問題
五角形ABCDEにおいて
角A＝90度
角B＋角D＝270度
角C＋角E＝180度
AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝2cm
この時、五角形ABCDEの面積を求めよ。
解答
まず、この図形をどのように作図するかを考えます。
角C＋角E＝180°なので、図のように点Ｅに対して点Ａと対称な点Ｂ’をとると、
∠ＤＥＢ’が角Ｃになります。
ＢＤ＝Ｂ’Ｄになれば、五角形ＡＢＣＤＥが出来ます。
ＢＤ’の垂直二等分線上でＥから距離２の点をＤに取り、ＢＣ＝ＤＣ＝２となる点Ｃを取ります。
五角形ＡＢＣＤＥの面積を求めるかわりに四角形ＡＢＤＤ’の面積を求めます。
さらに△ＡＢＤ’と△ＢＤＤ’に分けます。
△ＡＢＤ’＝４×２÷２＝４
点Ｅを原点に取り、ＭＤの式を
ｙ＝２ｘ＋１
図の半円の式を
ｘ2＋ｙ2＝４
として解くと、Ｄの座標は（(√19−2)/5, (2√19＋1)/5）
ＭをＢＤ’の中点とすると、Ｍ：（０，１）
ＭＤ＝√{(23−4√19)/5}＝(√19−２)/√5
ＢＤ’＝２√５
よって
△ＢＤＤ’＝√19−２
よって、
五角形ＡＢＣＤＥ＝四角形ＡＢＤＤ’＝４＋√19−２＝２＋√19
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