問題
黄色の長方形（縦900、横1200）と赤い長方形（縦900、横200）が図左のように、重心を重ねて置かれています。
赤い長方形をこの位置から、反時計回りに15°、30°、45°回転したとき、
赤い長方形の４辺またはその延長線が、黄色い長方形の辺を切る位置を求めよ。
解答
まず、一般化してから求めます。
aratameさんからの質問１
問題
黄色の長方形（縦900、横1200）と赤い長方形（縦900、横200）が図左のように、重心を重ねて置かれています。
赤い長方形をこの位置から、反時計回りに15°、30°、45°回転したとき、
赤い長方形の４辺またはその延長線が、黄色い長方形の辺を切る位置を求めよ。
解答
まず、一般化してから求めます。
| 補題 縦２ａ、横２ｂの大きい長方形と、縦２ｃ、横２ｄの小さい長方形があり、重心が重なっています。 小さい長方形を反時計回りにθ回転したとき、小さい長方形の４辺またはその延長線が、 大きい長方形の辺またはその延長線を切る位置を求めよ。 ただし ０°＜θ＜90°とする 点対称なので、どちらか一方で考えます。  大きい長方形の横の辺の中点をＡ、縦の辺の中点をＢとします。 小さい長方形の縦の辺が大きい長方形の横の辺を切る位置をＣ1、Ｃ2 とし、その中点をＣとします。 小さい長方形の縦の辺が大きい長方形の縦の辺を切る位置をＤ1、Ｄ2 とし、その中点をＤとします。 小さい長方形の横の辺が大きい長方形の横の辺を切る位置をＥ1、Ｅ2 とし、その中点をＥとします。 小さい長方形の横の辺が大きい長方形の縦の辺を切る位置をＦ1、Ｆ2 とし、その中点をＦとします。 ＡＣ＝ａ・tanθ、 ＣＣ1＝ＣＣ2＝ｄ/cosθ より、 ＡＣ1＝ａ・tanθ＋ｄ/cosθ、 ＡＣ2＝ａ・tanθ−ｄ/cosθ ＢＤ＝ｂ/tanθ、 ＤＤ1＝ＤＤ2＝ｄ/sinθ より、 ＢＤ1＝ｂ/tanθ−ｄ/sinθ、 ＢＤ2＝ｂ/tanθ＋ｄ/sinθ ＡＥ＝ａ/tanθ、 ＥＥ1＝ＥＥ2＝ｃ/ｓｉｎθ より、 ＡＥ1＝ａ/tanθ＋ｃ/sinθ、 ＡＥ2＝ａ/tanθ−ｃ/sinθ ＢＦ＝ｂ・tanθ、 ＦＦ1＝ＦＦ2＝ｃ/cosθ より、 ＢＦ1＝ｂ・tanθ−ｃ/cosθ、 ＢＦ2＝ｂ・tanθ＋ｃ/cosθ |
この問題の場合、
ａ＝450、ｂ＝600、ｃ＝450、ｄ＝100 である。
| θ＝15°の時 ｓｉｎ15°＝(√6−√2)/4 cos15°＝(√6＋√2)/4 tan15°＝(√6−√2)/(√6＋√2) ＝2−√3 を使います。   |
ＧＣ1＝ＧＡ−ＡＣ1 ＝ｂ−(ａ・tanθ＋ｄ/cosθ) ＝600−(450tan15°＋100/cos15°) ＝450√3＋100√2−300−100√6 ≒375.9 ＧＣ2＝ＧＡ−ＡＣ2 ＝ｂ−(ａ・tanθ−ｄ/cosθ) ＝600−(450tan15°−100/cos15°) ＝450√3−100√2−300＋100√6 ≒583.0 ＡＥ2＝−ａ/tanθ＋ｃ/sinθ ※Ｅ2がＡより左にあるので、上の解説とは、 符号が逆になります ＧＥ2＝ｂ−(−ａ/tanθ＋ｃ/sinθ) ＝600＋450/tan15°−450/sin15° ＝600＋450(2＋√3)−450(√6＋√2) ＝1500＋450√3−450√6−450√2 ≒540.8 ＢＦ1＝−ｂ・tanθ＋ｃ/cosθ ※同様に符号が逆になります。 ＧＦ1＝ａ−(−ｂ・tanθ＋ｃ/cosθ) ＝450＋600tan15°−450/cos15° ＝1650＋450√2−600√3−450√6 ≒144.9 |
| θ＝30°の時 sin30°＝1/2 cos30°＝√3/2 tan30°＝√3/3 を使います。   |
ＧＣ1＝ＧＡ−ＡＣ1 ＝ｂ−(ａ・tanθ＋ｄ/cosθ) ＝600−(450tan30°＋100/cos30°) ＝600−650√3/3 ≒224.7 ＧＣ2＝ＧＡ−ＡＣ2 ＝ｂ−(ａ・tanθ−ｄ/cosθ) ＝600−(450tan30°−100/cos30°) ＝600−250√3/3 ≒455.7 ＡＥ2＝−ａ/tanθ＋ｃ/sinθ ※同様に符号が逆になります。 ＧＥ2＝ｂ−(−ａ/tanθ＋ｃ/sinθ) ＝600＋450/tan30°−450/sin30° ＝600＋450√3−900 ＝450√3−300 ≒479.4 ＢＦ1＝−ｂ・tanθ＋ｃ/cosθ ※同様に符号が逆になります。 ＧＦ1＝ａ−(−ｂ・tanθ＋ｃ/cosθ) ＝450＋600tan30°−450/cos30° ＝450−100√3 ≒276.8 |
| θ＝45°の時 sin45°＝√2/2 cos45°＝√2/2 tan45°＝１ を使います。   |
ＧＣ1＝ＧＡ−ＡＣ1 ＝ｂ−(ａ・tanθ＋ｄ/cosθ) ＝600−(450tan45°＋100/cos45°) ＝150−100√2 ≒8.579 ＧＣ2＝ＧＡ−ＡＣ2 ＝ｂ−(ａ・tanθ−ｄ/cosθ) ＝600−(450tan45°−100/cos45°) ＝150＋100√2 ≒291.4 ＡＥ2＝−ａ/tanθ＋ｃ/sinθ ※同様に符号が逆になります。 ＧＥ2＝ｂ−(−ａ/tanθ＋ｃ/sinθ) ＝600＋450/tan45°−450/sin45° ＝1050−450√2 ≒413.6 ＢＦ1＝−ｂ・tanθ＋ｃ/cosθ ※同様に符号が逆になります。 ＧＦ1＝ａ−(−ｂ・tanθ＋ｃ/cosθ) ＝450＋600tan45°−450/cos45° ＝1050−450√2 ≒413.6 |