問題
(1)直線y＝x+1に関して、点Pと対称な点をQとする。
点Pが直線y＝2x上を動くとき、点Qはある直線上を動く。
この直線を求めなさい。
(2)直線y=2xに関して、
直線2x+3y=6と対称な直線の方程式を求めなさい。
解答
(1)
点Ｐから点Ｑへの写し方は、
・ｙ軸方向に−１移動
・ｙ＝ｘに関して対称移動
・ｙ軸方向に１移動
直線ｙ＝２ｘ上の点は、（ｔ，２ｔ）と表せます。
上記の手順に沿って写すと、
（ｔ，２ｔ）→（ｔ，２ｔ−１）→（２ｔ−１，ｔ）→（２ｔ−１，ｔ＋１）
ｘ＝２ｔ−１，ｙ＝ｔ＋１ とおいて、ｔを消去すると、
ｘ＝２ｙ−３ または ｙ＝（ｘ＋３）／２
(1)の別解
図のように、求める直線は、(1,2)、(-3,0) を通る直線になり、
傾き1/2 なので、
ｙ＝(1/2)(x+3)
答え ｙ＝（ｘ＋３）／２
(2)
点Ａ（ｘ，ｙ） がｙ＝２ｘに関する対称移動で、点Ｂ（ｘ１，ｙ１）に移ったとすると、
・ＡＢの傾きは-1/2
・ＡＢの中点は ｙ＝２ｘ 上にある
の２つの条件が必要。
ＡＢの傾きは (ｙ−ｙ１)/(ｘ−ｘ１)＝−１／２
より、 ２(ｙ−ｙ１)＝ｘ１−ｘ ・・・(1)
ＡＢの中点は（(ｘ＋ｘ１)/２，(ｙ＋ｙ１)/２） であり、これが ｙ＝２ｘ 上にあるので、
(ｙ＋ｙ１)/２＝(ｘ＋ｘ１) ・・・(2)
(1)(2)より、
ｘ１＝(４ｙ−３ｘ)/５
ｙ１＝(３ｙ＋４ｘ)/５
以上より、点（ｘ，ｙ）は点（(４ｙ−３ｘ)/５，(３ｙ＋４ｘ)/５）に写る。
2x+3y=6 上の点は、（3t，2-2t） と表せる。これを
（ｘ，ｙ）→（(４ｙ−３ｘ)/５，(３ｙ＋４ｘ)/５）
で、変換すると、
（(8-17t)/5，(6+6t)/5）
に写る。
x=(8-17t)/5，y=(6+6t)/5
とおいて、ｔを消去すると、
６ｘ＋１７ｙ＝３０
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