Hiroya さんからの質問1

問題
△ABCがあり、4点P,Q,R,Sをそれぞれ、AC上、AB上、AB上、BC上にとり、
四角形PQRSが
 PQ=2PS
を満たす長方形になるように作図せよ。

解答1


解答2

CからABに下ろした垂線の足をDとし、PS=x、PQ=2x とします。
△ABCと△PSCの相似より、
 AB:CD=x:(CD−2x)
よって、
 CD・x=AB(CD−2x)
 (2AB+CD)x=AB・CD
よって、
 x=AB・CD/(2AB+CD)
ここで、CE=CD−2x より、
 CE=CD(2AB+CD)/(2AB+CD)−2AB・CD/(2AB+CD)
   =CD2/(2AB+CD)
CD/2=a とおくと
 CE=4a2/2(AB+a)=a・CD/(AB+a)
つまり、CD を a/(AB+a) 倍すれば、CEの長さが出ます。

図のように、点Aを1つの頂点として、長方形AFGHを描きます。
ただし、GF=CD、GH=CD/2 とします。
BGとAHの交点をIとすると、HI が CEに等しくなります。
I の高さで、長方形PQRSを描けば、求める長方形が得られます。


図のような場合も、同様です。

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