問題
△ABCの内部の点Pが5PA+2PB+3PC＝0を満たしているとき，次の比をそれぞれ求めよ。
（1）２点A，Pを通る直線が辺BCと交わる点をDとするときBD：DC
（2）3つの三角形の面積比△ABP：△BCP：△ACP
解答
点A を始点とする 点B,C,P の位置ベクトルをそれぞれ、b, c, p とおく。
5PA+2PB+3PC＝0
より、
-5p+2(b-p)+3(c-p)=0
10p=2b+3c
p=(2b+3c)/10=(2b+3c)/5×1/2
(2b+3c)/5 は、ＢＣを 3:2 に内分する点(実はこの点がＤになります)の位置ベクトルであり、
点Ｐはその中点になります(さらに 1/2 を掛けているので)。
つまり、点Ｐおよび点Ｄの位置は下図のようになります。
（１）ＢＤ：ＤＣ＝３：２
（２）点ＰはＡＤの中点なので、
△ＡＢＰ＝△ＢＰＤ
△ＡＣＰ＝△ＣＰＤ
また、ＢＤ：ＤＣ＝３：２ より、
△ＢＰＤ：△ＣＰＤ＝３：２
よって、△ABP：△BCP：△ACP＝３：（３＋２）：２＝３：５：２
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