ゴロー　高校3年さんからの質問４

問題


解答
(1)
　（ｘ’、ｙ’）＝(−ｘ＋ａｙ，ｂｘ＋ｙ）
および、
　ＯＰ’²＝４ＯＰ²
より、
　(−ｘ＋ａｙ)²＋(ｂｘ＋ｙ)²＝４(ｘ²＋ｙ²)
　(ｂ²＋１)ｘ²＋２(ｂ−ａ)ｘｙ＋(ａ²＋１)＝４ｘ²＋４ｙ²
これが、ｘ、ｙについての恒等式になるので、
　ａ²＋１＝４
　ｂ²＋１＝４
　ｂ−ａ＝０
ａ＞０ より、ａ＝ｂ＝√3

(2)
直線　ｙ＝ｍｘ＋ｎ 上の点 （ｘ、ｍｘ＋ｎ）は、この１次変換によって、
　（−ｘ＋√3（ｍｘ＋ｎ），√3ｘ＋ｍｘ＋ｎ）
に移る。これが、ｙ＝ｍｘ＋ｎ 上にあるとき、
　√3ｘ＋ｍｘ＋ｎ＝ｍ{−ｘ＋√3（ｍｘ＋ｎ）}＋ｎ
が、ｘについての恒等式になります。整理して
　(√3＋２ｍ−√3ｍ²)ｘ−ｍｎ＝０
より、
　√3＋２ｍ−√3ｍ²＝０
　ｍｎ＝０
これを解いて、ｍ＝−１／√３ または ｍ＝√３，ｎ＝０
よって、求める直線の式は、
　ｙ＝−ｘ／√３　または　ｙ＝√３ｘ

一方、直線 ｘ＝ｍ 上の点（ｍ、ｙ）は、この１次変換によって、
　(−ｍ＋√３ｙ，√３ｍ＋ｙ)
に移る。これが、ｘ＝ｍ 上にあるとすると、
　−ｍ＋√３ｙ＝ｍ
　√３ｙ＝２ｍ
となり、ｍは一定に定まらないので、ｙ軸に平行な直線で、求める直線は存在しない。

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