問題
平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、
辺ＡＤを2：1に内分する点をＥとし、
線分ＢＥを1：3に内分する点をＦとする。
また、三角形ＡＢＣの重心をＧとする。
直線ＡＢと直線ＦＧの交点をＨとするとき、
比ＡＨ：ＨＢおよびＨＦ：ＦＧを求めよ。
解答
（以下、太字はベクトルを表します）
ａ＝ＡＢ、ｂ＝ＡＤ とおきます。
すると、
ＡＣ＝ａ＋ｂ
と書けます。また、
ＡＥ＝２ｂ/３
ＡＦ＝(３ＡＢ＋ＡＥ)/４
より、
ＡＦ＝(９ａ＋２ｂ)/１２
と書け、
ＡＧ＝(ＡＡ＋ＡＢ＋ＡＣ)/３
より、
ＡＧ＝(２ａ＋ｂ)/３
と書けます。
直線ＧＨ上の任意の点をＰとすると、実数ｔに対して、
ＡＰ＝(１−ｔ)ＡＦ＋ｔＡＧ
と書けるので、これをａ、ｂで表すと、
ＡＰ＝(９−ｔ)ａ/１２＋(１＋ｔ)ｂ/６
となります。点Ｐが点Ｈの位置にあるとき、
ＡＰ＝ｓａ （ｓは実数）
の形に書けるので、ｂの係数は０になります。よって、
ｔ＝−１
このとき、
ＡＨ＝１０ａ/１２＝５ａ/６
よって、 ＡＨ：ＨＢ＝５：１ とわかります。
また、
ＨＦ＝ＡＦ−ＡＨ＝(−ａ＋２ｂ)/１２
ＨＧ＝ＡＧ−ＡＨ＝(−ａ＋２ｂ)/６
これより、
ＨＧ＝２ＨＦ
となり、 ＨＦ：ＦＧ＝１：１ となります。
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