高1さんからの質問2

問題
aを定数とする。
xy平面上の放物線
C:y=x2−2ax+a2/2+a/2
について次の問いに答えよ。
(1) Cが2点A(1,0)、B(5,1)を結ぶ線分(両端を含む)と共有点をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(2) aが (1) で求めた範囲を動くとき、Cの頂点のy座標の最大値と最小値を求めよ。

解答
2点A、Bを通る直線の式は、
 y=x/4−1/4
これを、Cの式に代入して、
 x2−(2a+1/4)x+a2/2+a/2+1/4=0
これが、1≦x≦5 の範囲で解を持つaの範囲を調べます。

f(x)=x2−(2a+1/4)x+a2/2+a/2+1/4 とおきます。

f(1)≦0 かつ f(5)≧0 f(1)≧0 かつ f(5)≦0 軸:x=a+1/8 が1≦x≦5
 かつ
判別式≧0
f(1)≧0 かつ f(5)≧0
f(1)=a2/2−3a/2+1≦0
より、
 1≦a≦2
f(5)=a2/2−19a/2+24≧0
より、
 a≦3 または a≧16
以上より
 1≦a≦2
f(1)≧0 より、
 a≦1 または a≧2
f(5)≦0 より、
 3≦a≦16
以上より、
 3≦a≦16
1≦a+1/8≦5
より、
7/8≦a≦39/8
判別式をDとすると
D/4=(a+1/8)2−(a2/2+a/2+1/4)
 =(32a2-16a-15)/64≧0
より、
a≦1/4−√34/8≒-0.47 
 または a≧1/4+√34/8≒0.97
f(1)≧0 より a≦1 または a≧2
f(5)≧0 より a≦3 または a≧16
以上より
 1/4+√34/8≦a≦1 または 2≦a≦3

以上より
1/4+√34/8≦a≦16

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