個白玉５個黒玉４個が入ってる袋のなかから玉を３個取り出すとき赤２個と黒１個がでる確率を求めよという問題を出されました。ぼくはいつも塾でこういうもんだいを習っていたのでいつもの通りに、
<6/15*5/14*4/13*3＝12/91>
と、出しました。しかし、先生がなぜ掛け算で確率出せるのか？という質問を出してきました。先生いわく
<Aが起こりうる場合の数/全体の場合の数>
でしかだせないというのです。この方法だとぜんぜんわからないんで、できたら、いい証明方法を教えてください。お願いします。

	13657．Re: 確率の証明
	名前：ast 日付：3月1日(月) 5時11分
	＞<Aが起こりうる場合の数/全体の場合の数> ＞でしかだせないというのです。これは, 確率の定義みたいなモンですから, このことはいつも思い浮かべないといけません. したがって, ＞先生がなぜ掛け算で確率出せるのか？という質問を出してきました。と訊いてくるのは当然です. これは勝手に成り立つことではなくて, 「(独立試行に関する)確率の積の法則」と言って証明しないといけないことだからです. # 同じ「積の法則」でも, 場合の数に関するものは, 樹形図で説明 # 出来るのでもっと早くに習うはずです. で, ＞できたら、いい証明方法を教えてください。というのは, 「何故掛け算で確率が出せるのか」の証明をしたいということでいいでしょうか？しかし, 掛け算で出せることを, 確率の範疇で話をするとちょっと難しい概念（条件付確率, 独立試行など）を必要としますから, やめておきましょう. # もしかしたら, 高校でやるかもしれないです. 一旦先生の仰った定義に話をうつします. 都合により, m 個から n 個選ぶ方法の数を C[m,n] と書きます. ### つまり, C[m,n] = m!/(n!(m-n)!) = m(m-1)・・・(m-n+1)/m!. 全体の場合の数は 15 個から 3 個選ぶので C[15,3] 通りです. 次に, 求めたい場合の数を考えるんですが, 取り出した 3 個を ○○○ と並べてみます. この三つの○に書き込み色のとり方だと思うと, 「積の法則」で C[6,2]C[4,1] 通りです. 定義から, 求める確率は　　C[6,2]C[4,1]/C[15,3] 　　= {(65)/(21) * (4/1)}/{(151413)/(321)} 　　= (65 4 * 321)/(21 1 * 151413) 　　= 12/91 同じになりましたね.

	13658．Re: 確率の証明
	名前：ast 日付：3月1日(月) 5時24分
	ま, とりあえず難しいからやめとこうだけではなんなのでいくつか, まだ分かりやすうそうなサイトを. http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/5427/mathtrtop.html http://www.geocities.co.jp/Playtown/7190/math/m5.html # すっぱり難しいことを除けば, 事象 A が起きたときに, 事象 B が # 起きにくくなったり起き易くなったりするとしたら, 両方が起きる # 確率は, それぞれが単独で起きる確率そのままの積を計算したの # では求められないよ, と言う話.

	13659．Re: 確率の証明
	名前：ast 日付：3月1日(月) 5時32分
	おっと, 言い忘れました; ＞確率の定義みたいなモンですから「みたいな」と言ってるのは, 起きる確率が同様に確からしい事象（根元事象）がどういうものか, という情報が入っていないから. ### と言っても, 各「場合」の起き易さは同様に確からしいと考える ### のが自然で, 中学・高校では普通そのように「定義」します. ### ### じゃあ, 「みたい」は要らないのじゃないかと, 今, 自分で ### ### 書きながら思いました. ま, いいか. (ん？

	13684．Re: 確率の証明
	名前：ぽぽぽんが（中３）日付：3月2日(火) 0時57分
	astさんどうもありがとうございます。学校で拝見いたしました。先生に伝えてみると連続してやるときだけはこのやりかたでいいという許可が出ました＾＾ホントありがとうございます。また、なにかあったらよろしくです

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