鯉さんからの質問1

問題
f(x)をxに関する2次式とする。{f(x)}2−1はx3−xで割り切れるという。f(x)を決定せよ。

解答
 f(x)=ax2+bx+c  (a≠0)
とおく。また、
 g(x)={f(x)}^2−1=(ax2+bx+c)2−1
とおく。
 x3−x=x(x+1)(x−1)
より、g(0)=0, g(1)=0, g(-1)=0 がそれぞれ成り立つ。つまり、
 g(0)=c2−1=0
 g(1)=(a+b+c)2−1=0
 g(-1)=(a−b+c)2−1=0
よって、
 c=±1
 a+b+c=±1
 a−b−c=±1
ここで、符号の組合せをすべて挙げると

−1 −1 −1 −1
a+b+c −1 −1 −1 −1
a−b+c −1 −1 −1 −1
−1 −1 −2
−1 −1

以上より、a≠0 を考慮すると、
 f(x)=−x2+x+1
 f(x)=−x2−x+1
 f(x)=−2x2+1
 f(x)=2x2−1
 f(x)=x2+x−1
 f(x)=x2−x−1
が、得られます。

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