ＫＢＳさんからの質問１

問題
コインおよびサイコロを用いて次の試行を行う。
(i) サイコロを振る。
(ii) (i)で1〜5のいずれかが出たらコインを一回投げて(i)に戻る。
(iii) (i)で6の目が出たらゲーム終了。
この試行で、開始から終了までに「コインの表が出た回数がnである確率」をP(n)とする。

(1)P(0)を求めよ。
(2)P(n+1)をP(n)で表せ。
(3)P(n)を求めよ。

解答
(1)
１回目で６が出る確率は、1/6
１回目で１〜５が出て、コインで裏が出て、２回目に６が出る確率　5/6×1/2×1/6＝(5/12)(1/6)
１，２回目で１〜５が出て、コインで裏が出て、３回目に６が出る確率　(5/12)²(1/6)
　　・・・
１〜n-1回目で１〜５が出て、コインで裏が出て、ｎ回目に６が出る確率　(5/12)^n-1(1/6)
これより、求める確率は、
　Ｐ(0)＝(1/6)｛１＋(5/12)＋(5/12)²＋(5/12)³＋(5/12)⁴＋・・・｝　・・・(a)
という無限級数になります。両辺に 5/12 を掛けて
　(5/12)Ｐ(0)＝(1/6)｛(5/12)＋(5/12)²＋(5/12)³＋(5/12)⁴＋・・・｝　・・・(b)
(a)−(b)
　(7/12)Ｐ(0)＝(1/6)
これより、
　Ｐ(0)＝2/7

(2)
Ｐ(n) がある値になっているということは、表がｎ回出たあと、ある回数で６が出たということです。
その回数の１回前は、表がｎ回出ていて、まだ終わっていない状態(状態Ａとします)にあります。
その後、1/6 の確率で、６がでて、P(n) になるので、状態Ａまでの確率は、６P(n) です。
この後、１回表が出て、その後、任意の回数で裏が出て、その後 ６が出たのが、Ｐ(n+1) なので、
　Ｐ(n+1)＝６Ｐ(n)×(5/12)×{１＋(5/12)＋(5/12)²＋(5/12)³＋(5/12)⁴＋・・・｝(1/6)＝
　　　＝(5/2)P(n)×P(0)＝(5/7)Ｐ(n)

(3)
Ｐ(n) は、P(0)＝2/7 から始まる、公比 5/7 の等比数列になります。よって、
　P(n)＝(2/7)(5/7)ⁿ

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