かかさんからの質問１

問題

図のように、立方体の各面を９等分するような格子状の線が引かれている。
この格子線（立方体の辺を含む）を通り、ＡからＢまで行くとき、最短距離で行く
行き方は何通りあるか。

解答１

平面の場合、上図のように、ＡからＢに行く方法を見つけるとき、
格子点上に左からと下から来る数字を足して記入すれば、行き方は
２０通りと求められます。
立体の場合も同様に

３８４通り　と求められます。

解答２
格子点と格子点の間を１歩と言うとすると、
ＡからＢまでは９歩で行くのが最短です。

図は、Ａから４歩目と５歩目の道を赤く示したものです。
黒い数字は、Ａから赤い道の手前まで行くときの行き方、
青い数字は、Ｂから赤い道の手前まで行くときの行き方です。
例えば、アの道を通る方法は、４×４＝１６通り、イの道を通る方法は
４×６＝２４通りあります。
これらをすべて足すと、
　１６×６＋２４×１２＝３８４（通り）

解答３
ＡからＢに最短で行く道は、必ず下図のような、３×６の長方形（元の立方体の面２枚）内に収まります。

この図で、ＡからＢに行く方法は８４通り。
面２枚を選ぶのは図のように６通り。

全部で、８４×６＝５０４　通りですが、重複して数えたものを除かないといけません。
例えば、下図の青い経路は、２つの面で重複して数えられています。

このように、元の立方体の１辺（格子で言うと３つ分）を通る進み方は
２つの面で重複して数えられます。

図のように、Ａから、立方体の辺のみを通って、３つ進んだあと、
Ｂに行く行き方は、辺の選び方が３通りあるので、
　３×２０＝６０（通り）
同様に、最後に立方体の辺を３つ進んで、Ｂに行く行き方も　６０通り。
合計１２０通りを引きます。

さらに、面上の線は通らず、立方体の辺だけを通る行き方が６通りありますが、
これは、実は、３つの面で重複して数えられている代わりに、上の１２０通りの中にも
２回数えられているので、差し引きゼロです。

よって、
　５０４−１２０＝３８４（通り）

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