問題
同一直線上に無い平面上の三点O,A,BがありOA=5/2,OB=3である。
a=OA,b=OBと表す時、内積 a・b=9/2である。
さらに点Aを中心とする半径3/2の円と点Bを中心とする半径2の二つの交点を
C,Dとし、線分ABと線分CDの交点をEとする。
（1） 線分ABの長さを求めよ。
（2） 線分AEの長さを求めよ。
（3） a,bを用いてOEを表せ。
解答
∠ＡＯＢ＝θとすると、
a・b=OA・OBcosθ=(5/2)・3cosθ=9/2
より、
cosθ=3/5
（１）解き方その１
上図のようにＯＢ＝３，ＢＦ＝４、ＯＦ＝５の直角三角形を考えると、ＡはＯＦの中点となります。
ＡＯ＝ＡＢ＝ＡＦより、 ＡＢ＝5/2
解き方その２
余弦定理より、
ＡＢ2＝ＯＡ2＋ＯＢ2−2ＯＡ・ＯＢcosθ＝25/4＋9−2・(5/2)・3・(3/5)
＝25/4
よって、ＡＢ＞０ より、ＡＢ＝5/2
（２）
解き方その１
上図において、△ＡＢＣは３：４：５の直角三角形です。
いきなり、ＡＥ：ＥＢ＝ＡＣ2：ＢＣ2＝9：16 としてもいいですが、
この公式を知らない人は、以下のようにします。
△ＢＣＥ、△ＡＣＥもそれぞれ、３：４：５の直角三角形なので、
ＡＥ：ＥＣ＝３：４＝９：１２
ＥＣ：ＥＢ＝３：４＝１２：１６
よって、ＡＥ：ＥＢ＝９：１６
ＡＢ＝5/2 より、
ＡＥ＝5/2×9/25＝9/10
解き方その２
簡単のため、ＡＢ＝５、ＡＣ＝３、ＢＣ＝４とします。
Ａを原点、Ｂを（５，０）として、２つの円の式を作ると、
ｘ2＋ｙ2＝9 ・・・(1)
(ｘ−５)2＋ｙ2＝16・・・(2)
(2)から(1)を引いて、
-10x＋25＝7
ｘ＝１．８
実際は、この半分なので、ＡＥ＝１．８÷２＝０．９