問題
△ABCの内接円が辺BC,CA,ABと接する点を、それぞれD,E,Fとする。
BC=a,CA=b,AB=c内接円の半径をrとするとき、次の問を答えよ。
(1)BD,CE,AFの長さをa,b,cを用いて表せ。
(2)△ABCの面積をa,b,c,rを用いて表せ。
(3)a=5,b=3,c=4のとき、rの値を求めよ。
解答
(1)
ＢＤ＝ＢＦ，ＣＥ＝ＣＤ，ＡＦ＝ＡＥ より、
ａ＝ＢＤ＋ＣＤ＝ＢＤ＋ＣＥ
ｂ＝ＣＥ＋ＡＥ＝ＣＥ＋ＡＦ
ｃ＝ＡＦ＋ＢＦ＝ＡＦ＋ＢＤ
となり、
ａ＋ｂ＋ｃ＝２(ＢＤ＋ＣＥ＋ＡＦ)
ＢＤ＋ＣＥ＋ＡＦ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２
これらより、
ＢＤ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２−(ＣＥ＋ＡＦ)＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２−ｂ＝（ａ−ｂ＋ｃ）／２
同様に、
ＣＥ＝（ａ＋ｂ−ｃ）／２
ＡＦ＝（−ａ＋ｂ＋ｃ）／２
(2)
△ＡＢＣ＝△ＢＣＯ＋△ＣＡＯ＋△ＡＢＯ
＝ＢＣ・ＤＯ／２＋ＡＣ・ＥＯ／２＋ＡＢ・ＦＯ／２
＝(ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ／２
(3)
a=5,b=3,c=4 の三角形は、∠ＢＡＣ＝90°の直角三角形。
△ＡＢＣ＝ＡＢ・ＡＣ／２＝６
一方、(2) より
６＝(５＋３＋４)ｒ／２
ｒ＝１
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