ヘロンの公式（幾何的証明）代数的証明はこちら
三角形の三辺の長さ ａ，ｂ，ｃ が分かっているとき、三角形の面積Ｓは、
　
と表せる。

以下の説明では、左図のように、頂点および角度をA,B,Cで表し 各頂点に向かい合う辺の長さを、ａ，ｂ，ｃ で表します。

予備知識１（内接円に関する性質）
△ＡＢＣの内接円の各接点から頂点までの長さは下図の通り。

　AE=AF, BD=BF, CD=CE
より、
　AF+BD+CD=(a+b+c)/2=s
一方、
　BD+CD=a
より、
　AF=s-a
他も同様。

予備知識２（傍接円に関する性質）
△ＡＢＣの辺ＢＣの外側に描いた傍接円において、頂点Ａから引いた接線の
長さは s である。他の２つの傍接円についても同様。

　BL=BM, CL=CN
より、
　MA+NA = a+b+c = 2s
MA=NA より、
　MA = NA = s

証明
図のように、面積を求める△ＡＢＣの内接円および傍接円を描きます。
内接円の中心をＤ、ＡＢとの接点をＥ、半径をｒ、
傍接円の中心をＦ、ＡＢとの接点をＧ、半径をＲとします。
このとき、求める面積Ｓは
　Ｓ＝ｒｓ
です。

上述の予備知識、および等しいことがわかっている角を図に書き込むと
上図のようになります。

ここで、△ＡＤＥ、△ＡＦＧ、△ＢＤＥ、△ＦＢＧを抜き出すと、以下のようになります。

△ＡＤＥと△ＡＦＧが相似であることより、
　ｒｓ＝Ｒ（ｓ−ａ）　・・・(1)
△ＢＤＥと△ＦＢＧが相似であることより、
　ｒＲ＝（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）　・・・(2)
(2) および ｒ＞０ より
　Ｒ＝（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）／ｒ
(1) に代入して、
　ｒ²ｓ＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）
両辺にｓを掛けて平方根を取ると、
　Ｓ＝ｒｓ＝√{ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）}
となり、ヘロンの公式が導かれる。　

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