問題
内のりが深さ６ｃｍ、底面の半径が８ｃｍの円柱形の容器に水がいっぱいに入っている。
この中に、底面の半径が４ｃｍの鉄の円錐を入れて底に安定させたところ、
水が全量の 7/48 だけあふれ出たという。円錐の高さを求めよ。
解答
まず、この容器の容積は、
６４π×６＝３８４π (cm3)
であり、その 7/48 は、
３８４π× 7/48 ＝５６π (cm3)
になります。
図のような状況を想定すると、円錐の体積は、
１６πｘ/３
となり、
１６πｘ/３＝５６π
を解くと、
ｘ＝10.5
となり、水面から出てしまいます。
そこで、
図のような状況であることがわかります。
円錐の体積は １６πｘ/３ であり、
水面より出ている部分の体積は、円錐全体と相似であり、相似比は、ｘ−６：ｘ。
体積はその３乗に比例するので、水面より出ている部分の体積は、
１６πｘ/３ ×(ｘ−６)3/ｘ3
すると、水の中にある部分の体積は、
１６πｘ/３ − １６πｘ/３ ×(ｘ−６)3/ｘ3 ＝ １６πｘ/３ ×｛１−(ｘ−６)3/ｘ3｝
これが、５６πに等しいので、
１６πｘ/３ ×｛１−(ｘ−６)3/ｘ3｝＝５６π
両辺 ３ｘ2/８π を掛けて
２{ｘ3−(ｘ−６)3}＝２１ｘ2
展開して整理すると、
１５ｘ2−２１６ｘ＋４３２＝０
５ｘ2ー７２ｘ＋１４４＝０
(ｘ−１２)(５ｘ−１２)＝０
ｘ≧６ の範囲でこれを解くと、
ｘ＝１２
答え １２ｃｍ
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