問題
三角形の3つの頂点から、それぞれの対辺またはその延長上に下ろした垂線は、1点で交わる。
この交点を、その三角形の垂心という。
３点Ａ(ａ，4)、Ｂ（0，0）、Ｃ(5，0)を頂点とする三角形がある。
この三角形の重心をＧ、垂心をＨとする。
（1）ＧとＨの座標を求めよ。
（2）△ＧＢＣと△ＨＢＣの面積の比が16：9のとき、ａの値を求めよ。
解答
(1)
Ｇの座標は、３点Ａ，Ｂ，Ｃの座標の平均なので、
Ｇ：（(ａ＋５)/３，４/３）
Ｈのｘ座標は必ずａであるので、Ｈの座標を（ａ，ｂ）とおきます。
ａ＝０ のときは、Ｈは（０，０）となります。
ａ＝５ のときは、Ｈは（５，０）となります。
ａ≠０ かつ ａ≠５ のとき、
ＢＨの傾きは ｂ/ａ
ＡＣの傾きは ４/(ａ−５)
ＢＨ⊥ＡＣより、これらの積が−１となり、
(ｂ/ａ)４/(ａ−５)＝−１
これをｂについて解いて、
ｂ＝(５−ａ)ａ/４
以上より、Ｈの座標は Ｈ：(ａ，(５−ａ)ａ/４)
(2)
(1) の結果より、
△ＧＢＣ：△ＨＢＣ＝４/３ ： (５−ａ)ａ/４ ＝１６：９
または
△ＧＢＣ：△ＨＢＣ＝４/３ ： (５−ａ)ａ/４ ＝１６：−９
これを解いて、
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