問題
正三角形ABCを底面とする１辺の長さ４の正四面体ABCDがある。
ABを３：１に内分する点をEとし、BCの中点をFとする。AFとCEの交点をGとする。
底面ABCに垂直な直線をGに立てこの直線がADを延長した直線と交わる点をHとする。
（１）AGの長さを求めよ。
（２）∠AFH＝θとするときcosθの値を求めよ。
解答
(1)
ＡＦ＝２√３ であることを確認した上で、
メネラウスの定理より、
(ＡＧ/ＧＦ)(ＦＣ/ＣＢ)(ＢＥ/ＥＡ)＝１
(ＡＧ/ＧＦ)(１/２)(１/３)＝１
よって、
ＡＧ：ＧＦ＝６：１
ＡＧ＝ＡＦ×６/７＝１２√３/７
(2)
ＤからＡＦ上に垂線を下ろした足をＪとすると、
ＡＪ：ＪＦ＝２：１
なので、
ＡＪ＝４√３/３
よって、
ＡＪ：ＡＧ＝４√３/３：１２√３/７＝７：９
一方、
ＡＤ：ＡＨ＝ＡＪ：ＡＧ
より、
ＡＨ＝ＡＤ×９/７＝３６/７
△ＡＨＧにおける三平方の定理より、
ＧＨ＝１２√６/７
また、ＦＧ＝２√３/７ より、△ＦＧＨにおける三平方の定理より、
ＦＨ＝２√219/７
よって、
cosθ＝ＦＧ/ＦＨ＝１/√73
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