大吉さんからの質問１

問題
sin3x=sin3y,　cos2x=cos2y,　sinx≠siny, 0≦x≦π, 0≦y≦2π
これを満たすｘ、ｙを求めなさい。

解答
和積の公式
　sinA-sinB=2cos{(A+B)/2}sin{(A-B)/2}
　cosA-cosB=-2sin{(A+B)/2}sin{(A-B)/2}
を使う。

sin3x-sin3y=0 より
　2cos{(3x+3y)/2}・sin{(3x-3y)/2}=0
よって、cos{(3x+3y)/2}=0 または sin{(3x-3y)/2}=0
0≦3x≦3π, 0≦3y≦6πより
　0≦(3x+3y)/2≦9π/2, -3π≦(3x-3y)/2≦3π/2
であるので、
　(3x+3y)/2=π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2, 9π/2
　(3x-3y)/2=-3π, -2π, -π, ０, π
両辺2/3 を掛けて
　x+y=π/3, π, 5π/3, 7π/3, 3π
　x-y=-2π, -4π/3, -2π/3, ０, 2π/3

cos2x-cos2y=0 より
　-2sin(x+y)・sin(x-y)=0
よって、sin(x+y)=0 または sin(x-y)=0
0≦x≦π, 0≦y≦2πより
　0≦x+y≦3π, -2π≦x-y≦π
であるので、
　x+y=０, π, 2π, 3π
　x-y=-2π, -π, ０, π

一方、sinx-siny≠0 より、
　2cos{(x+y)/2}・sin{(x-y)/2}≠0
よって、　cos{(x+y)/2}≠0 かつ sin{(x-y)/2}≠0
　(x+y)/2≠π/2, 3π/2
　(x-y)/2≠-π, ０
であるので、
　x+y≠π, 3π
　x-y≠-2π, ０

以上より、条件を満たす x, y は
　(x, y)=(π/3, 4π/3)，(π/3, 5π/3)，(2π/3, 4π/3)，(2π/3, 5π/3)

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