高１さんからの質問２

高１さんからの質問２

問題
ａを定数とする。
xy平面上の放物線
Ｃ：ｙ＝ｘ²－２ａｘ＋ａ²/２＋ａ/２
について次の問いに答えよ。
(1) Ｃが２点Ａ（1，0）、Ｂ（５，1）を結ぶ線分（両端を含む）と共有点をもつようなａの値の範囲を求めよ。
(2) ａが (1) で求めた範囲を動くとき、Ｃの頂点のｙ座標の最大値と最小値を求めよ。

解答
２点Ａ、Ｂを通る直線の式は、
　ｙ＝ｘ/４－１/４
これを、Ｃの式に代入して、
　ｘ²－(２ａ＋１/４)ｘ＋ａ²/２＋ａ/２＋１/４＝０
これが、１≦ｘ≦５の範囲で解を持つａの範囲を調べます。

f(x)＝ｘ²－(２ａ＋１/４)ｘ＋ａ²/２＋ａ/２＋１/４　とおきます。


ｆ（１）≦０　かつ　ｆ（５）≧０	ｆ（１）≧０　かつ　ｆ（５）≦０	軸：ｘ＝ａ＋１/８が１≦ｘ≦５　かつ判別式≧０ｆ（１）≧０　かつ　ｆ（５）≧０
ｆ（１）＝ａ²/２－３ａ/２＋１≦０より、　１≦ａ≦２ｆ（５）＝ａ²/２－１９ａ/２＋２４≧０より、　ａ≦３　または　ａ≧１６以上より　１≦ａ≦２	ｆ（１）≧０　より、　ａ≦１　または　ａ≧２ｆ（５）≦０　より、　３≦ａ≦１６以上より、　３≦ａ≦１６	１≦ａ＋１／８≦５より、７／８≦ａ≦３９／８判別式をＤとするとＤ/４＝(ａ＋１／８)²－(ａ²/２＋ａ/２＋１/４) 　＝(32a²-16a-15)/64≧０より、ａ≦1/4－√34/8≒-0.47　　または　ａ≧1/4＋√34/8≒0.97 ｆ（１）≧０　より　ａ≦１　または　ａ≧２ｆ（５）≧０　より　ａ≦３　または　ａ≧１６以上より　1/4＋√34/8≦ａ≦１　または　２≦ａ≦３

以上より
1/4＋√34/8≦ａ≦１６

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ｆ（１）≦０　かつ　ｆ（５）≧０	ｆ（１）≧０　かつ　ｆ（５）≦０	軸：ｘ＝ａ＋１/８が１≦ｘ≦５　かつ判別式≧０ｆ（１）≧０　かつ　ｆ（５）≧０
ｆ（１）＝ａ²/２－３ａ/２＋１≦０より、　１≦ａ≦２ｆ（５）＝ａ²/２－１９ａ/２＋２４≧０より、　ａ≦３　または　ａ≧１６以上より　１≦ａ≦２	ｆ（１）≧０　より、　ａ≦１　または　ａ≧２ｆ（５）≦０　より、　３≦ａ≦１６以上より、　３≦ａ≦１６	１≦ａ＋１／８≦５より、７／８≦ａ≦３９／８判別式をＤとするとＤ/４＝(ａ＋１／８)²－(ａ²/２＋ａ/２＋１/４) 　＝(32a²-16a-15)/64≧０より、ａ≦1/4－√34/8≒-0.47　　または　ａ≧1/4＋√34/8≒0.97 ｆ（１）≧０　より　ａ≦１　または　ａ≧２ｆ（５）≧０　より　ａ≦３　または　ａ≧１６以上より　1/4＋√34/8≦ａ≦１　または　２≦ａ≦３