問題
袋の中にｎ個（ｎ≧４）の球が入っている。
このうち３個は赤球で、残りの（ｎ－３）個は白球である。
この袋から１個ずつ球を取り出す試行を考える。ただし、取り戻した球は元へ戻さない。
赤球を３個取り出したら、そこで試行は終わるものとする。
試行が終わるまでに取り出した球の総数を表す確率変数をＸとし、Ｘ＝ｋとなる確率をＰkとする。
このときのＰ3、Ｐ4、ＰkとＸの期待値を求めなさい。
解答
３回で試行が終わる ●●● の１通り
１個目に赤が出る確率は ３／ｎ
２個目に赤が出る確率は ２／（ｎ－１）
３個目に赤が出る確率は １／（ｎ－２）
よって、
P3＝６／ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）
４回で試行が終わる ○●●● ●○●● ●●○● の３通り
○●●●の確率＝（ｎ－３）/ｎ×３/（ｎ－１）×２/（ｎ－２）×１/（ｎ－３）
＝６（ｎ－３）/ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）
●○●●の確率＝３/ｎ×（ｎ－３）/（ｎ－１）×２/（ｎ－２）×１/（ｎ－３）
＝６（ｎ－３）/ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）
●●○●の確率＝３/ｎ×２/（ｎ－１）×（ｎ－３）/（ｎ－２）×１/（ｎ－３）
＝６（ｎ－３）/ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）
よって、
P4＝１８（ｎ－３）/ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）
＝１８/ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）
ｋ回で試行が終わるとき、ｋ個目は赤球であるが、他の２個の赤球は、
ｋ個目以外のｋ－１個の中のどこにあってもいいので、k-1C2 通りある。
そのうちの１通りの起こる確率の
(分子)＝３・２・１・（ｎ－３）（ｎ－４）・・・｛ｎ－（ｋ－１）｝
(分母)＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）・・・｛ｎ－（ｋ－１）｝
よって、
Pk＝k-1C2×６/ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）
＝３（ｋ－１）（ｋ－２）/ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）
＝３（ｋ2－３ｋ＋２）/ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）
Xの期待値は ※ｋ＝１，ｋ＝２のとき Pk＝０ なので、ｋ＝１～ｎの和を取っても良い。
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