問題
すべての辺の長さが１の正四角錐のＯ−ＡＢＣＤに対して辺ＯＢ、ＯＤの中点をＰ、
Ｑとし、更に平面ＡＰＱと辺ＯＣとの交点をＲとする。このとき、次の問に答えよ。
（１）ＯＲの長さを求めよ。
（２）四角形ＡＰＲＱの面積を求めよ。
（３）四角錐Ｏ−ＡＰＲＱの体積を求めよ。
解答
図の左は底面ＡＢＣＤに垂直な方向から見た図、
図の右は△ＡＣＯの断面図で、ＨはＡＣの中点、ＳはＯＨの中点で、
ＡＲとＰＱの交点がＳになります。
（１）
上図右において、メネラウスの定理より、
ＯＳ・ＨＡ・ＣＲ＝ＳＨ・ＡＣ・ＲＯ
ＣＲ：ＲＯ＝２：１
よって、ＯＲ＝ＯＣ／３＝1/3
（２）
上図右の△ＡＨＳにおいて、
ＡＨ：ＨＳ＝２：１
より、
ＡＳ＝ＨＳ×√５
ＨＳ＝√２/４ なので、
ＡS=√10/４
ＡＲはＡＳの4/3倍（メネラウスで示しても良いし、ＲからＡＣに垂線を下ろしても良い）
なので、
ＡＲ＝√10/３
一方、ＰＱ＝ＢＣ／２＝√２／２
ＡＲとＰＱは垂直なので、
四辺形ＡＰＲＱ＝ＡＲ・ＰＱ÷２＝√５/６
（３）
この立体を、△ＯＰＱが底面でＲをもう一つの頂点とする三角錐Ａと、
同じく△ＯＰＱが底面で、Ａをもう一つの頂点とする三角錐Ｂに分けて考えます。
△ＯＰＱの面積は、ＯＰ×ＯＱ÷２＝1/8
上図右のＨＡが三角錐Ｂの高さで、三角錐Ａの高さはこれの1/3倍なので、
結局、ＡＨの 4/3 倍の高さの三角錐と同じ体積である。
ＡＨ×4/3＝√２/２×4/3＝２√２/３
四角錐Ｏ−ＡＰＲＱ＝△ＯＰＱ×２√２/３÷３＝√２/36
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