メタンさんからの質問

問題１
aを実数とする。xの方程式
　（x-[x])²=a(x+1)
について次の問いに答えよ。
（１）この方程式が異なる２個の実数解を持つようなaの値の範囲を求めよ。
（２）この方程式が n個(nは１以上）の実数解を持つような a の値の範囲を求めよ。

解答１
まず、f(x)=x-[x] がどのような関数であるかを調べます。
[x] は一般にはガウス記号と呼ばれ「x を超えない最大の整数」という意味です。
[4.3]=4, [3]=3, [-2.3]=-3 です。
x-[x] は平たく言えば、「x の小数部分」です。具体的に x-[x] の値を調べてみます。

このように、[0,1) の範囲の繰り返しになっています。
y=x-[x] のグラフは以下の通りです。

●はその点を含む、○はその点を含まないことを表します。

[0,1) では、y=x で、以下、それの繰り返しです。
同様に、y=(x-[x])² のグラフは、以下の通りで、やはり [0,1) の繰り返しになっています。

このグラフと y=a(x+1) の交点を調べればいいわけですが、
y=a(x+1) は 点(-1,0) を必ず通ります。
点(-1,0) から、色々な傾きの直線を引いて、y=(x-[x])²のグラフと
２点で交わる範囲を調べると、以下のようになります。

傾き a が直線Ａの位置(a=-1) よりも、すこしでも大きいと、３点で交わってしまいますから
　ａ≦−１
一方、小さい方はいくらでもＯＫです。
直線Ｂの位置は、傾きで表しようがありませんが、この位置では１点でしか交わらないので
問題なしです。
また、直線Ｃの位置(a=1)では交点は１つで、これよりすこしでも傾きが小さければ、交点は２つ以上になります。
一方、直線Ｄの位置(a=1/2)では交点は２つで、これよりすこしでも傾きが小さければ交点は３つ以上になります。
以上より、
　1/2≦ａ＜１
答え（１）　ａ≦−１　または　1/2≦ａ＜１

同様に考えて、３点で交わる場合は、以下の通り。

つまり、　−１＜ａ≦-1/2　または　1/3≦ａ＜1/2　である。
一般にｎ≧３のとき ｎ個の点で交わるためには、
　-1/(n-2)＜ａ≦1/(n-1)　または　1/n≦ａ＜1/(n-1)
ｎ＝２のとき
　ａ≦−１　または　1/2≦ａ＜１
ｎ＝１のとき
　ａ≧１

問題２
aはa＞１を満たす定数とする。関数
　f(x)=ax/(1+ax)
について実数 t が
　f(f(t))=f(t)・・・(1)
を満たすとき
　f(t)=t
をも満たすことを示せ。

解答２−１
まず、f(x) の逆関数が存在することを示します。
　y=ax/(1+ax)
とおき、x について解くと、
　x=y/a(1-y)　※a(1-y) が分母
より、
　f^-1(x)=x/a(1-x)
(1) の両辺について f^-1で変換すると、
　f^-1(f(f(t)))=f^-1(f(t))
逆関数の性質：f(f^-1(x))=x, f^-1(f(x))=x
合成関数の性質（結合法則）：f(g(h(x)))=(f・g)(h(x))
より、
　f(t)=t
が導ける。

解答２−２
＜逆関数の存在を確認するところまでは同じ＞
仮に　s≠t である s について、
　f(t)=s
であると仮定する。
両辺を f^-1 で変換すると、
　f^-1(f(t))=f^-1(s)
よって、
　t=f^-1(s)
一方、(1) より、
　f(s)=s
両辺を f^-1 で変換すると、
　f^-1(f(s))=f^-1(s)
　s=f^-1(s)
よって、
　t=s=f^-1(s)
となり、s≠t に矛盾する。
よって、f(t)=t である。

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