鯉さんからの質問１

問題
f(x)をxに関する２次式とする。{f(x)}²−１はx³−xで割り切れるという。f(x)を決定せよ。

解答
　ｆ（ｘ）＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ　　（ａ≠０）
とおく。また、
　ｇ（ｘ）＝{f(x)}^2−１＝(ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ)²−１
とおく。
　ｘ³−ｘ＝ｘ(ｘ＋１)(ｘ−１)
より、g(0)=0, g(1)=0, g(-1)=0 がそれぞれ成り立つ。つまり、
　g(0)＝ｃ²−１＝０
　g(1)＝(ａ＋ｂ＋ｃ)²−１＝０
　g(-1)＝(ａ−ｂ＋ｃ)²−１＝０
よって、
　ｃ＝±１
　ａ＋ｂ＋ｃ＝±１
　ａ−ｂ−ｃ＝±１
ここで、符号の組合せをすべて挙げると

以上より、ａ≠０ を考慮すると、
　ｆ（ｘ）＝−ｘ²＋ｘ＋１
　ｆ（ｘ）＝−ｘ²−ｘ＋１
　ｆ（ｘ）＝−２ｘ²＋１
　ｆ（ｘ）＝２ｘ²−１
　ｆ（ｘ）＝ｘ²＋ｘ−１
　ｆ（ｘ）＝ｘ²−ｘ−１
が、得られます。

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