李さんからの質問１

問題
１辺が１の正方形に、図のように内接する正三角形の１辺の長さを求めよ。

解答

図のように、Ａ、Ｂ、Ｃを取り、ＡＢ上に点Ｄを各ＢＣＤ＝60°となるように取ります。
また、ＢＣ＝ｘ とします。
このとき、ＡＤ＝ＤＣであるので、
　ＢＤ＝√3ｘ
　ＣＤ＝ＡＤ＝２ｘ
よって、
　ＡＢ＝(２＋√3)ｘ＝１
となり、
　ｘ＝１/(２＋√3)＝２−√3
△ＡＢＣにおける三平方の定理より
　ＡＣ²＝１²＋(２−√3)²＝８−4√3
　ＡＣ＝√(８−4√3)＝√(８−２√12)
　　＝√(√6²−２√6√2＋√2²)＝√(√6−√2)²＝√6−√2

(別解)
むこうさんから、ＣＥ＝ｘ、ＣＦ＝√2ｘ として解く方法を寄せていただきました。
ここでは、計算は、少し面倒になりますが、いっそＣＦ＝ｘと置く方法をやってみます。

ＣＦ＝ｘとすると、ＣＥ＝x/√2 であり、ＢＣ＝
△ＡＢＣにおける三平方の定理より、
　ｘ²＝(１−x/√2)²＋１²
　ｘ²/2＋√2ｘ−２＝０
　ｘ²＋2√2ｘ−４＝０
これを解いて、
　ｘ＝−√2±√6
ｘ＞０ より
　ｘ＝√6−√2

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