HIRO さんからの質問１

問題
X+Y+Z=0の時　（X⁷+Y⁷+Z⁷）/7＝（X⁵+Y⁵+Z⁵）/5・（X²+Y²+Z²）/2を示せ

解答１（まともにやる方法）
Z=-(X+Y) より、
(左辺)＝{X⁷+Y⁷-(X+Y)⁷}/7
　　＝-(7X⁶Y+21X⁵Y²+35X⁴Y³+35X³Y⁴+21X²Y⁵+7XY⁶)/7
　　＝-(X⁶Y+3X⁵Y²+5X⁴Y³+5X³Y⁴+3X²Y⁵+XY⁶)

(右辺)＝{X⁵+Y⁵-(X+Y)⁵}{X²+Y²+(X+Y)²}/10
　　＝-(5X⁴Y+10X³Y²+10X²Y³+5XY⁴)(2X²+2XY+2Y²)/10
　　＝-(X⁴Y+2X³Y²+2X²Y³+XY⁴)(X²+XY+Y²)
　　＝-(X⁶Y+3X⁵Y²+5X⁴Y³+5X³Y⁴+3X²Y⁵+XY⁶)

よって、(左辺)＝(右辺)

解答２（対称式の性質を利用して次数を減らす方法）
　U=YZ+ZX+XY
　V=XYZ
とおくと、
　X²+Y²+Z²=(X+Y+Z)²-2(YZ+ZX+XY)=0-2U=-2U
３次方程式の解と係数の関係より、X,Y,Zは
t³-(X+Y+Z)t²+Ut-V=0 すなわち、t³+Ut-V=0 の３解だから、
X³=-UX+V, Y³=-UY+V, Z³=-UZ+V　がなりたつ。
X³+Y³+Z³=-UX+V-UY+V-UZ+V=-U(X+Y+Z)+3V=3V

X⁵=X³・X² = (-UX+V)X² = -UX³+VX² = -U(-UX+V)+VX² = VX²+U²X-UV
同様に
Y⁵ = VY²+U²Y-UV
Z⁵ = VZ²+U²Z-UV
より、
X⁵+Y⁵+Z⁵ = V(X²+Y²+Z²)+U²(X+Y+Z)-3UV = -2UV-3UV = -5UV

※この時点で、
　（X⁵+Y⁵+Z⁵）/5＝（X³+Y³+Z³）/3・（X²+Y²+Z²）/2
　が証明できます。

さらに、
X⁷=-UX⁵+VX⁴=-U(VX²+U²X-UV)+VX(-UX+V) =-2UVX²+(V²-U³)X+U²V
同様に
Y⁷ = -2UVY²+(V²-U³)Y+U²V
Z⁷ = -2UVZ²+(V²-U³)Z+U²V
より、
X⁷+Y⁷+Z⁷=-2UV(X²+Y²+Z²)+(V²-U³)(X+Y+Z)+3U²V = 4U²V+3U²V = 7U²V

よって、
（X⁷+Y⁷+Z⁷）/7＝（X⁵+Y⁵+Z⁵）/5・（X²+Y²+Z²）/2
が言えます。

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