高校２年さんからの質問１

問題　以下の方程式を解け。
(1) sinx−√3cosx=0
(2) cosx−sinx=1/√2

解答
いずれの問題も、公式
　ａsinθ＋ｂcosθ＝√(ａ²＋ｂ²)sin(θ＋α)
　ただし sinα＝ｂ/√(ａ²＋ｂ²)、cosα＝ａ/√(ａ²＋ｂ²)
によって、解けるのですが、この公式の本質を知っていないと使えないので、
ここでは、もう１段階さかのぼって、加法定理
　sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
による方法を使います。
もっとも、ａsinθ＋ｂcosθ＝√(ａ²＋ｂ²)sin(θ＋α) の公式も、加法定理から
作られた公式ですので、以下の方法を十分理解できれば、この公式も使えるように
なると思います。

(1) sinx−√3cosx が sinxcosα＋cosxsinα に近い形にならないかと考えます。
　sinx と cosx の係数がそれぞれ、１，−√3 であることより、
　　１：−√3＝cosα：sinα
　のように、係数の比が等しくなるような cosα、sinα を見つけます。
　その一つとして
　　cos(-π/6)＝1/2、sin(-π/6)＝−√3/2
　を得ます。α＝-π/6として
　sinx−√3cosx　と　sinxcosα＋cosxsinα　を比較すると、
　　sinxcosα＋cosxsinα＝sinxcos(-π/6)＋cosxsin(-π/6)＝(sinx)/2−(√3cosx)/2
　なので、sinx−√3cosx は sinxcos(-π/6)＋cosxsin(-π/6) の２倍になっています。つまり、
　　sinx−√3cosx＝２{sinxcos(-π/6)＋cosxsin(-π/6)}
　と書けます。
　　　　※係数比が等しい cosα、sinαをみつけ、あとは式全体を何倍かしてつじつまを合わす
　よって、加法定理より、
　　sinxcos(-π/6)＋cosxsin(-π/6)＝sin(x-π/6)
　となりますから、
　　sinx−√3cosx＝２sin(x-π/6)=0
　よって、
　　x-π/6＝ｎπ　（ｎは整数）
　　ｘ＝ｎπ＋π/6　（ｎは整数）
　　※　０≦ｘ＜２π　の範囲では　ｘ＝π/6、7π/6

(2) 同様にして
　　cosx−sinx＝√2{sinxcos(3π/4)＋cosxsin(3π/4)}
　を得ます。
　加法定理より、
　　sinxcos(3π/4)＋cosxsin(3π/4)＝sin(x+3π/4)
　よって、
　　cosx−sinx＝√2sin(x+3π/4)＝1/√2
　　sin(x+3π/4)＝1/2
　よって、
　　x+3π/4＝π/6＋２ｎπ、5π/6＋２ｎπ　（ｎは整数）
　　ｘ＝２ｎπ−7π/12、２ｎπ＋π/12　（ｎは整数）
　　※　０≦ｘ＜２π　の範囲では　ｘ＝π/12、17π/12

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