問題
平面上の△ABCとその内部の点Pに対して、4PA＋5PB＋6PC＝０ が成り立ち、直線APと辺BCの交点をMとする。
（１）AMをAB、ACを用いて表せ。
（２）点Pが△ABCの内接円の中心であるとき、3辺の長さの比AB:BC：CAを最も簡単な整数比で表せ。
（３）点Pが△ABCの外接円の中心で、外接円の半径が１のとき、内積PA・PBを求めよ。
解答
(1)
4PA＋5PB＋6PC＝０
を変形して
4AP＝5PB＋6PC＝5(AB−AP)＋6(AC−AP)
これより、
15AP＝5AB＋6AC
AP＝(5AB＋6AC)/15
ここで、点Ｍは、直線ＡＰ上にあるので、AM＝ｋAP と書けます。つまり、
AM＝kAP＝(5k/15)AB＋(6k/15)AC
と書けますが、点Ｍは、ＢＣ上の点なので、AB と AC の係数において、
5k/15＋6k/15＝１
が成り立ちます。つまり
11k/15=1
より、k=15/11 となり、
AM＝(5AB＋6AC)/11
と書けます。
(2)
直線ＢＰと辺ACの交点をＮとすると、(1) と同様にして、
BN＝(4BA＋6BC)/10＝(2BA＋3BC)/5
と書けるので、
ＡＮ：ＮＣ＝３：２
また、(1)より、
ＢＭ：ＭＣ＝６：５
点Pが△ABCの内接円の中心であるので、
ＡＭは、∠ＢＡＣの二等分線、ＢＮは、∠ＡＢＣの二等分線になるので、
角の二等分線の定理より、
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＭ：ＭＣ＝６：５
ＢＡ：ＢＣ＝ＡＮ：ＮＣ＝３：２＝６：４
よって、
ＡＢ：ＢＣ：ＣＡ＝６：４：５
(3)
4PA＋5PB＋6PC＝０
を変形して、
4PA＋5PB＝6CP
左辺右辺それぞれ、自分自身との内積を取って、
(4PA＋5PB)・(4PA＋5PB)＝36CP・CP
|AP|＝|BP|＝|CP|＝１ に注意して展開すると
16＋25＋40PA・PB＝36
よって、
PA・PB＝-1/8
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