問題
袋の中にｎ個（ｎ≧４）の球が入っている。
このうち３個は赤球で、残りの（ｎ−３）個は白球である。
この袋から１個ずつ球を取り出す試行を考える。ただし、取り戻した球は元へ戻さない。
赤球を３個取り出したら、そこで試行は終わるものとする。
試行が終わるまでに取り出した球の総数を表す確率変数をＸとし、Ｘ＝ｋとなる確率をＰkとする。
このときのＰ3、Ｐ4、ＰkとＸの期待値を求めなさい。
解答
３回で試行が終わる ●●● の１通り
１個目に赤が出る確率は ３／ｎ
２個目に赤が出る確率は ２／（ｎ−１）
３個目に赤が出る確率は １／（ｎ−２）
よって、
P3＝６／ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）
４回で試行が終わる ○●●● ●○●● ●●○● の３通り
○●●●の確率＝（ｎ−３）/ｎ×３/（ｎ−１）×２/（ｎ−２）×１/（ｎ−３）
＝６（ｎ−３）/ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）
●○●●の確率＝３/ｎ×（ｎ−３）/（ｎ−１）×２/（ｎ−２）×１/（ｎ−３）
＝６（ｎ−３）/ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）
●●○●の確率＝３/ｎ×２/（ｎ−１）×（ｎ−３）/（ｎ−２）×１/（ｎ−３）
＝６（ｎ−３）/ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）
よって、
P4＝１８（ｎ−３）/ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）
＝１８/ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）
ｋ回で試行が終わるとき、ｋ個目は赤球であるが、他の２個の赤球は、
ｋ個目以外のｋ−１個の中のどこにあってもいいので、k-1C2 通りある。
そのうちの１通りの起こる確率の
(分子)＝３・２・１・（ｎ−３）（ｎ−４）・・・｛ｎ−（ｋ−１）｝
(分母)＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）・・・｛ｎ−（ｋ−１）｝
よって、
Pk＝k-1C2×６/ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）
＝３（ｋ−１）（ｋ−２）/ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）
＝３（ｋ2−３ｋ＋２）/ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）
Xの期待値は ※ｋ＝１，ｋ＝２のとき Pk＝０ なので、ｋ＝１〜ｎの和を取っても良い。
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