2003年05月 の投稿ログ

7799．大小比較

名前：鯉    日付：5月31日(土) 20時58分

4-√35,3-2√6の大小を比較するのですが、4-√35-(3-2√6)が正か負かで解こうとおもったのですが、この先がよくわかりません。よろしくお願いします。 7800．Re: 大小比較 名前：鯉    日付：5月31日(土) 21時0分 すみません、学年は高1です。 7804．マルチポストはやめましょう。 名前：ｔｋ    日付：6月1日(日) 0時42分 http://hc.iruka.ne.jp/cgi-bin/n1/iruka.cgi?alpha 参考にしてください。 http://www.ippo.ne.jp/netiquette/common/04question/multipost.htm http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html 7805．Re: 大小比較 名前：中川　幸一    日付：6月1日(日) 0時51分 2√6=√24≒5 √35≒6 より, 2√6+1 と √35 を比較すれば後は出来ると思います。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7806．Re: 大小比較 名前：鯉    日付：6月1日(日) 1時2分 すみません、マルチポストのこと知りませんでした。本当にすみませんでした。マナーに気をつけます。 7814．Re: 大小比較 名前：キューダ    日付：6月1日(日) 14時44分 使われている数字から見て、問題作者が想定していた解答は次のような ものではないでしょうか 4-√35 = 6-√35 - 2 = 1/(6+√35)-2 3-2√6 = 5-√24 - 2 = 1/(5+√24)-2 明らかに、6+√35 > 5+√24 なので、4-√35 < 3-2√6 7816．Re: 大小比較 名前：田村　正和    日付：6月1日(日) 17時17分 なるほど、わかりました。 私も考えていましたがやっと納得できました。 いやーここのサイトは本当に勉強になりますな〜

7790．対称式について（高1です）

名前：ラフ・メイカー    日付：5月31日(土) 15時37分

a,b対称式の説明で、a,bどのふたつの文字を入れ替えても同じ式になると書いてあって、さらにa/b+b/aも対称式になると書いてあったんですけど、aとbを交換すると、a/a+b/bになって式が変わってしまうような気がするんですけど、どうなんでしょうか？ 低レベルな質問ですが、よろしくお願いします。 7792．Re: 対称式について（高1です） 名前：ヨッシー    日付：5月31日(土) 15時45分 分子の a と b も入れ替えてくださいね。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7793．Re: 対称式について（高1です） 名前：ラフ・メイカー    日付：5月31日(土) 15時52分 あぁ、aやbのひとつの文字を入れ替えるのでなく、その文字を含む項すべてを交換しなきゃいけないんですか？ それでは、a+2bも対称式になってしまうような気がするんですけど 7795．Re: 対称式について（高1です） 名前：ヨッシー    日付：5月31日(土) 16時35分 a+2b → b+2a なので、別の式ですね。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7796．Re: 対称式について（高1です） 名前：ラフ・メイカー    日付：5月31日(土) 17時11分 わかりました。式に含まれるすべてのaとbを交換するってことですね。 こんな質問にわざわざ答えてくださって、ありがとうございました。

7789．線形代数です★高２

名前：かおり    日付：5月31日(土) 15時2分

Ａが正則、Ｂが正則でないn次正方行列のとき、ＡＢは生則でないことを示せ。という問題が分かりません。背理法を使うみたいなんですけど・・・ あと、Ａがn次正方行列でＡ＾２＝０ならば、A＋Enはせいそくになることを示せ。ていうのも分かりません。 教えてくださいm(__)m 7794．Re: 線形代数です★高２ 名前：たかし＠高３    日付：5月31日(土) 16時28分 前者の質問に関して。 ”�凵iAB)＝��(A)��(B)”が成立するので ＡＢが正則とすると、 �凵iAB)≠０ よって、�凵iAB)＝��(A)��(B)より 　��(A)≠０　かつ、��(B)≠０ これは、Bが正則でないことに矛盾 よって、ＡＢは正則でない。 ってのは、どうでしょうかね。 ＃背理法でなくてもいけそうですが。 7797．Re: 線形代数です★高２ 名前：たかし＠高３    日付：5月31日(土) 17時48分 上記ＲＥＰＬＹした者です。 すみません、n次正方行列の場合も ”�凵iAB)＝��(A)��(B)”を使っていいのかがわかりません。 ２×２行列の場合だけなのかなーー。 どなたか教えてください。 ＃おそらく回答は別の方法がBESTでしょう。 後者の質問に関してのREPLY： A＋Enの「ｎ」の意味がわからないのですが おそらく、「A＋E」のことですよね。（Ｅ：単位行列） A＋Eが正則ということは、逆行列をもつ、 つまり下記式が成り立つ(あ)をみつければよい。 　(E＋A)(あ)=E そこで 　(E＋A)(E-A)=E^2-A^2=E-０=E となる。 よって、E-Aが、A＋Eの逆行列となり、 A＋Eは正則である（証明終）

7786．場合の

名前：呆け人    日付：5月31日(土) 11時27分

２辺の長さが１と２である長方形と１辺の長さが２の正方形の２種類のタイルがある。縦２、横ｎの長方形の部屋をこれらのタイルで過不足なく敷き詰めることを考える。そのような並べ方の総数をＡｎで表す。 ただしｎは正の整数である。例えばA1=1、A2=3である。 n≧３のとき、AnをAn-1,An-2で表せ というもんだいで、最初のタイルの並べ方 「�@長方形のタイル１枚（縦２×横１）�A長方形のタイル２枚(縦１×横２）、�B正方形のタイル１枚」 というのはわかるんですが、部屋の残りの部分にタイルを敷き詰める方法の数は�@の場合An-1通り、�A、�Bの場合An-2通りという部分がなんとなくしかわかりません。 7787．Re: 場合の 名前：ヨッシー    日付：5月31日(土) 11時55分 　 http://yosshy.sansu.org/ 7803．Re: 場合の 名前：中川　幸一    日付：6月1日(日) 0時38分 この問題は過去に東大で出題されています。 '95 前期　理系 3番 を参考にしてみてください。 なおこれを解くための必要知識は 『漸化式, 場合の数, 個数の処理, タイル』 です。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7808．Re: 場合の 名前：呆け人    日付：6月1日(日) 10時5分 ああ、そうか、よくわかりました。 やっぱり図を書いたほうがわかりやすいですね 気をつけます。ヨッシーさん、中川さん、いつもありがとうございます。

7784．微分・積分

名前：たかし＠高３    日付：5月31日(土) 10時16分

(質問1)(cos2θ)^(1/2)の微分は、-sin2θ/((cos2θ)^(1/2)) 　であっていますでしょうか。 (質問2)(1/cos2θ)^(1/2)の積分はどのようにすれば 　とけるのでしょうか。 よろしくお願いします。 7798．Re: 微分・積分 名前：冷やしたぬき（大盛）    日付：5月31日(土) 18時18分 (1) OK. (2) 第１種楕円積分というやつなので、初等関数では表されない。 7802．Re: 微分・積分 名前：たかし＠高３    日付：5月31日(土) 22時14分 ありがとうございます。

7777．(untitled)

名前：優    日付：5月30日(金) 20時53分

ａは実数とする。ｘの二次方程式ｘ2＋２ａｘ＋２ａ2−５＝０について、 （１）２つの解がともに１より小さいとき、ａの値の範囲を求めよ。 （２）１つの解が１より大きく、他の解が１より小さいとき、ａの値の範囲を求めよ。 答えは（１）１＜ａ≦√５ 　　　（２）−２＜ａ＜１ なんですが、解き方が全くわかりません。詳しく教えてください。 お願いします。 7778．Re: (untitled) 名前：ast    日付：5月30日(金) 21時17分 二次方程式の解 というのを 二次関数のグラフと x 軸との交点 と読み替えて解きましょう. で, 与えられた条件を満たすように二次関数のグラフを描いて, 元のグラフが満たさなければならない条件をそのグラフから見つけましょう. 7783．Re: (untitled) 名前：ヨッシー    日付：5月31日(土) 10時11分 こういう問題で、チェックするポイントは、 　判別式 　軸 　境界線での値 の３つです。 私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7848．Re: (untitled) 名前：優    日付：6月2日(月) 19時12分 詳しく説明していただき、ありがとうございました。

7771．楕円の面積

名前：たかし＠高３    日付：5月30日(金) 15時25分

楕円の面積(abパイ)を極形式から求める方法がわからないのですが。 どなたか教えてください。 極形式であらわすと r^2=((ab)^2)/((asinθ)^2(bcosθ)^2)より Ｓ＝(1/2)∫[0 to 2パイ]r^2dθ 　＝(1/2)∫[0 to 2パイ]((ab)^2)/((asinθ)^2(bcosθ)^2)dθ ここからどのようにして導けばよいのでしょうか。 よろしくお願いします。 7775．Re: 楕円の面積 名前：ころっさす    日付：5月30日(金) 20時3分 高等学校の範囲ではやや工夫が必要でしょう． tan(p)=a/b，tan(q)=b/a，0＜p,q＜π/2 とし，変数変換 t=tan(θ) により ∫_{0}^{π/2} 1/((a*sin(θ))^2+(b*cos(θ))^2) dθ ＝∫_{0}^{π/4} 1/((a*sin(θ))^2+(b*cos(θ))^2) dθ ＋∫_{0}^{π/4} 1/((b*sin(θ))^2+(a*cos(θ))^2) dθ ＝∫_{0}^{1} 1/((a*t)^2+b^2) dt + ∫_{0}^{1} 1/((b*t)^2+a^2) dt ＝1/(a*b)*( p + q ) ＝π/(2*a*b)． 7782．Re: 楕円の面積 名前：たかし＠高３    日付：5月31日(土) 10時7分 ころっさすさん、ありがとう。

7768．群論についてなんですが・・・

名前：大学３回    日付：5月30日(金) 12時22分

SL(n,R)={B∈Mn(R)||B|=1}は、GL(n,R)={B∈Mn(R)||B|≠0}の正規部分群であることが分かりません｡教えていただけないでしょうか？？ 7769．Re: 群論についてなんですが・・・ 名前：しんちー    日付：5月30日(金) 13時7分 |AB|=|A|・|B| であることが利用できると思います。 7801．Re: 群論についてなんですが・・・ 名前：大学３回    日付：5月31日(土) 21時34分 すいません、もう少し教えてください｡ 正規部分群もよく分かっていないんです。 7807．Re: 群論についてなんですが・・・ 名前：ast    日付：6月1日(日) 8時20分 ＞正規部分群もよく分かっていないんです。 ではまず定義を正確に書けるようになりましょう. ということで, SL が GL の正規部分群であるということを言う為には 何が言えないといけないか, 考えて書いてみてください. 7818．Re: 群論についてなんですが・・・ 名前：大学３回    日付：6月1日(日) 18時40分 SLがGLの正規部分群であること、 任意のGLの元XについてX*SL＝SL*Xが成り立つこと この２つが示せたらいいんでしょうか？？ 7823．Re: 群論についてなんですが・・・ 名前：ast    日付：6月1日(日) 19時37分 ＞SLがGLの正規部分群であること、 ＞任意のGLの元XについてX*SL＝SL*Xが成り立つこと ＞この２つが示せたらいいんでしょうか？？ 一行目は「正規部分群である」ですよね？ もしそうならば, それでよいです. SL が GL の部分群であり, 部分群として正規であること をいえばよいわけです. あと, 二行目を示す前に, それを元の間の関係に書き直しましょう. 　x ∈ GL, a ∈ SL ならば xa = a'x となる a' ∈ SL がとれる こうしておくと, 更に変形して, 　x ∈ GL, a ∈ SL ならば xax^(-1) ∈ SL とかけてしまうわけで, しんちーさんのレスがとても参考になりますね. 行列が GL, SL に入る条件が行列式の値で与えられていることを考えれば それを計算することができる形にしようともがくしかありませんね. ということで, 判ったところまでまとめてみてください.

7751．球殻の重心位置

名前：Mil    日付：5月29日(木) 18時20分

半球をなす球殻の重心位置と密度ρの物質のつまった半球の重心位置を求めよ また円錐の重心の高さはどこか。 密度のある方は分かったのですが、球殻の重心位置の求め方がわかりません。 体積が不明なのでわかりませんでした。体積を用いずに出来るのでしょうか？ 7766．Re: 球殻の重心位置 名前：repunit    日付：5月30日(金) 10時23分 ＞　球殻 厚さは0としていいのでは？

7749．指数関数

名前：大学生    日付：5月29日(木) 15時29分

ｙ＝log[b]xの微分係数を求めてください。 また、log(abc)=loga+logb+logc 　　　log(a/bc)=loga-logb-logcを導出せよ。 最初のほうは答えあわせがしたいので答えだけ書いてくだされば結構です。 あとの二つは本当にわかりません。あたりまえの式なのにどうやって導出するのでしょうか？ 7750．Re: 指数関数 名前：しんちー    日付：5月29日(木) 15時32分 答え合わせがしたいなら、そちらの答えを書いてみてはいかがでしょう。 後半なんですが、対数関数が指数関数の逆関数であるという定義だと思うので、指数法則 ea+b=eaeb などを示せれば良いかと思います。

7742．相談です。

名前：中川　幸一    日付：5月28日(水) 23時27分

以下の文章は私の掲示板に書き込まれた内容です。 この書き込みに対してのみんなの意見を聞かせてください。 なお, この書き込みと同様の内容を色々な掲示板に書き込んでいます。 いわゆる マルチ ですがお許しください。 69．ここに解答欲しさで来るものの定義 返信 引用 名前：無銘の刀 日付：5月28日(水) 4時6分 １）悩んでも分からない ２）もともと考えようとせず解答だけ欲しくくる しかし！どっちも本質的には変わらない！ ∵数学の実力をつけるためには何時間であろうと何日であろうと何ヶ月であろうと妥協せずに考え抜いて自分の実力で解くということが必要でありここに解答を聞きに来るとはすなわちこの重要な過程を抜いてしまっている。 さらにここで解答が分かったことにより実力がついたのように錯覚する現象がよくおきる。こうなったらもうだめである。自力で解くということを考えなくなってしまう前に来ているからである。 このような掲示板に頼ってばかりでは力はつかない！そして妥協しているだけである。ようするに負け犬となったことを認めているのである。 数学は妥協＝負けの世界なのである。 妥協せずに耐えて耐えて耐え抜いたもののみがその後の光を見ることができるのである。 数学は本当に好きならば他人に頼らず自分の力のみで実力をつけていく必要がある。学校の授業など放棄すればいい。学校の授業ほど低レベルなものはない。今の日本の学校教育の現状に満足してはならない。なぜならば政府、文部科学省自身が何が学力低下の原因なのか気づいていないから！ようするに日本の教育とは所詮こんなもんなのである。 本当に実力をつけている精鋭たちは自分の実力ですべてを行おうとする。そしてこのようなくだらない掲示板に頼って解答を出そうと思わない。彼らはこのようなものに頼ること自体が妥協するということの始まりであることを知っているから。 このような状態でいいのだろうか？妥協ばかりしていていいのだろうか？負け犬になりっぱなしでいいのか？このような掲示板に頼ってばかりで真の実力がつくのか？ eatky76-p236.hi-ho.ne.jp (211.14.49.237) Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1) http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7744．Re: 相談です。 名前：ast    日付：5月28日(水) 23時53分 中川さんは、一体、何を期待しているのかな？ 7745．Re: 相談です。 名前：中川　幸一    日付：5月29日(木) 0時14分 私は今, 数学の掲示板はどのように運営していけば良いのかということを悩んでいます。 ですので, 皆さんがこの 無銘の刀 さん の意見を読んでどのように感じるかが知りたいのです。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7747．Re: 相談です。 名前：ヨッシー    日付：5月29日(木) 0時40分 私は高校のときなど、わからなければ、すぐ解答を見て、その代わり、 次からは必ず解く、というタイプでしたね。 何日も何ヶ月も費やすのは、パフォーマンス的に言って、賢明な方法とは 思えません。（少なくとも中高の数学では） 　 http://yosshy.sansu.org/ 7748．Re: 相談です。 名前：中川　幸一    日付：5月29日(木) 0時50分 私も受験数学という点では長時間考え抜くことは賢明な方法だとは思いません。 すぐさま答えを書くのもいけないと思いますが, ヒントを与えながら質問者自身から解答を導くという方針でこれからも頑張っていこうと思います。 ヨッシー 様 本当に有り難うございました。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

7740．細かいことですが

名前：IF    日付：5月28日(水) 23時3分

このホームページのミニ講座の複素数のところで、 実数 ａ、ｂ および、虚数単位 ｉ に対し 　ｚ＝ａ＋ｂｉ で表される数を複素数といいます。　 ａ を実部、ｂｉ を虚部といいますが、実部をｘ軸、虚部を ｙ軸に取り座標平面上で複素数を表したものを複素平面といいます。 と書いてありますが、虚部とは、ｂｉではなくてｂなのではないでしょうか。 7741．Re: 細かいことですが 名前：ヨッシー    日付：5月28日(水) 23時25分 その通りです。 ご指摘ありがとうございます。 　 http://yosshy.sansu.org/

7730．(untitled)

名前：もえこ    日付：5月28日(水) 20時23分

曲面z=1-x^2-y^2のxy平面の上にある部分の面積を求めよ。 高専の問題です。基礎から学べばたやすいのかもしれませんが、急いでおります。どなたかお力を貸してください。（高校数学までは分かります。） 7731．Re: (untitled) 名前：ast    日付：5月28日(水) 20時29分 「xy平面の上」 = 「平面 z=0」 7732．Re: (untitled) 名前：もえこ    日付：5月28日(水) 20時33分 z=0として計算すればよいのでしょうか・・・？ 7733．Re: (untitled) 名前：ast    日付：5月28日(水) 21時2分 ＞z=0として計算すればよいのでしょうか・・・？ まったくその通りですよ. 何を不審がられているのかまったく判りませんが・・・, 「x-y 平面上にある部分」=「x-y 平面との交わり」=「平面 z=0 との交わり」 なわけで. 逆に質問させてもらえるならば, 曲面と曲面の交わり(要するに交線)の 「面積」なんてないと思うのですが如何でしょうか？ 恐らくは, 曲面の「囲む」空間領域の話だろうと思って回答しましたが. 7735．Re: (untitled) 名前：冷やしたぬき（大盛）    日付：5月28日(水) 21時51分 z≧0 の部分の面積、だったりして。

7725．極形式

名前：たかし＠高３    日付：5月28日(水) 15時44分

極形式 ｒ＝ｃｏｓθー√(3)ｓｉｎθ で、θが０〜２パイで 面積（積分(1/2∫r^2dθ)を求めると、 ２パイとなるのですが、あってますでしょうか。 #直交形式であらわすと、半径１の円の方程式になり #面積がパイとなるのですが。 よろしくお願いします。 7728．Re: 極形式 名前：nabeX    日付：5月28日(水) 19時28分 計算間違いはしてませんよ。 それに直交座標に直せばたしかに半径1の円になります。 問題はθを0〜πまで動かすだけで円が完成して π〜2πでもう一周しているという事です。 当然動径が掃く領域の面積も円の2倍になるというわけです。 7738．Re: 極形式 名前：たかし＠高３    日付：5月28日(水) 22時23分 nabeXさん、ありがとう！

7721．複素数平面

名前：怜@高�U    日付：5月27日(火) 23時14分

★複素数平面上で原点をOとして1の表す点をAとする。この平面上の点 P1(z(1)),P2(z(2)),P3(z(3)),,,,,がつぎの条件(1)(2)(3)を満たす時、|zn|の最大値を考える。 (1)z1=(i/3) (2)0°<argz(n+1)<argz(n)<360°(n>=1) (3)APnの中点をMnとする時、n>=1に対して、△OPnP(n+1)∽△OMnAが成立する。 ================================================================= ここで、Mnの表す複素数をm(n)と対応させる。 やはり規則性があるのだろうと、m(1),m(2),m(3)とz(1),z(2),z(3),z(4)の値を求め、 |OM1|=|OP1|であり、M1は角度30°の点。M2は60°の点又、 M1,M2,P3は絶対値が異なるが角度は同じまでは分かったのですが、 その後また何の規則性もなくなり、わからなくなってしまいました。 図を書いたところ、P4で最大になると思うのですが、うまくできません。 よろしくおねがいします。 7722．Re: 複素数平面 名前：ころっさす    日付：5月28日(水) 0時47分 (2)，(3) ⇒ z(n+1)/z(n)=2/(z(n)+1) for all n ゆえ z(n) を n の式で表わし，x=1/2^{n-1} とおけば良いでしょう． 7734．Re: 複素数平面 名前：怜@高�U    日付：5月28日(水) 21時47分 >> z(n+1)/z(n)=2/(z(n)+1) for all n 返信ありがとうございます。でも、ごめんなさい。 「for all n」の意味がよく分からないです。 今改めてやっているところですが。なかなかです。 7737．Re: 複素数平面 名前：ヨッシー    日付：5月28日(水) 22時21分 for all n は、任意の n において、という意味です。 Mn を表す複素数をm(n)、Ａを表す複素数を a とおくと、 　z(n+1)/z(n) = a/m(n) が成り立ちます。これは、 　ＯＰn+1とＯＰn の辺の比と、偏角の差(要するに挟む角)は、 　ＯＭnとＯＡの辺の比、挟む角がそれぞれ等しい（つまり相似） ということを、一つの式に表したものです。 　a=1、　m(n)＝(z(n)+1)/2　（ＭnはＡＰnの中点なので） より、 　z(n+1)/z(n) = 2/(z(n)+1) と書けます。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7743．Re: 複素数平面 名前：ころっさす    日付：5月28日(水) 23時50分 ヨッシーさん，フォローありがとうございます． 7746．Re: 複素数平面 名前：ヨッシー    日付：5月29日(木) 0時29分 あ、助詞がちょっと変ですね。 つまり、辺の比が等しいことと、角度が等しいことの両方を 表していると言うことが、言いたいわけです。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7759．Re: 複素数平面 名前：怜@高�U    日付：5月29日(木) 23時16分 みなさん。返信ありがとうございます。 1.2.・・・・と順に代入していって関係式を導くのだろうとかかっていたら、（2）「（3）」からで、十分n一般に関しての式が立てられたことにビックリしてしまいました。 というかよく考えたら、ここではそう一気にするのが普通みたいですね。 z(n) を nの式で表すと、 （-2）*｛1-√3・2^n*i｝/｛1+3・4^n｝（←√は3のみとなり、） （Zn+1＝（2Zn）/（Zn＋1）より逆数考えて） 絶対値を考えると、最大の時は、n=0?1?となりました。 なんだかあやしいし、 ころっさすさんの >>x=1/2^{n-1} とおけば良いでしょう． を使ってないのが気になります。 どこでおかしくなったのでしょうか? 7773．Re: 複素数平面 名前：ころっさす    日付：5月30日(金) 19時16分 ヨッシーさんが御出座しにならない様ですので，私から ＞（-2）*｛1-√3・2^n*i｝/｛1+3・4^n｝（←√は3のみとなり、） で n=1 としても i/3 になりませんね． ご参照ください． z(n+1)/z(n)=2/(z(n)+1) for all n ⇔ 1/z(n+1)=(1/2)*(1/z(n)+1) for all n ⇔ 1/z(n+1)-1=(1/2)*(1/z(n)-1) for all n

7714．■…

名前：澪    日付：5月27日(火) 17時27分

簡単な問題かもしれません…すいません。二乗で表せない、たとえば６平方センチメートルの正方形の一辺ってどうやって求める方法がありますか？？ルート使えば終わりなんですがそうじゃなく〜〜 7717．Re: ■… 名前：ヨッシー    日付：5月27日(火) 17時35分 ０という数字が定義されていないものとして、６＋４ の答えをどうやって書きますか？ という問題に似ていますね。 たとえば、作図して求めるとか？ 平方根の近似値を求めたいなら、私のページの「覚え書きコーナー」に「平方根の筆算」がありますが．．． 　 http://yosshy.sansu.org/ 7718．おもしろラセン 名前：田中    日付：5月27日(火) 21時2分 はいはい、でも結局はルート６の作図ではないでしょうか。いきなりルート６を作るより、次の方が楽でしょう。直角をはさむ２と１の長さを持つ辺の直角三角形を作ります。この斜辺は、ルート５です。その斜辺の片方の端から垂直に１の辺を立てます。また直角三角形を作るのです。この三角形の斜辺は、ルート６です。・・・これを繰り返すと、ルート７、８、９、・・・と順々に作られていくのです。私は図が描けませんが、ヨッシーさんが描いてくれるかも。どんどん描いていくと、美しいらせんになります。 7719．Re: ■… 名前：ヨッシー    日付：5月27日(火) 22時19分 こんなのです＞＞らせん また、下図のように、√3 を作図して、直角二等辺三角形を利用して、 その√2倍の√6を作る方法など、いっぱいあります。 　 http://yosshy.sansu.org/

7712．ｎ次導関数とテイラー展開

名前：大学生    日付：5月27日(火) 16時25分

ｙ＝ｘ＾２・e＾（−ｘ）のｎ次導関数を求め、ｘ＝０でのテイラー展開を求めてください。 7715．Re: ｎ次導関数とテイラー展開 名前：ヨッシー    日付：5月27日(火) 17時29分 ｎ次導関数がわかれば、あとはそれにｘ＝０を代入して、公式に当てはめればいいので、 ｎ次導関数について書きます。 ｙのｋ次導関数が、 　ｙ(k)＝ａkｅ-x＋ｂkｘｅ-x＋ｃkｘ2ｅ-x と書けたとして、さらにもう１回微分すると、 　ａk+1＝ｂk−ａk、ｂk+1＝２ｃk−ｂk、ｃk+1＝−ｃk という、漸化式が得られます。 ｃ0＝１ より、ｃn＝（−１）n ｂk+1＝２（−１）k−ｂk　より　ｂn＝２ｎ（−１）n+1 ａk+1＝２ｋ（−１）k+1−ａk より、ａn＝ｎ(ｎ−１)（−１）n を得ます。 最終的には、ｘ＝０ を代入するので、ａn だけがテーラー展開に現れます。 下の方に、マクローリン展開に関する記事もありますので、参考にして下さい。 　　 http://yosshy.sansu.org/

7707．軌跡・複素数

名前：IF    日付：5月26日(月) 23時26分

ｘ＾３−３ｘｙ＾２≧３ｘ＾２ｙ−ｙ＾３かつｘ＋ｙ＝１を満たす 　点（ｘ、ｙ）の存在範囲を求めよ。 という問題なのですが、解答を見ると、 　Ｚ＝ｘ＋ｙi　（i:虚数単位） と置くと、 　Ｚ＾３＝ｘ＾３＋３ｘ＾２ｙi−３ｘｙ＾２−ｙ＾３i 　　　　＝ｘ＾３−３ｘｙ＾２＋（３ｘ＾２ｙ−ｙ＾３）i より、問題の不等式は 　Ｒe(z^3)≧Im(z^3)　（Re(z),Im(z)はＺの実部、虚部） となり、 　−３π／４＋２nπ≦argＺ＾３≦π／４＋２nπ ⇔−３π／１２＋２nπ／３≦argＺ≦π／１２＋２nπ／３ これと、ｘ＋ｙ＝１が共有点を持つような偏角を求めて解いています。 もともとの不等式と方程式は実数のｘｙ平面状の点なのに、複素数平面を使って解いてもいいのですか。 7708．Re: 軌跡・複素数 名前：ast    日付：5月27日(火) 0時1分 もともと, 複素数平面自体が, x-y平面によって複素数を表現したものですから, 言い換え自体に何の問題もありません.

7705．これって何の分類の数学か

名前：田中    日付：5月26日(月) 21時57分

基本的な問題。目の前のノートに２等辺三角形が書かれています。等しい２辺のうち「右側」を指しなさい。と言われたときその指定方法を文章で記すことはできるでしょうか。図に指を向けて「これ！」とやってはいけません。頂点にＡＢＣをふってもかまいませんが、「時計回り」とかの言葉は使うことはできません。

7699．方程式

名前：鯉    日付：5月26日(月) 20時32分

x^2−x−1=0の解をα<βとする。α^5+α^4+−3α^3+4α^2+5α−3の値を求めよ。 α^2−α−1で与式を割って、与式=(α^2−α−1)(α^2+2α+6)+11α+3=0・(α^2+2α＋6)+11α+3より11α+3を求めたのですが、α^2−α−1は0なのに割ってもいいのですか？　　　　学年は高1です 7706．Re: 方程式 名前：IF    日付：5月26日(月) 22時35分 　そういえばそうですね。今までなんとなくそのやり方で解いてきましたが、なぜなのかと聞かれるとよくわかりません。とりあえず、なぜ ０で割ってはいけないのかということを説明します。 そもそも、ある数字ＸをＹで割って商Ｑをもとめるということは、 　　Ｘ＝ＱＹ を満たすＱを求めるということです。 ここで、Ｙ＝０と置くと、 　　Ｘ＝Ｑ・０ となり、Ｘが０でないときは、これを満たすＱが存在しないので、Ｘを０で割ることはできないとしています。このことを不能といいます。 また、Ｘ＝０のときは、一応式が成り立つので、割ることはできます。しかし、上の式はＱにかかわらず常に成り立つので、Ｑは一定の値に定まりません。このことを不定といいます。 　この質問の場合は、 　　　Ｘ＝Ｑ・Ｙ＋Ｒ となるように変形することなので、たとえＹが０であったとしても、 ＲがＸに等しければ、式が成り立つので割ることができるのだと思います。 　 7709．Re: 方程式 名前：ast    日付：5月27日(火) 0時4分 ＞α^2−α−1は0なのに割ってもいいのですか？ 0 で割ったわけではなく, 　　x^5+x^4+−3x^3+4x^2+5x−3 = (x^2−x−1)(x^2+2x+6)+11x+3 という『恒等式』に α^2−α−1 = 0 を代入しただけです. 7710．Re: 方程式 名前：ast    日付：5月27日(火) 0時15分 ＞『恒等式』に α^2−α−1 = 0 を代入しただけです というよりは, 『恒等式』の α^2−α−1 = 0 を満たす x = α での値をくらべただけ. と言った方が適切かもしれませんね. 7713．Re: 方程式 名前：鯉    日付：5月27日(火) 16時31分 とてもわかりやすい解説ありがとうございました。恒等式はまだ知らなかったので教科書で調べてみました。IFさん、0で割るのは禁止というのは知ってるだけだったので、理由を教えていたただきとてもためになりました。

7693．微分について

名前：凡人    日付：5月26日(月) 17時55分

f(x)=x^n　という関数で、これを微分すると f'(x)=nx^n-1　となることを証明できません。 誰かお力を貸してください。 7694．Re: 微分について 名前：ヨッシー    日付：5月26日(月) 18時11分 導関数の公式に従って、 limh→0{(x+h)n−xn}/h を計算するわけですが、その際に、二項定理 　(a+b)n＝an+nan-1b+・・・+bn 　　＝Σk=0〜nnＣkａn-kｂk を使います。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7697．Re: 微分について 名前：nabeX    日付：5月26日(月) 19時18分 n=kのときまでを仮定して数学的帰納法を用いる事もできます。 その際、積の微分法を用います。　xk+1=x*xkとします。 ところでnは自然数なのですよね? 7698．Re: 微分について 名前：凡人    日付：5月26日(月) 19時36分 ありがとうございます。 nは自然数です。 二項定理も考えたんですが途中でわからなくなってしまいました。 すみませんが、あと一歩詳しくお願いします。 7701．Re: 微分について 名前：田村　正和    日付：5月26日(月) 21時7分 ｎ→実数に拡張しました。 ｙ＝ｘ＾ｎとおくと logｎ＝logｘ＾ｎ ｄ（logｎ）/ｄｘ＝ｄ（ｎlogｘ）/ｄｘ ｄｙ/ｄｘ・ｄlogｙ/ｄｙ＝ｎ・ｄ（logｘ）/ｄｘ＝ｎ・１/ｘ ∴ｙ´・１/ｙ＝ｎ・１/ｘ 　ｙ´＝ｎ・１/ｘ・ｙ 　　　＝ｎ・ｘ＾（−１）・ｘ＾ｎ 　　　＝ｎ・ｘ＾（ｎ−１） 7702．Re: 微分について 名前：ヨッシー    日付：5月26日(月) 21時15分 二項定理のつづき 式がイメージしやすいように、Σを使わずに（その代わり・・・は使って）書くと、 　{(x+h)n−xn}/h 　　＝{xn+nxn-1h+n(n-1)xn-2h2/2+・・・nxhn-1+hn - xn}/h 　　＝{nxn-1h+n(n-1)xn-2h2/2+・・・nxhn-1+hn}/h 　　＝{nxn-1+n(n-1)xn-2h/2+・・・nxhn-2+hn-1} ここで h→0 とすると、第１項以外はすべて h が掛けられているので ０ となり、 第１項だけの nxn-1 となります。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7711．Re: 微分について 名前：T兄弟    日付：5月27日(火) 5時21分 ニ項定理を使わず、 (an-bn)/(a-b) =an-1+an-2b+an-3b2+…+a2bn-3+abn-2+bn-1 を使って、 {(x+h)n-xn}/{(x+h)-x} =(x+h)n-1+(x+h)n-2x+(x+h)n-3x2+…+(x+h)2xn-3+(x+h)xn-2+xn-1 とするのはどうでしょう？

7690．こんな事解らなくて、はずかしい・・・

名前：チャコ（高１）    日付：5月26日(月) 15時22分

（問題） ｘ＞０,ｙ＞０,ｘｙ＝４ のとき、ｘ＋２ｙの最小値を求めなさい。 ｘｙ＝４からｙ＝４／ｘ ｘ＋２ｙ＝Ｘ＋８／Ｘ≧２√Ｘ×８／Ｘ＝４√２ 等号が成り立つときの条件はｘ＝８／ｘすなわちｘ^2＝８つまりｘ＝２√２のとき よって最小値４√２(Ｘ＝２√２、ｙ＝√２) 相加、相乗平均を使って解けばすんなり最小値は解けますが、『等号が成り立つときの条件はｘ＝８／ｘすなわちｘ^2＝８つまりｘ＝２√２のとき』←等号が成り立つときの条件はｘ＝８／ｘはどのように求めたんでしょうか？教えて下さい。よろしくお願いします。 7691．Re: こんな事解らなくて、はずかしい・・・ 名前：ヨッシー    日付：5月26日(月) 16時43分 等号条件とペアで、相加相乗平均の性質です。 「ｘ＞０，ｙ＞０のとき 　（ｘ＋ｙ）／２≧√ｘｙ 　ただし、等号はｘ＝ｙのとき成り立つ」 示すには、 　（ｘ＋ｙ）／２≧√ｘｙ←→ｘ＋ｙ≧２√ｘｙ ｘ＞０，ｙ＞０ のとき 　←→（ｘ＋ｙ）2≧４ｘｙ 　←→（ｘ−ｙ）2≧０ で、たしかに（ｘ＋ｙ）／２≧√ｘｙ　は真であり、 等号はｘ−ｙ＝０　のときに成立。 　 　 http://yosshy.sansu.org/ 7692．Re: こんな事解らなくて、はずかしい・・・ 名前：ヨッシー    日付：5月26日(月) 17時23分 この単元が、「相加相乗」の練習目的なら、「相加相乗」を使うのが良いですが、 もし、それが思いつかなかったら、次のようにしても解けます。 ｘ＋２ｙ＝２ｋ とおいて、（ｋとおかないのは、分数を嫌っての理由だけです） ｘ＝２ｋ−２ｙ ｘｙ＝２（ｋ−ｙ）ｙ＝４　より、 ｙ2−ｋｙ＋２＝０ これが、ｙ＞０に解を持つようにｋを決めます。 ｙ＞０が言えれば、ｘｙ＝４より、ｘ＞０も保証されます。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7726．Re: こんな事解らなくて、はずかしい・・・ 名前：チャコ（高１）    日付：5月28日(水) 16時7分 相乗・相加平均の利用しての不等式の証明（等号成立条件）理解できました。 ありがとうございます。 すみません、もう一問教えて下さい。 （問題） ａ＋ｂ＝１のときａ^2＋ｂ^2≧１／２を証明しなさい。 ａ＋ｂ＝１の両辺を2乗して(ａ＋ｂ)^2＝１ ａ^2＋ｂ^2−(ａ＋ｂ)^2／２ ２ａ^2＋２ｂ^2／２−ａ^2＋２ａｂ＋ｂ^2／２ ａ^2−２ａｂ＋ｂ^2／２ (ａ−ｂ)^2／２≧０ よって ａ^2＋ｂ^2≧１／２は証明された。 ココまで出来ましたが、等号成立条件はどのように求めれば良いんでしょうか？等号成立条件はａ＝ｂのときですよね？う〜ん解りません。よろしくお願いします。２次関数の最小値で求める要領でも解けますが･･･よろしくお願いします。

7684．一辺の長さがaの正八角形を求めよ

名前：matu    日付：5月26日(月) 1時51分

という内容なんですが、どうやればいいのか・・。 是非教えてください。 7685．Re: 一辺の長さがaの正八角形を求めよ 名前：ast    日付：5月26日(月) 1時56分 #タイトル欄は、本文の出だしを書く場所ではありません. で, 「正八角形を求めよ」では, 何をしていいかわかりません. 作図するのですか？ 面積を求めるのですか？ それとも方程式に書けということでしょうか？ 7686．Re: 一辺の長さがaの正八角形を求めよ 名前：matu    日付：5月26日(月) 2時7分 すみません。面積を求めるのです。 それも、方程式にですね。面積の答えがわからなくて。 説明不足でした。 7687．Re: 一辺の長さがaの正八角形を求めよ 名前：ヨッシー    日付：5月26日(月) 6時2分 正方形から、直角二等辺三角形４つを引きます。 答えは、2(√2+1)a2 　 http://yosshy.sansu.org/ 7961．Re: 一辺の長さがaの正八角形を求めよ 名前：matu    日付：6月10日(火) 3時56分 すみません、返事遅れました。 今日、見ましたが「なるほど」と思い、自分で計算してみました。 本当にありがとうございます。

7680．(untitled)

名前：身の程知らずの高３    日付：5月25日(日) 22時12分

正整数nに対し、 (1/1) nC1 - (1/2) nC2 + (1/3) nC3 -...+ (-1)n-1 (1/n) nCn = 1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/n を示せ、という問題なんですが、母関数が思いつきません... 7681．Re: (untitled) 名前：中川　幸一    日付：5月25日(日) 22時43分 Σ[k=0 to n]_{(-1)k∫[-1＜x＜0]_nCk dx}=∫[-1＜x＜0]_(1+x)n dx をしめしてみましょう。 これから導けます。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

7679．指数・対数

名前：まりも(高2)    日付：5月25日(日) 21時49分

a>0 , a≠1 とする。不等式 loga2 + loga(x+10) < 2loga(2-x) を満たすxの値の範囲を求めるという問題です。 aは底です。 考え方はあってると思うのですが、答えとあわないので教えてください。 お願いします。 7683．Re: 指数・対数 名前：IF    日付：5月25日(日) 23時30分 loga２ + loga(ｘ＋１０) < ２loga(２−ｘ)（a>0 , a≠1）･･･�@　 真数条件よりｘ＋１０＞０かつ２−ｘ＞０ すなわち　　−１０＜ｘ＜２･･･�A このとき�@を変形すると、 loga２（ｘ＋１０)＜loga(２−ｘ）＾２ １．　０＜a＜１のとき 　　　２（ｘ＋１０)＞(２−ｘ）＾２･･･�B ２．１＜aのとき 　　　２（ｘ＋１０)＜(２−ｘ）＾２･･･�C あとは�A，�B，�Cの共通部分を求めればよい。

7675．(untitled)

名前：chutaro    日付：5月25日(日) 17時28分

(中一）この問題の解き方を教えてください。あと答えも教えてください　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�@-2.8+4-（1.3-2.1）　　　　　　　 7676．Re: (untitled) 名前：Bob    日付：5月25日(日) 18時44分 �@-2.8+4-（1.3-2.1）　 まず四則計算の順序はかっこがあればそこからやること 　ないときは掛け算・割り算が先で、足し算・引き算はあとでやる。 　これだけは知っておこう。 ではいきますよ。まずかっこの中を計算 −2．8＋4−（−0.8） あとは足し算・引き算だけなので左から順番に （＋1．2）−（−0.8）＝＋１．２＋０．８＝２ 正負の数の計算は大丈夫でしょうか？　　　　　　 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

7673．教えて下さい。

名前：中３    日付：5月25日(日) 15時33分

因数分解せよ。 �@ｘ８＋ｘ４＋１ �A４ｘ４＋ｙ４ �Bｘ４＋６４ という問題です。 よろしくお願いします！ 7674．Re: 教えて下さい。 名前：Bob    日付：5月25日(日) 16時8分 ｘ＾８＋ｘ＾４＋１＝（ｘ＾４＋１）＾２−ｘ＾４ 　　　　　　　＝（ｘ＾４＋１）＾２ー（ｘ＾２）＾２ 　　　　　　　＝（ｘ＾４＋１＋ｘ＾２）（ｘ＾４＋１−ｘ＾２） 　　　　　　　＝｛（ｘ＾２＋１）＾２−ｘ＾２｝（ｘ＾４＋１−ｘ＾２） 　　　　　＝（ｘ＾２＋ｘ＋１）（ｘ＾２−ｘ＋１）（ｘ＾４−ｘ＾２＋１） ４ｘ＾４＋ｙ＾４＝（２ｘ＾２＋ｙ＾２）＾２−４ｘ＾２ｙ＾２ 　　　　　　　　＝（２ｘ＾２＋ｙ＾２）＾２−（２ｘｙ）＾２ 　　　　　　＝（２ｘ＾２＋２ｘｙ＋ｙ＾２）（２ｘ＾２−２ｘｙ＋ｙ＾２） ｘ＾４＋６４＝（ｘ＾２＋８）＾２−１６ｘ＾２ 　　　　　　＝（ｘ＾２＋８）＾２−（４ｘ）＾２ 　　　　　　＝（ｘ＾２＋４ｘ＋８）（ｘ＾２−４ｘ＋８） では？ http://homepage3.nifty.com/sumida-3/ 7704．Re: 教えて下さい。 名前：中３    日付：5月26日(月) 21時26分 助かりました！ ありがとうございました！！！

7671．(untitled)

名前：馬鹿ですみません    日付：5月25日(日) 14時0分

なぜ、lim【n→0】sin(nθ）/ｎ＝1なんですか？ 7672．Re: (untitled) 名前：ast    日付：5月25日(日) 14時34分 ならないでしょう。 7688．Re: (untitled) 名前：ヨッシー    日付：5月26日(月) 10時57分 正しくは、 　limθ→0(sinθ)/θ＝１ ですね。 　f(x)＝sinｘ は、マクローリン展開 　f(x)＝f(0)＋f'(0)ｘ＋f"(0)ｘ2/２！＋・・・・＋f(n)(0)ｘn/ｎ！＋・・・ によると、 　f(x)＝ｘ−ｘ3/3!＋ｘ5/5!−・・・ となり、ｘ→0 のとき 　f(x)/ｘ＝１−ｘ2/3!＋ｘ4/5!−・・・ → １ となります。 マクローリン展開は、例えば、 　f(x)＝a0＋a1ｘ＋a2ｘ2＋a3ｘ3＋・・・・ とおいてみて、次々に微分し、 　f(0),f'(0) などを計算し、a0,a1,・・・を順々に決めていけば得られます。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7695．Re: (untitled) 名前：ast    日付：5月26日(月) 18時18分 マクローリン展開をつかうのはトートロジー・・・； 7729．Re: (untitled) 名前：YASUSHI    日付：5月28日(水) 19時55分 そうだ、それでした。。でも、もっと初等的なやり方で解く方法は無いのでしょうか？？？

7665．tanΘの微分

名前：う〜ん    日付：5月25日(日) 12時14分

tanΘの微分は公式にもなっているのですがその求め方がわかりません。 sinΘ/cosΘに直して商の微分公式を使うやり方はわかるのですが、 極限を使っての証明がいまいちわかりません。わかるかたお願いします。 7666．Re: tanΘの微分 名前：田村　正和    日付：5月25日(日) 12時49分 はじめに言っておきますがこれは商の微分を使わない方法です。 tanθ＝sinθ/cosθより tan´θ＝lim（ｈ→０）１/ｈ・[｛sin（θ＋ｈ）/cos（θ＋ｈ）｝−（sinθ/cosθ）] 　　　＝lim（ｈ→０）１/ｈ・｛sin（θ＋ｈ）cosθ−cos（θ＋ｈ）sinθ｝/｛cos（θ＋ｈ）cosθ｝ 　　　＝lim（ｈ→０）１/ｈ・sin（θ＋ｈ−θ）/｛cos（θ＋ｈ）cosθ｝ 　　　＝lim（ｈ→０）sinｈ/ｈ・１/｛cos（θ＋ｈ）cosθ｝ 　　　＝１/cos＾２θ 7669．Re: tanΘの微分 名前：花パジャ    日付：5月25日(日) 13時15分 tan'(θ)=lim(h→0)[{tan(θ+h)-tan(θ)}/h] 　=lim(h→0)[{(tan(θ)+tan(h))/(1-tan(θ)tan(h))-tan(θ)}/h] 　=lim(h→0)[{(tan(θ)+tan(h)-tan(θ)+tan2(θ)tan(h))/(1-tan(θ)tan(h))}/h] 　=lim(h→0)[{(1+tan2(θ))*tan(h)/(1-tan(θ)tan(h))}/h] 　=1/cos2(θ)*lim(h→0)[{tan(h)/(1-tan(θ)tan(h))}/h] 　=1/cos2(θ)*lim(h→0)[1/{h/tan(h)-h*tan(θ)}] 　=1/cos2(θ)*1/{1-0} 　=1/cos2(θ) 7670．Re: tanΘの微分 名前：う〜ん    日付：5月25日(日) 13時22分 ありがとうございました。

7659．質問です。

名前：田村　正和    日付：5月25日(日) 3時58分

いま確率論の宿題やってます。大学１年です。ちなみに徹夜してます。 日本シリーズでは先に４勝したほうがタイトルを獲得する。今年の対戦Ａ，Ｂについて潜在能力はＡチームのほうが強く各カードＡのＡの勝つ確率が０．６といわれている。このときｋ回戦（ｋ＝４，５，６，７）でシリーズが終わる確率を求めよ。また平均何試合するか。という問いなんですが私は野球をよく知らないのでっていうかそういう問題じゃないですがよくわかりません。どなたか教えてください。 なんか入試が終わってからいきなり確率の問題解くのがしんどくなりました。 7660．Re: 質問です。 名前：田村　正和    日付：5月25日(日) 4時0分 すいません。誤植です。各カードＡの勝つ確率が０．６でした。 7662．Re: 質問です。 名前：。。    日付：5月25日(日) 6時29分 場合分けをします。 １）Ｋ＝４の確率　（０，６）＾４＋（０，４）＾４ ２）Ｋ＝５の確率　４Ｃ１×（０，６）＾３×（０，４）×（０，６） 　　　　　　　　　＋４Ｃ１×（０，４）＾３×（０，６）×（０，４） ３）Ｋ＝６の確率　５Ｃ２×（０，６）＾３×（０，４）＾２×（０，６） 　　　　　　　　　＋５Ｃ２×（０，４）＾３×（０，６）＾２×（０，４） ４）Ｋ＝７の確率　６Ｃ３×（０，６）＾３×（０，４）＾３×（０，６） 　　　　　　　　　＋６Ｃ３×（０，４）＾３×（０，６）＾３×（０，４） で、平均の試合数は、 ４×（１）の解）＋５×（２の解）＋６×（３の解）＋７×（４の解） です。 一般に確率ｐ、確率ｑのものが、n回のうち、それぞれｒ回、ｎ−ｒ回起こる 確率はｎCｒ×（ｐ）＾ｒ×（ｑ）＾ｎ−ｒです。 7663．Re: 質問です。 名前：田村　正和    日付：5月25日(日) 7時59分 ありがとうございます。 最初見たときｋ＝５なのに４Ｃ１なのはなんでだろうと迷いましたがわかりました。

7657．空間図形のメネラウスの定理の利用について

名前：怜@高�V    日付：5月24日(土) 23時13分

★四面体ABCDにおいて、AB,BC,CDを1:2の比に内分する点をそれぞれ L,M,Nとし、ADをp:1-pの比に内分する点をPとする。 線分LNと線分MPが交わる様なpの値は?ただし、0<p<1とする。 ============================================================== ベクトルを用いて、LNと線分MPが交わる⇔平面LMP上に点N⇔ LN↑=xLM↑+yLP↑なる実数(x.y)が存在するとして考えて、 p=(1/9)となりました。 この問題、図形的にメネラウスの定理を用いて解けると聞きました。 チェバとメネラウス。今まで、公式としては知ってましたが、実際に使った事はなく、今回こそは!!と思いましたが、やっぱり図形的に考える ことはうまくいきません。 図形的な解法はどのようになりますか? よろしくお願いいたします。 7668．Re: 空間図形のメネラウスの定理の利用について 名前：ころっさす    日付：5月25日(日) 12時52分 ＞ 図形的な解法はどのようになりますか? 3直線 ML，CA，NP を考えてみましょう． ただし，図による方法はお勧め出来兼ねます．例えば， ＞ LNと線分MPが交わる⇔平面LMP上に点N の左向きも一般には成立しないことはお判りのはずです． 7678．Re: 空間図形のメネラウスの定理の利用について 名前：怜@高�U    日付：5月25日(日) 21時41分 うーん。図形的な解法はやっぱりイマイチなのかなあ。 何回か間違ってやっと答えでましたが、考え直してみるとまたつっかかりますし。 やっぱりベクトルは大変だけれど確実みたいです。 ありがとうございました。

7653．正四面体と正三角錐

名前：マリオ    日付：5月24日(土) 19時28分

正四面体と正三角錐の相違点を教えて下さい 7654．Re: 正四面体と正三角錐 名前：arc    日付：5月24日(土) 21時14分 正三角錐は、正三角形ＡＢＣに於いて、 「ＡＢＣの中心を通り面ＡＢＣに垂直な線上にある点Ｄ」と「ＡＢＣそれぞれ」を結んだ図形。 このとき、線分ＡＢ（線分ＢＣ、ＣＡ）と線分ＡＤ（線分ＢＤ、ＣＤ）が等しければ正四面体となる。 と言えるので、相違点は、この場合のＡＤが、 正四面体は正三角形の一辺と等しい。 正三角錐は正三角形の一辺と異なる。 ということかと。

7650．よろしくお願いします。

名前：チャコ（高１）    日付：5月24日(土) 14時25分

不等式の証明の問題でで相加平均と相乗平均の関係を利用して解く問題がありますが、相加・相乗の関係の事がいまいち解らない事もありますが、問題見ても、この問題は相加・相乗の関係を利用して解くんだなと頭に浮かびません。 もしよろしければ、アドバイス、利用方法を教えて下さい。よろしくお願いします。 7656．Re: よろしくお願いします。 名前：IF    日付：5月24日(土) 23時11分 「こういう問題は相加･相乗平均を使って解くのだ！」というような定石はないと思いますが、相加相乗平均の関係が使えそうな問題は次のようなものです。 　１．問題の不等式にｘ、1／xのような形が現れている場合 　２．問題の不等式にｘ、ｙ、√（ｘｙ）のような形が現れている場合 ただし、文字は正の数。 （１の例） 　　（ｘ＋４／x）（ｙ＋１／ｙ）の最小値を求めよ （２の例） 　　√x＋√y≦ｋ√（ｘ＋ｙ）を満たすkの範囲を求めよ。 これらは不等式の問題でよく見かける問題です。 ついでに、２は相加相乗平均の関係以外に、シュワルツの不等式や ベクトルの内積、ｙ＝√xの凸性など、いろいろな解法があります。 興味があったら調べてみるのもいいでしょう。 7658．Re: よろしくお願いします。 名前：新１年生    日付：5月24日(土) 23時40分 割り込んですみません。IFさん、 上記の（２の例）の解法（ｋの範囲）がわかりません。 教えていただけないでしょうか。 7661．Re: よろしくお願いします。 名前：つぬ    日付：5月25日(日) 6時14分 はじめましてです。塾講師をしています。 テストで簡単に使える見分け方としては、 与えられた数式の各項が正であること。 和の不等式になっていること。 でしょうか。必ずしもその形になっていない問題もありますが、 高１なら多分それだけで十分かと。。。 後は、問題集の典型問題を解いて覚えましょう。理解も必要ですが、 パターンの記憶も点取りには大事ですから。学校で使っている問題集 で十分ですので。 数学を楽しんで理解することと、試験で点を取って頂くことは、 別物のような気がしています。 すごい残念なことなのですが、教師をされている方、そう思われませんか。 それと、最近、説明の日本語が分からない生徒が増えたような。。 7664．Re: よろしくお願いします。 名前：チャコ    日付：5月25日(日) 11時13分 頑張って勉強します。ありがとうございました。 7682．新１年生さんへ 名前：IF    日付：5月25日(日) 23時18分 （２）　√x＋√y≦ｋ√（ｘ＋ｙ）･･･�@ まず、�@の両辺を√（ｘ＋ｙ）　（≧０）　　で割ると、 　　　（√x＋√y）／√（x＋y）≦ｋ･･･�@´ 左辺は正なので、ｋ≧０。 �@´の両辺を２乗すると、 　　{ｘ＋ｙ＋２√（ｘｙ）｝／（ｘ＋ｙ）≦ｋ＾２ 　　　 １＋｛２√（ｘｙ）／（ｘ＋ｙ）｝≦ｋ＾２･･･�A ｘ≧０、ｙ≧０なので、相加相乗平均の関係より、 　　　ｘ＋ｙ≧２√（ｘｙ）　　　 ゆえに 　　　１≧２√（ｘｙ）／（ｘ＋ｙ）（等号はｘ＝ｙのとき成り立つ） よって�Aの左辺の最大値は、ｘ＝ｙのとき２。 �Aが常に成り立つので、 　　　　２≦ｋ＾２ ｋ≧０なので、求めるｋの値の範囲は 　　　　√２≦ｋ （別解） シュワルツの不等式 　（ｐｎ＋ｑｍ）＾２≦（ｐ＾２＋ｑ＾２）（ｎ＾２＋ｍ＾２） にｐ＝１、ｑ＝１、ｎ＝√ｘ、ｍ＝√ｙを代入すると、 　（√ｘ＋√ｙ）＾２≦２（ｘ＋ｙ） 両辺の√をとっても大小関係は変わらないので 　　　　√x＋√y≦√｛２（ｘ＋ｙ）｝ として、ｋの最小値を求めてもよい

7648．つねに共有点が存在する条件

名前：翼    日付：5月24日(土) 9時20分

点（２，０）を通り傾きがｍの直線がある。点Ｑ（０，ｔ）がｙ軸上の２点（０，−２）と（０，２）を結ぶ線分上を動くとき、Ｑを中心とする半径√６の円がこの直線とつねに共有点をもつようなｍの値の範囲を求めよ。 高1です。 7649．Re: つねに共有点が存在する条件 名前：たかし    日付：5月24日(土) 10時56分 図をかいてみましょう。 定点A(2.0)と通る傾きｍの直線をLとしましょう。 どんな点Ｑに対しても、Ｑを中心とする円と直線Ｌが交点をもつ ということですので。 　(1)ｙ軸上の点（０，２）を中心とする円と、直線Lが接するとき 　　接線は２本あるけど、円の下に接する接線 　　のときの傾きｍが、最大で 　(2)ｙ軸上の点（０，−２）を中心とする円と、直線Lが接するとき 　　接線は２本あるけど、円の上に接する接線 　　のときの傾きｍが、最小 となるのでは。 7677．Re: つねに共有点が存在する条件 名前：ころっさす    日付：5月25日(日) 20時34分 m∈その範囲 ⇔ -2≦t≦2 なる任意の t について，点 (0,t) と直線 y=m*(x-2) との距離≦√(6) ⇔ -2≦t≦2 なる任意の t について，|t+2*m|/√(1+m^2)≦√(6) ⇔ 区間 -2≦t≦2 ⊆ 区間 -2*m-√(6*(1+m^2))≦t≦-2*m+√(6*(1+m^2)) ⇔ -2*m-√(6*(1+m^2))≦-2 かつ 2≦-2*m+√(6*(1+m^2)) ⇔ |m|≦2-√(3) または 2+√(3)≦|m|

7644．(untitled)

名前：たけ    日付：5月23日(金) 23時3分

でわ、２点(１，−３)、(−２、４)を通る直線は答えが二個あるんですか？すいません、なんか、一方的で 7645．Re: (untitled) 名前：たけ    日付：5月23日(金) 23時4分 すいません、もう一つ立てちゃいました 7646．Re: (untitled) 名前：ast    日付：5月24日(土) 6時49分 直線は一つ. 辿る『向き』が逆なだけ. #ベクトルってのは, 「大きさ」と「向き」を持つわけで. 7651．Re: (untitled) 名前：たけ    日付：5月24日(土) 15時22分 て、ことは答えが２個あるんですか？ 7689．Re: (untitled) 名前：ヨッシー    日付：5月26日(月) 13時5分 ｐ＝(１−ｔ)ａ＋ｔｂ ｐ＝ｔａ＋（１−ｔ）ｂ だけでなく、ｔを２ｔに換えた ｐ＝(１−２ｔ)ａ＋２ｔｂ ｔを３ｔ−４に換えた ｐ＝(５−３ｔ)ａ＋（３ｔ−４）ｂ なども、すべて同じ直線を表します。 直線は１つですが、表し方は、２つどころかいっぱいあります。 そのうちの、もっとも簡略に表されるのが、 ｐ＝(１−ｔ)ａ＋ｔｂ または、 ｐ＝ｔａ＋（１−ｔ）ｂ ということです。 ｐ＝(１−ｔ)ａ＋ｔｂ　は、 ｐ＝ａ＋ｔ(ｂ−ａ) 　　＝ａ＋ｔＡＢ なので、ｐは、ＡからＡＢの方向に、ＡＢの長さのｔ倍進んだ点、 ｐ＝ｔａ＋（１−ｔ）ｂ　は、 ｐ＝ｂ＋ｔＢＡ なので、ｐは、ＢからＢＡの方向に、ＢＡの長さのｔ倍進んだ点、 という意味です。 http://yosshy.sansu.org/

7642．ベクトル方程式

名前：たけ    日付：5月23日(金) 22時4分

A,Bを定点、Pを直線上の任意の点、ｔをパラメータとし、ベクトルOA＝ベクトルａ、ベクトルOB＝ベクトルb,ベクトルOP＝ベクトルpとする時、　　　　　 Ａ，Ｂを通る直線、ベクトルｐ＝(１−ｔ)ベクトルａ＋ｔベクトルｂとは、 ｔベクトルａ＋(１−ｔ)ベクトルｂと一緒なのですか？ 展開してみると、一緒のようになるのですが、教えてください ｐｓ、算数・数学の小部屋にも書きました 7643．Re: ベクトル方程式 名前：田村　正和    日付：5月23日(金) 22時53分 その二つのｔは同じ数ではないですよ。 一般にｐ（ベクトル）＝ｍa（ベクトル）＋ｎｂ（ベクトル）　（ただしｍ＋ｎ＝１）とあらわせます。 のでベクトルｐ＝(１−ｔ)ベクトルａ＋ｔベクトルｂとも ｔ´ベクトルａ＋(１−ｔ´)ベクトルｂともあらわせるということです。

7640．(untitled)

名前：あき    日付：5月23日(金) 21時15分

ある一定量の荷物をＡ、Ｂ、Ｃの三人がトラックに積んでいる。ＡとＢで作業を行うと１５分、ＢとＣで作業を行うと２０分、ＣとＡで作業を行うと１２分かかる。Ａ、Ｂ、Ｃの三人が一緒に作業を行うと何分で仕事を終えられるか。 仕事算のやり方はだいたい分かっているつもりです。たとえば、Ａが１分でする仕事の能力を１/aとおいて、ＢもＣも同じようにして１/b,1/cとして全体を１とすればよいと思うのですがどうでしょうか。よろしくお願いします。 1/c 7641．Re: (untitled) 名前：T兄弟    日付：5月23日(金) 21時28分 この場合は、仕事全体の量を15,20,12の公倍数にしてしまうと早いと思います。 Ａ＋Ｂの能力を1/15 Ｂ＋Ｃの能力を1/20 Ｃ＋Ａの能力を1/12 とやって ２（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）の能力=1/15+1/20+1/12 と計算してもはやいですね。 7655．Re: (untitled) 名前：あき    日付：5月24日(土) 21時18分 ありがとうございました。よくわかりました。ちなみに質問の最後に1/cと書いていたけど特に意味はありません。単なる間違いです。なんか寝ぼけていたみたい……。

7636．定数係数２階線形微分方程式

名前：もえこ（高３）    日付：5月23日(金) 12時7分

大学の内容だそうですが、分からないのでお願いします。初歩の２階線形微分方程式は分かるのですが、cosなどが絡んでくると分かりません。 定数係数２階線形微分方程式 y"-y'-2y=20cos2x の初期条件 y(0)=2,y'(0)=-4 を満たす解 y=y(x)を求めよ。 7637．Re: 定数係数２階線形微分方程式 名前：花パジャ    日付：5月23日(金) 17時3分 　y"-y'-2y=20cos2x で、まず 　y=Acos2x+Bsin2x と置いてみる(A,B定数) sin2x,cos2xの係数を比較してA=-3,B=-1 次に 　y=-3cos2x-sin2x+z(x) と置いてみる 　z"-z'-2z=0 これを解く

7634．xの(1/x)乗の極限

名前：あごら    日付：5月23日(金) 9時1分

x→∞のときxの(1/x)乗の極限が１であることは どのようにして示せばよいのでしょうか。 よろしくお願いします。 7638．Re: xの(1/x)乗の極限 名前：しんちー    日付：5月23日(金) 17時16分 対数をとってみてはどうでしょう。 (その後も一筋縄では行かないと思いますが。) 7647．Re: xの(1/x)乗の極限 名前：高橋　道広    日付：5月24日(土) 8時57分 対数をとってロピタルの定理を使用するとすぐです。 ロピタルを習ってないときは F(x)=logxとおいて F'(1)=lim(x→0)(F(x)-F(1))/(ｘ−1)を使って logx/x=(F(x)-F(1))/(ｘ−1))×(x-1)/x という変形から極限がF'(1)であることがわかります。 http://micci.sansu.org

7625．行列

名前：まこと    日付：5月22日(木) 18時47分

Ａをp次正則行列、Ｂをq次正則行列、Ｃをp×q行列とする。 （Ａ　Ｃ）＾-1＝（Ａ＾-1　-Ａ＾-1ＣＢ＾-1） （Ｏ　Ｂ）　　　（　Ｏ　　　　　Ｂ＾-1　　） みずらいかもしれませんが、両辺ともに二行二列で、 左辺は行列全体に＾-1しています。よろしくお願いします。 7626．Re: 行列 名前：まこと    日付：5月22日(木) 18時48分 すいません肝心な問題を載せるを忘れてしまいました。 上の式が成り立つことをしめせです。 7628．Re: 行列 名前：ヨッシー    日付：5月22日(木) 19時7分 行列の掛け算は、各ブロックごとに成り立つので、 Ａ，Ｂ，Ｃをあたかも１つの文字のように扱って、 左から、および右から （Ａ　Ｏ） （Ｏ　Ｂ） を掛けて、 （Ｅ　Ｏ） （Ｏ　Ｅ） になることを言えばいいでしょう。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7639．まちがい 名前：ヨッシー    日付：5月23日(金) 17時41分 （Ａ　Ｃ） （Ｏ　Ｂ） を左右からかける でした。 　 http://yosshy.sansu.org/

7622．質問です。

名前：田村　正和    日付：5月22日(木) 17時18分

（ｄ＾２ｙ/ｄｔ＾２）＋ω＾２ｙ＝０　の解を求めてください。 できるだけ途中式を書いてください。お願いします。 7627．Re: 質問です。 名前：花パジャ    日付：5月22日(木) 18時59分 ばね、ですか 例えば... 以下 　d/dt='　d^2/dt^2=" とかく y=x(t)exp(iωt)とおくと 　y'=(x'+iωx)exp(iωt) 　y"=(x"+2iωx'-ω^2x)exp(iωt)=(x"+2iωx')exp(iωt)-ω^2y なので 　x"+2iωx'=0 　x"/x'=-2iω 　ln(x')=-2iωt+C(定数) 　x'=2iωAexp(-2iωt)　(exp(Const)=2iωAとおく) 　x=Aexp(-2iωt)+B(定数) 以上より 　y=Aexp(-iωt)+Bexp(iωt) 7629．Re: 質問です。 名前：花パジャ    日付：5月22日(木) 19時18分 例えば　y=exp(x(t))　とおいて解く事もできます...Let's try 7630．Re: 質問です。 名前：田村　正和    日付：5月22日(木) 20時37分 すいません。exp（ｘ）＝e＾ｘというのは知ってるんですが うちまだ大学１年なので複素関数論は習ってないんです。 すいません。学年を書いておくべきでした。 一応exp（iθ）＝cosθ＋isinθというのは知ってるんですが あと答えなんですが私のテキストにはＡ，Ｂを定数として ｙ＝Ａsinωｔ＋Ｂcosωｔとあらわすことができると書いてあるのでそれが答えなのかな〜と思っていたのですが途中式がないんです。 どうか高校の範囲の微分積分を使ってといてくれませんでしょうか？ といっても問題自体が微分方程式という大学の範囲になってますが。 ちなみに今までで習った数学の知識は数学３Ｃまでとsin、cosの逆関数の微分それとハイパボリックsin、cosです。 7633．＞ 高校の範囲の微分積分を使って 名前：ころっさす    日付：5月22日(木) 23時13分 ω＝0 のとき，y''＝0 より y は高々一次の多項式関数． ω≠0 のとき，y''+ω^2*y＝0 なる任意の関数 y に対し a(t)＝y(t)*cos(ω*t)-y'(t)*sin(ω*t)/ω and b(t)＝y(t)*sin(ω*t)+y'(t)*cos(ω*t)/ω for all t とおき，a'(t)，b'(t) を計算してみましょう．

7611．書けないので、

名前：ケロ    日付：5月21日(水) 23時26分

下記。 http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/rakugaki.htm 7612．Re: 書けないので、 名前：ケロ    日付：5月21日(水) 23時30分 中間テスト間際に困っています…＞のレスです。すいません。 7632．Re: 助かりました！ 名前：みちこ    日付：5月22日(木) 22時43分 説明の仕方が分かりやすかったです。 またの機会にお邪魔するかもしれませんが、 その時はよろしくお願いします！

7610．中間テスト間際に困っています…

名前：みちこ    日付：5月21日(水) 21時23分

凄い分かりにくい質問かもしれないんですが、自分では解けませんでした・・・ （１） １＋√２分の１　＋　√２＋√３分の１　＋　√３＋２分の１　を計算せよという問題と、 　＿＿＿＿＿＿　　　　＿＿＿＿＿＿ √７＋√４８　　＋　√７−√４８　　を計算せよという問題です。 教科書等見たんですが、いまいち分かりません。途中の説明を具体的に説明よろしくお願いします。私は高３で、試験範囲は節数と２重根号です・・・なかなか分からなくて困っています(´ヘ｀;) 7615．Re: 中間テスト間際に困っています… 名前：中川　幸一    日付：5月21日(水) 23時48分 前半の問題は括弧が使われていなく見づらいので後半の問題だけお答えします。 √(7+√48) + √(7-√48) = (2+√3) + (2-√3) = 4 (√a + √b) =√((√a + √b)2) =√(a + 2√ab +b) =√((a+b) + 2√ab) 以上の逆をたどって２重根号をはずします。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7616．Re: 中間テスト間際に困っています… 名前：nori    日付：5月22日(木) 0時0分 １問目の問題は･･･ (1/(1+√2))+(1/(√2+√3))+(1/(√3+2))で良いのでしょうか？ ２問目の問題は･･･ √(a+b+2√(ab))=(√a)+(√b) √(a+b-2√(ab))=|(√a)-(√b)| の関係を用いて解くと･･･ (与式)＝√(3+4+2*√(3*4))+√(3+4-2*√(3*4)) ＝(√3+√4)+(|√3-√4|) ＝√3+2+√3-2 　　　＝2√3 7617．Re: 中間テスト間際に困っています… 名前：IF    日付：5月22日(木) 0時4分 （１）の問題は 　　１／（１＋√２）＋１／（√２＋√３）＋１／（√３＋２） のことを言っているのでしょうか。 この場合、 　　（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）＝ａ＾２−ｂ＾２ の公式にａ＝√２、ｂ＝１を代入してみると、 　　（√２＋１）（√２−１）＝（√２）＾２−１ 　　　　　　　　　　　　　　＝２−１ 　　　　　　　　　　　　　　＝１ となります。そこで、１／（１＋√２）の分母と分子に（√２−１） をかけて、 　　（分子）＝√２−１ 　　（分母）＝１ なので、 　　　１／（１＋√２）＝√２−１ となり、計算しやすい形になります。残った２つも、 　　（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）＝ａ＾２−ｂ＾２ のａとｂにうまい具合に数字を当てはめて、分母を有利化するといいでしょう。 （２）√（７＋√４８）＋√（７−√４８） については、まず、 　　（ａ＋ｂ）＾２＝ａ＾２＋ｂ＾２＋２ａｂ･･･�@ という公式を思い浮かべて、二十根号の中身がこんな形になるように変形してみます。 　　　７＋√４８＝７＋２√１２ なので、上の式と見比べて、 　　　ａ＾２＋ｂ＾２＝７、ａｂ＝√１２ となります。ここで、ａ、ｂは掛け合わせると√１２、それぞれ２乗して足すと７になっているので、 　　　ａ＝√x、ｂ＝√y　 というふうにおいて考えてみると、ｘ、ｙは足して７、掛けて１２ となる数なので、ｘ＝４、ｙ＝３が見つかります。なので、 　　７＋√４８＝（√４）＾２＋（√３）＾２＋２√（４×３） これは�@にａ＝√４、ｂ＝√３を代入したものなので、 　　７＋√４８＝（√４＋√３）＾２ 　　　　　　　＝（２＋√３）＾２ 全体に√をかぶせると、 　　√（７＋√４８）＝√（２＋√３）＾２ 　　　　　　　　　　＝２＋√３ これで二十根号ははずせましたね。 　　√（７−√４８） のほうも同じように 　　（ａ−ｂ）＾２＝ａ＾２＋ｂ＾２−２ａｂ　　 を使えばいいのですが、ここで、　　 　　　ａ＝√３、ｂ＝√４ を代入して 　√（７−√４８）＝√（√３−√４）＾２ 　　　　　　　　　＝√（√３−２）＾２ 　　　　　　　　　＝√３−２ としてはいけません。なぜなら、√３−２＜０ であるからです。√（x＾２）＝｜ｘ｜　（←絶対値） という公式は習っているはずですから 気をつけてください。　　 　 P．S 実は僕も中間試験中です。しかも今の時刻はもう１２時過ぎ。 試験前日にあまり夜更かししないようにしないと･･･と思いつつ 　 　こうやって夜中までパソコンをいじっています。まあ、これは 人助けだからきっといいんですよね。こんな僕のためにも、 みちこさんは試験をがんばってください。 7618．nori さんへ 名前：中川　幸一    日付：5月22日(木) 0時17分 (|√3-√4|)=2-√3 では？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7631．Re: ありがとうございました！ 名前：みちこ    日付：5月22日(木) 22時42分 皆様のおかげで、分かりました！ 本当に感謝しています・・・・・・★

7609．円の体積教えて！

名前：広君　中1    日付：5月21日(水) 21時22分

直径20ｃｍ高さ1.2ｍの体積の計算おしえけください。 7613．Re: 円の体積教えて！ 名前：中川　幸一    日付：5月21日(水) 23時33分 円は二次元です。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7614．Re: 円の体積教えて！ 名前：nori    日付：5月21日(水) 23時34分 これは円柱の体積ですよね。 「体積＝底面積×高さ」の公式にあてはめると 体積V＝半径×半径×3.14×高さ 　　 ＝10×10×3.14×120 　　 ＝37680cm^3 となります。

7606．教えてください

名前：chutaro    日付：5月21日(水) 18時44分

中一の正負の数で加法、減法の混じった計算で｛　　｝の計算の意味を教えてください　６+{-３+(-8）｝-4 7607．Re: 教えてください 名前：田村　正和    日付：5月21日(水) 19時13分 （）括弧の次に位の高い括弧が中括弧｛｝です。 下の例では−３＋（−８）を計算した後に６を足します。 表記方法は６＋（−３＋（−８））と同じなんですけど 計算方法のアルゴリズムとしては 括弧の中に括弧がある場合その中の括弧の中身を先に計算する。の繰り返しだと思います。 ちなみに｛｝の次に位の高い括弧は[]です。大括弧といいます。 ふう今日は頭が痛い。 アルゴリズムが間違ってたらすいません。訂正お願いします。 7620．Re: 教えてください 名前：chutaro    日付：5月22日(木) 8時6分 答えてもらって嬉いっす。。成るほど〜ありがとうございました。

7602．お願いします！！

名前：剛志（大３）    日付：5月21日(水) 16時5分

レポートの課題で以下の問題がありました。 辺が１cmの単位立方体をきちんと並べて、縦、横、高さがそれぞれ ５cm、４cm、３cmの直方体を作る。この直方体の対角線を引くと、 それは何個の立方体を通過しますか？ 以上です。 ５+４+３−２＝10　という指摘を友人に聞きましたが、上手く文章化できません。 誰か助けてください。 7603．ちなみに 名前：剛志（大３）    日付：5月21日(水) 16時9分 初等算数科教育の授業ですので、対象は小学生です。 7604．Re: お願いします！！ 名前：ヨッシー    日付：5月21日(水) 16時57分 まず、平面で考えましょう。 対角線が、いくつの正方形を通るかという問題です。 これは結局、対角線が、正方形の境界線（図でいうと、ａ，ｂ，ｃ）で いくつに切られるかと言うことです。 図では、３ヶ所で切られますので、対角線は４分割され、通る正方形も４つです。 一般化すると、ｐ×ｑの長方形の場合、境界線は、（ｐ−１）＋（ｑ−１）なので、 分割数は、＋１して、　ｐ＋ｑ−１ です。 ただし、縦横の数が、３×６のように、互いに素でないときは、内部で、 頂点を通るところがあるので、その分減ります。 立体のときも同様の考え方が出来ます。 　　 http://yosshy.sansu.org/

7599．極限

名前：jun    日付：5月20日(火) 23時37分

lim(n→∞)(Σ(1/(2n-1)))/(Σ(1/2n)) う〜んどうやったらいいのやら・・・　お願いします。 7600．Re: 極限 名前：ころっさす    日付：5月21日(水) 12時52分 その分子，分母を a(n)，b(n) とおくと， ∀n∈Ｎ( b(n)＜a(n)＜1+b(n)-1/(2*n) ) and lim_{n→∞} b(n)=+∞ ゆえ lim_{n→∞} a(n)/b(n)=1． 7608．Re: 極限 名前：jun    日付：5月21日(水) 20時25分 なるほど！ありがとうございます。

7593．お願いします。

名前：ひろみ(高２)    日付：5月20日(火) 21時44分

２点Ａ(-5,4)、Ｂ(4,2)に対して、ＡＱ＝ＢＱを満たす直線ｙ＝ｘ上の点Ｑの座標を求めよ。 直線ｙ＝ｘ上というのがどういうことなのか、わかりません。 よろしくお願いします。 7595．Re: お願いします。 名前：田村　正和    日付：5月20日(火) 22時4分 ＡＱ，ＢＱを満たす直線郡は まずＡＢの傾きが−２/９なので 傾きは９/２また点ＡＢの中点を通ることから ｙ−３＝（９/２）（ｘ＋１/２） ∴ｙ＝（９/２）ｘ＋２１/４ ｙ＝ｘとの交点Ｑはｘ＝ｙ＝−３/２∴Ｑ：（−３/２、−３/２） なんか今日は昨日徹夜したせいで気分が悪いです。 7596．問題には関係のないレスですが…。 名前：中川　幸一    日付：5月20日(火) 22時54分 私の場合徹夜した日は逆に High Tension になっています。 鬱になるのとどちらが多いのでしょうか？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7597．関係ないスレありがとうございます。 名前：田村　正和    日付：5月20日(火) 23時25分 ついさっきものすごい吐き気におそわれました。 私は不眠症なので薬を飲んで毎日寝ているのですがバイトをしてみようかと思って思い切って不眠症なのを利用して深夜に勤務できるかどうか今日チェックしてみようと思ったんです。 案の定ハイテンションだったのが一気にブルーへ やはり徹夜はよくないですね。 アルコールを飲んだ後は睡眠薬は飲んではいけないそうです。 だから大人になったときはどうしようかと思っていました。 ああーやはり毎日きちんと睡眠をとるのがよいことなんでしょうね 長くなってすいません。数学とは関係ので削除しても結構です。

7588．本当にお願いします！！

名前：ゆーだい    日付：5月20日(火) 18時12分

友達に質問されたんですがどうも高校生の知識しかない浪人の僕にはわかんないんです、三次方程式なんですが、解の公式を参考書で調べてもいまいちわからないのです、どなたか教えてもらえないでしょうか？ 問題は X（三乗）＋6ｘ＋1＝0の解を求めよです。 どうかよろしくおねがいします。 7589．Re: 本当にお願いします！！ 名前：田村　正和    日付：5月20日(火) 20時46分 いやー今日は化学のレポートみんなで遅くまでやってたので帰るのが８時１５分になっちゃました。 はっきりいってその問題カルダーノの公式を利用せよと言ってるのですね。 公式に当てはめて答えは ｐ＝（（−１＋√３３）/２）＾（１/３） ｑ＝（（−１−√３３）/２）＾（１/３） ω＝１の三乗根とすると ω（ばー）＝ω＾２より ｐ＋ｑ、またはｐω＋ｑω＾２、またはｐω＾２＋ｑωです。 7590．Re: 本当にお願いします！！ 名前：ゆーだい    日付：5月20日(火) 20時54分 カルダーノが三次式の解の公式のようですね★ いちおうみつけてやって、証明問題もやってみたんですがどうも理解できなくって困ってたんです、どうもありがとうございました！！

7585．本当にアホな質問ですみません。

名前：風っ子    日付：5月20日(火) 16時9分

質問１ カッコをはずすと −(−ａ−√−６ａ／ａ） ＝ａ＋√−６ａ／−ａ で良いですよね？分母のａにもマイナス付けますよね？ 質問２ ｙ＋ｚ／ｘ＝ｚ＋ｘ／ｙ＝ｘ＋ｙ／ｚのとき(１＋ｙ／ｘ)(１＋ｚ／ｙ)(１＋ｘ／ｚ)の値を求めなさい。 条件式に＝ｍとおいて分母をはらって計算してｍ＝２，−１を求める。 次に (１＋ｙ／ｘ)(１＋ｚ／ｙ)(１＋ｘ／ｚ) (ｘ＋ｙ／ｘ)(ｙ＋ｚ／ｙ)(ｚ＋ｘ／ｚ) 順番を変えて (ｙ＋ｚ／ｘ)(ｚ＋ｘ／ｙ)(ｘ＋ｙ／ｚ) ｍ・ｍ・ｍ＝ｍ^3 ｍ＝２なら答えは８ ｍ＝−１なら答えは−１ この求め方で良いんでしょうか？ 以上２質問よろしくお願いします。 7587．Re: 本当にアホな質問ですみません。 名前：ヨッシー    日付：5月20日(火) 17時11分 質問１ ダメです。 −（１／２）　を　(−１)/(−２) にしたら、ただの １／２ になります。 カッコをはずしたとき、マイナスを付けるのは、分子だけ、または分母だけです。 質問２　は　良いですね。　◎ 　 http://yosshy.sansu.org/ 7635．Re: 本当にアホな質問ですみません。 名前：風っ子    日付：5月23日(金) 9時49分 ありがとうございました。

7583．集合、置換

名前：IF    日付：5月20日(火) 14時44分

ｎを自然数とする。集合Ω＝｛１，２，･･･，ｎ｝からΩの上への対応ｆ、つまり集合｛ｆ（1），ｆ（2）･･･，ｆ（ｎ）｝がΩに等しいとき、ｆをオメガの置換という。 　ｆを２回続けて行ったとき、ｆ（f（k））＝ｋ（k＝1，2･･･，ｎ） となる置換fの個数をSnとする。 　ｎ≧2のときSn+1をSn、Sn-1、ｎで表せ。 という問題が出たのですが、問題の意味自体がわかりません。 教えてください。 7584．Re: 集合、置換 名前：ヨッシー    日付：5月20日(火) 15時23分 では、まず問題の意味から、 ｛１，２，３｝という集合から同じ｛１，２，３｝への対応を考えます。 (1) １→１、２→３、３→１ (2) １→２、２→３、３→１ (3) １→２、２→１、３→３ などです。(1) は対応先（矢印の右側の数）に、２がありません。 (2)(3) は、矢印の右側に、１，２，３ すべてあります。 (2)(3) は上への対応(置換)です。(1) は上への対応ではありません。 (2) の対応を２回行ってみます。 １は１回目の対応で２に写り、その２はさらに３に写ります。つまり、 　１→２→３ です。同様に、２→３→１、３→１→２　です。結果、 　１→３、２→１、３→２　です。 一方、(3) を２回行うと、 　１→２→１、２→１→２、３→３→３　なので、 　１→１，２→２、３→３ で、２回の対応で、すべての数字が元に戻ってきます。 このような対応は、(3) の他に、 (4) １→３、２→２、３→１ (5) １→１、２→３、３→２ (6) １→１、２→２、３→３ があり、合計４個です。 この個数について、考える問題です。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7605．Re: 集合、置換 名前：IF    日付：5月21日(水) 18時5分 １.ｎ+1が１回の置換fでn+1に移るとき 　２回目のfでｎ+1はｎ+1に移る。残った１〜ｎまでの置換ｆの個数は 　Sｎ個。 ２.ｎ+1が1回の置換fで１に移るとき 　２回目のfで１はｎ+１に移る。よって、１回目のfで１はｎ+１に移り 　２回目で１に戻る。残った２〜ｎまでの置換ｆの個数はSｎ-１個。 　同様にして、ｎ+１が１回の置換で２,３，･･･ｎに移るときもSｎ-１ 　よってこれらの個数はｎSｎ-1個。 １，２より　Sｎ+１＝Sn＋ｎSn-１ こんな感じでよろしいでしょうか。 7621．Re: 集合、置換 名前：我疑う故に存在する我    日付：5月22日(木) 17時14分 S_{n + 1} の中で、 n + 1 を動かさない物が S_{n} 個、n + 1 と i (1 ≦ i ≦ n) を入れ替える物は、残りの数字を全く動かさない物も含まれているから、 n(S_{n - 1} + 1) 個、よって、 S_{n + 1} = S_{n} + nS_{n - 1} + n (n > 1) となる。 7623．Re: 集合、置換 名前：我疑う故に存在する我    日付：5月22日(木) 17時40分 うっかり。 前回で、 S_n は２回合成すると恒等写像になるが、恒等写像でない物の総数です。 だから Sｎ+１＝Sn＋ｎSn-１ で正解です。 7624．参考までに 名前：ころっさす    日付：5月22日(木) 18時5分 ∀∈Ｎ( S_{n}=Σ_{k=0}^{[n/2]} ( binomial(n,2*k) * Π_{j=1}^{k} (2*j-1) ) )

7579．連続

名前：つとむ    日付：5月20日(火) 9時43分

�@Ｆ（Ｘ）＝｜Ｘ｜とする。このとき、Ｆ（Ｘ）はＸ＝０において連続か？またＸ＝０において微分可能か？ �AＦ（Ｘ）＝Ｘsin（1/Ｘ）（Ｘ≠０）　　＝０　（Ｘ＝０）で定義する。このとき、Ｆ（Ｘ）はＸ＝０において連続か？またＸ＝０において微分可能か？ 7591．Re: 連続 名前：あごら    日付：5月20日(火) 21時29分 �@「数学の部屋」でも同じような内容が。 (1)f'= 1 for (x>0) (2)f'=-1 for (x<0) (3)f'=微分不可 for (x=0) 　なぜなら、＋∞から0に近づけたとき、f'= 1 　だが、−∞から0に近づけたとき、f'= -1 　だから。 グラフを書いたらわかるね。 7594．Re: 連続 名前：あごら    日付：5月20日(火) 21時56分 �Aに関しては、 Ｆ（Ｘ）＝Ｘsin（1/Ｘ）において 　-1≦sin（1/Ｘ）≦1この式にｘをかけて なので、-x≦sin（1/Ｘ）≦x　..(a) ※つまり、ｙ＝±ｘを漸近線としてその間を 　波線が描くようなイメージ このとき、ｘ→0とすると、(a)から挟みうちにより ｘ≠０の範囲で 　ｘ→0　sin（1/Ｘ）→０ しかも、x=0のとき、Ｆ(x)=0と条件にあるので、 微分可能といえるのでは。

7571．(untitled)

名前：センチャン    日付：5月20日(火) 0時50分

数�Uの教科書に sin(θ＋90°)＝cosθ やcos(θ＋90°)＝sinθになると書いてあるのですが何故そうなるのかがわかりません、 どなたか教えてください。よろしくお願いします。 7573．Re: (untitled) 名前：中川　幸一    日付：5月20日(火) 1時5分 三角関数の加法定理に当てはめて考えてみましょう。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7574．Re: (untitled) 名前：ast    日付：5月20日(火) 2時19分 加法定理以前に, 単位円を書いて, その中で直角三角形を 90° 回転させれば十分あきらかでしょう. 7575．Re: (untitled) 名前：田村　正和    日付：5月20日(火) 4時49分 cos（θ＋９０）＝−sinθですよ。 私はこう覚えました。 一回微分するとθが９０度多くなる。 一回積分するとθが９０度少なくなる。 sin（−θ）＝−sinθ cos（−θ）＝cosθ これでどんなときもＯＫです。 ちなみにこれは私が考えました。といってもオリジナルじゃないですが。 まあsin、cosしか使えませんが±θ±９０度×ｎ（ｎは整数）のときは使えるので。 7576．Re: (untitled) 名前：中川　幸一    日付：5月20日(火) 6時2分 高２の人にその説明は…。 三角関数の微積分は高３では？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

7567．誰か教えてください

名前：ネコ    日付：5月19日(月) 23時46分

解の公式の証明は何種類あるのでしょうか？ よろしくお願いします 7569．Re: 誰か教えてください 名前：中川　幸一    日付：5月20日(火) 0時16分 質問が抽象過ぎますね。 何の解の公式か具体的にしてください。 あと学年はどのくらいでしょうか？ それによっても種類が限られてきます。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7570．Re: 誰か教えてください 名前：ネコ    日付：5月20日(火) 0時46分 すみません。高2です。 中学の時に習った解の公式です 7572．Re: 誰か教えてください 名前：中川　幸一    日付：5月20日(火) 1時5分 中学のときに習った解の公式？ ２次方程式のことですか？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7578．Re: 誰か教えてください 名前：ヨッシー    日付：5月20日(火) 9時14分 １３−７＝６ を示すのに、何通りの方法がありますか？ というのと同じくらい、答えにくい質問です。 本質的には同じなのに、表現が違うものを２通りと数えるかどうかとか、 これ以外に方法は絶対にないと、どうしてわかるのかとかいうことがあって、 何通りあると言うことは、一概には言えませんし、何通りと結論づけることに 意味があるとは思えません（考えることは重要です）。 私のページの「二次方程式の基礎」にある示し方がわかっていれば、いいでしょう。 　 http://yosshy.sansu.org/

7566．√

名前：ヒデ☆    日付：5月19日(月) 23時32分

√が全体にかかってる分数の場合、 分母にかかっているルートは有利化したほうが良いのか。。。 例） 　　　　　√４/５＝５/√２０ というようにした方が良いのか。。。。 7568．Re: √ 名前：中川　幸一    日付：5月20日(火) 0時15分 √(4/5)=(2√5)/5 では？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7577．Re: √ 名前：ヨッシー    日付：5月20日(火) 9時6分 2/√5 に変形しておくまでは、一般的でしょう。 これを 2√5/5 に有理化するかどうかは、はっきり言ってどうでもいいです。 （問題集の解答では、有理化したものが多いです） ただし、ヒデ☆さんの先生が、有理化していないとバツ、という人のときは、 有理化しておくべきでしょう。（人付き合いとして） 　 http://yosshy.sansu.org/

7564．連続関数

名前：jun    日付：5月19日(月) 21時13分

f(x)はI=[a,b]で連続で狭義単調増加ならばその逆関数は[f(a),f(b)]で連続となることを示せ。 示せといわれても・・・　って感じです。どなたか教えてください。 7581．Re: 連続関数 名前：ころっさす    日付：5月20日(火) 11時4分 ∀y∈[f(a),f(b)] ∃x∈[a,b] ( f(x)=y ) ∵fは連続より中間値定理 ∀s,t∈[a,b] ( f(s)＝f(t)⇒s＝t ) ∵fは狭義増加 ∀s,t∈[a,b] ( f(s)＜f(t)⇒s＜t ) ∵fは狭義増加 つまり，f^{-1} は存在し，狭義増加． ∀y_{0}∈(f(a),f(b)) ∀e＞0 ∃c,d＞0 ( min{f^{-1}(y_{0})-a,b-f^{-1}(y_{0}),e}＞c and min{y_{0}-f(f^{-1}(y_{0})-c),f(f^{-1}(y_{0})+c)-y_{0}}＞d and ∀y∈[f(a),f(b)] ( |y-y_{0}|＜d ⇒ |f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})|＜e ) )． また，y_{0}∈{f(a),f(b)} のときは片側の評価にして f^{-1} は連続． 7598．Re: 連続関数 名前：jun    日付：5月20日(火) 23時30分 後半の部分がよくわかりません。解説していただけますでしょうか。 あと y_{0} ってなんですか？ 7601．Re: 連続関数 名前：ころっさす    日付：5月21日(水) 12時53分 f^{-1} が y_{0} で連続というのは，∀e＞0 ∃d＞0 ∀y∈[f(a),f(b)] ( |y-y_{0}|＜d ⇒ |f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})|＜e ) ……(01) ですから，(01) となる d を見つければよいのですが， min{f^{-1}(y_{0})-a,b-f^{-1}(y_{0}),e}＞c and min{y_{0}-f(f^{-1}(y_{0})-c),f(f^{-1}(y_{0})+c)-y_{0}}＞d のように c，d＞0 を選ぶことができ，そのとき |y-y_{0}|＜d ⇒ f(f^{-1}(y_{0})-c)＜y_{0}-d＜y＜y_{0}+d＜f(f^{-1}(y_{0})+c) ⇒ f^{-1}(y_{0})-c＜f^{-1}(y)＜f^{-1}(y_{0})+c ⇒ |f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})|＜c＜e． ＞ あと y_{0} ってなんですか？ 変数記号ですから，区別が出来れば何でも構いません． 7619．Re: 連続関数 名前：jun    日付：5月22日(木) 0時59分 なるほどぉ ありがとうございます

7556．ベクトル方と軌跡です

名前：T間    日付：5月19日(月) 4時55分

定三角形ＡＢＣがある。実数kに対して、Pが →PA＋2→PB＋3→PC=k→AB を満たしている。 (1)kが実数全体を動くとき、点Pの軌跡を求めよ。 (2)点Pが三角形ABCの内部にあるようなKの値の範囲を求めよ。 7557．Re: ベクトル方と軌跡です 名前：ヨッシー    日付：5月19日(月) 10時49分 Ａを始点として、Ｂ、Ｃ、Ｐの位置ベクトルを ｂ、ｃ、ｐ　とします。 　ＰＡ＋２ＰＢ＋３ＰＣ＝ｋＡＢ より、 　−ｐ＋２(ｂ−ｐ)＋３(ｃ−ｐ)＝ｋｂ 　６ｐ＝(２−ｋ)ｂ＋３ｃ 　ｐ＝(２−ｋ)ｂ／６＋ｃ／２ （２−ｋ）／６は任意の実数を取るので、ＰはＡＣの中点を通り、ｂに平行な直線上を動く。 　 http://yosshy.sansu.org/

7550．質問です。

名前：田村　正和    日付：5月18日(日) 23時47分

物理の質問なんですけど Ｗ＝Ｆ×（Ｆ（ベクトル）の向きへの変化）とするとき 前の運動エネルギー＋Ｗ＝後の運動エネルギーになることを微分を使って示してくれませんか？ ｖ´＾２−ｖ＾２＝２aｘでやる方法は知ってるんですが。 7552．Re: 質問です。 名前：田村　正和    日付：5月18日(日) 23時50分 ちなみに大学１年です。 微分といいましたが微積ということです。 微積は高校３年の範囲までならＯＫです。 7560．Re: 質問です。 名前：花パジャ    日付：5月19日(月) 14時0分 F=m*dv/dt F・v=m*v・dv/dt 　　=(1/2)*m*d(v^2)/dt 両辺を積分(左辺=W,右辺=運動エネルギーの差)

7545．教えてください

名前：まこと(高３）    日付：5月18日(日) 22時20分

先日友人から次の問題を出題されたのですが， どうにもわかりませんでした。 x,y,zは実数とする。 次の条件を満たすxの最小値を求めよ。 ・x+y+z=1 ・x^2+y^2+z^2=1 ・x>=y ・x>=z 教えてください。 よろしくお願いします。 7548．Re: 教えてください 名前：中川　幸一    日付：5月18日(日) 22時55分 幾何的にとらえてみてはいかがでしょうか？ x2+y2+z2=1 は原点を中心とする半径が1の球を示します。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7561．これが普通かな 名前：astro4    日付：5月19日(月) 14時56分 x,y,zを解とするtの３次方程式は(t-x)(t-y)(t-z)=0すなわち t3-(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t-xyz=0　(♪) （ここは解と係数の関係を知っていれば話が早い？） 一方、恒等式(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)と与条件より xy+yz+zx=0, x+y+z=1。 だからxyz=kと置くと、上の方程式(♪)は t3-t2-k=0 であるとわかる。こいつの解が全部実数であるときの最大の解 xの値の範囲を考えればいい。グラフを描いて考えるのが吉。 #ところで、指導要領に忠実な高校生はx+y+z=1が平面であることや、 ３次方程式の解と係数の関係などを知らないんですよね。確か。 7565．Re: 教えてください 名前：IF    日付：5月19日(月) 23時27分 　　　 2(ｙ^2+ｚ^2）≧（ｙ＋ｚ）^2 を示し、ｘ＋ｙ＋ｚ＝１より 　　　（ｘ−１）^2＝（ｙ＋ｚ）^2≦2(ｙ^2+ｚ^2） 　 ３x^2−２ｘ＋１≦２（x^2+y^2+z^2）＝２ よって、 　 ３x^2−２ｘ−１≦０ という不等式を立ててみましたが、これは使えますか。 7580．Re: 教えてください 名前：ころっさす    日付：5月20日(火) 11時3分 定義に従えば x+y+z=1，x^2+y^2+z^2=1，x≧y,z なる実数 y,z が存在 ⇔ y+z=1-x，y*z=x^2-x，x≧y,z なる実数 y,z が存在 ⇔ 2次方程式 f(t):=t^2+(x-1)*t+x^2-x=0 の2解が x 以下 ⇔ f(x)≧0，(1-x)/2≦x，f((1-x)/2)≦0 ⇔ 2/3≦x≦1． ＞ これは使えますか。 それは実数条件ですから，さらに x≧y,z つまり (x-y)*(x-z)≧0，(x-y)+(x-z)≧0 が要りますね． 7582．Re: 教えてください 名前：IF    日付：5月20日(火) 14時18分 わかりました。ありがとうございます。

7536．(untitled)

名前：名前はまだ無い。    日付：5月18日(日) 21時32分

不等式　　|ｘ-２|　＞　３　　の方程式がまだ理解できません。 途中式に、ｘ-２　＜　-３　、　とあるのですが、なぜ不等号の向きが変わってしまうのですか、また、なぜ-３になるのですか？ 高校１年です。 7540．Re: (untitled) 名前：ast    日付：5月18日(日) 21時59分 本当に数直線かいてます？ 7546．Re: (untitled) 名前：田村　正和    日付：5月18日(日) 22時20分 じゃあ数直線を使わないで考えてみましょう。 ｘ＞２のとき（前提条件）ｘ−２＞３∴ｘ＞５ ｘ＝２のとき（前提条件）成り立たない。 ｘ＜２のとき（前提条件）−（ｘ−２）＞３ 両辺を−倍するとき符号は逆転しますのでｘ−２＜−３∴ｘ＜−１ 総合してｘ＜−１またはｘ＞５ まあ数直線を考えたほうが早いですけどいろんな絶対値の問題に対処できるように考慮しました。 ちなみにastさんとastro４さん（占星術師さん）は同一人物でしょうか？ 7558．Re: (untitled) 名前：ヨッシー    日付：5月19日(月) 10時59分 下の方で、たかしさんが書かれているとおりですが、 ｜ｘ−２｜＞３ を式の操作だけでやろうとせずに、まず、日本語で理解しないといけません。 ｜ｘ−２｜＞３　を日本語で言うと、 「ｘ−２　が　３より大きいか、または 　ｘ−２　が　−３より小さい。」 です。 ３より大きい　ということは、４とか５とかということです。これはたぶん良いでしょう。 −３より小さいということは、−４とか−５とかということです。 −４の絶対値は４ですから、３より大きいです。 −５の絶対値は５ですから、やはり３より大きいです。 もちろん整数だけでなく、他の実数についても、 「ｘ−２　が　３より大きいか、または 　ｘ−２　が　−３より小さい。」 であることと、｜ｘ−２｜＞３　であることは、同じことです。 不等号の向きが機械的に変わるわけでなく、３が勝手に−３になるわけでもありません。 まず、式を言葉で理解して、それを、式に置き直した結果が、 　ｘ−２＞３　または　ｘ−２＜−３ です。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7563．Re: (untitled) 名前：タコ    日付：5月19日(月) 15時55分 不等式の絶対値記号のはずし方 ｜ｘ｜＜ａ ⇒−ａ＜ｘ＜ａ　　　　　　 ｜ｘ｜≧ａ ⇒ｘ≦−ａまたはａ≦ｘ |ｘ−２|＞３ ｘ−２＜−３または３＜ｘ−２ ｘ＜−１，５＜ｘ これで良いかと思います。 ＞名前はまだ無いサン 絶対値の問題を考えるときは数直線を使って考えましょう。そうすれば解りやすいと思います。又、絶対値は数字というよりも原点ゼロからの距離という事を頭に入れて考えて下さい。

7531．わかんないです；；

名前：tetu＠大学浪人1年生    日付：5月18日(日) 21時9分

・直径１２ｃｍの円があります ・円の左から右に円の中心を通る直線を引きます ・その線Ａの左端から4ｃｍの所から横に線Ｂを引いて円を左右に分けます ・左右の面積比は？ 自分でも考えてますが、なかなか・・・何か公式あるのでしょうか？ よろしくお願いします 7534．Re: わかんないです；； 名前：たかし    日付：5月18日(日) 21時24分 座標軸上において、 原点０を中心とした半径の６の円が 直線ｘ＝−２で分割されたときの面積比でしょうか。 であれば、積分という手があるのでは。 7535．Re: わかんないです；； 名前：tetu＠大学浪人1年生    日付：5月18日(日) 21時28分 積分で面積出そうとしたんですけど・・・1/3=cosΘのΘ=何かがわかれば答え出るんですけど（汗 7537．Re: わかんないです；； 名前：tetu＠大学浪人1年生    日付：5月18日(日) 21時37分 cosじゃないや、sinだ・・・ 7538．Re: わかんないです；； 名前：tetu＠大学浪人1年生    日付：5月18日(日) 21時42分 式としてはこんな感じであってますよね？ -2 ∫√(36-ｘ2) dx -6 7539．Re: わかんないです；； 名前：tetu＠大学浪人1年生    日付：5月18日(日) 21時43分 あれ・・・ごめんなさい、言われてるのとやり方微妙に違ってますね 考え直してきます 7541．Re: わかんないです；； 名前：tetu＠大学浪人1年生    日付：5月18日(日) 22時1分 結局4√2=6sinθのθ=で行き詰まってしまいました・・・ 7542．Re: わかんないです；； 名前：nabeX    日付：5月18日(日) 22時3分 基本的にはその式でよいですが座標で言う左半分の部分は1/4円ですから 特に積分で求める必要はないですよね。 つまり計算すべきは ∫[0〜2]√(36-x2)dx です。計算すると仰るとおり　sinθ=1/3となるθの値が必要になりますが これは多分四則演算と根号だけで書くのは難しい(恐らくできない)のでsinの逆関数を用いて arcsin(1/3)とするしかないでしょう。 ∫[0〜2]√(36-x2)dx =18*arcsin(1/3)+4√2 ≒11.7739186196 7544．Re: わかんないです；； 名前：nabeX    日付：5月18日(日) 22時7分 左右反対にして考えてました。もとの問題で言うところの右側の部分から 半円を抜きさって、その上半分の面積を求めてます。 7547．Re: わかんないです；； 名前：tetu＠大学浪人1年生    日付：5月18日(日) 22時32分 この問題の答えの比としては 113.0973355292326-11.7739186196 :113.0973355292326+11.7739186196 ってことですよね・・・？ 18*arcsin(1/3)+4√2 の式がよくわかって無いのですが・・・なんとかパイてあらわせないでしょうか？（ーー； 7549．Re: わかんないです；； 名前：tetu＠大学浪人1年生    日付：5月18日(日) 23時35分 113.0973355292326-11.7739186196 :113.0973355292326+11.7739186196 って・・・4倍にするの忘れてますね、馬鹿ですみません・・・ 7551．Re: わかんないです；； 名前：tetu＠大学浪人1年生    日付：5月18日(日) 23時49分 大体80：33ですね、ありがとうございました 7553．Re: わかんないです；； 名前：tetu＠大学浪人1年生    日付：5月19日(月) 0時26分 って、ちがーーーーうっ 真剣に馬鹿だ・・・ 7554．Re: わかんないです；； 名前：tetu＠大学浪人1年生    日付：5月19日(月) 0時34分 あれ・・・・？計算しなおしたけどあってるし・・・ かなり間違った式で計算したのになぁ（−−；

7526．(untitled)

名前：名前はまだ無い。    日付：5月18日(日) 20時33分

不等式　　|ｘ-２|　＞　３　　の方程式がまだ理解できません。 7527．Re: (untitled) 名前：たかし    日付：5月18日(日) 20時50分 絶対値が３より大（例：｜A｜＞３） ということは、絶対値の中のものが 　(i) ３より大　（つまり　A＞３） または 　(ii)−３より小（つまり　A＜−３） というのはわかったかな？ 7528．Re: (untitled) 名前：名前はまだ無い。    日付：5月18日(日) 20時53分 そこらへんがあいまいなので、出来ればもっと詳しくお願いします。 7532．Re: (untitled) 名前：たかし    日付：5月18日(日) 21時14分 そっかー。 （問1）|a|＝３ （問2）|a|＜３ （問3）|a|＞３ が解けないと、厳しいものがあるね。 数直線を書いて考えてみて。 もう一度教科書を読みかえしながら。 Bobさんの内容とかぶるけど （問1）|a|＝３ 　　は、数直線で原点(0)までの距離が３となるa 　　つまりa=-3と3 （問2）|a|＜３ 　　は、数直線で原点(0)までの距離が３より小となるa 　　つまり-3<a<3 （問3）|a|＞３ 　　は、数直線で原点(0)までの距離が３より大となるa 　　つまりa<-3,3<a となります。がんばってね。 以上がわかれば、本題では、上記の問3のaがx-2になっただけ。 7533．Re: (untitled) 名前：名前はまだ無い。    日付：5月18日(日) 21時23分 ありがとうございました。

7523．テストがピンチです。

名前：名前はまだ無い。    日付：5月18日(日) 19時50分

方程式　|2ｘ-1|=３　　がわかりません。 途中式を見ると　|2ｘ-1|=±３　となっていますが、なぜ±が付くのですか？ 不等式　　|ｘ-２|　＞　３　　の方程式の場合も　、右辺の３に±を付けるのですか？　教えてください。　高校１年。 7524．Re: テストがピンチです。 名前：Ｂｏｂ    日付：5月18日(日) 20時9分 |2ｘ-1|=３　を考える前に絶対値について考えましょう。 中１で習いますが、絶対値は原点からの距離をいいます。 ｜Ａ｜＝３だったら、原点からの距離が３のものがＡに 当てはまる数です。何でしょう？…３と−３です。 つまり｜Ａ｜＝０以外２つあるのです。 今回の問題に行きましょう。おそらく途中式には |2ｘ-1|=±３でなく２ｘ−１＝±３になってませんか？ 解説しましょう。２ｘ−１＝Ａとしてみてください。 そうすると｜Ａ｜＝３　先ほどの例といっしょです。 Ａ＝±３ですね　Ａをもとにもどすと ２ｘ−１＝±３ですね？ あとは２ｘ−１＝３,と２ｘ−１＝−３を解き、ｘ＝２,−１　となる。 不等式もｘ−２をＡと置いてみると、｜Ａ｜＞３　 Ａを想像しましょう。そうすると、４とか８とか、−５とかー８とが想像できます。 よってＡ＜−３,Ａ＞３です。ｘ−２＜−３,　ｘ−２＞３　 ｘ＜−１またはｘ＞５ http://homepage3.nifty.com/sumida-3/ 7525．Re: テストがピンチです。 名前：名前はまだ無い。    日付：5月18日(日) 20時20分 すいません。やっぱり、あまり理解できません。もっと補足お願いします。 7530．Re: テストがピンチです。 名前：ast    日付：5月18日(日) 21時6分 常に数直線を書いてから考えなさい. 7559．Re: テストがピンチです。 名前：ヨッシー    日付：5月19日(月) 11時4分 ちなみに、|2ｘ-1|=±３　は誤りで、 　2ｘ-1=±３ が正しいです。 「ある数の絶対値が３」と「ある数が３または−３」は同じことです。 　 http://yosshy.sansu.org/

7520．はじめまして

名前：ひろみ    日付：5月18日(日) 18時10分

はじめまして。高２です。 図形と方程式の問題でわからないものがあります。 点(2,-1)を通り、両座標軸に接する円の方程式を求めよ。 どんな円になるかイメージはつきますが どこからどうやって解いていけばいいのかわかりません。 よろしくお願いします。 7522．Re: はじめまして 名前：Ｂｏｂ    日付：5月18日(日) 19時38分 まず図に書いてみてください。そうすると中心の座標は ｘ座標、ｙ座標とも半径の長さではないでしょうか？ 円の方程式は中心（ａ、ｂ）半径ｒのとき （ｘ−ａ）＾２＋（ｙ−ｂ）＾２＝ｒ＾２ですよね？ 今回点（２、−１）を通るのですがこれは第４象限ですので、中心も第４象限 にあります。（図に書くと一目瞭然） よって中心は（ａ、-ａ）になります。そしてａ＝ｒでないと今回の問題に合わないので、 （ｘ−ｒ）＾２＋（ｙ＋ｒ）＾２＝ｒ＾２になります。 あとは点（２、−１）をとおるのでｘ、ｙに代入します。 （２−ｒ）＾２＋（−１＋ｒ）＾２＝ｒ＾２ 計算してｒ＾２−６ｒ＋５＝０よってｒ＝１,５ あとは円の方程式にいれて （ｘ−１）＾２＋（ｙ＋１）＾２＝１　 （ｘ−５）＾２＋（ｙ＋５）＾２＝２５ の２つが答えです。 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/ 7592．Re: はじめまして 名前：ひろみ    日付：5月20日(火) 21時37分 わかりました！ ａ=ｒというのが出てこなかったです＾＾； とても分かりやすい説明ありがとうございました。

7518．お願いします！

名前：saki（高３）    日付：5月18日(日) 17時56分

x=C1e^S1t＋C2e^S2tから、x",x′を求め、mx"＋cx′＋kx＝０に代入し、X=C1e^S1t＋C2e^S2tがmx"＋cx′＋kxの解であることを確かめよ。　 この問題なんですがよろしくお願いします。 x′=C1S1e^S1t＋C2S2e^S2t x" =C1S1^2e^S1t＋C2S2^2e^S2t m(C1S1^2e^S1t＋C2S2^2e^S2t)＋C(C1S1e^S1t＋C2S2e^S2t)＋ k(C1e^S1t＋C2e^S2t) までは何とか分かるのですが、ここからちょっと分からないです。よろしくお願いします！

7516．おねがいします。

名前：しゅがまろ（高3）    日付：5月18日(日) 17時38分

初めて質問します。おねがいします。 微分の応用の問題で、（この問題は微分ではありませんが） 　BA=AD=DC=a（一定）である等脚台形ABCDで、底辺BCの長さは任意である。　このとき、∠ABC=シータとして、次の問いに答えよ。 　（1）シータの範囲を求めよ。 で解答には　0＜BC＜3aであるから、　0＜シータ＜2/3パイ　 となっています。それがよくわかりません。 すみません。パソコンの調子が悪くて記号が文字化けしてしまいます。 見苦しいですがご了承下さい。 7519．Re: おねがいします。 名前：あごら    日付：5月18日(日) 18時1分 図に描いてみるとわかるのでは 　(1)BCを大きくしていっても　3aより小 　(2)BCを小さくしていっても　0より大 　　　※BC=0にすると正三角形になって,台形にならない。 (1)の場合：シータ>0 (2)の場合：BC=0になると、正三角形になってしまうので 　　BCの長さ→0に近づけると、シータ→2パイ/3に近づく。 　　つまり、シータ＜2パイ/3 という感じですがわかりますか？ 7521．Re: おねがいします。 名前：しゅがまろ（高3）    日付：5月18日(日) 19時12分 そっかそっか！とってもよく分かりました！ありがとうございました！

7514．(untitled)

名前：アホ    日付：5月18日(日) 16時36分

よく指数に出てくるeってなんですか？ 7515．Re: (untitled) 名前：田村　正和    日付：5月18日(日) 17時12分 いろいろな定義があります。 eとは２．７１８２８１８２８・・・という定数です。 e＝lim（ｘ→∞）（１＋１/ｘ）＾ｘ 　＝lin（ｘ→０）（１＋ｘ）＾（１/ｘ） 　＝�煤iｋ＝０〜ｋ＝∞）１/ｋ！ 7529．Re: (untitled) 名前：ｈｊｙｊ    日付：5月18日(日) 20時53分 えｆじぇいえひｆ

7506．絶対値について

名前：名前はまだ無い。    日付：5月18日(日) 12時21分

高校1年です。 絶対値の性質が良くわかりません。公式の意味がわからない状況です。 だから、絶対値が含まれている方程式、不等式が全くわからない状況です。 くわしい説明をお願いします！ 7510．どこで躓いているのか回答者に伝わっていない。たぶん 名前：astro4    日付：5月18日(日) 13時35分 高校１年の今の時期なら実数の絶対値だと思いますが、 絶対値の問題って a≧0のとき|a|=a,　a＜0のとき|a|=-a という性質を理解していれば全部解けるハズですよ。 よく教科書を読み、その上でなお「わからない」のであれば、 具体的な問題を書き込んで質問すべきだと思います。 具体的な問題無しでは、どこで引っかかっているのか判断できないからです。

7504．最小値問題

名前：高校生A    日付：5月18日(日) 1時38分

友達から次のような問題が出されました。手も足も出ません。 x + y + z =1のとき 1/x + 4/y + 9/z　の最小値を求めよ（ただしx,y,zはそれぞれ正の数とする） 7507．Re: 最小値問題 名前：身の程知らずの高３    日付：5月18日(日) 12時48分 1/6 = (x + y/2 + y/2 + z/3 + z/3 + z/3)/6 ≧6/(1/x + 2/y + 2/y + 3/z + 3/z + 3/z)　　(∵相加平均≧調和平均) でどうでしょう？ 7509．別解 名前：astro4    日付：5月18日(日) 13時26分 (1/x+4/y+9/z) =(x+y+z)(1/x+4/y+9/z)　(∵x+y+z=1) =1+4+9+(y/x+4x/y)+(4z/y+9y/4z)+(9x/z+z/x) ≧14+2√{(y/x)*(4x/y)}+2√{(4z/y)*(9y/4z)}+2√{(9x/z)*(z/x)}　(♪) =14+4+12+6 =36 ♪の不等号は相加平均≧相乗平均で等号は(x,y,z)=(1/6,1/3,1/2)で成立 または (1/x+4/y+9/z) =(x+y+z)(1/x+4/y+9/z)　(∵x+y+z=1) ={(√x)2+(√y)2+(√z)2}{(1/√x)2+(2/√y)2+(3/√z)2} ≧{(√x)*(1/√x)+(√y)*(2/√y)+(√z)*(3/√z)}2　(♭) =(1+2+3)2 =36 ♭の不等号はシュワルツの不等式で等号は(x,y,z)=(1/6,1/3,1/2)で成立 #HNを「占星術師」から「astro4」に変えました。 7517．Re: 最小値問題 名前：たかし    日付：5月18日(日) 17時39分 すみません、調和平均（２項ではなくｎ項での）の 証明方法を知っているかた教えてください。 7543．Re: 最小値問題 名前：身の程知らずの高３    日付：5月18日(日) 22時4分 (相加平均)≧(調和平均)の証明でしょうか？ n個の正数 a(k), k=1,2,...,n の(相加平均)≧(相乗平均)の証明で a(k) を 1/a(k) で置き換えれば、(相乗平均)≧(調和平均)が示せます。

7503．命題

名前：IF    日付：5月17日(土) 23時20分

「自分が考えていることが正いかどうかはわからない」とよく言われます。これは本当に正しいのでしょうか。これを数学的に書くと 　P:「自分が考えていることが真か偽かはわからない」 となります。ここでPは「自分が考えていること」に含まれるので、 　P:「Pは真か偽かはわからない」 と書き換えます。このとき、仮にPが偽だとすると、Pの否定は 　「Pが真か偽かがわかる」 となり、Pは偽だと仮定しているからPは偽となります。 逆に、Pが真だと仮定すると、Pは真なのか偽なのかわからないことになって、矛盾しているように思えます。 こうすると、Pが偽であることのほうが正しそうですが、実際は自分の考えていることが正しいかどうかはわからないことのほうが多いですよね。これはいったいどういう事なのですか。いったいどこが間違っているのですか。高３です。 7505．Re: 命題　 名前：ゆり    日付：5月18日(日) 7時3分 これは　有名な　集合論における　矛盾の問題ですね。 　たとえば 　ある村に　床屋さんがいる。 　その床屋さんは　自分でひげをそらない　という　お客さんの 　ひげをそる。 　では　その床屋さんは　自分のひげを　そるでしょうか。 　 7508．Re: 命題 名前：IF    日付：5月18日(日) 12時53分 この床屋さんは、自分でひげをそる客のひげはそらないということでしょうか。その場合は、この床屋さんが　自分のひげをそる　とすると、 そらないはずだが、そらない　とするとそることになりますね。 似たような話に、 　「自分の言っていることは間違っている」 というのがあります。これが正しいとすると間違っているはずだが、 間違っているとすると正しいはず　となって矛盾してしまいます。 こういう矛盾があると、数学の命題を扱えなくなってしまいますよね。 どうやってこの矛盾を解決すればよいのですか。 7511．Re: 命題 名前：arc    日付：5月18日(日) 15時5分 『命題に命題自身を含むことはできない』 というようなことがあったかと思います。 どこかで聞いたことがあるかもしれませんが、 「私は嘘つきである」という命題はどうなるか。というものですが、 命題が命題を含むのであれば、 真「私は嘘つきである」＝真「私は嘘つきでない」＝偽「私は嘘つきである」＝偽「私は嘘つきでない」・・・ となり、真である＝真でない＝偽である＝偽でない となってしまいます。よって矛盾しているので、これは定義できません。 これを、命題が命題を含まないのであれば、 真「私は嘘つきである」＝偽「私は嘘つきでない」 となり、真である＝偽でない となります。これは矛盾していないので、定義できます。 要するに、命題に命題を含むと、その命題自体が矛盾してしまうことになります。（矛盾しない場合もありますが） 数学の世界では、文章自体を命題とすることがない為、このような現象が起きないですよね？ 数学の世界で、例えばn0を1とする。というようなことがあるのであれば、 数学の世界でないところでの命題で、『命題に命題自身を含むことができない』 と定義することもできるかと思うのですが、いかがでしょうか・・・？ （というより、どこかで上記の内容を見た憶えがあるので・・・） あと、「私は嘘つきである」の場合、 『嘘つき』『嘘つきでない』『嘘をつくことがある』というように、新しい条件が無数にでてきます。 また、「その床屋さんは　自分でひげをそらない　という　お客さんの　ひげをそる。」の場合、 真「床屋さんは　自分でひげをそらない　人の　ひげをそる。」 偽「床屋さんは　自分でひげをそる　人の　ひげをそらない。」 というふうに、条件を絞れば、 自分が「床屋さん」であり、「人」であるので、命題自体に矛盾があるので定義できない。といえるかと思います。 （条件を絞らないと、「床屋さん自身」は「お客さん」ではないので、剃っても剃らなくても命題に関係ないことになってしまいます。） 今のを簡単に言うと、 「ｘは１であり、ｘは１でない」というような命題があるのと同じです。 以上のことをまとめると、 ■命題自体に矛盾がある場合は、命題は定義できない。 ■命題に命題自身が含まれる場合は、命題が定義できないことがある。 ということになるかと思います。 追伸 長くなって申し訳ありません。 過去の情報や、自分の考えが適当に混ざっているので、私の意見自体に矛盾や間違いがあるかもしれません。 その辺は見逃してやってください・・・（泣 それでは、他の方の意見なんかもお待ちして、私はこの辺で失礼させていただきたいと思います。 7512．Re: 命題 名前：IF    日付：5月18日(日) 15時42分 　　命題が命題を含むのであれば、 　　真「私は嘘つきである」＝真「私は嘘つきでない」＝偽「私は嘘つ　　きである」＝偽「私は嘘つきでない」・・・ この部分が何でこうなるのかよくわかりません。詳しく説明してもらえませんか。 7513．Re: 命題 名前：しんちー    日付：5月18日(日) 16時5分 ちょっと割り込みます。 厳密さはあまりあてにしないで下さい。 一般に、命題の中でその命題自身を参照するのは結構面倒な作業が必要になります。頑張ってやってみるとあることがわかります。 「命題の中には真偽の判定できないものが存在する」 これをゲーデルの (第一?) 不完全性定理といいます。 7555．Re: 命題 名前：arc    日付：5月19日(月) 1時27分 遅くなりましたが・・・ とりあえず、IFさんの質問に答えておきます。 ＞命題が命題を含むのであれば、 ＞真「私は嘘つきである」＝真「私は嘘つきでない」＝偽「私は嘘つきである」＝偽「私は嘘つきでない」・・・ ＞この部分が何でこうなるのかよくわかりません。詳しく説明してもらえませんか。 まず、 真「私は嘘つきである」をＡ 真「私は嘘つきでない」をＢ 偽「私は嘘つきである」をＣ 偽「私は嘘つきでない」をＤ とします。 Ａが命題ですね。 命題が命題を含んでも、その命題が定義されると仮定するとして考えます。 まず、このＡの命題の内容を事実とします。 すると、Ｂの命題が生まれるわけです。 このＢの命題はＡの命題の上で定義されているので、 真偽が反転し、内容も反転します。そしてＣが生まれます。 このＣは、Ａの命題の上の、Ｂの命題の上にあるので、真偽が反転して反転＝そのまま。で、内容が反転します。 よって、Ｄが生まれます。 これからこの事象が繰り返され、Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄが生まれます。 これらは命題中では等しいのに対し、実際には矛盾しています。 よって、上記の場合のように命題が命題を含んだ場合、その命題が定義されない反例があるので、 ■命題に命題自身を含まれる場合、その命題は定義できないことがある。 と考えられるということです。 追伸。 ゲーデルとか不完全性定理など知りませんでした。 このような命題に関することは、私の範囲でないので、詳しいことは言えませんが、 7511の内容が、個人的に理解していただければ幸いです。（何 あと、しんちーさんの ＞一般に、命題の中でその命題自身を参照するのは結構面倒な作業が必要になります。頑張ってやってみるとあることがわかります。 というのは、 ■命題に命題自身を含まれる場合、その命題は定義できることもある。 場合に於いての、証明過程で判るのかと思われますが、最初に申した通り、 命題自体が矛盾している場合は定義できないので、深入りしてみるしかなさそうです。 また、条件不足の場合も同様です。（床屋さん＝お客さん　なのか？みたいな場合です。） またもや長くなりましたが、読んで頂いているのなら光栄です。 （多分流されていると思いますが・・・） それでは失礼します。

7500．数�V？？

名前：あゆな    日付：5月17日(土) 22時4分

ｙ＝２/ｘのグラフがあり、第１象限、第３象限上にある点をそれぞれＰ、Ｑとする。線分ＰＱが最小となるときの点Ｐ、Ｑをとおる直線を求めよ。 という問題です。 言ってることはわかるんですが、どうやって解いていけばいいのかわかりません…教えてください<(__)>　　　　高２です。 7502．Re: 数�V？？ 名前：たかし    日付：5月17日(土) 22時26分 ｙ＝ｘに関して対象なグラフだね。

7499．７０でいいんだろうか？

名前：駿    日付：5月17日(土) 13時49分

算チャレ３４９に関連して自分で作った問題です ６人のクラスで｢このクラスに友達は何人いる？」とたずねたところ 全員が「３人」と答えたそうです ＡがＢを友達だと思っている時　ＢもＡを友達だと思っていることにして さて友達関係は何通りあるんだろう？ 　　　（５０代の会社員）

7494．もっといい方法は、、、

名前：パフ    日付：5月17日(土) 3時1分

家から野良猫が逃げ出した。この猫は毎秒１ｍのスピードで、 まず、東へ４ｍ、次に西へ１ｍ、次に東へ４ｍ、西へ１ｍ、と まるでロボットみたいな動きをする。この野良猫が家を出てか ら６３秒後に、飼い主がやはり毎秒１ｍのスピードでこの猫を 追いかけた。飼い主が家を出てから何秒後に、このどうしよう もない猫に初めて追いつくのか？ という問題を恥ずかしいほどの幼稚な図を書いて解いたんですが、 もっといい方法（数式で解くとか）はないのでしょうか？ 7496．Re: もっといい方法は、、、 名前：ヨッシー    日付：5月17日(土) 6時38分 飼い主がいるなら、野良猫じゃないだろう、というツッコミはおいといて 図を書くのは、それはそれで大事なことなので、恥ずかしがることはありません。 式だけで解くなら、少しこの問題を分析しておく必要があります。 まず、猫は、５秒後に東に３ｍ、１０秒後に東に６ｍのところというふうに ５秒ごとに見ると、３ｍずつ東に進みます。この５秒を１区切りとして考えます。 一方、人が出発してからは、その差に注目すると、５秒のうち、最初の４秒は 差が縮まらず、最後の１秒で２ｍ追いつきます。 つまり、猫はじっとしていて、人が４秒止まっていて、最後の１秒で ２ｍ進むと考えても同じことです。 では、解き始めます。 ６３秒では半端なので、６５秒後を考えます。 このとき猫は、６５÷５×３＝３９ｍ、人は２ｍのところにいますので、 その差は３７ｍです。 ５秒ごとに２ｍ追いつくので、 　３７÷２＝１８　あまり　１ 　１８×５＝９０ それから９０秒後（最初から６５＋９０＝１５５秒後）に 　１８×２＝３６ｍ 追いついて、人は猫の１ｍ手前にいます。 さらに４秒は止まったあと、動き始めますが、 　１÷２＝０．５秒で、追いついてしまいます。 よって、１５５＋４＋０．５＝１５９．５ 人が出発してからだと　１５９．５−６３＝９６．５秒後に追いつきます。 　 http://yosshy.sansu.org/

7493．円に内接する三角形

名前：あごら    日付：5月17日(土) 1時34分

すみません、 「円に内接する三角形の面積が最大なのは、正三角形の場合である」 の証明方法を教えてください。 ヒントに、相加相乗平均を利用とあるのですが、 どのように使うのかがわかりません。 よろしくお願いします。 7498．Re: 円に内接する三角形 名前：田村　正和    日付：5月17日(土) 13時10分 遅くなりました。 中心をＯとして∠ＢＯＣ＝α、∠ＡＯＣ＝β、∠ＡＯＢ＝γとすると ０＜α、β、γ≦πとしていい。このとき半径をｒとして △ＡＢＣ＝△ＯＢＣ＋△ＯＣＡ＋△ＯＡＢ 　　　　＝１/２・ｒ＾２（sinα＋sinβ＋sinγ）なので sinα＋sinβ＋sinγを最大にすればよい ｙ＝sinｘのグラフ上ｘ＝α、β、γなる点Ｐ，Ｑ，Ｒをとるこの間でグラフは上に凸なので△ＰＱＲの重心Ｇはｙ≦sinｘなる領域にある。 Ｇ（（α＋β＋γ）/３、（sinα＋sinβ＋sinγ）/３）なので　 これがｙ≦sinｘをみたすから（sinα＋sinβ＋sinγ）/３≦sin（（α＋β＋γ）/３）＝sin（２π/３）で、等号はα＝β＝γのときに成立し、 sinα＝sinβ＝sinγはこのとき最大となる。よって△ＡＢＣは正三角形のとき最大である。 （注）このようにｙ＝ｆ（ｘ）のグラフが上に凸なら（ｆ（α）＋ｆ（β）＋ｆ（γ））/３≦ｆ（（α＋β＋γ）/３）が成立する。

7482．絶対値の問題

名前：チャコ（高１）    日付：5月16日(金) 16時23分

｜ｘ^2−ｘ−３｜≧３を解きなさい �@ｘ^2−ｘ−３≧０のとき ｜ｘ^2−ｘ−３｜＝ｘ^2−ｘ−３≧３ 　　　　　　　　　ｘ^2−ｘ−６≧０ 　　　　　　　　　(ｘ−３)(ｘ＋２)≧０ 　　　　　　　　　ｘ≦−２、３≦ｘ �Aｘ^2−ｘ−３＜０のとき ｜ｘ^2−ｘ−３｜＝−（ｘ^2−ｘ−３）≧３ 　　　　　　　　　ｘ^2−ｘ≦０ 　　　　　　　　　ｘ(ｘ−１)≦０ 　　　　　　　　　０≦ｘ≦１ こんな解答で良いんでしょうか？すみませんよろしくお願いします。 7487．Re: 絶対値の問題 名前：ast    日付：5月16日(金) 16時59分 x^2-x-3 ≧ 0 となるような x はどんなの？ x^2-x-3 < 0 となるような x はどの範囲？ ということを考え忘れていますよ。 7489．Re: 絶対値の問題 名前：田村　正和    日付：5月16日(金) 17時11分 ちがいますね〜 �Aはよいのですが�@がちがいます。 �@はｘ＾２−ｘ−３≧０という前提条件があります。 （１−√１３）/２≧ｘかつ（１＋√１３）/２≦ｘ・・・・☆ その上で−２≧ｘまたは３≦ｘ・・・・◎ なので☆かつ◎の共通部分が解です 答えは総合して （１−√１３）/２≧ｘまたはｘ≧３ または０≦ｘ≦１です ちなみに�Aはよいのですがといったのは前提条件をみたしているからです。 7491．Re: 絶対値の問題 名前：田村　正和    日付：5月16日(金) 22時9分 すいません。訂正です。☆の部分 （１−√１３）/２≧ｘかつ（１＋√１３）/２≦ｘ ではなく（１−√１３）/２≧ｘまたは（１＋√１３）/２≦ｘでした。 7562．Re: 絶対値の問題 名前：タコ    日付：5月19日(月) 15時34分 不等式の絶対値記号のはずし方 ｜ｘ｜＜ａ ⇒ −ａ＜ｘ＜ａ　　　　　　 ｜ｘ｜≧ａ ⇒ ｘ≦−ａまたはａ≦ｘ �@ｘ２−ｘ−３≦−３ 　ｘ２−ｘ≦０ 　ｘ(ｘ−１)≦０ 　０≦ｘ≦１ �A３≦ｘ２−ｘ−３ 　０≦ｘ２−ｘ−６ 　ｘ２−ｘ−６≧０ 　(ｘ＋２)(ｘ−３)≧０　 　ｘ≦−２または３≦ｘ これで良いかと思います。 7586．Re: 絶対値の問題 名前：チャコ    日付：5月20日(火) 16時11分 ありがとうございました。

7480．一次変換後の四角形の頂点

名前：あごら    日付：5月16日(金) 14時55分

素朴な質問なのですが 一次変換で四角形ABCD（例：AとCが対頂の関係)が、 四角形に移る場合、移った像の頂点は、必ず、 AとCが対頂の関係になるのでしょうか。 7488．Re: 一次変換後の四角形の頂点 名前：ast    日付：5月16日(金) 17時4分 一次変換って, 回転, 伸縮, 鏡映とそれらの合成で尽くされるはずですよね？ 7490．Re: 一次変換後の四角形の頂点 名前：あごら    日付：5月16日(金) 18時9分 確かに。 A,Cが対頂の関係は保てますね。(_o_)

7479．数列

名前：くれない    日付：5月16日(金) 14時3分

こんにちは　数列で行き詰まりました （大検１８歳） 　　　　 　５ Σａ＝ａ＋ａ＋ａ 　　　ｋ＝２ 　 　　　　　４ 　　　　　Σ３＝３＋３＋３＝９ 　　　　ｋ＝２ 上の二つの問題なんですがそれぞれ別の参考書に掲載されていました。私は二つは明らかに矛盾していると思いますがどうでしょうか？ 後者は解る解答ですが前者は解答のプロセスが全く分かりません。 教えてください 7481．Re: 数列 名前：あごら    日付：5月16日(金) 15時0分 5 Σａ＝ａ＋ａ＋ａ＋ａ＝４ａ k=2 ですね。

7467．ペル方程式の紹介

名前：田中    日付：5月15日(木) 22時14分

ペル方程式をご存じでしょうか。Ｘ，Ｙを自然数とするとき Ｘ＾２−ＭＹ＾２＝±１　を満たす解を求める方程式のことです。＋１か−１のどちらかです。２つ未知数がありますから、不定方程式のように見えますが、自然数の解ということでただ一つに定まるということです。 例えば、Ｍ＝１８のとき、Ｘ＾２−１８Ｙ＾２＝１　 解は、Ｘ＝１７、Ｙ＝４　です。 これは、けっこうはまる問題で、解がものすごいものがたびたび登場します。最近、エグい解を発見しました。 （１）Ｘ＾２−１４Ｙ＾２＝１・・・・簡単 （２）Ｘ＾２−３２７１９Ｙ＾２＝１・・・・・エグイです です。だれか挑戦してみませんか？ 7469．Re: ペル方程式の紹介 名前：T兄弟    日付：5月16日(金) 0時24分 ＞自然数の解ということでただ一つに定まる 一つに定まらないので、最小解を考えるはずです。 (1)x=15,y=4 x2-61ysup>2=1 なんかもエグイ 7471．Re: ペル方程式の紹介 名前：キューダ    日付：5月16日(金) 3時2分 挑戦しました。 x=20681....55120 (190桁) y=11435....00311 (188桁) 確かにえぐい。 ちなみにT兄妹さんの方は 1766319049^2-61*226153980^2=1 ですね。 Pell方程式は、連分数法や、右辺が０に近いx,yのペアを発生させる 数列のようなものを考えるなどの系統的な方法が知られていますね 7474．Re: ペル方程式の紹介 名前：T兄弟    日付：5月16日(金) 4時2分 (1)Pell方程式が自然数解を必ずもつことを証明して下さい。 (2)x2-My2=1の最小解をx1,y1として、Pell方程式が無数に解をもつことを示して下さい。 7475．ありがとうございました 名前：田中    日付：5月16日(金) 5時49分 ミスでした。やはり、解は１つではなく、最小解が定まることでした。キューダさん、正解でした。すばらしい。Ｔ兄弟さんのＭ＝６１は、最小解は、２９７１８、３８０５だと思います。 7477．Re: ペル方程式の紹介 名前：T兄弟    日付：5月16日(金) 10時23分 17663190492-61*2261539802=1 297182-61*38052=-1 7486．この問題に挑戦してみては？ 名前：中川　幸一    日付：5月16日(金) 16時50分 第１１８回数学的な応募問題 このピラミッド問題はなかなか解くのに苦労しました。 ちなみにMichael A. Bennett, "Lucas' square pyramid Problem revisited", 2002のリンクも載せておきます。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

7466．高校なりたてです。

名前：まさる君    日付：5月15日(木) 21時15分

絶対値が良くわかりません。詳しい説明をお願いします。 7473．Re: 高校なりたてです。 名前：しんちー    日付：5月16日(金) 3時33分 どうわかりませんか？ -5 の絶対値はいくつでしょうか。 5 の絶対値はいくつでしょうか。

7464．一般解を求める問題

名前：dadadamon    日付：5月15日(木) 21時0分

(1) (x^2+xy)y'=y^2 (2) xy'-y=sin(y/x) (3) y'=(ax+by+c)^(1/2) この三つの一般解を求めよという問題で困っています。解る人いたらよろしくお願いします。(3)は変換してやるみたいです。 7465．Re: 一般解を求める問題 名前：dadadamon    日付：5月15日(木) 21時1分 すみません。大学２年です。

7459．チェビシェフの多項式について

名前：takeshi    日付：5月15日(木) 20時11分

私、理系の大学生なのですがチェビシェフの多項式と いうものがいまいちどういうものなのか、またどういう 使われ方をするのかが分かりません。 7472．Re: チェビシェフの多項式について 名前：しんちー    日付：5月16日(金) 3時32分 なにか調査はされましたか？

7454．ヨッシーさんへ

名前：２０代の男    日付：5月15日(木) 18時2分

5x^2-4xy+y^2+6y+9=0 はどうやってといたのですか？ まさか適当に数を当てはめてといたわけじゃないですよね？ 5x^2-4xy+y^2+6y＝ｋの形にすればいいのはわかるんですが。 7455．Re: ヨッシーさんへ 名前：ヨッシー    日付：5月15日(木) 18時11分 適当に当てはめたに近いですね。 ｘの２次式として解いて、（解の公式） ｙにいろいろ当てはめて、ｘが整数になる場合を２，３挙げただけです。 もちろん、整数にならない（ｘ，ｙ）の組み合わせも、たくさんあります。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7456．Re: ヨッシーさんへ 名前：２０代の男    日付：5月15日(木) 18時48分 すいません。私もその方法でやったんです。 そしたらルートの中身のｘ（ｙもそうなりましたが）の２次の項が負になってしまうんです。 7468．Re: ヨッシーさんへ 名前：たかし    日付：5月15日(木) 23時13分 REPLY遅れました。ヨッシーさん。 この問題は過去京都市が採用試験にだした 問題とのこと。 7476．Re: ヨッシーさんへ 名前：高橋　道広    日付：5月16日(金) 10時11分 yに着目して y＾2+(6-4x)y+5x^2+9=0 (y+(3-2x))^2+5x^2+9-(3-2x)^2=0 (y+3-2x)^2+x^2+12x=0 (y-2x+3)^2+(x+6)^2=36 a=y-2x+3　b=x+6とすると a^2+b^2=36となります。　a,bが実数であることとx,yが実数で あることは同値ですから　解はたくさんありそうです。 解を出す問題なら条件不足ですね(^_^;) http://micci.sansu.org

7453．相加・相乗平均の大小の公式

名前：ラフ・メイカー    日付：5月15日(木) 17時50分

a≧0,b≧0,c≧0のとき、 a+b+c≧3（3√abc）→（3√abc）はabcの立方根です が成り立つことを証明するには、どのようにしてやったらいいですか？ お願いします（高1です） 7457．Re: 相加・相乗平均の大小の公式 名前：nori    日付：5月15日(木) 18時56分 (a+b+c)^3= =(a+b+c)*(1/3)*(1+1+1)*(a^2+b^2+c^2)+2(a+b+c)*(bc+ca+ab) ≧(a+b+c)*(1/3)*(a+b+c)^2*{√(abc)+√(bca)+√(cab)}^2 上記式を整理して (a+b+c)^3≧27abc ∴ a+b+c≧3*(3√abc) （間違っていたら何方かフォロー願います。） 「コーシー・シュワルツの不等式」なんて言うのを参考にするともっと詳しく説明されていると思いますよ。 7458．Re: 相加・相乗平均の大小の公式 名前：ヨッシー    日付：5月15日(木) 19時10分 これは、以前教えてもらった方法で、４項以上の場合にも応用できます。 両辺３で割って (a+b+c)/3≧3√abc 両辺とも正なので、この式は、両辺対数を取った log{(a+b+c)/3}≧log{(abc)1/3}＝(log a + log b + log c)/3 と同値です。 ｙ＝logｘ のグラフは、下の図のように上に凸のグラフで、この上に ３点Ａ：(a, log a)、Ｂ：(b, log b)、Ｃ：(c, log c) を取ります。 上に凸のグラフなので、△ＡＢＣはグラフの下の方(y＜logｘ の領域)に作られ その重心Ｇ：（(a+b+c)/3, (log a + log b + log c)/3）も、y＜logｘ の領域 にあります。 よって、ｘ座標 (a+b+c)/3 におけるｙ＝logｘ の値 　log{(a+b+c)/3} は Ｇのｙ座標(log a + log b + log c)/3 よりも、 大きくなります。よって、 log{(a+b+c)/3}≧log{(abc)1/3}＝(log a + log b + log c)/3 a,b,c のどれか１つでも異なれば、その重心はグラフの下に来ます。 a=b=c のときだけ、重心も３点と同じ点になり、等号が成り立ちます。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7460．(untitled) 名前：ラフ・メイカー    日付：5月15日(木) 20時17分 (a+b+c)*(1/3)*(a+b+c)^2*{√(abc)+√(bca)+√(cab)}^2 はどこからでてきたんですか？ 7461．Re: 相加・相乗平均の大小の公式 名前：nabeX    日付：5月15日(木) 20時19分 (a+b+c+d)/4=[{(a+b)/2}+{(c+d)/2}]として二項の相加相乗平均で {√(ab)+√(cd)}/2　さらに二項の相加相乗平均で 4√(abcd)　となる。よって (a+b+c+d)/4≧4√(abcd)　(4項の相加相乗平均) ここでd=(a+b+c)/3と置くと (a+b+c+d)/4=(a+b+c)/3 4√(abcd)=4√(abc)4√{(a+b+c)/3}すなわち (a+b+c+d)/4≧4√(abc)4√{(a+b+c)/3} 両辺を4√{(a+b+c)/3}で割ってから4/3乗すればよい。 一般にも拡張できます。この問題はいろいろやり方があって面白いですね。 7463．うっ、なんか難しい・・・ 名前：ラフ・メイカー    日付：5月15日(木) 20時40分 たくさんの返信ありがとうございました。 今からがんばって理解してみようと思います。 またわからないところがあったときはよろしくお願いします。

7444．(untitled)

名前：身の程知らずの高３    日付：5月14日(水) 23時55分

a＞0, b＞0 のとき、ab+ba＞1 を示せ。 という問題なんですが、どう考えたらよいでしょうか？ 7447．Re: (untitled) 名前：しんちー    日付：5月15日(木) 2時0分 1との大小で場合分けして、各項の値を評価してみましょう。 7448．Re: (untitled) 名前：身の程知らずの高３    日付：5月15日(木) 5時45分 どちらかが1以上のときはOKというのはわかったのですが、各項のおさえかたが... 7470．Re: (untitled) 名前：しんちー    日付：5月16日(金) 2時47分 たしかに、どちらも1より小さい場合どうするんだろう。 中途半端な回答ですみませんね。 7478．Re: (untitled) 名前：ころっさす    日付：5月16日(金) 11時12分 0＜a＜1 のとき，(0,a] 上で f(x):=x^a+a^x ⇒ f'(x)=a*(x^{a-1}-a^{x-1}*log(1/a))， g(x):=(a-1)*log(x)-((x-1)*log(a)+log(log(1/a))) ⇒ g(+0)=+∞，g'(x)=(a-1)/x-log(a)≦(a-1)/a-log(a)＜0 ⇒ g(x) の符号は，常に正，或いは，正から負 ⇒ f(x)＞f(+0)＝1＜2*(1/e)^(1/e)≦2*a^a＝f(a)． 7492．Re: (untitled) 名前：しんちー    日付：5月17日(土) 0時13分 なるほど！私、根性が足りませんでした。 (以前にどなたかがおっしゃってた言葉ですが、結構いいなと。) 7495．いつもありがとうございます 名前：身の程知らずの高３    日付：5月17日(土) 5時29分 1＜2*(1/e)^(1/e) の評価はどのようにすればよいでしょうか？ しんちーさん： それは私です。 7497．Re: (untitled) 名前：ころっさす    日付：5月17日(土) 11時46分 2＜e＜4 ⇒ e＜2^2＜2^e でどうでしょう． 7501．うー 名前：身の程知らずの高３    日付：5月17日(土) 22時5分 自分がはがゆいです...

7442．ベクトルについて

名前：凡人    日付：5月14日(水) 23時27分

点A（1,2,1）を通ってABベクトル（2,1,0）、ACベクトル（1、-1,1）に垂直なベクトルを求めよ。という問題なんですが、これは外積を使わないと求められないんでしょうか？どなたか解答お願いします。 7445．Re: ベクトルについて 名前：ヨッシー    日付：5月15日(木) 0時26分 ベクトルを求めるのに、「点A（1,2,1）を通って」というのは、特に必要ではありません。 それはさておき、 求めるベクトルを（ｘ、ｙ、ｚ）とおいて、AB、ACとの 内積をとって、＝０ とします。 これを解くわけですが、式が２つしかないので、ｘ、ｙ、ｚの値までは求まらず、 ｘ：ｙ：ｚの比を求める形になります。 たとえば、（２，３，４）も（４，６，８）も大きさが違うだけで、 向きは同じなので、ｘ：ｙ：ｚの比が求まるだけで十分です。 たいていは、大きさが１のもの、とか、ｘ成分が１のもの、などのように 制約が加えられます。 この問題は、点Ａを通って、と言っているので、直線の式を求める 問題でしょうか？それなら、ベクトルの大きさが違っても、同じ 直線を表すことになるので、問題ありません。 　 http://yosshy.sansu.org/

7437．因数分解

名前：諭志    日付：5月14日(水) 23時15分

質問ですが -14x二乗-21xy+7x は-7(2x二乗+3xy-x) で、かっこの因数分解できますか？ 7438．Re: 因数分解 名前：ヨッシー    日付：5月14日(水) 23時16分 x でくくる。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7449．Re: 因数分解 名前：諭志    日付：5月15日(木) 6時48分 やっぱりそれしかないですか？

7436．(untitled)

名前：数学バカ    日付：5月14日(水) 23時2分

絶対値を含む方程式や不等式を解く時に、書かなくてはならない式や言葉や 省略してもよい式や言葉はなんですか？ あと、ヨッシーさん、昨日の問題の解答は、問題の下に解答がありますから間違いありません 。

7431．積分。むずい・・・

名前：toppo（高３）    日付：5月14日(水) 21時32分

L(n)=∫(log x)^n dx L(n)を求めよ。 これなんですが、全くわかりません。logは自然対数です。あと、不定積分です。どなたか解き方を教えて下さい。 7432．Re: 積分。むずい・・・ 名前：田村　正和    日付：5月14日(水) 22時30分 おっといつものわかる問題なら１時間以内にレスをつけるというポリシーに違反するところだった。 これは部分積分法で漸化式をつくって ∫（logｘ）＾ｎ＝ｘ（logｘ）＾ｎ−ｎ∫（logｘ）＾（ｎ−１）ｄｘ とまでしかわかりません。あとよろしくおねがいします。 7433．Re: 積分。むずい・・・ 名前：田村　正和    日付：5月14日(水) 22時45分 いろいろな問題集、定理集を検索しまくった結果なんですが おそらくこの漸化式をつかって∫（logｘ）＾３ｄｘをもとめよとかいう問いなのでは？ 多分ストレートに∫（logｘ）＾ｎｄｘを求めよなんていう問いはないはず。 実際sin＾ｎｄｘもcos＾ｎｄｘもtan＾ｎｄｘもストレートに求められないし。 ただｎが与えられている場合は別ですよ。 7439．Re: 積分。むずい・・・ 名前：toppo（高３）    日付：5月14日(水) 23時22分 まず（１）で漸化式を証明して、（２）でL(n)を求めよという問題でした。 たしか L(n)=x * (log x)n - n * L(n-1) だったと思います。 7441．Re: 積分。むずい・・・ 名前：田村　正和    日付：5月14日(水) 23時24分 あ、でもこれを数列だと思って階差数列とかとれば�狽ﾅあらわせるかも。。 一応ｎ＝１〜・・・まで係数だけ示しておきます。 ちなみに左から次数が高くなっております。 ｎ＝１：　　　　　　　　　　１、−１、Ｃ ｎ＝２：　　　　　　　　１、−２、２、Ｃ ｎ＝３：　　　　　　１、−３、６、−６、Ｃ ｎ＝４：　　　１、−４、１２、−２４、２４、Ｃ ｎ＝５：　　　１、−５、２０、−６０、１２０、−１２０、Ｃ ｎ＝６：　　１、−６、３０、−１２０、３６０、−７２０、７２０、Ｃ ・・・・・・・・・・・・。　　　 7451．Re: 積分。むずい・・・ 名前：nori    日付：5月15日(木) 10時44分 >toppoさん 問題集を参考に記述してみました。 こんな感じで宜しいですかね？ (1)漸化式の証明 L(n)=∫(x)'(log x)^n dx =x(log x)^n - ∫x*n(log x)^(n-1) *(1/x)dx =x(log x)^n - n∫(log x)^(n-1)dx ∴L(n)=x(log x)^n -n*L(n-1) (2)L(n)を求めよ･･･こう言う事でしょうか？ L(1)=∫(log x)dx = x*log x - x +C L(2)=x*(log x)^2 - 2*L(1) =x*(log x)^2 - 2x*log x - 2x +C (-2CをCとする) L(3)=x*(log x)^3 - 3*L(2) =x*(log x)^3 - 3x*(log x)^2 + 6x*log x - 6x +C ちなみにsin^nでは L(n)=∫sin^n x dx =∫sin x * sin^(n-1) x dx =∫(-con x)'*sin^(n-1) x dx =(-cos x)*sin^(n-1) x -∫(-cos x)*(n-1)*sin^(n-2)*x*cos x dx =-cos x*sin^(n-1)*x +(n-1)∫sin^(n-2)*x*(1-sin^2*x)dx =-cos x*sin^(n-1)*x + (n-1)(L(n-2)-L(n)) ここで -(n-1)L(n) を移行して (1+n-1)L(n)=-cos x*sin^(n-1)*x+(n-1)L(n-2) ∴L(n)=-(1/n)*cos x*sin x^(n-1)*x+(n-1/n)*L(n-2) (n=2,3,･･･) 7462．Re: 積分。むずい・・・ 名前：toppo（高３）    日付：5月15日(木) 20時27分 (1)はわかってました。 (2)なんですが、nに数値は代入せず、nのままでお願いします。

7429．三角不等式

名前：ヒサ    日付：5月14日(水) 20時37分

0°≦θ＜360のとき、次の不等式を解け。で 　tanθ＞3の出し方がよくわかりません。 単位円を書くまではいいのですが次にどうすればいいか？ よろしくお願いします 7430．Re: 三角不等式 名前：ヨッシー    日付：5月14日(水) 21時3分 tan の場合、単位円は、直接関係ないのですが、角度の基本ですので、 一応描いておきます。 ある角度θを表す直線と、直線ｘ＝１との交点のｙ座標が、tanθ となります。 ０°からずっと増えていき、９０°の直前まで増え、９０°では定義されず、 ９０°を超えたとたん、マイナスになります。 もちろん、ｙ＝tanｘ のグラフを描くというのも一般的に使う手です。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7443．Re: 三角不等式 名前：ヒサ    日付：5月14日(水) 23時27分 ありがとうございました

7425．二次方程式

名前：たかし    日付：5月14日(水) 18時30分

5x^2-4xy+y^2+6y+9=0 の方程式を解くには、どのようにして とけばよいでしょうか。 よろしくお願いします。 7426．Re: 二次方程式 名前：ヨッシー    日付：5月14日(水) 18時51分 問題を全文書いていただけますか？ ｘ、ｙの範囲とかの条件がないと、このままでは解けません。 例えば、(x, y)=(0, -3), (-6, -9), (-6, -21) など、解はいっぱいあります。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7427．Re: 二次方程式 名前：たかし    日付：5月14日(水) 18時59分 ヨッシーさん、すみません、問題は、 　x,yが実数のとき、次の方程式を求めよ。 　　　5x^2-4xy+y^2+6y+9=0 です。 答えだけしかなく、(x, y)=(0, -3),(-12/5,-3) とあります。 7450．Re: 二次方程式 名前：ヨッシー    日付：5月15日(木) 10時40分 もし、市販の問題集なら、何の何番とか書いていただけますか？ オリジナルなら、作成者に意図を聞くしかありませんが。 　 http://yosshy.sansu.org/

7417．算数‐面積

名前：M.M.(大学3年）    日付：5月14日(水) 0時0分

皆さん高度な質問をされている中、算数の問題なのですが・・・ 「底辺×高さ÷2を使って、百角形の面積を求めるのに、何ヶ所測定したらよいか」という問題について、解説お願いいたします。 7418．Re: 算数‐面積 名前：中川　幸一    日付：5月14日(水) 0時20分 格子点上を結んで出来た100角形ならピックの定理を使うと容易に面積が求められます。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7420．Re: 算数‐面積 名前：ヨッシー    日付：5月14日(水) 6時33分 百角形を対角線で切ると、９８個の三角形に分けられます。 高さはそれぞれの三角形１つずつ測らないと仕方ありませんが、 底辺はうまくやれば、２つの三角形で１回測るだけで済みます。 四角形だと、１本の対角線で２つの三角形に分け、 対角線が共通の底辺、高さはそれぞれ測って、合計３回です。 六角形だと、底辺２回、高さ４回で、合計６回です。 　　 http://yosshy.sansu.org/ 7428．ありがとうございます！ 名前：M.M.(大学3年）    日付：5月14日(水) 19時0分 中川さん、ヨッシーさんどうもありがとうございました。 ヨッシーさんの説明、分かりました。 中川さんの「ピックの定理」ってなんですか？ すみません。 7446．Re: 算数‐面積 名前：中川　幸一    日付：5月15日(木) 0時50分 格子点のみを頂点に持つ多角形の面積は, (1/2)×(周上の点の個数)+(内部の点の個数)-1 である。即ち S を面積, 周上の点の個数を N, 内部の点の個数を P として, S=(1/2)N+P-1 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

7415．(untitled)

名前：数学バカ    日付：5月13日(火) 23時10分

次の不等式を解け ｜ｘ＋2｜＞3ｘ 解答には、ｘ≧3のとき　ｘ−3≦2ｘ　ゆえに　ｘ≧−３ これと、条件ｘ≧3の共通部分は　ｘ≧3 まだ続きますが 共通部分の意味がわかりません 7416．Re: (untitled) 名前：たかし    日付：5月13日(火) 23時32分 ｙ1＝｜ｘ＋2｜ ｙ2＝3ｘ として、２直線のグラフをかいてみて、 ｙ1＞ｙ2 となるｘを求めるだけなんだけどね〜〜。 7423．Re: (untitled) 名前：ヨッシー    日付：5月14日(水) 9時1分 その解答は別の問題のものではないですか？ 　 http://yosshy.sansu.org/ 7435．Re: (untitled) 名前：数学バカ    日付：5月14日(水) 22時58分 問題の下に解答がありますから間違いありません 7440．Re: (untitled) 名前：ヨッシー    日付：5月14日(水) 23時24分 なら、その問題集だかテキストが間違いです。 解答を書くと、 ｘ≧−２ のとき　ｘ＋２＞３ｘ　ゆえに　ｘ＜１ これと、条件ｘ≧−２ の共通部分は　−２≦ｘ＜１ ｘ＜−２ のとき　−ｘ−２＞３ｘ　ゆえに　ｘ＜−１／２ これと、条件ｘ＜−２ の共通部分は　ｘ＜−２ 以上より、ｘ＜１ ｜ｘ＋2｜＞3ｘ　と　ｘ−3≦2ｘ では、不等号の向き、等号が入っている点 など、似ても似つきませんね。 おそらく、（というか間違いなく） 　｜ｘ−３｜≦２ｘ という問題からの、誤引用でしょう。 　 http://yosshy.sansu.org/

7411．行列

名前：ティム（大学３年）    日付：5月13日(火) 18時57分

1　a Ａ＝　2 b 　　　3 c 　　　4 d Ｂ＝ 5 6 7 8 　　　x y z w (1)ＡＢを計算せよ。また、|ＡＢ|＝0を示せ。 (2)行列 2 -1 1 Ｃ＝ 1 -1 1 -2 1 -1 を対角化せよ。つまり、Ｐ^-1ＣＰが対角行列となる正則行列Ｐを求めよ。 授業で、解かなければなりません。どなたか教えてください。大括弧が打てないパソコン初心者ですみません・・・。 7422．Re: 行列 名前：ast    日付：5月14日(水) 8時8分 (1) は定義に従って普通に計算してください. 行列式は, 他に関係式があるはずで私には解けません. (2) は C の固有値を求め, その固有値に属する固有ベクトルを 求めることで P が見つかります. #大括弧なんてのは存在しませんから, 誰にもかけません.

7410．導関数と接線

名前：優    日付：5月13日(火) 18時43分

曲線Ｃ：ａｘ3＋ｂｘ2＋ｃｘ＋ｄが、 ｘ＝０で放物線ｙ＝ｘ2−２ｘ＋３と共通な接線をもつとき、 ｃとｄの値を求めよ。 更に、曲線Ｃがｘ＝２で直線ｙ＝３ｘ−７に接するとき、 ａとｂの値を求めよ。 ☆ｃ＝−２、ｄ＝３と出たのですが、「更に〜」の部分からが解けません。 7412．Re: 導関数と接線 名前：田村　正和    日付：5月13日(火) 19時13分 ｘ＝２で共通な接線をもつとき ｘ＝２で接するときとは同じ意味だと思います。 したがってさっきと同様にとけばよく a＝５/４ ｂ＝−５/２となります。 すいません。即レスしたので計算ミスしてたらごめんなさい。 7424．Re: 導関数と接線 名前：ヨッシー    日付：5月14日(水) 9時12分 「更に」以降から読みとれることは、 直線　ｙ＝３ｘ−７　はｘ＝２のときｙ＝−１なので、 曲線Ｃは点（２，−１）を通る。 その点における接線が　ｙ＝３ｘ−７　なので、接線の傾きは３である。 ということです。 　y=f(x)=ａｘ3＋ｂｘ2＋ｃｘ＋ｄ とおくと、 　f(2)=-1, f'(2)=3 を解けばいいです。 答えは、田村正和さんの通り。 　 http://yosshy.sansu.org/

7403．ハノイの塔

名前：芝田茂史    日付：5月13日(火) 11時2分

ハノイの塔について調べる

7402．一次変換

名前：あごら    日付：5月13日(火) 10時59分

一次変換にて、不動直線が原点を通らない場合、 その一次変換は正則であるというのを示すには、 どのようにすればよいのでしょうか。 「正則でない一次変換の不動直線は、 　必ず原点を通る」を証明して、”対偶をとる”以外に 証明方法はあるのでしょうか。 よろしくお願いします。 7405．Re: 一次変換 名前：ころっさす    日付：5月13日(火) 13時49分 R^2 上の一次変換 f (表現行列 A) が原点を通らない不動直線 L を持つならば， L 上の異なる任意の2点の位置ベクトル p，q に対し，L の不動性より Ap≠Aq であり， L が原点を通らないので Ap，Aq は線型独立，故 |A||(p q)|=|(Ap Aq)|≠0． 7406．Re: 一次変換 名前：あごら    日付：5月13日(火) 15時40分 "ころっさす"さん、ありがとうございます。納得です。 で、下記２×２の行列をあらわす一次変換において 　（ｋ　１）　←１行目の成分 　（１　ｋ）　←２行目の成分 の不動直線を、ｋの値ごとに求めなさい、という問題で、 　(1)逆行列を持つ場合 と 　(2)逆行列を持たない場合 と・・・といていっているのですが、 答： 　(a)k=0のとき　　　 y=-x+n　y=x 　(b)k=2のとき　　　 y=-x　　y=x+n 　(b)それ以外のとき　y=-x　　y=x 　※nは任意の実数 に、たどり着かないのですが、どなたか教えてください。 ＃別タイトルをつけるべきかも。ごめんなさい。２つも質問して。 7407．Re: 一次変換 名前：ヨッシー    日付：5月13日(火) 16時7分 不動直線を　ｙ＝ａｘ＋ｂ　とおいて、この直線上の点 　（ｘ、ａｘ＋ｂ） を、変換した後の点（ｋｘ＋ａｘ＋ｂ，ｘ＋ａｋｘ＋ｋｂ）が、やはり、 ｙ＝ａｘ＋ｂ上にあることより、 　ｘ＋ａｋｘ＋ｋｂ＝ａ(ｋｘ＋ａｘ＋ｂ)＋ｂ 　(１−ａ^2)ｘ＋(ｂｋ−ａｂ−ｂ)＝０ これがｘの恒等式となり、 　１−ａ^2＝０、ｂｋ−ａｂ−ｂ＝０ あとは、ａ＝１とａ＝−１に場合分けして、ｂ、ｋを決めます。 なお、不動直線が、　ｘ＝ｔ という形の場合は、点（ｔ、ｙ）（ｔは定数）を変換した 点（ｔｋ＋ｙ，ｔ＋ｋｙ）が常に、ｘ＝ｔ上にあることはない（＝ｘが定数にならない） ので、ｙ軸に平行な不動直線はありません。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7408．Re: 一次変換 名前：ころっさす    日付：5月13日(火) 16時8分 その答は不変直線ですね．ご所望は，不変，不動，何れでしょうか？ 7409．Re: 一次変換 名前：あごら    日付：5月13日(火) 16時22分 REPLYありがとうございます。 問題を正確に記述してなくてすみません、 正確には、 下記２×２の行列をあらわす一次変換 　（ｋ　１）　←１行目の成分 　（１　ｋ）　←２行目の成分 によって、自分自身に移される直線を求めたい。 ｋの値に応じて、その直線の方程式を求めよ。 とあります。

7395．(untitled)

名前：数学バカ    日付：5月12日(月) 23時36分

｜2ｘ｜＋｜ｘ−5｜＝8 このような場合はどうなるのですか？ 7396．Re: (untitled) 名前：数学バカ    日付：5月12日(月) 23時37分 この方程式を解く問題です 7397．Re: (untitled) 名前：ヨッシー    日付：5月12日(月) 23時57分 |2x| は x=0 を境にして、正負が入れ替わります。 |x-5| は x=5 を境にして、正負が入れ替わります。 従って、ｘ＜０、０≦ｘ＜５、５≦ｘ の３つに場合分けして、考えます。 　 http://yosshy.sansu.org/

7388．ありがとうございました。

名前：あい（高３年）    日付：5月12日(月) 22時0分

GEMINI さん、Ｂｏｂさん答えてくださって どうもありがとうございました。 代入の仕方は、ＧＥＭＩＮＩさんにもおしえていただいたのですが、 Ｂｏｂさんにもう１つ質問があります。 よろしくおねがいいたします。 ベクトルＤＥ＝−１／２　ベクトルＢＣ ベクトルＢＨ＝３／４ベクトルＢＣ この2つから、ベクトルＤＥ＝−２／３ベクトルＢＣ と終りにあったのですが、 ベクトルＤＥ＝−１／２　ベクトルＢＣ ベクトルＢＨ＝３／４ベクトルＢＣ から、ＤＥ＝−２／３ベクトルＢＣにもっていく とちゅうの計算式を教えてください。 あと、このベクトルの問題ともう１つ質問を したのですが、どうしてもときかたがわかりません。＾＾； わかるかた教えてください。おねがいします。 7393．Ｂｏｂさんではないですが… 名前：K.N.G.    日付：5月12日(月) 23時18分 ＞ベクトルＤＥ＝−１／２　ベクトルＢＣ ＞ベクトルＢＨ＝３／４ベクトルＢＣ ＞から、ＤＥ＝−２／３ベクトルＢＣにもっていく ＞とちゅうの計算式を教えてください。 　BH=(3/4)BC　より (4/3)BH=BC，即ち BC=(4/3)BH． これを DE=(-1/2)BC に代入すると， 　DE=(-1/2)×(4/3)BH=(-2/3)BH になります． って，あれ？ あいさん， ＞から、ＤＥ＝−２／３ベクトルＢＣにもっていく と書かれていますが， 　から、ＤＥ＝−２／３ベクトルＢＨ の間違いではないですか？ 7401．私のミスでした 名前：Ｂｏｂ    日付：5月13日(火) 10時46分 ベクトルＤＥ＝−１／２　ベクトルＢＣ…�@ ベクトルＢＨ＝３／４ベクトルＢＣ…�A �Aを変形するとベクトルＢＣ＝４／３　ベクトルＢＨとなりこれを �@に代入すると、ベクトルＤＥ＝（−１／２）・４／３ベクトルＢＨ 計算して、ベクトルＤＥ＝−２／３ベクトルＢＨ 最後のところＢＨの誤りでした。 ＞このベクトルの問題ともう１つ質問を したのですが、どうしてもときかたがわかりません どの問題でしょうか？　もう一度このレスの下にコピー　ペーストで つなげてください。 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/ 7404．ひょっとして… 名前：Ｂｏｂ    日付：5月13日(火) 11時11分 「例１１の平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、辺ＢＣを４等分する 点を点Ｂに近い方から、Ｆ、Ｇ、Ｈとする。このとき、 ＦＣベクトルへいこうＢＧベクトルであることを ベクトルを用いて示せ。 ＦＣベクトル＝３／２ＢＧベクトルを示す。 とあるのですが、これまでのもっていきかたがわかりません」 この問題でしょうか？下に解説いれておきます。 ----------------------------------------------------- 以前　私が書いたように、ベクトルｂとａが平行のとき 「ベクトルｂ＝kベクトルａ　をみたす実数ｋが存在する」というきまりがあります。 よってＦＣベクトル平行ＢＧベクトルを示すには、 ＦＣベクトル＝ｋ×ＢＧベクトルとなるｋが存在すればいい。 まず図を書くと、ＢＦベクトルをベクトルａと決めると ＦＧベクトルもＧＨベクトルもＨＣベクトルもベクトルａとなりますね。 ……なぜなら方向と大きさ（長さ）がいっしょのベクトルは等しいからです。 そうすると、ＢＧベクトルはＢＦベクトルが２つ分なので２×ベクトルａ になる。またＦＣベクトルはＢＦベクトルが３つ分なので３×ベクトルａ になる。 ＢＧベクトル＝２×ベクトルａ−−−�@ ＦＣベクトル＝３×ベクトルａ−−−�A �@よりベクトルａ＝１／２　ベクトルａとなりこれを�Aに代入 ＦＣベクトル＝３／２ＢＧベクトル ｋ＝３／２　が見つかったのでＦＣベクトル平行ＢＧベクトルになる。 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

7382．(untitled)

名前：数学バカ    日付：5月12日(月) 20時17分

次の方程式を解け ｜ｘ＋2｜＝3ｘ この問題の意味がわかりません 数�Tの問題です 7383．Re: (untitled) 名前：田村　正和    日付：5月12日(月) 20時57分 わかりますその気持ち。私も絶対値で迷いました。 絶対値の中は正か負かわからないので ｜Ａ｜＝Ｂというのは −Ａ＝ＢまたはＡ＝Ｂであるということです。 ですから両方の可能性があるわけです。 今回の場合は３ｘ＝−（ｘ＋２） 　　ｘ＝−１/２ ３ｘ＝ｘ＋２ 　　ｘ＝１の両方が答えです。 両方とも検算してみましょう。ちゃんと成り立っていますね。 7384．Re: (untitled) 名前：田村　正和    日付：5月12日(月) 20時59分 あ、私がばかでした。ちがいます。 7385．Re: (untitled) 名前：田村　正和    日付：5月12日(月) 21時12分 今回は３ｘ＞０という条件があるので−１/２はだめで ｘ＝１だけが答えです。 7390．Re: (untitled) 名前：中川　幸一    日付：5月12日(月) 22時11分 今回の場合は, 場合分けをしなくても解けます。 |x+2|2=(3x)2 iff 8x2-4x-4=0 iff 2x2-x-1=0 iff (2x+1)(x-1)=0 iff x=-1/2, 1 3x＞0 iff x＞0 より, x=1 ∴ x=1 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7391．Re: (untitled) 名前：しんちー    日付：5月12日(月) 22時35分 細かいですが、右辺に関する条件は x≧0 のほうがいいかと。 7394．Re: (untitled) 名前：数学バカ    日付：5月12日(月) 23時34分 ありがとうございます 7419．見落としていました。 名前：中川　幸一    日付：5月14日(水) 0時23分 絶対値ですから, 0より大きいじゃなくて0以上ですね。 ごめんなさい。忘れていました。 もうそろそろ年であろうか…。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

7377．対称な点

名前：kura（高校２年）    日付：5月12日(月) 16時33分

直線y＝x+1に関して、点Pと対称な点をQとする。 点Pが直線y＝2x上を動くとき、点Qはある直線上を動く。 この直線を求めなさい。 直線y=2xに関して、 直線2x+3y=6と対称な直線の方程式を求めなさい。 まず交点から求めたのですが、その後の計算がなかなか上手くいきません。 よろしくお願いします！ 7378．Re: 対称な点 名前：ヨッシー    日付：5月12日(月) 18時27分 まず、最初の方。 点Ｐから点Ｑへの写し方は、 　・ｙ軸方向に−１移動 　・ｙ＝ｘに関して対称移動 　・ｙ軸方向に１移動 直線ｙ＝２ｘ上の点は、（ｔ，２ｔ）と表せます。 上記の手順に沿って写すと、 　（ｔ，２ｔ）→（ｔ，２ｔ−１）→（２ｔ−１，ｔ）→（２ｔ−１，ｔ＋１） ｘ＝２ｔ−１，ｙ＝ｔ＋１　とおいて、ｔを消去すると、 　ｘ＝２ｙ−３　または　ｙ＝（ｘ＋３）／２ 一般的にはこんな感じですが、 ＞点Qはある直線上を動く。 と、言い切っているので、方眼紙にグラフを描いて、ｙ＝２ｘ 上の わかりやすい２点を、対称移動させて、直線で結べば、答えは得られます。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7386．Re: 対称な点 名前：kura（高校２年）    日付：5月12日(月) 21時45分 (2)の返信を見たのですが、 ＞点Qはある直線上を動く。 ＞と、言い切っているので、方眼紙にグラフを描いて、ｙ＝２ｘ 上の ＞わかりやすい２点を、対称移動させて、直線で結べば、答えは得られます。 これは、二つの交点の座標が（３/４，３/２）なので 方眼紙で対称移動するのは難しいと思います。 それにこの問題のヒントによると 軌跡の考え方も利用していいのらしいのですが よくわからなかったので、高校の先生のやり方 （交点を求めてから、点P（直線2x+3y=6上の点）を仮に定めてから PQ⊥（y=2x）で交点の座標を求める) でやったのですがうまくいきません！ ちなみに(2)の答えは6x+17y=30です。 (1)も(2)と同様にやってみたのですが、 答えがわからず あっているのかどうかで困ってます。 どうかよろしくお願いします！！ 7392．Re: 対称な点 名前：kura（高校２年）    日付：5月12日(月) 23時6分 明日の７時ぐらいにまた来ますので よろしくお願いします！ 7398．Re: 対称な点 名前：ヨッシー    日付：5月13日(火) 0時1分 上の記事、全部 (1) についてのコメントなんですが(^^; 　 http://yosshy.sansu.org/ 7399．Re: 対称な点 名前：ヨッシー    日付：5月13日(火) 1時28分 私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7400．Re: 対称な点 名前：kura（高校２年）    日付：5月13日(火) 6時46分 解答どうもありがとうございました。 本当に助かりました！！ ＞上の記事、全部 (1) についてのコメントなんですが(^^; すみません間違えました…！

7376．行列

名前：まり    日付：5月12日(月) 15時5分

行列で定義できない掛け算について詳しく教えてください。

7367．一次変換

名前：あごら    日付：5月12日(月) 1時57分

教えてください。 ２直線 　K：　ｘsinα−ycosα＝0 　L：　ｘsinβ−ycosβ＝0 に関する対称移動をそれぞれ、ｋ、ｌとするとき 合成ｌ・ｋは、2(βーα)の回転である、 の証明方法がわかりません。 7368．Re: 一次変換 名前：ヨッシー    日付：5月12日(月) 7時5分 私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7370．Re: 一次変換 名前：あごら    日付：5月12日(月) 9時9分 ヨッシーさん、早速の回答 ありがとうございます。納得できました。 で、 　・−θの回転 　・ｘ軸に関して対称 　・θの回転 を、 　・ｘ軸に関して対称 　・２θ回転 としても、よいですよね。 7373．Re: 一次変換 名前：ヨッシー    日付：5月12日(月) 10時1分 よいですね。 　 http://yosshy.sansu.org/

7361．数列

名前：だめ男    日付：5月11日(日) 21時20分

ｎ　 bｎ＝�煤i2k−3）2＾k 　　k＝1 の計算がいまいちよくわかりません。(−.−)lllああ・・　　　 7362．Re: 数列 名前：ＴＫ（新高二）    日付：5月11日(日) 21時54分 bn=-1･21+1･22+3･23+･･･+(2n-3)･2n 2bn= -1･22+1･23+3･24+･･･+{2(n-1)-3}･2n+(2n-3)･2n+1 で上の式を辺々引くと・・・・・ 7364．Re: 数列 名前：ヨッシー    日付：5月11日(日) 22時0分 　bn = -1・2 + 1・4 + 3・8 + ・・・ + (2n-3)2n ２倍して 2bn = 　　　-1・4 + 1・8 + ・・・ + (2n-5)2n + (2n-3)2n+1 下の式から上の式を引いて 　bn = 2 - 2(4 + 8 + ・・・ + 2n) + (2n-3)2n+1 　　= 2 - 2・(2n+1 - 4) + (2n-3)2n+1 　　= 10 + (2n-5)2n+1 　 http://yosshy.sansu.org/ 7365．Re: 数列 名前：だめ男    日付：5月11日(日) 22時0分 引いてからその後の整理の仕方をできればお願いしたいのですが。申し訳ないです 7366．Re: 数列 名前：だめ男    日付：5月11日(日) 22時2分 おおおジャストミイトーー よーーし研究します。 tkさん、ヨッシーさんありがとうございました。 7369．Re: 数列 名前：ヨッシー    日付：5月12日(月) 7時6分 an = (2n−3)2n とおきます。 ２ページほど前にある repunit さんのやり方にならうと f(n) = (-2n+7)2n を考えると、 f(n) - f(n+1) = an なので、 bn = a1 + a2 + ・・・ + an 　 = {f(1)-f(2)} + {f(2)-f(3)} + ・・・ + {f(n)-f(n+1)} 　 = f(1) - f(n+1) 　 = 10 - (-2n+5)2n+1 　 http://yosshy.sansu.org/

7348．平行線と線分の比の証明

名前：おさる    日付：5月11日(日) 13時27分

こんにちわ。中�Bです。今回の質問はぁ、平行線と比の証明です。 問題　２つの直線Ｌ、Ｍが平行な直線a,b,c,と同じ順に、Ｐ、Ｑ、Ｒ、‘Ｐ 　　　‘Ｑ‘Ｒで交わる時ＰＱ；ＱＲ＝‘Ｐ‘Ｑ；‘ＱＲである。この証明を　　　Ｌ、Ｍを延長して交わる点をＯとして△ＯＱ‘Ｑと△ＯＲ‘Ｒを使って　　　証明する。 　　　　　　分かるかたお願いしますです。 7350．Re: 平行線と線分の比の証明 名前：Ｂｏｂ    日付：5月11日(日) 14時44分 私のホームページの掲示板に解答をのせておきました。 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

7346．数学についての質問

名前：ナオト    日付：5月11日(日) 12時46分

数学を社会に出たときにどのような場面で使用されるのですか？微分積分、２次関数や方程式。教えてください。自分は高校３年生です。お願いします。 7374．Re: 数学についての質問 名前：花パジャ    日付：5月12日(月) 10時20分 高校くらいまでの学問は大抵序章程度です。 社会に出て、すごく役立つこともありますし 全然役に立たないかもしれません。 ナオトさんが社会に出てしたいことは何ですか? そのために数学が必要そうなら、その旨助言はできるかもしれません。 ただし、不要かは断言できません。 ナオトさんが社会に出て、今の望み通りになるわけではないですし 望み通りになったとして、今と同様に数学が不要な世界でいるとは限らないですから まぁ、例えば、車の運転は何の役に立つか? いや、役に立たない、運転手を雇う人間になればいい、 という回答もあるでしょうからねぇ 将来に役立つか?という意味での質問ではなく こいつらの使いみちを知りたいという程度なら... 業務上予測を立てる必要がある時に 数学的なモデルを立てる事が有用なことがあり そんなときに便利だったりするけど...

7339．お願い

名前：GEMINI    日付：5月11日(日) 3時48分

ネット世界中調べたんですがわかりません。高校の範囲内で空間ベクトルの外積を証明することはできますか？行列で証明できるって話を聞いたんですが、どうにもこうにも・・・高３を超えて大学生未満の浪人生です。もしよろしければ教えてください。お願いします。

7337．質問です。

名前：田村　正和    日付：5月11日(日) 0時43分

なんだか最近ＭＫＧでは私のことが嫌いな人が多いようなので質問はここでさせていただきます。 ちなみに私は大学１年です。 tanｘの微分を増分の方法を使って求める方法を教えてください。 増分の方法とはあのlim（ｈ→０）｛ｆ（ｘ＋ｈ）−ｆ（ｘ）｝/ｈのことです。 ついでに｛sin（ｘ＋ｈ）/cos（ｘ＋ｈ）｝−（sinｘ/cosｘ）でやる方法は知っています。 それは使わないでtanの加法定理を使って示せますか？ 7338．Re: 質問です。 名前：中川　幸一    日付：5月11日(日) 0時53分 基本的な方法解いては, (sin x) ' =lim[h→0]_[{sin (x+h)-sin x}/h] =lim[h→0]_[{2cos (x + h/2)sin h/2}/h] =2 lim[h→0]_{cos (x + h/2)}lim[h→0]_{(sin h/2)/h} =2×cos x × 1/2 =cos x (cos x) ' についても同様な操作で求め, (tan x) ' ={(sin x)/(cos x)} ' =(cos2 x + sin2 x)/(cos2 x) =1/cos2 x =sec2 x と求めていく方法が Popular ではないでしょうか？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7340．Re: 質問です。 名前：花パジャ    日付：5月11日(日) 10時12分 >それは使わないでtanの加法定理を使って示せますか？ 示せないですか? lim(h→0){1/(h/tan(h)-h*tan(x))=1 を示すだけですよね?

7330．(untitled)

名前：崇    日付：5月10日(土) 23時36分

三点A(-5,-4),B(4,-1),C(-4,3)を頂点とする三角形の内心の座標を求めよ 7331．Re: (untitled) 名前：崇    日付：5月10日(土) 23時37分 すいません。今高2です。 7333．Re: (untitled) 名前：中川　幸一    日付：5月10日(土) 23時53分 平面幾何的な内心点の性質は知っていますか？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7335．Re: (untitled) 名前：田村　正和    日付：5月11日(日) 0時22分 すいません。中川さんとかぶるかもしれませんが。 計算しているうちにめんどいので方針だけ示しておきます。 点Ａを（−４、３）点Ｂを（−５、−４）点Ｃを（４、−１）とします。 三角形の内心は幾何の性質から 直線ＡＢと直線ＡＣの角の内分線のうちの（図より判断して）一本と 直線ＡＢと直線ＢＣの角の内分線のうちの（図より判断して）一本 の交点です。 たとえば２直線２ｘ＋ｙ−３＝０とｘ−２ｙ＋１＝０のなす角の２等分線の方程式を求めてみます。 角の２等分線上に任意の点Ｐ（ｘ、ｙ）をとる。 Ｐと２ｘ＋ｙ−３＝０との距離はｌ２ｘ＋ｙ−３ｌ/√５ Ｐとｘ−２ｙ＋１＝０との距離はｌｘ−２ｙ＋１ｌ/√５ よって２ｘ＋ｙ−３＝±（ｘ−２ｙ＋１） したがってｘ−３ｙ−４＝０、３ｘ−ｙ−２＝０ 本件は図より判断してどちらの直線か決めてください。 7336．計算上のAdvice 名前：中川　幸一    日付：5月11日(日) 0時26分 座標で角度が絡んでくる場合は, 複素数平面上で考えると楽なときもあります。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7421．Re: (untitled) 名前：repunit    日付：5月14日(水) 7時47分 内心を I とおくと、(BC+CA+AB)OI=BC*OA+CA*OB+AB*OC であることを 用いる手もあります。この問題の場合、AB, BC, CA が比較的簡単な形でかけるので 有効かもしれません。

7326．コサイン

名前：あい（高３年）    日付：5月10日(土) 23時13分

高１で習ったことだと思うのですが、・・ ｃｏｓ９０°が０で、 −ｃｏｓ１２０°が−１／２になるのか、教えてください。 あと、一辺の長さをａとする正六角形ＡＢＣＤＥＦ について、次の内積を求めよ。 というので、ＢＣベクトル・ＥＦベクトルが −ａの２乗 になるのか導きかたを教えてください。 7328．まずは三角関数の疑問から…。 名前：中川　幸一    日付：5月10日(土) 23時25分 x2+y2=1 という関数を描いての説明は学校で習いませんでしたか？ この単位円上の点P は, 原点O(0, 0), 点X(1, 0) と定め, ∠POX=θ としたとき, 点P:(cos θ, sin θ) と表せる。 というのを習いませんでしたか？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7329．内積とは。 名前：中川　幸一    日付：5月10日(土) 23時30分 内積とは, 互いのベクトルの大きさの積に, 間のなす角の余弦を掛けたものです。あとはベクトルの性質を用いてベクトルの成分を写していって考えましょう。 もし分からないところがあるのならば, 分からない箇所を明確にし, どこまで自ら導けたのかも記入しましょう。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7332．Re: コサイン 名前：あい（高３年）    日付：5月10日(土) 23時45分 あまり覚えていません。( ;ーー)ﾍ.. ＢＣベクトル・ＥＦベクトルの計算は、 ａベクトル・ａベクトル・ｃｏｓ１８０°と そこまではでたのですが、ほんとうにこれで あっているのか、ｃｏｓ１８０°がなんなのか わからないのです。(-"-;A ...アセアセ 7334．Re: コサイン 名前：中川　幸一    日付：5月11日(日) 0時9分 添付した図を参考に下記解説をご覧ください。 ちなみにベクトルXYというものがあったとすると XY と表記することにします。 BC=OD EF=OA としても良いことは分かりますね？ すると ∠DOA はいくつになるでしょう？ そうです。見ての通り 180°となりますね？ あとは, あいさんの思っているような考え方でよいと思います。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7341．Re: コサイン 名前：あい（高３年）    日付：5月11日(日) 10時31分 どうもありがとうございました。 Ｏを中心にずらして考えればいいのですね。

7324．続きで・・・

名前：あい（高３年）    日付：5月10日(土) 23時1分

↓のつづきで、 例１１の平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、辺ＢＣを４等分する 点を点Ｂに近い方から、Ｆ、Ｇ、Ｈとする。このとき、 ＦＧベクトルへいこうＢＧベクトルであることを ベクトルを用いて示せ。 ＦＣベクトル＝３／２ＢＧベクトルを示す。 とあるのですが、これまでのもっていきかたがわかりません。 教えてください。よろしくお願します。

7323．ベクトル

名前：あい（高３年）    日付：5月10日(土) 22時58分

前は答えてくださってどうもありがとうございました。 また、よろしくお願いたします。 （例１１）平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、辺ＡＤの中点をＥと するとき、ＡＥベクトル平行ＢＣベクトルであることを ベクトル。 例１１の平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、辺ＢＣを４等分する点を 点Ｂに近い方から。Ｆ、Ｇ、Ｈとする。このとき、 ＤＥベクトルへいこうＢＨベクトルであることを、 ベクトルを用いて示せ。 とあって、ＤＥベクトル＝−２／３ＢＨベクトルを示す。 とあるのですが、導き方がわかりません。 教えてください。よろしくお願いします。 7325．Re: ベクトル 名前：しんちー    日付：5月10日(土) 23時5分 例11の解き方は応用できそうにないですか？ 基本的にこういう問題は、すべてのベクトルを 「ABとADで表す」ことによって証明できます。 ＃かぎカッコ内の意味はわかりますか？ 7342．Re: ベクトル 名前：あい（高３年）    日付：5月11日(日) 10時31分 すみません。意味があまりよくわからないです。(T△T) 7353．Re: ベクトル 名前：GEMINI    日付：5月11日(日) 15時25分 「ベクトルは長さと方向が同じならば同じベクトルだ」とか使ってもいいなら証明できなくもない気が・・・いちおうベクトルの大原則ですが・・・ で、平行を示したければ、例えばaベクトルとｂベクトルがあったとき aベクトル＝ｋ（定数）×ｂベクトルとあらわされればaベクトル平行bベクトルとかその近くに書いてありそうなもんですが・・・ ＡＢ＝ＢＣ（長さ）　２ＡＥ＝ＡＤ　３ＢＣ＝４ＢＨ　ＡＤベクトル＝ＢＣベクトル＝−ＤＡベクトル（ベクトルが方向逆なら前にマイナスを・・・とどこかしらに書いてあるはず）（前の二つは長さも方向も同じ。平行四辺形だから） よってＤＥベクトル＝−ＥＤベクトル＝−１/2ＡＤベクトル・・・�@ ＢＨベクトル＝３/4ＢＣベクトル・・・�A ＡＤベクトル＝ＢＣベクトルより・・・�B �@からＡＤベクトル＝-2DEベクトル・・・�@’ �AからＢＣベクトル＝4/3BCベクトル・・・�A’ �@’�A’を�Bに代入 -2DEベクトル＝4/3BCベクトル よって ＤＥベクトル＝−２／３ＢＨ（aベクトル＝ｋ（定数）×ｂベクトルのかたち） ＤＥベクトル＝k（定数）×ＢＣベクトルとあらわされたのでこれら２本は平行といえる。 ・・・あんまり厳密な証明ではないかも・・・ あ、後、受験生なら良かったらどうぞ↓ http://f12.aaacafe.ne.jp/~tenpei/ 7354．Re: ベクトル 名前：Ｂｏｂ    日付：5月11日(日) 15時49分 まず図を書きながら考えましょう。（ここでは図が使えないんで） まずベクトルの性質に付いて話します。 ベクトルは向きと大きさ（長さ）がいっしょのとき等しいベクトルと言います。ベクトル同士が平行のとき ベクトルａ＝ｋベクトルｂ　のように表せます。（ｋは定数でマイナスだったりもします。その場合、ａとｂは逆向きのベクトルを意味します） さて、本題に入りますが、例11のほうは、図に書いてみると、上に書いたことより、ベクトルのＡＢとＤＣは等しいベクトルといえるでしょう。（平行四辺形の対辺は等しいし平行なので向きも同じ）同様にＡＤとＢＣも等しいです。 そうするとＥはＡＤの真ん中なのでＡＥはＡＤの半分の長さです。 さらにベクトルＡＥもＡＤも方向がいっしょなので、ＡＥとＢＣも方向が同じです。そこで上で書いた平行の時の公式 から　ＡＥベクトル＝1／２　ＢＣベクトル　と表せるので平行なのです。 後半の問題をやる前に、例11の図の中にＦ、Ｇ、Ｈを記入してください。 そうしたらＢＣに注目してください。ベクトルＢＦは方向はベクトルＢＣと同じで長さは１／４です。同様にやるとベクトルＢＨは３／４ベクトルＢＣです。 またＤＥベクトルですが、こんどはベクトルＡＤに注目すると、向きが逆で長さ半分なので、ベクトルＤＥ＝−１／２　ベクトルＡＤ　（逆向きは−をつける） そうするとベクトルＡＤ＝ベクトルＢＣだから ベクトルＤＥ＝−１／２　ベクトルＢＣ ベクトルＢＨ＝３／４ベクトルＢＣ この2つから、ベクトルＤＥ＝−２／３ベクトルＢＣ になる。 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

7322．(untitled)

名前：再び    日付：5月10日(土) 22時43分

どんな大きさの円も直径と円周の比は一定である 前に書いたのが間違ってました。これはどう示したらいいのですか？ 7347．Re: (untitled) 名前：ころっさす    日付：5月11日(日) 12時58分 sin，cosを整級数で定義し，π:=2*(cosの[0,2]上の零点) とする現代的な立場なら， 任意の正数 r について 2*π=∫_{0}^{2*π} sqrt( ((r*cos(t))')^2 + ((r*sin(t))')^2 ) dt / r となることに従います． また， 円周の長さ=sup{その円周上に全ての頂点をもつ多角形の周の長さ} という流儀ならば，相似な三角形の対応する辺の長さの比の値が等しいこと， に帰着されます． 7351．横からすみません 名前：身の程知らずの高３    日付：5月11日(日) 15時0分 ＞　sin，cosを整級数で定義し，π:=2*(cosの[0,2]上の零点) とする と、sin, cos, πと円の関係を別に示しておく必要があるように思いますが、 それはどのようにやればよいでしょうか？ 7352．Re: (untitled) 名前：ころっさす    日付：5月11日(日) 15時12分 (a,b)∈Ｒ^2，r＞0 に対し， C:t∈[0,2*π]→(a+r*cos(t),b+r*sin(t))∈Ｒ^2 を中心=(a,b)，半径の長さ=r の円周と定義する立場です． 7355．なるほど 名前：身の程知らずの高３    日付：5月11日(日) 15時50分 すべてを解析的に定義するんですね。 7358．Re: (untitled) 名前：おぉぉぉぉぉっふぁ？    日付：5月11日(日) 18時11分 答えてくれてありがとうございました。 でも当方高１ですのでちょっとわからないのですが。 7371．ころっさすさんへ 名前：我疑う故に存在する我    日付：5月12日(月) 9時24分 >sin，cosを整級数で定義し，π:=2*(cosの[0,2]上の零点) とする現代的な立場なら， ★零点が存在すると言う事を示さなければいけませんよね。 >C:t∈[0,2*π]→(a+r*cos(t),b+r*sin(t))∈Ｒ^2を中心=(a,b)，半径の長さ=r の円周と定義する立場です． ★でもこの上で一定速度で回転すると言う事は、微分（速度）を取っても明らかではありません。どこかをうろうろするだけかも。この方法でやると全てについて厳密な数学的な証明が必要になってきます。この辺りの事は、証明したつもりでも厳密さに欠ける場合が多いから要注意。 7375．Re: (untitled) 名前：ころっさす    日付：5月12日(月) 10時51分 ＞ 零点が存在 および，一意であることの証明は入用ですが．こんな所でテキストを書くつもりは．．． ＞ でもこの上で一定速度で回転すると 円周についての先験的な何かを期待されているのでしょうか？ 反復となり恐縮ですが，上記の写像 C がその定義である，という立場です． 7379．Re: (untitled) 名前：我疑う故に存在する我    日付：5月12日(月) 18時48分 失礼。「定義」だったんですね。読み飛ばしていました。 7389．Re: (untitled) 名前：身の程知らずの高３    日付：5月12日(月) 22時7分 （像ではなく）写像そのものを「図形」と定義するのは、 何か理由があるのでしょうか？ 7414．Re: (untitled) 名前：しんちー    日付：5月13日(火) 23時6分 積分で曲線長を定義するときに、例えば、 像は円でも写像としては2周している場合があるからだと思います。 7434．Re: (untitled) 名前：身の程知らずの高３    日付：5月14日(水) 22時50分 なるほどです。

7314．(untitled)

名前：たけ    日付：5月10日(土) 19時57分

平面状に大きさ１の３つの相異なるa(ベクトル),b(ベクトル),c(ベクトル)があって、a(ベクトル)b(ベクトル)内積=b(ベクトル)c(ベクトル)内積=c(ベクトル)a(ベクトル)内積、を満たしている。このとき,c(ベクトル)をa(ベクトル),b(ベクトル)で表しなさい 7318．Re: (untitled) 名前：ヨッシー    日付：5月10日(土) 21時6分 　ａ＝ＯＡ 　ｂ＝ＯＢ 　ｃ＝ＯＣ とすると、ａ・ｃ＝ｂ・ｃ　より、 　ｃ・(ｂ−ａ)＝０ 　ＯＣ・ＡＢ＝０ となり、ＯＣとＡＢは垂直になります。 さらに、△ＯＡＢは ＯＡ＝ＯＢ の二等辺三角形であり、ＯからＡＢにおろした垂線は ＡＢの垂直二等分線で、点Ｃもこの延長上にあります。 よって、△ＡＢＣ は ＣＡ＝ＣＢ である二等辺三角形とわかります。 同様にＡＢ＝ＣＢ も言えるので、△ＡＢＣは正三角形、始点Ｏはその重心になります。 よって、ｃをａとｂで表すと．．．(以下略) 　 http://yosshy.sansu.org/

7311．ベクトルです

名前：たけ    日付：5月10日(土) 18時22分

a=(1,1)に対して、｜（ベクトル）a+t（ベクトル）b｜t=1はもとき最小値1をとるという。（ベクトル）bを求めよ 7312．お久しぶりです 名前：源秀哉    日付：5月10日(土) 19時49分 皆様、どうもおひさしぶりです。 問題の意味がいまいち見えて来ないのですが、とりあえず、b=(x,y)とおいて、どのように計算すればよいのか考えてみて下さい。 もし、問題の写し間違いがあれば、その辺りを修正して下さい。そうすれば、もう少しヒントを書きやすくなると思います。 7313．Re: ベクトルです 名前：たけ    日付：5月10日(土) 19時56分 > a=(1,1)に対し、｜（ベクトル）a+t（ベクトル）b｜はt=−1のとき最小値1をとるという。（ベクトル）bを求めよ 7321．Re: ベクトルです 名前：ヨッシー    日付：5月10日(土) 22時11分 ａ＋ｔｂ は、(1,1) を通って、ｂ に平行な直線の ベクトル方程式です。 原点からその直線上の点までの距離の最小が１となるというのは、 原点から直線におろした垂線の長さが、１だということです。 それをふまえて、上の図を、もっと正確に書くと、ｂ がどのような ベクトルか見えてきます。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7343．Re: ベクトルです 名前：たけ    日付：5月11日(日) 10時38分 答えはでたんですが、よくわかりません！どうなります？

7307．ベクトル

名前：koko    日付：5月10日(土) 17時28分

一辺の長さが１の正方形ABCDにおいて、辺BCを２：１に内分する点をM、辺CDの中点をNとするとき、ベクトルABと、ベクトルBNとの内積を求めよっていう問題がわかりません！高校２年生です。どうか、教えてください 7310．Re: ベクトル 名前：田村　正和    日付：5月10日(土) 18時14分 点Ａを原点として考えてみましょう。 ＡＢ（ベクトル）＝（０、−１） ＢＮ（ベクトル）＝（１、１/２）ですので 内積は−１/２です。 7316．Re: ベクトル 名前：たけ    日付：5月10日(土) 20時37分 > 一辺の長さが１の正方形ABCDにおいて、辺BCを２：１に内分する点をM、辺CDの中点をNとするとき、ベクトルAMと、ベクトルBNとの内積を求めよっていう問題がわかりません！高校２年生です。どうか、教えてくださいdesita 7320．Re: ベクトル 名前：田村　正和    日付：5月10日(土) 21時51分 あやっぱり。点Ｍはなんのためにあるのかと思いましたよ。 でも原理は同じ。 ＡＭ（ベクトル）＝（２/３、−１） ＢＮ（ベクトル）＝（１、１/２）で 内積は１/６です。 7344．Re: ベクトル 名前：たけ    日付：5月11日(日) 11時26分 なんで、この成分に成るんですか？ 7356．Re: ベクトル 名前：Ｂｏｂ    日付：5月11日(日) 16時2分 A(0,0)とするとＢ（０，−１）、Ｃ（１，−１）、Ｄ（１，０） になります。さらにＭ（２／３、−１）、Ｎ（１、−１／２） になることもわかるはず。 つぎにベクトルＡＭは成分であらわすと（２／３　−０、−１　−０） ＝（２／３、−１）　同様にベクトルＢＮは（１−０、−１／２−（−１）） ＝（１、１／２） 成分での内積の出し方は、２／３・１＋（−１）・１/２ ＝１／６ http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

7306．この証明ができません。

名前：姫    日付：5月10日(土) 17時9分

高２の数学の問題なのですが、どうしても解けません。 どなたか宜しくお願い致します。 異なる２直線ax＋by＋c＝0,mx＋ny＋p＝0について、次のことを証明せよ。ただし、 b≠0,n≠0とする。 （１）２直線が平行⇔an−mb＝0 （２）２直線が垂直⇔am＋bn＝0 7309．Re: この証明ができません。 名前：田村　正和    日付：5月10日(土) 18時5分 aｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０の直線の傾きは−a/ｂですよね。 平行ならば−a/ｂは同じ 垂直ならば−a/ｂの積は−１という点をふまえると 平行：−a/ｂ＝−ｍ/ｎ よってaｎ−ｍｂ＝０ 垂直：−a/ｂ・−ｍ/ｎ＝−１ よってaｍ＋ｂｎ＝０です 7327．Re: この証明ができません。 名前：中川　幸一    日付：5月10日(土) 23時19分 ベクトルを習っているのでしたら, そのあたりを教科書で確認してみてはいかがでしょうか？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

7301．空間

名前：つとむ    日付：5月10日(土) 15時49分

空間内の点と平面の距離の公式を詳しく説明してもらえませんか？ （証明） 7303．Re: 空間 名前：田村　正和    日付：5月10日(土) 16時48分 平面の方程式がaｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０と与えられているとき 点Ａ（ｘ１、ｙ１、ｚ１）からその平面におろした垂線の長さは Ａ（ｘ１、ｙ１、ｚ１）を通り、平面aｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０に垂直な直線はｐ（ベクトル）＝ＯＡ（ベクトル）＋ｔ（a、ｂ、ｃ） 　　　　　　　　　　　＝（ｘ１＋ｔa、ｙ１＋ｔｂ、ｚ１＋ｔｃ） ｘ＝aｔ＋ｘ１、ｙ＝ｂｔ＋ｙ１、ｃｔ＋ｚ１・・・・・１ １の平面の方程式に代入して （a＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２）ｔ＋aｘ１＋ｂｙ１＋ｃｚ１＋ｄ＝０ ｔ＝（aｘ１＋ｂｙ１＋ｃｚ１＋ｄ）/（a＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２） このｔについて１は平面と垂線の交点Ｂの座標を表す。 ＡＢ＾２＝（ｘ−ｘ１）＾２＋（ｙ−ｙ１）＾２＋（ｚ−ｚ１）＾２ 　　　　＝（a＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２）ｔ＾２ 　　　　＝｛（aｘ１＋ｂｙ１＋ｃｚ１＋ｄ）＾２｝/a＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２ 　　　　＝ans＾２ ＡＢ＝√ans 7304．追加 名前：田村　正和    日付：5月10日(土) 16時57分 「点Ａ（ｘ１、ｙ１、ｚ１）からその平面におろした垂線の長さ」はＡＢのことを言っています。 7305．Re: 空間 名前：ヨッシー    日付：5月10日(土) 17時7分 田村正和さんのと、だいたい同じですが、 私のページの「覚え書きコーナー」に「平面までの距離」を載せました。 また、田村正和さんの記事の中で、 ＞ｔ＝（aｘ１＋ｂｙ１＋ｃｚ１＋ｄ）/（a＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２） は、 ｔ＝−（aｘ１＋ｂｙ１＋ｃｚ１＋ｄ）/（a＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２） ですね。さらに、厳密に言うと ＡＢ＾２＝・・・＝ans＾２　と ＡＢ＝√ans　は、矛盾します。いっそ、ans は使わず ＡＢ＝｜aｘ１＋ｂｙ１＋ｃｚ１＋ｄ｜/√(a＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２) まで、持っていった方が良いでしょう。 　 http://yosshy.sansu.org/

7298．(untitled)

名前：おぉぉぉぉぉっふぁ？    日付：5月10日(土) 13時18分

円周＝直径＊円周率であることを示せ。 よくわかりません 7300．Re: (untitled) 名前：ast    日付：5月10日(土) 15時46分 円周率の定義式ですから, 示せも何もありません. 7315．Re: (untitled) 名前：ヨッシー    日付：5月10日(土) 20時36分 普通にこれだけが問題として出されることは、考えにくいです。 ひょっとしたら、どんな大きさの円も、直径と円周の比は一定である、 というような、根本的な問いかけなのでしょうか？ 　 http://yosshy.sansu.org/

7291．(untitled)

名前：WS.    日付：5月10日(土) 5時39分

いまいち一般的な三次方程式のやりかたがしっくりきません。解の公式があるって聞いたことがあるのですがどのようなものでしょうか・・・？そのものでなくてもどのようなものか知ってる方、教えて下さい〜！！ 7293．Re: (untitled) 名前：ヨッシー    日付：5月10日(土) 6時34分 私のページの「覚え書きコーナー」に「三次方程式の一般解」があります。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7319．Re: (untitled) 名前：WS.    日付：5月10日(土) 21時34分 どもです(^0^)

7289．積分

名前：IF    日付：5月9日(金) 23時47分

積分の本に「関数f(x)を長方形に区切ると、�凅とf(x)の積は長方形の面積になり、�凅を０に近づけていくとその面積はf(x)とx軸で囲まれる面積に近づく。その細かい長方形の面積を足すと�杷(x)�凅となり、その極限が積分∫f(x)dxである」というふうに書いてありました。これがなぜ微分の反対になるのかわかりません。教えてください。 7294．Re: 積分 名前：ヨッシー    日付：5月10日(土) 6時53分 とりあえず、f(x)＞0 の部分で考えます。 図のように、あるｘ座標の値 x0 から（これはどこからでも良い） ｘまでの面積をF(x) とします。 ｘがdxだけ増えると、F(x) は微小長方形の面積 f(x)×dx だけ増えます。 これを式で書くと、 　F(x+dx)-F(x) = f(x)dx となり、 　f(x) = {F(x+dx)-F(x)}/dx ここで、dx→0 の極限をとると、右辺は、F(x) の微分になります。 微分の逆が積分というより、面積を表す関数を想定して、それを微分すると、 元の関数になる、というとらえ方でどうでしょう？ 　 http://yosshy.sansu.org/

7287．合成変換ｆ・ｆ

名前：あごら    日付：5月9日(金) 21時34分

素朴な疑問です。 合成変換ｆ・ｆの不動点が原点以外にあるとき、 その不動点の集合Xは、原点を通る直線になると思うのですが そのXはｆによって、X自身に必ず移されるのでしょうか。 よろしくお願いします。 7299．Re: 合成変換ｆ・ｆ 名前：しんちー    日付：5月10日(土) 13時52分 f をx軸に関して対称点に移動する変換とすると、題意は成り立ちませんが、 このケースのように f o f が恒等変換になるって場合はずるいでしょうか？ 7372．Re: 合成変換ｆ・ｆ 名前：あごら    日付：5月12日(月) 9時28分 たしかに、 f をx軸に関して対称点に移動する変換とすると、 題意は成り立ちませんね。 f を原点以外に不動点を持たないという条件を 付加した場合、題意は満たすでしょうか。 7380．Re: 合成変換ｆ・ｆ 名前：しんちー    日付：5月12日(月) 18時48分 原点中心180°の回転変換を f としてみては。 7381．Re: 合成変換ｆ・ｆ 名前：しんちー    日付：5月12日(月) 18時50分 失礼、これもずるいですよね？ 昔大学への数学に「1次変換」でこういう感じの問題の特集が組まれてたんですよ。

7285．因数定理

名前：鯉    日付：5月9日(金) 20時52分

f(x)をxに関する２次式とする。{f(x)}^2−１はx^3−xで割り切れるという。f(x)を決定せよ。 f(1).f(−1).f(0)のときを考えました。f(x)=ax^2+bx+cとおいてc=±1で場合わけしたんですがうまく答えが出ません。 学年は高1です。 7286．Re: 因数定理 名前：ヨッシー    日付：5月9日(金) 21時27分 私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7288．Re: 因数定理 名前：鯉    日付：5月9日(金) 21時39分 よくわかりました。状況をもっときれいに整理できるよう心がけます。ありがとうございました。 7296．Re: 因数定理 名前：身の程知らずの高３    日付：5月10日(土) 9時32分 {f(x)}2-1=(f(x)-1)(f(x)+1) と因数分解しておくと、すこしラクかも。 7302．Re: 因数定理 名前：鯉    日付：5月10日(土) 16時16分 私も最初そうやったのですが逆にわかりづらくなってしまいました。私の場合ですが・・・ 7308．Re: 因数定理 名前：身の程知らずの高３    日付：5月10日(土) 18時0分 例えば f(x)-1=ax(x-1) の場合、f(x)+1 が x+1 を因数に持つことから a が定まります。他の場合も同様。 7345．Re: 因数定理 名前：鯉    日付：5月11日(日) 12時16分 もうちょい詳しくお聞きしたいです。 7349．Re: 因数定理 名前：身の程知らずの高３    日付：5月11日(日) 14時22分 (f(x)-1)(f(x)+1) が x(x-1)(x+1) で割り切れ、 f(x)-1, f(x)+1 はいずれも２次式ですから、 f(x)-1, f(x)+1 の一方は x, x-1, x+1 のうちの２個で割り切れ、 他方は残りの１個で割り切れます。

7283．シムソンの定理

名前：黒部    日付：5月9日(金) 19時23分

点Pに対するシムソン線で点Pが円周上を１周したとき、シムソン線の軌跡はどうなりますか？

7282．複素数

名前：みかん    日付：5月9日(金) 19時15分

z^5-1=0 を解いてほしいのですが・・・・。 (zは複素数) 7284．Re: 複素数 名前：ヨッシー    日付：5月9日(金) 19時25分 私のページの「ミニ講座」に「複素数と複素平面」があります。 この中の「累乗根」を参照してください。 　 http://yosshy.sansu.org/

7279．極限

名前：だめ男    日付：5月9日(金) 18時6分

limｘ→1{x＾2＋ax＋b｝/ x-1＝3 を満たす定数a bの値をもとめるというものなんですが。 limx→1(x^2＋ax＋b）＝0となるとこなんですが、解説に分母が0なら 分子が0でないと極限値は3になることはない、と、あるんですが 理由がわかりません。 おねがいします。 7280．Re: 極限 名前：ころっさす    日付：5月9日(金) 18時54分 A，Bが実数のとき， lim_{x→a} f(x) = A かつ lim_{x→a} g(x) = B ⇒ lim_{x→a} f(x)*g(x) = A*B が成立します．従って lim_{x→a} f(x)/g(x) = A かつ lim_{x→a} g(x) = 0 ⇒ lim_{x→a} (f(x)/g(x))*g(x) = A*0 ⇒ lim_{x→a} f(x) = 0． 7281．Re: 極限 名前：田村　正和    日付：5月9日(金) 18時58分 考えてて答えが遅くなりました。すいません。 ０以外の数を０で割ることは不能であり ０を０で割ることは不定だから分母が０だと分子も０じゃないと困るんだとおもいます。 それとその問題ロピタルの定理でやりました。 答えはa＝−１ 　　　ｂ＝−２だと思います。 7290．ロピタルはチョット…。 名前：中川　幸一    日付：5月9日(金) 23時47分 高校生範囲でロピタルの定理を使うのはどうかと思います。 f(x)=x2+ax+b g(x)=x-1 とおくと コーシーの平均値の定理より lim[x→1]_[{f(x)-f(1)}/{g(x)-g(1)}]=lim[c→1]_{f '(c)/g '(c)} となる値が存在する。 (∵ x→1 のとき, c→1 となるから。) という議論にそって問題を解いていくのであって, ロピタルの定理を使ってハイ終わり！という問題ではないと思います。 以上のコーシーの平均値の定理は高校生の教科書にもついていますし, lim[x→1]_(x2+ax+b)=0 のときを考えなければいけない理由も自ずと分かると思います。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ 7292．Re: 極限 名前：身の程知らずの高３    日付：5月10日(土) 5時53分 f(1)=1+a+b=0 が必要であり、このとき f(x)=(x-1)(x+a+1) とやればいいんじゃないでしょうか？ 7360．Re: 極限 名前：だめ男    日付：5月11日(日) 20時25分 みなさんありがとうございました。 なんとか理解できましたありがとうございます。

7272．指数関数について

名前：subway    日付：5月9日(金) 11時48分

はじめまして．数学の問題を考えていて，法則などを調べようと思ったら，このページを見つけました．どうしても，分からないので教えてほしいです． x*exp(-j*π*sinΦ*1)+y*exp(-j*π*sinΦ*2)+z*exp(-j*π*sinΦ*3)+.....=A （ただし，x,y,z,Aは複素数です）という式があり，x,y,z,Aが既知の場合，Φの値を求める事って可能なんでしょうか？ なんか，出来そうかなと思って色々と変形してみたんですが，出来そうで出来なくて気持ち悪いです．これって出来そうでしょうか？出来る場合，どういう変形が必要でしょうか？ 変な質問で申し訳ありませんが，よろしくお願い致します． ご回答を頂けるまでもうちょっとネバって考えてみます(^^; 7273．Re: 指数関数について 名前：ヨッシー    日付：5月9日(金) 14時31分 すぐには解けそうもありませんが、一応確認。 指数中の j は？ただの文字　or　虚数単位 sinΦ*3 などは　sin(3Φ)　or　(sinΦ)*3 +..... とあるのは、まだ続くということでしょうか？ 　 http://yosshy.sansu.org/ 7274．Re: 指数関数について 名前：subway    日付：5月9日(金) 14時46分 ヨッシーさん＞ さっそくのお返事ありがとうございます． jは，虚数単位です． そして，sinΦ*3 は　(sinΦ)*3　です． ...は，同じ法則でいくつか続きます．いくつまでなら解が求まるという問題なんですかねー．2項までの場合で必死に変形してみてるんですが，求まるような求まらないような．．．なんだか気持ち悪いです．

7257．座標変換

名前：sub_h    日付：5月8日(木) 12時4分

いま立体の座標変換などのプログラムをつくっていて 三次元（x,y,z）で座標A,B,C,Dが面となる場合に まず角度を回転させてX,Yの平面に平行にし、 その後、z軸に垂直に移動し最終的にｚ座標がすべて"0"となる ように変換したいと思っています。 どなたかお知恵をおかしください。 7258．Re: 座標変換 名前：しんちー    日付：5月8日(木) 13時32分 取り急ぎの返答ですが、法線ベクトルをどう回転してやるか、ですよね？ (法線ベクトルとは、平面に垂直なベクトルのことです、念のため) 回転方法はとりあえず2通り思いつきますが、 2段階に分けてやる方法を書きます。値の制限など適当なので、補ってください。 法線ベクトルnを、上から見たときにx軸となす角をθとします。 すると、これを上から見て-θ回転してやれば、xz平面に平行になります。これをn1とおきます。 今度は横からみます。つまり、n1がxy平面となす角をφとします。 これを 90°-φ 起こしてやればxy平面に垂直になります。 あとは、z軸方向に平行移動すればお望みの結果になると思います。 7260．Re: 座標変換 名前：ヨッシー    日付：5月8日(木) 13時43分 まず、平面はＡＢＣ３点で決め、Ｄは後付けとするのが良いでしょう。 あと、回転と言っても、下図のようにどこを軸にするかによって、 変換後の座標が違ってきます。 最終的に点Ａを原点にしたい、などの位置を決める条件が１つ必要です。 つづく。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7261．Re: 座標変換 名前：ヨッシー    日付：5月8日(木) 15時52分 すぐには続きません(^^; しんちーさんが、具体的なやり方を書いてくださったので、 一旦、ここで止めておきます。 さらにお知りになりたいことがあれば、引き続きどうぞ。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7266．Re: 座標変換 名前：花パジャ    日付：5月8日(木) 22時9分 この変換で何をしたいのかでプログラムも変るような... 単純には、まず、点Aが原点になるように平行移動して あとは、x,y,z軸で回転していけばいいですね 例えば、x軸周りで点Bがxy平面上(z=0)になるように回転して 次に、z軸周りで点Bがy軸上(x=0)になるように回転して 最後に、y軸(=直線AB)周りで点Cがxy平面上(z=0)になるように回転するとか これで、点Dのz座標が0か否かで面となってたかもわかるし 7270．Re: 座標変換 名前：sub_h    日付：5月9日(金) 9時16分 しんちーさま、ヨッシーさま、花パジャさま ありがとうございます。 ここまでベクトル関係を独学でやってたので、 レスしてもらった内容を 理解するのにチョット時間がかかりますのでひとまず お礼を先に述べさせていただきました。 ちなみにこのプログラムの目的は、 空間上にある４点を原点（0,0,0）から直線で A-B-C-Dと結び、ABCDが平面になる場合に その面ABCDを平面（２次元）で表したい。 というのが目的です。 数学的な言葉を知らないのでうまく書けませんが・・・。 7271．Re: 座標変換 名前：花パジャ    日付：5月9日(金) 11時22分 ...つうか、平面で表して何をするか、なんですが。 各点の関係だけが知りたいなら、三次元で回転させなくても、 各2点間の距離がわかれば、平面上に再現できますね。 原点との関係も必要なんですかね?

7239．無限級数

名前：jun    日付：5月7日(水) 21時25分

Σ((n^2)/(2^n))　この無限級数はどうやって解いたらいいのでしょうか？　教えてください。 7252．Re: 無限級数 名前：ヨッシー    日付：5月8日(木) 5時41分 私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7253．Re: 無限級数 名前：jun    日付：5月8日(木) 7時22分 わかりました。ありがとうございます！！ 7254．Re: 無限級数 名前：repunit    日付：5月8日(木) 8時2分 f(n)=(n2+2n+3)/2n-1 とおけば、n2/2n=f(n)-f(n+1) です。 7255．Re: 無限級数 名前：ヨッシー    日付：5月8日(木) 9時12分 f(n)=(n2+2n+3)/2n-1 を見つける方法は、以下のような感じでしょうか？ 結果が分かってから書いているので、一般的でないかも知れませんが。 　f(n)-f(n+1)=n2/2n となることから、f(n) の、分子は２次式、分母は２のべき乗系と見当をつけ、 　f(n)=(an2+bn+c)/2n とおく。 分母は、m×2n(係数付き) や 2n-1 のような形かも知れませんが、 すべて分子の係数で調整できるので、単に 2n とします。 実際に f(n)-f(n+1) を計算してみます。 　f(n)-f(n+1)＝[2(an2+bn+c)-{a(n+1)2+b(n+1)n+c}]/2n+1 　＝{an2+(b-2a)n+(c-a-b)}/2n+1 n2/2n と比較して 　a/2=1, b-2a=0, c-a-b=0 以上より、a=2, b=4, c=6 となり、 　f(n)=(2n2+4n+6)/2n 　　　=(n2+2n+3)/2n-1 　 http://yosshy.sansu.org/ 7256．Re: 無限級数 名前：repunit    日付：5月8日(木) 11時11分 ＞　分子は２次式、分母は２のべき乗系と見当をつけ まさにそうです。

7238．数学の平面図形について

名前：高校1年です    日付：5月7日(水) 21時19分

問題　�凾`ＢＣにおいて辺ＡＢを３：２の比に内分する点をＤ、辺ＡＣを１：２の比に内分する点をＥとするとき�凾`ＤＥと�凾`ＢＣの面積の比を求めよ 7240．Re: 数学の平面図形について 名前：田村　正和    日付：5月7日(水) 21時46分 ＢＥに補助線を引いてみましょう。１/３・３/５で１/５になります。 ので１：５です。

7234．一番の疑問

名前：WS.    日付：5月7日(水) 19時37分

なんで、みんなこんな頭いいのですか・・・？ 7452．Re: 一番の疑問 名前：我疑う故に存在する我    日付：5月15日(木) 13時40分 僕もぜひ知りたい。私は易しい問題でも長時間かけないと解けません。

7220．......教えてほしいんです。

名前：saya    日付：5月6日(火) 22時3分

１７さいです。わけあって高校はいってないんで学年はないです。ごめんなさい。 可換環上の有限生成加群の基の濃度は一定かつ有限かどうか、教えてください...。 7226．Re: ......教えてほしいんです。 名前：ころっさす    日付：5月7日(水) 11時26分 ＞ 可換環上の有限生成加群 は基底を持つとは限りませんが，もし持てばその ＞ 濃度は一定かつ有限 です． 7265．! ありがとうございます！ 名前：saya    日付：5月8日(木) 19時57分 ころっさす（？）さん、ありがとうございます。あたし高校行ってないんでここでも相手にされないかと諦めてたんです。 でも、非可換環上の有限生成加群は基の濃度は一定でないのだから、証明のどこに可換性が効いてくるのですか？ 7267．Re: ......教えてほしいんです。 名前：ころっさす    日付：5月8日(木) 23時39分 ＞ 証明のどこに可換性が効いてくるのですか？ 体に帰着させる前提として，可換ゆえ極大イデアルによる剰余環が定義される点です．

7203．質問です。

名前：田村　正和    日付：5月5日(月) 23時14分

改めましてDiverがなくなったので今度から質問があったらここに書き込みさせてもらう田村です。どうぞよろしくお願いします。 おひさしぶりですかな？＞占星術師さん、しんちーさん、そしてヨッシーさん。 今日の議題はチャットで問題が出たんですけど、 年下好きが多くなるとどうなる？という問題です。 なんか心理学の専門の方は答えは年上があまえるだそうですけど。どうなんでしょう？ 7212．数学の部屋の掲示板について 名前：中川　幸一    日付：5月6日(火) 0時24分 こちらに移っていますよ！ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

7191．成分表示したベクトルの相等

名前：あい（高３年）    日付：5月5日(月) 22時36分

aベクトル＝（５,−１）とｂベクトル＝（ｐ−ｑ,p+q)が 等しくなるように、実数p,qの値を定めよ。 答えはｐ＝２,ｑ＝−３ となるみたいなのですが、途中の過程がわかりません。 教えてください。<(_ _)> 7195．Re: 成分表示したベクトルの相等 名前：田村　正和    日付：5月5日(月) 22時57分 ただ単に連立方程式をとけばいいだけですけど。 ｐ−ｑ＝５ ｐ＋ｑ＝−１ 両辺足して２ｐ＝４ 　　　　　　ｐ＝２ 　　　　　略ｑ＝−３ 7196．Re: 成分表示したベクトルの相等 名前：nori    日付：5月5日(月) 22時58分 お互いに等しいのだから単純に連立方程式じゃないの？ p-q=5 ---�@ p+q=-1 --�A �@-�Aより　-2q=6 ∴q=-3 これを�Aへ代入して　p+(-3)=-1 ∴p=2

7190．ベクトル

名前：あい    日付：5月5日(月) 22時32分

平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＢＤを３等分する点を点Ｂに近い方から、 Ｐ、Ｑとし、 ＡＢベクトル＝ｂベクトル（すみません＾＾；記号がかけないので文字で） ＡＤベクトル＝dベクトルとするとき、次の問いに答えよ。 四辺形ＡＰＣＱは平行四辺形であることを証明せよ。 このときかたを教えてください。 ＡＰベクトル＝ＱＣベクトルを示せと回答にかいてあります。 よろしくおねがいいたします。 7213．Re: ベクトル 名前：ヨッシー    日付：5月6日(火) 6時15分 ＞ＡＰベクトル＝ＱＣベクトルを示せと回答にかいてあります。 ということは、ＡＰとＱＣをそれぞれｂとｄで表せと いうことですね。 ＡＰは、すぐ出ますね。 ＱＣは、ＡＣ−ＡＱですから．．． 　 http://yosshy.sansu.org/

7185．新高校一年です。

名前：まさる君    日付：5月5日(月) 21時45分

-(b-c)(a-b)(a-c)=(a-b)(b-c)(c-a)　がわかりません。 なんで一つのかっこの中しか符合が変わらないのですか？ (b-c)-(a-b)(a-c) このようにマイナスの位置が変わったら答えは変わりますか？ 詳しくお願いします。 7186．Re: 新高校一年です。 名前：まさる君    日付：5月5日(月) 21時49分 > -(b-c)(a-b)(a-c)=(a-b)(b-c)(c-a)　がわかりません。 > なんで一つのかっこの中しか符合が変わらないのですか？ > > (b-c)-(a-b)(a-c) このようにマイナスの位置が変わったら答えは変わりますか？ > 詳しくお願いします。 追加です。すいません。 -(b-c)(a-b)(a-c)　は単項式ですか？ 7187．Re: 新高校一年です。 名前：ast    日付：5月5日(月) 22時10分 掛け算の結合法則と交換法則は理解していますか？ ＞-(b-c)(a-b)(a-c)　は単項式ですか？ a-b,b-c,c-a の単項式といえなくもありませんが, a,b,c に関しては多項式です. 7188．Re: 新高校一年です。 名前：Ｂｏｂ    日付：5月5日(月) 22時10分 -(b-c)(a-b)(a-c)=(-1)・（ｂ−ｃ）・（ａ−ｂ）・（ａ−ｃ） 掛け算は交換法則が成立するから, （−１）・（ａ−ｃ）・（ｂ−ｃ）・（ａ−ｂ） ＝（−ａ＋ｃ）・（ｂ−ｃ）・（ａ−ｂ） ＝（c−ａ）（ｂ−ｃ）（ａ−ｂ） 展開すればわかるはず多項式でしょう http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

7184．三角形と比の定理と定理の逆の証明

名前：おさる    日付：5月5日(月) 21時3分

（もう一度書かせてもらいます。）こんにちわぁ。中３のオサルです。先日も書かせていただいたのですがぁ・・ 私の説明不足だったためもう一度質問させていただきます。私が知りたいのは『三角形と比の定理と定理の逆の証明』です。学校では中３でおしえられます 問題　△ＡＢＣの辺ＡＢ、辺ＡＣにそれぞれ点ＱＹをとる時、次のことが成り 　　　立つ。 　　　�@ＱＹ//ＢＣならばＡＱ：ＡＢ＝ＡＹ：ＡＣ＝ＱＹ：ＢＣ(定義) 　　　�AＱＹ//ＢＣならばＡＱ：ＱＢ＝ＡＹ：ＹＣ(定義) 　　　�BＡＱ：ＡＢ＝ＡＹ：ＡＣならばＱＹ//ＢＣ(定義の逆) 　　　�CＡＱ：ＱＢ＝ＡＹ：ＹＣならばＱ//ＢＣ(定義の逆) これの比で証明するやり方がよく分かりません・・。相似から証明するやり方は分かっています。また、この証明は�Aを証明する時は�@を証明しているものとして�Cを証明する場合は�@�A�Bを証明し終わっているものとして証明します分かる方、この証明の仕方を教えてください。また、先日返信をくださったぁ、astさん　まさる君さん、説明不足ですいませんでしたぁ。連休明けまでの宿題なのでお願いしまぁす。

7182．偏微分の値域の求め方

名前：マーサ    日付：5月5日(月) 20時41分

初めまして、マーサ（18）です。早速ですが偏微分の質問です。 問：次の関数の定義域をxy平面上に図示せよ。また、値域を求めよ。 z = √(1 - x2/9 - y2/4) で、定義域は求まるのですが、値域をどのようにして求めていけばよいのかわかりません。助言をよろしくお願いします。 7183．Re: 偏微分の値域の求め方 名前：ast    日付：5月5日(月) 21時0分 増減を調べるのが良いでしょう. ご自身がタイトルにしておられるように 偏微分の問題なのでしょうからね. で回転楕円面の方程式をいじってるということにはお気づきですか？

7151．行列

名前：タケシ    日付：5月5日(月) 16時40分

A^ｎ計算せよ。 （１） ｜００１｜ ｜１００｜ ｜０１０｜ （２） ｜a 0 0 ｜ ｜0 b 0 ｜ ｜0 0 c ｜ （３） ｜a b ｜ ｜0 1 ｜ よろしくおねがいします 7155．Re: 行列 名前：ast    日付：5月5日(月) 17時8分 難しい事は何もないので, 普通に計算してください. 小さい n で計算すれば, 一般の n での値はすぐにわかります. 7171．Re: 行列 名前：Ｂｏｂ    日付：5月5日(月) 18時34分 できましたか？一応答えは、 （１）�@　　｜００１｜　　�A　　　　｜０１０｜ 　　　　Ａ＝｜１００｜　　　Ａ＾２＝｜００１｜　 　　　　　　｜０１０｜　　　　　　　｜１００｜ 　　　�B　　　　｜１００｜ 　　　　Ａ＾３＝｜０１０｜ 　　　　　　　　｜００１｜ 　 　とやるとＡ＾４はＡといっしょ。つまり上の三つが周期的に続く 　答えはｋ＝０、１，２・・・とすると 　ｎ＝３ｋ＋１のとき�@ 　ｎ＝３ｋ＋２のとき�A 　ｎ＝３ｋのとき�B 　（２）Ａ＝｜a 0 0 ｜　Ａ＾２＝｜a＾２　０　０｜ 　　　　　　｜0 b 0 ｜　　　　　｜０　ｂ＾２　０｜ 　　　　　　｜0 0 c ｜　　　　　｜０　０　ｃ＾２｜ 答えはＡ＾ｎ＝　｜a＾ｎ 　0 　0 ｜ 　　　　　　　　｜0 　　b＾ｎ 0 ｜　　　　　 　　　　　　　　｜0 　　0 　　c＾ｎ ｜　　　　　 　　 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/ 7181．Re: 行列 名前：田村　正和    日付：5月5日(月) 19時35分 （３） Ａ＾ｎ＝ｌa＾ｎ　�煤iｋ＝０〜ｎ−１）a＾ｋ・ｂｌ 　　　　ｌ０　　１　　　　　　　　　　　　　　ｌ これは数学的帰納法で示せます。 7192．Re: 行列 名前：タケシ    日付：5月5日(月) 22時43分 (1)のn=3kのときA^n=Eとなっていますが、 k=0のときは成り立たないのではありませんか？ 7194．Re: 行列 名前：タケシ    日付：5月5日(月) 22時55分 (3)なんですけど、行列を数学的帰納法で証明するのは、 やったことがないのですが、 ｋ＝１のとき・・・ ｋ＝ｔのとき〜〜〜が成り立つとすると〜〜〜 ｋ＝ｔ＋１のとき〜〜〜 ｋ＝ｔ＋１のときも成り立つという具合になると思うのですが、 どれを証明対象とすればよいのでしょうか。 7198．Re: 行列 名前：ast    日付：5月5日(月) 23時3分 ＞(1)のn=3kのときA^n=Eとなっていますが、 ＞k=0のときは成り立たないのではありませんか？ 成り立ちます. ＞(3)なんですけど、行列を数学的帰納法で証明するのは、 ＞やったことがないのですが、 ＞〜〜〜 ＞どれを証明対象とすればよいのでしょうか。 当然, 行列のべき指数に関する帰納法です. 単純に ｜a b ｜ ｜0 1 ｜ の k 乗が田村氏の言うような形であるとしたら, これにもう一回かけて予想どおりになってるって言えばいいだけです.

7146．７１０６の問題

名前：魔ジン    日付：5月5日(月) 15時53分

lim(x→０）{（１＋ｘ）^(-1/2)−（１−ax)}/x^2が収束するようにaを定め、極限を求めよ。 ＞有理化の仕方がイマイチわかりません。あと収束するようにするにはどのようにすればよいのでしょうか。よろしくお願いします。 7149．Re: ７１０６の問題 名前：魔ジン    日付：5月5日(月) 16時22分 lim(x→０）{（１＋ｘ）^(-1/2)−（１−ax)}/x^2 ＝lim(x→０）{1/√（１＋ｘ）−（１−ax)}/x^2 ＝lim(x→０）1/√（１＋ｘ）x^2−（１−ax)/x^2 ＝lim(x→０）√（１−ｘ）/x^2（１−ｘ^2)−（１−ax)/x^2 のようになってしまいます。 aの定め方というのがわかりません。 7154．Re: ７１０６の問題 名前：ast    日付：5月5日(月) 17時6分 発散する原因の x^2 が消せてしかも, a 自身が発散する原因に ならないためにはどうすればいい？ 7159．Re: ７１０６の問題 名前：魔ジン    日付：5月5日(月) 17時28分 分子・分母をｘ^2で割ればいいのですか？ aの定め方がまだよくわかりません。。。 7164．Re: ７１０６の問題 名前：ヨッシー    日付：5月5日(月) 18時6分 最終的には分子分母をｘ^2 で割りますが、 その前に分子の有利化をします。 ２/(√3＋√2) の分子分母に(√3−√2) を掛けて ２(√3−√2)/(√3＋√2)(√3−√2)＝２(√3−√2) とするのが、分母の有理化の例です。 この問題では、分子に√があるので、これを消すようにします。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7168．Re: ７１０６の問題 名前：魔ジン    日付：5月5日(月) 18時28分 lim(x→０）{（１＋ｘ）^(-1/2)−（１−ax)}/x^2 ＝lim(x→０）{1/√（１＋ｘ）−（１−ax)}/x^2 （分子・分母に√（１＋ｘ）をかける） ＝lim(x→０）{1−（１−ax)√（１＋ｘ）}/x^2√（１＋ｘ） ここまでできたのですが、ここで分子・分母にｘ^2でわるのでしょうか？？ 7172．Re: ７１０６の問題 名前：ast    日付：5月5日(月) 18時42分 まだ分子に根号が残っていますが？ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 はもう忘れましたか？ 7173．Re: ７１０６の問題 名前：魔ジン    日付：5月5日(月) 18時42分 けど、ここで分子・分母に√（１−ｘ）かけると lim(x→０）{1−（１−ax)√（１＋ｘ）}/x^2√（１＋ｘ） ＝lim(x→０）{√（１−ｘ）−（１−ax)（１−ｘ）}/x^2（１−ｘ） となって分子にルートが残るのですけど・・・ 7175．Re: ７１０６の問題 名前：ast    日付：5月5日(月) 19時0分 もう一回言っときましょうか. ＞(a+b)(a-b)=a^2-b^2 はもう忘れましたか？ 7178．Re: ７１０６の問題 名前：ヨッシー    日付：5月5日(月) 19時17分 たとえば、私の記事の例で、 ２/(√3＋√2) の分子分母に√3 を掛けて 　２√3/(３＋√6) 分母に√6 が残って、これでは有理化したことにはなりません。 そうではなくて　(√3−√2) を掛けると、 　(√3＋√2)(√3−√2)＝√32−√22＝１ となり、分母から√が消えるのです。 {1/√(１＋ｘ)−(１−ax)} の場合は、何を掛けたら√がなくなりますか？ √(１−ｘ) を掛けるのでないことだけは確かですね。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7189．Re: ７１０６の問題 名前：魔ジン    日付：5月5日(月) 22時19分 {1/√(１＋ｘ)}−(１−ax)の有理化がどうしても思いつきません。 ヨッシーさんが言っている例はよく理解しているのですが 何をかけてもルートが残ってしまいます（＞＜） 7199．Re: ７１０６の問題 名前：ころっさす    日付：5月5日(月) 23時4分 例えば，次はどう扱いますか？ lim_{x→0} (√(x+1)-1)/x 7201．Re: ７１０６の問題 名前：ast    日付：5月5日(月) 23時8分 判ってるとは思うけど, (全体の)分母に根号は残るよ？ 分子に根号がつかないようにするのは, 何度も言うけど, 「和と差の積は自乗の差」を使う. 7205．Re: ７１０６の問題 名前：たかし    日付：5月5日(月) 23時16分 分子 ＝{1/√(１＋ｘ)−(１−ax)} ＝{√（1/(１＋ｘ)）−(１−ax)} なので {√（1/(１＋ｘ)）＋(１−ax)} をかける”で正しいでしょうか。 7222．Re: ７１０６の問題 名前：しんちー    日付：5月6日(火) 23時15分 それでよいと思います。 そっか、これって1次近似 　(1+x)^c≒1+cx の c=-1/2 の場合なんですね。 7223．Re: ７１０６の問題 名前：たかし    日付：5月6日(火) 23時21分 しんちーさん、REPLYありがとうございます。 でも、有理化でできても、その先が進まないんですよ。(_o_) 7259．Re: ７１０６の問題 名前：しんちー    日付：5月8日(木) 13時35分 有理化できれば、約分ができる部分があると思います。 あとは、「分母→0 なんだから 分子→0」の定理で、a の値がわかると思います。 ＃ここの変形も、面倒といえば面倒です。分子の分母 (なんじゃそりゃ) を払ってみましょう。 7263．Re: ７１０６の問題 名前：たかし    日付：5月8日(木) 18時19分 ありがとうございました。 a=1/2 極限=3/4とでました。 あってるんかなーー。 7264．Re: ７１０６の問題 名前：ヨッシー    日付：5月8日(木) 19時47分 a=1/2 は正解です。 分子を有理化して、分子分母をｘ2で割ると、次のようになります。 ここまではいいですか？ a=1/2 と決めると、分子の最後の項が消えますね。他の部分にも a=1/2 を代入します。 その後で x=0 の代入です。 分子だけなら 3/4 ですが。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7264．Re: ７１０６の問題 名前：ヨッシー    日付：5月8日(木) 19時47分 a=1/2 は正解です。 分子を有理化して、分子分母をｘ2で割ると、次のようになります。 ここまではいいですか？ a=1/2 と決めると、分子の最後の項が消えますね。他の部分にも a=1/2 を代入します。 その後で x=0 の代入です。 分子だけなら 3/4 ですが。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7264．Re: ７１０６の問題 名前：ヨッシー    日付：5月8日(木) 19時47分 a=1/2 は正解です。 分子を有理化して、分子分母をｘ2で割ると、次のようになります。 ここまではいいですか？ a=1/2 と決めると、分子の最後の項が消えますね。他の部分にも a=1/2 を代入します。 その後で x=0 の代入です。 分子だけなら 3/4 ですが。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7269．Re: ７１０６の問題 名前：しんちー    日付：5月9日(金) 2時5分 で、そうなると、 (1+x)^(-1/2) が 1-(1/2)x で近似できるってのが見えてくるわけです。 (xが0にすごい近い場合は)

7140．微分積分

名前：さる☆    日付：5月5日(月) 10時50分

簡単な問題かもしれないんですが『次の曲線の（）内に示されたｘの値に対応する点における接線の方程式をもとめよ。 ｙ＝ｘ＾2−ｘ−3（ｘ＝２）』って問題のやり方がさっぱりわかりません。わかる方教えてください。よろしくお願いしますm(__)m 7141．Re: 微分積分 名前：ast    日付：5月5日(月) 11時28分 「(x=2)における接線の傾き」 = 「(x=2)での微分係数」 傾きと通る一点がわかれば直線はただ一つ求まります. 7142．Re: 微分積分 名前：さる☆    日付：5月5日(月) 11時47分 わかりました。ありがとうございます！

7136．ふいに思いました

名前：田中    日付：5月4日(日) 23時12分

まことにお恥ずかしいのですが、「ピタゴラスの定理の逆」は、どう証明するのでしたっけ。三角関数でごちゃごちゃやればできそうですが、初等幾何の方法とかありましたでしょうか？ヨッシーさんのページも探しましたがありませんでした。ａ＾２＋ｂ＾２＝ｃ＾２が成り立っていれば、直角三角形であるとか、１つの角が９０°であること。劇的な美しい証明を考えてみたくなったので。 7137．こんなカンジかな？ 名前：回転する「考える人」    日付：5月5日(月) 0時27分 【三平方の定理の逆】 　△ＡＢＣで，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ とするとき 　　　ａ2＋ｂ2＝ｃ2　ならば　∠Ｃ＝90ﾟ が成り立つ． 【証明】 　∠Ｃ´＝90ﾟ，Ｂ´Ｃ´＝ａ，Ｃ´Ａ´＝ｂ である直角三角形 Ａ´Ｂ´Ｃ´をかく． 　Ａ´Ｂ´＝ｘ として，三平方の定理を使うと 　　　　　　　　　　　　　ａ2＋ｂ2＝ｘ2　　　　　…�@ 　また，仮定から　　　ａ2＋ｂ2＝ｃ2　　　　　…�A �@，�Aから　　　　　　　　　　ｘ2＝ｃ2 ｘ＞０，ｃ＞０であるから　　　ｘ＝ｃ よって，△ＡＢＣと△Ａ´Ｂ´Ｃ´で，３組の辺がそれぞれ 等しいので　　　　　　△ＡＢＣ≡△Ａ´Ｂ´Ｃ´ したがって　　　　∠Ｃ＝∠Ｃ´＝90ﾟ　　　　　■ （佐久間信子たんのファン） 7138．Re:ありがとうございます 名前：田中    日付：5月5日(月) 9時2分 すばやいレスありがとうございます。たぶんこれで良いと思うのですが、それは、ピタゴラスの定理が証明されて正しいものだからという前提ですね。かみ砕いて問題を言えば、「どの角度も、未知の三角形がある。三辺の長さにａ＾２＋ｂ＾２＝ｃ＾２が成り立っていれば、どの角度かは、９０°であることを証明する」といえます。そして、これに対して、ピタゴラスの定理を使わないで証明するほうが、発見っぽいように思い探していました。ピタゴラスの定理が、巧みな証明の数々を持ちます。ということは、その逆もけっこう多彩な証明があるのではと思いついたわけです。回転する「考える人」 様　　　ありがとうございました。 7143．Re: ふいに思いました 名前：ＫＩＮ    日付：5月5日(月) 11時49分 三角関数でごちゃごちゃっておっしゃっていますが 余弦定理で一発ですよ。一応書いておきますね． ＜余弦定理＞ 三角形ＡＢＣにおいて AB = c，BC = a，CA = b とおく． このとき c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b cos C ． さて，この余弦定理に「c^2 = a^2 + b^2」を代入すると 0 = - 2 a b cos C がいえる． a > 0，b > 0 であるから cos C = 0 よって ∠C = 90度 http://kin.sansu.org/ 7144．Re: ふいに思いました 名前：ast    日付：5月5日(月) 13時7分 余弦定理の証明って三平方の定理使わなかったでしたっけ？ 7145．Re: ふいに思いました 名前：ＫＩＮ    日付：5月5日(月) 13時37分 使わなくてもできますよ． ＜参考＞ http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/yogen/yogen.htm まぁ，高校の教科書ではほとんど（すべて？）が三平方の定理を使って いますけどね． 余弦定理は三平方の定理の拡張でしょうから，よく考えると 三平方の定理に余弦定理を使うのはおかしいですね． そこらへんの順序をもう一度勉強しておきます．m(_ _)m http://kin.sansu.org/ 7152．Re: ふいに思いました 名前：INA    日付：5月5日(月) 16時40分 愚直にやるとすれば、座標平面状に2点A(a,0)、B(x,y)をとって三角形OABを作り、ABの長さを2点間距離の公式で求めたうえで、OA^2+OB^2=AB^2を満たすのがx=0に限られる、という感じでしょうか。 7157．Re: ふいに思いました 名前：ast    日付：5月5日(月) 17時13分 二点間の距離の公式も三平方を使いそうな気が・・・; 公理から演繹的に証明する手順だと, どうするのでしょう？ 面積を使う三平方の定理の証明なら, 逆も辿れそうかな？ 7179．Re: ふいに思いました 名前：田中    日付：5月5日(月) 19時18分 いくつかのご意見もらいましてありがとうございます。これって、けっこうじれったい問題ですよね。それだけ三平方の定理が、基本的で、三角関数の公式の成立等の証明に潜んでいて、堂々巡りになることもしばしばです。「あれ？」って言う感じがするでしょう。また考えてみます。

7134．もうひとつお願いします。

名前：Toshi_高１    日付：5月4日(日) 22時57分

直線2bx-2y+3=0…(1)　が、放物線y2=ax…(2)　と 円x2+y2=1…(3)　の2式両方に接するとき、 実数の定数a,bと接点の座標を求めなさい。 という問題なのですが、どこから手をつければいいのか…(;_;) とりあえず(1)式と(3)式の方から処理した方が良さそうでしょうか？ よろしくお願いします… 7135．Re: もうひとつお願いします。 名前：ast    日付：5月4日(日) 23時12分 悩む前に適当に手をつけてみてください.

7130．三角形と比の定理と定理の逆の証明

名前：オサル    日付：5月4日(日) 18時27分

こんにちわぁ。中３のオサルです。先日も書かせていただいたのですがぁ・・ 私の説明不足だったためもう一度質問させていただきます。私が知りたいのは『三角形と比の定理と定理の逆の証明』です。学校では中３でおしえられます 問題　△ＡＢＣの辺ＡＢ、辺ＡＣにそれぞれ点ＱＹをとる時、次のことが成り 　　　立つ。 　　　�@ＱＹ//ＢＣならばＡＱ：ＡＢ＝ＡＹ：ＡＣ＝ＱＹ：ＢＣ(定義) 　　　�AＱＹ//ＢＣならばＡＱ：ＱＢ＝ＡＹ：ＹＣ(定義) 　　　�BＡＱ：ＡＢ＝ＡＹ：ＡＣならばＱＹ//ＢＣ(定義の逆) 　　　�CＡＱ：ＱＢ＝ＡＹ：ＹＣならばＱ//ＢＣ(定義の逆) これの証明の仕方がよく分かりません・・。たぶん相似からやるのだとは思ったのですがぁ・・・。分かる方、この証明の仕方を教えてください。 また、先日返信をくださったぁ、astさん　まさる君さん、説明不足ですいませんでしたぁ。連休明けまでの宿題なのでお願いしまぁす。 7131．Re: 三角形と比の定理と定理の逆の証明 名前：Ｂｏｂ    日付：5月4日(日) 19時0分 �@�凾`ＱＹと�凾`ＢＣで 　∠Ａ共通 　平行線の同位角は等しいので 　ＱＹ//ＢＣより∠ＡＱＹ＝∠ＡＢＣ 　2角が等しいので�凾`ＱＹ∽�凾`ＢＣ 　相似な図形は対応する辺の比が等しいので 　ＡＱ：ＡＢ＝ＡＹ：ＡＣ＝ＱＹ：ＢＣ 　 �BＡＱ：ＡＢ＝ＡＹ：ＡＣ　より2組の辺の比が等しい 　更に∠Ａ共通より、2組の辺の比とその間の角が等しいので 　�凾`ＱＹ∽�凾`ＢＣ 　よって相似な図形は対応する角の大きさが等しいので∠ＡＱＹ＝∠ＡＢＣ 　同位角が等しいので、ＱＹ//ＢＣ とりあえず�@と�Bだけ �Aと�Cはチャレンジしてわからなければまたレスしてください。 　 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/ 7148．Re: 三角形と比の定理と定理の逆の証明 名前：おさる    日付：5月5日(月) 16時17分 こんにちわぁ。おさるです。ＢＯｂさん証明ありがとうございましたぁ。自分の証明とくらべトテモ勉強になりましたぁ。ですがぁ、�Aは�@と同じようにして証明したのですがぁ、�Cができませんでしたぁ。�Cの証明お願いします。 問題　△ＡＢＣの辺ＡＢ、辺ＡＣにそれぞれ点ＱＹをとる時、次のことが成り 　　　立つ 　　　�CＡＱ：ＱＢ＝ＡＹ：ＹＣならばＱ//ＢＣ(定義の逆) 　　　　　　　　　　　　　　よろしくお願いします。 7161．Re: 三角形と比の定理と定理の逆の証明 名前：Ｂｏｂ    日付：5月5日(月) 17時37分 �AＹＣに平行な直線をＱを通るように引きＢＣとの交点をＲとします。 　ＱＹ//ＢＣのときＱＲ//ＡＣになり 　�凾`ＱＹ∽�凾pＢＲ 　ＡＱ：ＡＹ＝ＱＢ：ＱＲ 　四角形ＱＲＣＹは平行四辺形より、ＱＲ＝ＹＣ 　よってＡＱ：ＡＹ＝ＱＢ：ＹＣ 　つまりＡＱ：ＱＢ＝ＡＹ：ＹＣ �CＡＱ：ＱＢ＝ＡＹ：ＹＣ 　とすると、ＡＱ：ＡＹ＝ＱＢ：ＹＣ・・・�@ 　ここでＱＹを延長しＢＡに平行でＣを通る線との交点をＳとする。 　�凾`ＱＹ∽�凾bＳＹ 　よって、ＡＱ：ＡＹ＝ＣＳ：ＣＹ・・・�A 　�@�Aより、ＱＢ：ＹＣ＝ＣＳ：ＣＹ 　よってＱＢ＝ＣＳ 　ＱＢとＣＳは平行より、四角形ＱＢＣＳは平行四辺形 よってＱＳとＢＣは平行 だから ＱＳ//ＢＣ http://homepage3.nifty.com/sumida-3/ 7174．Re: 三角形と比の定理と定理の逆の証明 名前：おさる    日付：5月5日(月) 18時47分 ありがとぉございましたぁ。自分のやったのと比べてみましたが、�@�Aを使わなかったために、わかりにくい証明になっていたようです。これで、宿題がどうにかなります。ありがとうございましたぁ。ＢＯｂさん。 もう1つ・・・先生がコノ証明は相似を使うだけじゃなくても、比をつかって、証明できるとおっしゃっていましたぁ。その場合、�Aを証明する場合は�@は証明したものとして、�Cを証明する場合は�@�A�Bは証明したものとして証明してよいそうです。比を使った証明とはどんな物なのですかぁ？分かる方教えてください。

7128．高２です

名前：翼    日付：5月4日(日) 16時41分

１が１個、２が２個、３が３個の合計６個の数字を並べて６桁の整数をつくるとき、 ２,３がこの順でとなり合ったものが２組現れる整数（例えば、232313、231323）は何個できるか。 7129．Re: 高２です 名前：ヨッシー    日付：5月4日(日) 17時42分 １，３，Ａ，Ａ の４枚のカードの並べ方を考えて、 並べたあとで、Ａ を 23 に置き換えれば、良いのです。 　１ＡＡ３　→　１２３２３３ 　 http://yosshy.sansu.org/

7126．どちらが大きい？

名前：ヤッス＿高３    日付：5月4日(日) 14時58分

e^πとπ^eってどっちが大きいんですか？解説つきでお願いします。 7127．Re: どちらが大きい？ 名前：田村　正和    日付：5月4日(日) 15時54分 e＾π＞π＾eとします。・・・０ このときπloge＞elogπ （loge）/e＞（logπ）/π・・・１ となればよいですからｘlogｘ/ｘのグラフを見てみましょう。 （ｘlogｘ/ｘ）´＝（１−logｘ）/（ｘ＾２） ですから増減表よりeのとき最大です。 よって１は成り立ちます。 したがって０は正しいです。

7122．軌跡の問題です。

名前：Toshi_高１    日付：5月4日(日) 11時33分

放物線y=x2+ax-(b2/4)　…(1) と直線　y=x　…(2)は2点P,Qで交わっていてPQ=1であるとき、 放物線の頂点はどのような図形を描くか、その軌跡を求めよ。 という問題です。 とりあえず(1)式をy={x+(a/2)}2-{(a2+b2)/4} に変形して頂点を求めてしたりもしたのですが… どのように解答を導けばよいでしょうか？よろしくお願いします。 7125．Re: 軌跡の問題です。 名前：身の程知らずの高３    日付：5月4日(日) 14時4分 P,Qのx座標をp,q(p＞q)とおくと、p,qはx2+(a-1)x-b2/4=0の２解であり、 解と係数の関係から、p+q=1-a, pq=-b2/4...(3) 一方、PQ=1⇔p-q=1/√2...(4) (3),(4)より、1/2=(p-q)2=(1-a)2+b2　∴a2+b2=2a-1/2 これをToshiさんが導いた式に代入すれば軌跡が求まるでしょう。 7133．Re: 軌跡の問題です。 名前：Toshi_高１    日付：5月4日(日) 22時51分 ありがとうございます！ 今からじっくりと読んでみます！！

7121．高２です

名前：翼    日付：5月4日(日) 11時23分

Ａ（１，3）　Ｂ（５，1）と円ｘ＾＋ｙ＾＝1がある。 点Ｐがこの円上を動く時、三角形ＰＡＢの面積の最大値と最小値を求めよ。 7124．Re: 高２です 名前：田村　正和    日付：5月4日(日) 12時57分 最小、最大になる点Ｐは円周の接線の傾きが−１/２になるときだから 公式（接線の方程式）より最小値（最大値）となる点ｙ＝２ｘと ｘ＾２＋ｙ＾２＝１をといて 最小値になる点Ｐ＝（１/√５、２/√５） 最大値になる点Ｐ＝（−１/√５、−２/√５） 点Ａ（１，３）点Ｂ（５，１）点Ｐの三角形の面積がそれぞれ最小値、最大値です。

7116．お願いします

名前：高１    日付：5月4日(日) 9時57分

ａを定数とする、xy平面上の放物線 Ｃ：ｙ＝ｘ＾−２ａｘ＋1/2ａ＾＋1/2ａ について次の問いに答えよ。 （2）Ｃが２点Ａ（1，0）、Ｂ（５，1）を結ぶ線分（両端を含む）と共有点をもつようなａの値の範囲を求めよ。 （3）ａが（2）で求めた範囲を動くとき、Ｃの頂点のｙ座標の最大値と最小値を求めよ。 7119．Re: お願いします 名前：ヨッシー    日付：5月4日(日) 10時7分 どちらでしょう？ 方針としては、 ＡＢを通る直線　ｘ−４ｙ−１＝０ と放物線との連立方程式が １≦ｘ≦５　の範囲で解を持つようにすればいいです。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7120．Re: お願いします 名前：高１    日付：5月4日(日) 11時8分 1の方です。 7132．Re: お願いします 名前：ヨッシー    日付：5月4日(日) 22時21分 私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。 　 http://yosshy.sansu.org/

7110．組み合わせ・・・？

名前：ルビデイン    日付：5月3日(土) 17時59分

知りたいことがあるのですが、計算方法が分からないので解る方教えてください。 ■a〜z,0〜9の36個の文字を使って作る文字列は、文字列の文字数が1〜8までの時、何通りあるか。 ■（簡単に（？）言うと、削除キー（八字まで）の決め方は何通りあるか。ということになります。） 文字が一つの時は、「３６」通りですよね。 文字が二つの時は、35+34+33+32+…1=36*35/2＝「６３０」通りですよね。 で、文字が三つ（以上）の時からの計算が解らないのですが・・・。 計算方法だけでも、答えだけでもいいので、解る方は教えてください。お願いします。 7111．Re: 組み合わせ・・・？ 名前：花パジャ    日付：5月3日(土) 18時30分 >文字が二つの時は、35+34+33+32+…1=36*35/2＝「６３０」通りですよね。 「ab」と「ba」とは違うのでは? >で、文字が三つ（以上）の時からの計算が解らないのですが・・・。 36個の中からn個のものを選ぶ順列・組合せがわからない、ということで宜しいです? 7112．Re: 組み合わせ・・・？ 名前：ヨッシー    日付：5月3日(土) 19時5分 「削除キー」ということなら、同じ文字を何回も使って良いので、 ２文字なら　３６×３６＝１２９６（通り） ３文字なら　３６3＝４６６５６（通り） です。 同じ文字は１回しか使えないなら ２文字なら　３６×３５＝１２６０（通り） ３文字なら　３６×３５×３４＝４２８４０（通り） さらに、順番をアルファベット順等に限定するなら ２文字なら　１２６０÷２！＝６３０（通り） ３文字なら　４２８４０÷３！＝７１４０（通り） です。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7113．Re: 組み合わせ・・・？ 名前：ルビデイン    日付：5月4日(日) 0時6分 すみません。今まで見れませんでした・・・。 花パジャさん＞そうでした。なんか誤爆しました。返答できなくてすみませんでした。 ヨッシーさん＞解答（？）ありがとうございます。 結局、ヨッシーさんの最初の条件になるので、 368＝２８２１１０９９０７４５６通りとなるのですね。 お二人ともありがとうございました。

7107．三角形の比の定理と定理の逆

名前：おさる    日付：5月3日(土) 16時42分

こんにちわぁ。今日は宿題で困っていることを質問しまぁすです。私は今中学３年生で、今度の授業で三角形の定理と定理の逆の４種類の証明をしなければなりません＞＜；証明が苦手なため・・・誰か教えてくださいませんかぁ？スッゴクこまっています＞＜４種類の証明の説明お願いします 7108．Re: 三角形の比の定理と定理の逆 名前：ast    日付：5月3日(土) 17時23分 三角形の定理って何・・・・？ 7123．Re: 三角形の比の定理と定理の逆 名前：まさる君    日付：5月4日(日) 12時30分 それは簡単っす！。内角の和が１８０度であること。 一件落着！！

7106．極限

名前：魔ジン    日付：5月3日(土) 14時2分

lim(x→０）{（１＋ｘ）^(-1/2)−（１−ax)}/x^2が収束するようにaを定め、極限を求めよ。 よろしくおねがいします。 7117．Re: 極限 名前：ころっさす    日付：5月4日(日) 10時2分 普通仁分子を有理化すれば良いでしょう．

7105．ありがとうございます。

名前：まむし    日付：5月3日(土) 13時4分

解説どうもありがとうございます。＞ヨッシーさん。 確かに解説見ればあ、そうかって感じでした。 大学では違った論理を展開するのでとまどっておりました。 大学生は馬鹿だとうのは本当のようですね。 高校２年のテキストはとっくに捨てているので・・・＞悲さん なんか事象がなんたらかんたらで独立事象がどうだのさっぱりでした。 本当に助かりました。

7103．行列（行列Aのｎ乗に関して)

名前：みのる    日付：5月3日(土) 11時32分

連続ですみません。 基本的なことかも知れないですがご教示願います。 (1)2x2の正方行列Aで、ｎを自然数とするとき 　　Ａ^n＝０（←零行列）なら、行列式ad-bc=0 を数学的帰納法で示せる、 とのことですが、証明方法わかりますでしょうか。 ＃背理法にてAの逆行列が存在すると、A=０となり ＃矛盾がおきるのでAの逆行列は存在しない。 ＃よってad-bc=0という証明はわかるのですが。 (2)また、 　mが３以上の整数の場合、A^m＝０なら、A^(m-1)＝０ がいえる、とのことですが。 (1)(2)に関して,どなたか証明方法を教えてください。 よろしくお願いします。(_o_) 7109．Re: 行列（行列Aのｎ乗に関して) 名前：ast    日付：5月3日(土) 17時25分 ケイリー・ハミルトンあたりをつかって後半を示せば, 前半はそれに従います.

7098．行列(積が交換可能)

名前：みのる    日付：5月3日(土) 8時50分

すみません、教えてください。 とある参考書に、 　（１）任意の行列Aに対して、XA=AXが成立するための必要十分条件は 　　　　Xがスカラー行列(X=aE)であること。 　（２）ある行列Aに対して、XA=AXが成立するための必要十分条件は 　　　　X=aA+bE　であること と書かれていました。 （１）の証明は、よく目にするのですが。 （２）の証明はどのようにするのでしょうか。よろしくお願いします。 7099．Re: 行列(積が交換可能) 名前：回転する「考える人」    日付：5月3日(土) 10時7分 　(２)は２次正方行列では正しいのですが， 一般には成り立ちませんヨ． 【反例】 　　　　　 ［１ ０ ０］　　　 ［１ ０ ０］ 　　　Ａ＝［０ ０ ０］　Ｘ＝［０ ０ ０］ 　　　　　 ［０ ０ １］，　　 ［０ ０ ０］ （佐久間信子たんのファン） 7100．Re: 行列(積が交換可能) 名前：ころっさす    日付：5月3日(土) 10時18分 Aがスカラー行列やも知れないので ＞　(２)は２次正方行列では正しいのですが， は正しくありませんね． 7102．Re: 行列(積が交換可能) 名前：回転する「考える人」    日付：5月3日(土) 10時39分 Ａがスカラー行列やも知れないので 「(２)は２次正方行列では正しいのですが，」 は正しくありませんね． →確かに．ご指摘ありがとうございます． （佐久間信子たんのファン）

7097．(untitled)

名前：身の程知らずの高３    日付：5月3日(土) 8時14分

任意の実数xに対して f(x)+f(2x)+f(3x)=0 を満たす、 恒等的には0でない実数値関数f(x)は存在するでしょうか？ 7101．Re: (untitled) 名前：ころっさす    日付：5月3日(土) 10時19分 f(0):＝0，f(±2^(e_2)*3^(e_3)*5^(e_5)*…):＝±2^(e_2)*(-3)^(e_3)*5^(e_5)*… (e_pは整数) さらに実数全体に対するハメル基 {b(i);i∈Γ} を任意に固定して f(Σ_{i∈Γ}q(i)*b(i)):＝Σ_{i∈Γ}g(q(i))*b(i) (q(i)は有理数)． 7114．Re: (untitled) 名前：身の程知らずの高３    日付：5月4日(日) 6時50分 いつもありがとうございます。 教えていただいた解答をかみしめたいと思います。 7115．Re: (untitled) 名前：身の程知らずの高３    日付：5月4日(日) 7時57分 すみません、３行目の g(x) はどういう関数ですか？ 7118．Re: (untitled) 名前：ころっさす    日付：5月4日(日) 10時3分 失礼，1行目の f を g に替えてください． 7139．Re: (untitled) 名前：我疑う故に存在する我    日付：5月5日(月) 10時24分 ころっさすさんの与えた関数は不連続ですが、連続な解も存在しますよ。方程式 g(s) = 1 + 2^s + 3^s = 0 の複素数解で実部が正なる物が存在する。 これを改めて s とする。（証明略、複素解析を勉強して下さい） f (x) = "|x|^s " の実部 (x ≠ 0), = 0 (x = 0) と置けば、連続関数解の１例になっています。 7215．Re: (untitled) 名前：身の程知らずの高３    日付：5月6日(火) 18時52分 我疑う故に存在する我さん、ありがとうございます。 具体的な形のわかる解があったんですね。びっくりです。 複素解析、勉強します。 質問なんですが、sとして実部が正のものをとるのは何故ですか？ sの実部によらず、教えていただいた f(x) は題意を満たすように思えるのですが... # って見てるかな... 7216．Re: (untitled) 名前：我疑う故に存在する我    日付：5月6日(火) 19時44分 f (x) + f (2x) + f (3x) = 0 の x に x = 0 を代入すると f (0) = 0 が導かれます。 s の実部が正という条件は、f (x) が x = 0 で連続になる為に必要な物です。 簡単の為に、s が実数の場合を考えてみると、 f (x) = |x|^(-1) は、 ( f (0) = 0 より、) x = 0 で連続になり得ませんが f (x) = |x|^(0.5) なら良いという訳です。 7217．ありがとうございます 名前：身の程知らずの高３    日付：5月6日(火) 20時25分 なるほどです！

7092．呆れる。

名前：悲    日付：5月3日(土) 2時49分

すべて高校２年の問題ですね。 7093．Re: 呆れる。 名前：悲    日付：5月3日(土) 2時50分 高校教科書を読み返しましょう。まむしさん↓

7087．誰か教えてください。

名前：まむし（大学生）    日付：5月2日(金) 23時1分

ある入学試験において受験生１００人中８０人は塾に行っており、２０人は行っていなかった。そして塾経験者の６割は合格し、行っていなかったものの３割が合格した。任意の合格者が塾に行っていた確率はいくつでしょうか？ すいません。宿題が山のようにあり、その中からわからないものをひっぱってきました。

7086．誰か教えてください。

名前：まむし（大学生）    日付：5月2日(金) 22時55分

ある計算機センターにはH社、N社、F社の３社の端末が設置されている。 その割合はそれぞれ２０％、３０％、５０％である。 また、各社の製品の不良品をうむ確率はそれぞれ０．５％、０．２％、０．１％である。 （１）任意に端末１台を取り出すとき、それらが不良品である確率は？ （２）取り出した端末が不良品とわかったとき、それがH社のものである確率は？

7085．誰か教えてください。

名前：まむし（大学生）    日付：5月2日(金) 22時47分

大小２個のサイコロを投げて出る目を読む。 A=目の数の和は８ B=大のサイコロの目の数は４とおきます。 このときP（BｌA）を求めてください。

7084．誰か教えてください。

名前：まむし（大学生）    日付：5月2日(金) 22時44分

１からｎまでの数字を書いたｎ枚のカードが箱に入っている。 箱の中から非復元抽出によって２枚のカードを取り出す。 A=最初に数字iのカードが現れる。 B=２番目に数字ｊのカードが現れる。 このとき次の確率を求めてください。 （１）P（BｌA） （２）P（A∩B） 7096．Re: 誰か教えてください。 名前：ヨッシー    日付：5月3日(土) 5時15分 数値ｉと数値ｊの決め方が不明確です。 通常はｎ以下の自然数であるので、この点は推測するとして、 ｉ＝ｊが起こりうるのか、除くのか規定してください。 他の問題は、私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。 　 http://yosshy.sansu.org/

7082．誰か教えてください。

名前：まむし（大学生）    日付：5月2日(金) 22時37分

つぼの中に６個の赤球と４個の白球が入っている。引き続き２球を取り出すとき、第１球が白で第２球がが赤である確率を求めてください。

7079．最大・最小

名前：さくら（高３）    日付：5月2日(金) 21時48分

直角三角形ＡＢＣの斜辺ＢＣ上を点Ｐが動く。Ｐから辺ＡＢ,ＡＣに 垂線ＰＱ,ＰＲを引く。このとき△ＰＲＱの面積を最大にする点Ｐの位置を 求めよ。 　 という問題です。教えてください！！ 7080．Re: 最大・最小 名前：田村　正和    日付：5月2日(金) 22時23分 AB＝a、AC＝ｂ、BQ＝ｘとおくとAQ＝a−ｘ、AR＝ｂｘとなり 最大となるとき長方形AQPRも最大になるから 長方形AQPR＝Sとおくと S＝ｂｘ（a−ｘ）＝−ｂｘ＋aｂｘ S´＝０となるときｘ＝a/２だからPは辺BCの中点のとき 最大値＝aｂ/８ではないでしょうか？ 7081．訂正 名前：田村　正和    日付：5月2日(金) 22時25分 −ｂｘ＋aｂｘじゃなくて−ｂｘ＾２＋aｂｘでした 7083．Re: 最大・最小 名前：さくら（高３）    日付：5月2日(金) 22時40分 田村正和さんありがとうございます☆ あの、ちょっと分からないところが・・・ 途中のＡＲ＝ｂｘとなるのはなぜなのでしょうか？？ 7088．あ！ 名前：田村　正和    日付：5月2日(金) 23時8分 間違えました。すいません。 7089．Re: 最大・最小 名前：さくら（高３）    日付：5月2日(金) 23時37分 あっ、あの、答えはＰが辺ＢＣの中点のときであってるんです！！ この問題には答えだけで解き方は載っていなくて。。 難しいです（＞＿＜） 7095．Re: 最大・最小 名前：ヨッシー    日付：5月3日(土) 4時20分 私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。 田村正和さんのと方針が違いますが、答えは同じです。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7104．Re: 最大・最小 名前：さくら（高３）    日付：5月3日(土) 12時7分 ヨッシーさんありがとうございました！！ 解答は図もついていて、すごく分かりやすかったです(＾∇＾)

7077．おしえてください

名前：ぎょろめ    日付：5月2日(金) 21時34分

三辺が自然数で、頂角が６０°以下の二等辺三角形ではないすべての三角形において三辺の和が最小のものは、三辺が（2.2.3）であることを証明せよ。 という問題なんですが、教えてください。 7078．Re: おしえてください 名前：ぎょろめ    日付：5月2日(金) 21時36分 条件の三角形とは ・三辺が自然数 ・頂角が６０°以下の二等辺三角形ではない。 の２つを満たす三角形です。 わかりにくくてすみません。 7094．Re: おしえてください 名前：ヨッシー    日付：5月3日(土) 3時58分 三角形が不等辺三角形なら無条件にＯＫで、 二等辺三角形の場合は、等しい２つの辺が残りの辺より短ければＯＫ （正三角形はダメ）という条件とします。 自然数に限られているので、小さい方から調べていけばどうでしょう？ ３辺の和が３ 　(1,1,1)・・・正三角形なのでダメ ３辺の和が４ 　(1,1,2)・・・三角形にならないのでダメ ３辺の和が５ 　(1,1,3)・・・三角形にならないのでダメ 　(1,2,2)・・・頂角が６０°以下なのでダメ ３辺の和が６ 　(1,1,4)・・・三角形にならないのでダメ 　(1,2,3)・・・三角形にならないのでダメ 　(2,2,2)・・・正三角形なのでダメ ３辺の和が７ 　(1,1,5)・・・三角形にならないのでダメ 　(1,2,4)・・・三角形にならないのでダメ 　(1,3,3)・・・頂角が６０°以下なのでダメ 　(2,2,3)・・・ＯＫ http://yosshy.sansu.org/

7073．(untitled)

名前：晶    日付：5月2日(金) 10時15分

△ABCにおいてsinAsinBsinCの最大値を求めよ 7074．Re: (untitled) 名前：ころっさす    日付：5月2日(金) 10時39分 方法１） 相乗平均と相加平均との大小関係から sin(A)*sin(B)*sin(C)≦( (sin(A)+sin(B)+sin(C))/3 )^3 さらに，[0，π]でsinは上に凸ゆえ (sin(A)+sin(B)+sin(C))/3≦sin( (A+B+C)/3 )＝√(3)/2 等式成立条件は何れも A＝B＝C＝π/3． 方法２） sin(A)*sin(B)*sin(C) ＝(1/2)*( cos(A-B)-cos(A+B) )*sin(C) ≦(1/2)*( 1-cos(C) )*sin(C) C/2＝tとおくと ＝(sin(t))^2 * 2*sin(t)*cos(t) ＝2*√( (sin(t))^6 * (1-(sin(t))^2) ) ＝2*√( 27 * (((sin(t))^2)/3)^3 * (1-(sin(t))^2) ) ≦2*√( 27 * ( 1/4 )^4 ) ＝√(27)/8． 7091．出典 名前：中川　幸一    日付：5月3日(土) 1時50分 99年　京都大学　後期　理２ で以下のような問題がありました。 α, β, γはα＞0, β＞0, γ＞0, α+β+γ=π を満たすものとする. このとき, sin α×sin β×sin γの最大値を求めよ. 参考になれば幸いです。 http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

7060．教えてください？？？

名前：てつ    日付：5月1日(木) 20時51分

１０進数を６０進数にする簡単なやり方を教えてください。 7062．Re: 教えてください？？？ 名前：ヨッシー    日付：5月1日(木) 21時18分 ６０進数とは、たとえば、４０００秒を １時間６分４０秒に直すようなことでしょうか？ 二進数や三進数と同様に、６０で割って、あまりを拾っていけばいいでしょう。 　４０００÷６０＝６６　あまり　４０ 　６６÷６０＝１　あまり　６ 　１÷６０＝０　あまり　１ あまりを下から拾って、１：６：４０　です。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7067．Re: 教えてください？？？ 名前：てつ    日付：5月1日(木) 23時5分 > １０進数を６０進数にする簡単なやり方を教えてください。 すみません！もう、一度おしえてください。 角度で２．３度は、６０進数ではなぜ２度１８分になるのですか？ たびたびすみません。 7068．Re: 教えてください？？？ 名前：てつ    日付：5月1日(木) 23時9分 > １０進数を６０進数にする簡単なやり方を教えてください。 角度で、２．３度は６０進数ではなぜ２度１８分になるのか？ もう一度教えてください。 7070．Re: 教えてください？？？ 名前：田村　正和    日付：5月1日(木) 23時36分 じゃあ私はこれでっていってもヨッシーさんと同じ内容ですが。 ４０００＝６０＾２×１＋６０×６＋１×４０なので （１０進数の４０００）＝（６０進数の１,６,４０） 一番でかい位に目をつけて分配していきます。 同じ原理より２．３＝１×２＋６０＾（−１）×１８だから （１０進数の２．３）＝（６０進数の１．１８）になります。 7071．Re: 教えてください？？？ 名前：ヨッシー    日付：5月2日(金) 6時6分 ２．３度　→　２度１８分 これは、６０進数変換と言うより、単位換算ですね。 ３．４ｍ は ３ｍ４０ｃｍ ですが、３．４ｍ のうち、整数部分の３は そのままにして、０．４ｍ を ｃｍ に換算するわけですが、 　１ｍ＝１００ｃｍ なので、０．４×１００＝４０ で、０．４ｍ＝４０ｃｍ です。 ２．３度も同様に、２度はそのままで、０．３度を分に直すと考えると、 　１度＝６０分 なので、０．３×６０＝１８ となり、１８分になります。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7076．ありがとうございました。 名前：てつ    日付：5月2日(金) 21時10分 ヨッシー様、田村正和様ありがとうございました。

7058．教えてください！！！

名前：ひ    日付：5月1日(木) 20時0分

3(x-2)(x+1)=2x(x-3)の問題なのですが、 (3x-6x)(x+1)=2x2乗-6xで 3x2乗-3x-6=2x2乗-6xになって x2乗+3x-6=0 ↓ x2乗+3x=6 x2乗+3x+(3/2)2乗=6+(3/2)2乗 (x-3/2)2乗=33/4になりますか？？ そこまできてやる気が… 7059．Re: 教えてください！！！ 名前：ひ    日付：5月1日(木) 20時43分 わかりにくいかもしれませんが、 よろしくお願いします。 7063．Re: 教えてください！！！ 名前：ヨッシー    日付：5月1日(木) 21時24分 (x-3/2)^2=33/4 まで、正しいです。 あとは、x^2＝５　を解くのと、さほど変わりません。 私のページの「ミニ講座」に「二次方程式の基礎」があります。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7064．Re: 教えてください！！！ 名前：ひ    日付：5月1日(木) 22時26分 ありがとうございます！！ そのあとも確認させていただいでいいでしょうか？ x-3/2=±√33/4　で x=-3/2±√33/2でしょうか… ヨッシーさんからのお返事をもらって とても安心しました。 7066．Re: 教えてください！！！ 名前：ヨッシー    日付：5月1日(木) 23時2分 あ、すみません。 最後の答えは正しいですが、途中が正しくなかったですね。 (x-3/2)^2=33/4 ではなく (x+3/2)^2=33/4 です。 答えは　x=(-3±√33)/2 で、正しいです。 上で紹介した「二次方程式の基礎」にある、解の公式も、 使えると便利です。 http://yosshy.sansu.org/ 7069．Re: 教えてください！！！ 名前：ひ    日付：5月1日(木) 23時12分 本当にありがとうございました！！ こういう掲示板があって嬉しく思ってます☆ あの、ずうずうしいかもしれませんが、もう一問 いいですか？ 2次方程式x2乗-ax+24=0の2つの解が正の整数であるとき、 もっとも小さいaの値を求めよ。という問題なのですが… まったくわかりません。よろしければ教えてください。 7072．Re: 教えてください！！！ 名前：ヨッシー    日付：5月2日(金) 6時13分 ２つの 整数解を ｍ、ｎ（ｍ≦ｎ）とします。すると、 　ｘ2−ａｘ＋２４＝０ は、左辺が因数分解できて、 　(ｘ−ｍ)(ｘ−ｎ)＝０ と書けるはずです。これを展開すると、 　ｘ2−(ｍ＋ｎ)ｘ＋ｍｎ＝０ となります。元の式と係数を比較すると、 　ｍｎ＝２４，　ｍ＋ｎ＝ａ です。掛けて２４になるような正の整数ｍ，ｎの組合せで、 ｍ＋ｎが最小になるものを探すと、それがａです。（答えはａ＝１０） 「解と係数の関係」というのも、調べてみてください。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7075．Re: 教えてください！！！ 名前：ひ    日付：5月2日(金) 19時11分 本当にありがとうございました！！ また何度かここに書かせていただきます。 その時はよろしくおねがいしまーす(*^｡^*)

7049．数列の極限

名前：たかし    日付：5月1日(木) 8時51分

an+1= 　1+√(an+1) のn->∞のときの極限ですが、 x=1+√(x+1) として、 y=左辺 y=右辺 をグラフにしてみると、 交点である３に近づくことがわかるのですが、 証明はどのようにしたらよいのでしょうか。 よろしくお願いします。 7052．Re: 数列の極限 名前：しんちー    日付：5月1日(木) 16時37分 よくある問題では以下のような誘導がなされます。 (1) 分子の有理化を用いて、an+1-3 を (an-3)/(何らかの式) の形に表せ (2) (1) と an が正であることを用いて |an+1-3|≦(1/3)|an-3| を示せ (3) lim |an-3| を求めよ。 (ちょっと変な部分がありますが、大筋ではこういう風に証明します。) キーワード: 区間収縮法

7046．うーん・・・

名前：けん    日付：5月1日(木) 2時36分

高校3年のけんです。 友達から 「因数分解や展開なんて、一体将来どういう場面で使うん？ こんなの絶対使いそうにないと思うんだけどなぁ・・・」 という意見が出ました。僕としても普段からこういった疑問は 持ってはいたんですけど、ほかの人から聞くと「やっぱりそう (使わない？)なのかなぁ・・・」と余計に思ってしまいます。 高校程度の知識で事足りるかどうかは別として、高校で習う数学の各分野 (2次関数、3角比、複素数、ベクトル、微分・積分などなど・・・)の 実用面での応用例を教えていただけないでしょうか？ 「習ったことすべてを応用したい！」というわけでは当然ないのですが、 やはり実際に使われている場面を知ることでやる気もわいてくると思うので。 7047．実生活にドリルがあるわけではないので。 名前：田中    日付：5月1日(木) 6時0分 もっと　やさしい例で・・　あるビデオ映画があったとしましょう。その長さが、１５２分とけっこう長い。これを１２０分テープにダビングしたい。当然、入り切りませんから、いくらかを３倍速で取らなければなりません。さあ、何分間３倍で取れば、良いでしょう。もちろん残りは標準で取ります。当然、この３倍速の時間は、最小の値とします。テープって遅い録画は、画質が悪いですもね。わたしが体験した例です。この簡単な問題とけますか？　本業の各種技術者になれば、それらの数学は、強烈に応用されます。いやになるほど。なにもしない職種なら、何も使わないでしょう。 7048．Re: うーん・・・ 名前：ヨッシー    日付：5月1日(木) 6時29分 こちらの記事をご覧ください。 私の投稿もあります。 　 http://yosshy.sansu.org/ 7056．Re: my opinion 名前：しんちー    日付：5月1日(木) 16時53分 (0) 実生活で使うためだけに学問があるのではないことはわかっていただけますよね？ (1) 研究者、技術者になったら全分野でなくても、数学は使います。 (2) 直接使わなくても、数学的な考え方は重要だと思います。 (3) それ以外の職種でもいきなり必要になったりします。実体験や掲示板から判断するに、そういう方はいらっしゃるようです。そのときになって学ぶのは非常に辛いです。 7057．Re: うーん・・・ 名前：花パジャ    日付：5月1日(木) 17時53分 ＞やはり実際に使われている場面を知ることでやる気もわいてくると思うので。 文系に進んでも、大学で経済学を学び (経済学でも数学は必要になるが、 　好きではなく真剣には勉強してなかったらしい。 　そういうのが多かったし、卒業には困らなかったようだ) その後、営業職についたら、技術的な説明も必要で、 数学を学び直す必要になった友人ならいます。 ただ、高校・大学時代にもっとやっておけば、というより 技術者の楽しげで分かりやすい説明を聞いて、 こういう教え方をしてくれていれば、という感じですが。 つまり 役に立つ事より役に立たない事、すなわち、遊びの部分の方が面白いのでは?

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