高校生さんからの質問

問題
xの3次式p(x)があり、p(1)=3 である。
また、p(x)+3 が(x+a)²で割り切れ p(x)-3 が(x-a)²で割り切れるとき
p(x)の式を求めよ。

解答１（導関数から求める方法）
条件より、 方程式 p(x)+3=0 は x=-a で重解を持ちます。
つまり、y=p(x) のグラフは、 x=-a で、極値 -3 を持ちます。
同様に、x=a で、極値 3 を持ちます。
さらに、p(1)=3 を考慮すると、y=p(x) のグラフは、以下のようであると言えます。

いずれの場合も、p(x) の導関数p'(x)が、x=±a で p'(x)=0 になるので、
　p'(x) = 3m(x-a)(x+a) = 3mx²-3ma²
とおきます。ただちに
　p(x)=mx³-3ma²x+c （c は定数）
が導けます。条件より
　p(a)=-2ma³+c=3・・・(1)
　p(-a)=2ma³+c=-3・・・(2)
(1),(2) より、
　c=0,
　2ma³=-3・・・(3)
　p(1)=m-3ma²=3・・・(4)
(3),(4) より、
　-3(1-3a²)=3・2a³
これを解いて、
　(a-1)²(2a+1)=0
　a=1, -1/2
a=1 のとき　m=-3/2
a=-1/2 のとき　m=12
答え　p(x)=-3/2x³+9/2x または p(x)=12x³-9x

解答２（商を用いて解く方法）
p(x)+3 を(x+a)²で割ったときの商を sx+t,
p(x)-3 を(x-a)²で割ったときの商を qx+r とおく。ただし、s≠0, q≠0
このとき
　p(x)+3=(sx+t)(x+a)²
　p(x)-3=(qx+r)(x-a)²
となり、
　p(x)=sx³+(2as+t)x²+(a²s+2at)x+a²t-3
　p(x)=qx³+(-2aq+r)x²+(a²q-2ar)x+a²r+3
係数を比較して、
　s=q
　2as+t=-2aq+r・・・(1)
　a²s+2at=a²q-2ar・・・(2)
　a²t-3=a²r+3・・・(3)
s=q を代入して整理して
　4aq=r-t・・・(1)'
　2at=-2ar・・・(2)'
　a²(r-t)+6=0・・・(3)'
a=0 であると 第３式が成り立たないので、a≠0
これより、
　t=-r・・・(2)"
(1)' を (3)' に代入して、
　4a³q=-6
これより
　q=-3/2a³・・・(3)"
(1)' に (2)", (3)" を代入して、
　-6/a²=2r
よって、
　r=-3/a²・・・(1)"
(1)", (3)" を p(x) の式に代入して
　p(x)=-3x³/2a³+9x/2a・・・(4)
p(1)=3 より、
　p(1)=-3/2a³+9/2a = 3
2a³/3 をかけて、
　2a³-3a²+1=0
これを解いて、
　(a-1)²(2a+1)=0
　a=1, -1/2
(4) にそれぞれ代入して、
答え　p(x)=-3/2x³+9/2x または p(x)=12x³-9x

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