けいさんからの質問１

問題
a 、bを１より大きい整数とするとき、
　ａ³ｂ−ａｂ³
は６の倍数であることを証明せよ。

解答
　ａ³ｂ−ａｂ³＝ａｂ(ａ−ｂ)(ａ＋ｂ)
1. ｂが３で割りきれない数のとき
　ａ−ｂ，ａ，ａ＋ｂ のうちの１つが３の倍数となる。
　また、ａ，ｂ，ａ＋ｂ のうち少なくとも１つは２の倍数となる。
　よって、ａ³ｂ−ａｂ³ は、６の倍数となる。
2. ｂが３で割り切れる奇数のとき
　ａ、ａ＋ｂ のいずれか一方が２の倍数であるので、
　ａ³ｂ−ａｂ³ は、６の倍数となる。
3. ｂが３で割り切れる偶数のとき
　ｂ 自身が６の倍数となるので、ａ³ｂ−ａｂ³ は、６の倍数となる。
以上より、任意の整数（１より大きい必要はなし）ａ，ｂ について、
　ａ³ｂ−ａｂ³
は、６の倍数となる。

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