円Ｏ上に弦ＡＢを引き、円周上に点Ｃをとり、∠ＡＣＢを作ります。
点Ｃが弦ＡＢに対して同じ側にある限り、点Ｃの位置にかかわらず
∠ＡＣＢの大きさは一定であり、中心角ＡＯＢの半分になります。
∠ＡＣＢ＝∠ＡＯＢ÷２
この、∠ＡＣＢを「弦ＡＢに立つ円周角」といいます。
左の図（ＢＣが直径の場合）において、
∠ＡＣＯ＝∠ＣＡＯ
∠ＡＯＢ＝∠ＡＣＯ＋∠ＣＡＯ
より、
∠ＡＣＯ＝∠ＡＯＢ÷２
となり、円周角は中心角の半分になります。
中央の図において、ＣＤを直径とすると、上の証明より
∠ＤＣＢ＝∠ＤＯＢ÷２
∠ＤＣＡ＝∠ＤＯＡ÷２
辺々足して
∠ＤＣＢ＋∠ＤＣＡ＝∠ＡＣＢ＝（∠ＤＯＢ＋∠ＤＯＡ）÷２
＝∠ＡＯＢ÷２
となり、円周角は中心角の半分になります。
右の図の証明は省略します。
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