問題
Oを原点とする座標平面上に曲線C：y=√x(x≧0)があり、
C上に点の列O、P1、P2、P3、･･･、Pn,･･･がこの順に、
さらに、x軸上に点の列O,Q1,Q2,Q3,･･･,Qn,･･･がこの順に並んでいる。
さらに、△OP1Q1および、△QnP(n+1)Q(n+1) (nは１以上の整数をとる）
はすべて正三角形であり、Pnのx座標をxnとする。
(1) x1をもとめよ
(2) xnをもとめよ
(3) lim(n→∞) (1/n3)(OP12+P1P22+･･･+P(n-1)Pn2)を求めよ。
解答
(1)
ＯＰ1 は、直線 ｙ＝√3ｘ なので、これと、y=√ｘ との交点を調べると、
√3ｘ＝√ｘ
２乗して
３ｘ2＝ｘ
ｘ＝０，1/3
よって、 ｘ1＝1/3
(2)
Ｑn のｘ座標を ｗn とします。ｗ0＝０、ｗ1＝2/3 です。
直線 ＱnＰ(n+1) は、ｙ＝√3（ｘ−ｗn) と書けます。これと、y=√ｘ との交点のｘ座標が Ｐ(n+1) となります。
√3（ｘ−ｗn)＝√ｘ
３（ｘ−ｗn)2＝ｘ
３ｘ2−(6ｗn＋1)x＋３ｗn2＝０
ｘn+1＝{6ｗn＋1＋√(12ｗn＋1)}/6
ｗn+1＝２ｘn+1−ｗn より
ｗn+1＝{3ｗn＋1＋√(12ｗn＋1)}/3
という漸化式が得られます。最初の数項を計算すると、
ｗ2＝２＝6/3、ｗ3＝４＝12/3、ｗ5＝20/3 などが得られます。
これより、
ｗn＝n(n+1)/3 ・・・(i)
と推測できます。
n=0 のとき、明らかに、(i) は成り立ちます。
n=k のとき(i) が成り立つとき、n=k+1 について考えると、
ｗk+1＝{3ｗk＋1＋√(12ｗk＋1)}/3
＝[k(k+1)＋１＋√{4k(k+1)+1}]/3
＝(k2+k＋１＋2k+1)/3
＝(k+1)(k+2)/3
よって、n=k+1 についても、(i) が成り立ち、任意の0以上の整数ｎについて(i)が成り立ちます。
ｘn＝(ｗn-1＋ｗn)/2
より、
ｘn＝ｎ2/3
(3)
Ｐnの座標は(ｎ2/3,ｎ/√3) と書けます。
ＰnＰn+12＝(4/9)(ｎ2＋ｎ＋１)
より、
OP12+P1P22+･･･+P(n-1)Pn2＝(ｎ3＋6n2＋2n)/3
よって、
lim(n→∞) (1/n3)(OP12+P1P22+･･･+P(n-1)Pn2)＝1/3
算数・数学の部屋に戻る