新井孝次朗さんからの質問

問題
Q/P=1-1/2+1/3-1/4+・・・・・-1/1318+1/1319
において、答えを約分したとき、分子Qは1979で割り切れることを説明しなさい。

解答
A=1+1/2+1/3+1/4+・・・・・+1/1318+1/1319
B=1+1/2+1/3+1/4+・・・・・+1/659
とおきます。
Q/P=A-2(1/2+1/4+1/6+・・・・・+1/1318)
  =A-(1+1/2+1/3+・・・・・+1/659)
  =A-B
  =1/660+1/661+1/662+・・・・・+1/1318+1/1319
加える順番を変えて、
Q/P=(1/660+1/1319)+(1/661+1/1318)+・・・・・+(1/989+1/990)
  =(1979/660・1319)+(1979/661・1318)+・・・・・+(1979/989・990)
  =1979(1/660・1319+1/661・1318+・・・・・+1/989・990)
ここで、カッコの中はある分数になるが、分母の素因数(約数である素数)はたかだか1319以下の数である。
一方、1979 は素数であるので、1319 以下のいかなる素数の約数を持たず、カッコの中の計算結果の
分数の分母によって、約分されることはない。
よって、Q/P の分子 Q は1979 で割り切れる。

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