問題
正12、20面体は五角形、三角形をそれぞれ何度かたむけたらよいか教えてください。
解答
正十二面体の場合
上図の左は、正十二面体のひとつの面に対して、垂直な方向から見たときの図です。
Ｏは、正五角形ＡＢＣＤＥの中心（外接円の中心）です。
この図において、ＯＦ＝ＯＧ＝ＯＨであり、外周は正十角形です。
ＣＤの中点をＭとおいたときの、ＭＧの長さを求めます。
ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝ＯＥ＝１とおきます。
上図右は、正五角形ＣＦ'Ｇ'Ｈ'Ｄ を折り返す前の図です。
正五角形ＣＦ'Ｇ'Ｈ'Ｄを、ＣＤに対して折り返すので、ＨＨ' は、ＣＤに対して、
垂直になります。つまり、Ｈは、ＥＨ' 上にあります（ｘ座標が等しい）。
ＯＥ＝１
より、Ｏを原点としたときのＥのｘ座標は、cos18° 五倍角の公式参照
また、図形の対称性より、Ｈは、ＯＤの延長上にある。
△ＯＮＨにおいて、ＮＨ＝cos18° ∠ＮＯＨ＝36° より、
ＯＨ＝cos18°÷sin 36°＝√{(3+√5)/2}＝(√5+1)/2
ＯＧも同様に
ＯＧ＝(√5+1)/2
一方、
ＯＭ＝ＯＤ×cos36°＝(√5+1)/4
より、
ＭＧ＝ＯＧ−ＯＭ＝(√5+1)/2−(√5+1)/4＝(√5+1)/4
また、
ＡＭ＝ＯＡ＋ＯＭ＝１＋(√5+1)/4＝(√5+5)/4
よって、
ＡＭ：ＭＧ＝√5：1
以上より、Ａ−Ｏ−Ｍ−Ｇにいたる線の断面図は以下のようになります。
よって、五角形と五角形の角度は、上図のような角度になります。
答え Cos-1(-1/√5)≒116°
正二十面体の場合
正二十面体は、正三角形五つで、正五角錐を作りますが、下図はその正五角形を
真上から見た図です。
ＡＯの中点をＭとするとき、△ＢＥＭにおいて、∠ＢＭＥが求める角です。
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＡ＝２ とおきます。
ＢＥ＝２ＡＥsin54°＝√5+1
ＢＭ＝ＥＭ＝√3
より、三角形ＢＥＭは、以下のような形になります。
上図のようにθを決めると、
sinθ＝(√5+1)/2√3＝(√15+√3)/6
θ＝Sin-1{(√15+√3)/6}≒69°
よって、求める角度は２θであるので、
答え 約138°
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