１．円の内サイクロイド（トロコイド）
原点中心半径 r1 の円Ｃ1の内側を、半径 r2 (r1＞r2) の円Ｃ2が、接しながら滑ることなく回転するとき、
Ｃ2 の中心Ｏ2 からの距離が r3 である点Pの描く軌跡。
r3＝r2 のときをサイクロイド、それ以外をトロコイドといいます。
円Ｃ2 の中心の位置を((r1-r2)cosθ1, (r1-r2)sinθ1) で表すこととし、θ1＝０ のときの点Ｐの座標を(r1-r2+r3, 0)とします。
円Ｃ2 が、円Ｃ1 の内側を滑らずに、θ1だけ回転したとき、点Ｐは、円Ｃ2 の中心から見て、θ1−θ2 の方向にあります。
一方、図の円Ｃ1上の太線の弧と、円Ｃ2上の太線の弧との長さが等しいことより、
r1θ1＝r2θ2
よって、
θ2＝(r1/r2)θ1
θ1だけ回転したときの、円Ｃ2の中心は、
((r1-r2)cosθ1, (r1-r2)sinθ1)
点Ｐの位置は円Ｃ2 の中心から
(r3cos(θ1−θ2), r3sin(θ1−θ2))
だけ進んだ位置にあるので、その座標は、
Ｐ：((r1-r2)cosθ1＋r3cos(θ1−(r1/r2)θ1), (r1-r2)sinθ1＋r3sin(θ1−(r1/r2)θ1))
とくに、サイクロイドの場合、r3＝r2 であるので、
Ｐ：((r1-r2)cosθ1＋r2cos(θ1−(r1/r2)θ1), (r1-r2)sinθ1＋r2sin(θ1−(r1/r2)θ1))
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