問題
円に内接する四角形において４辺の長さa,b,c,d が与えられた時
その面積 S は
S＝√（s-a）(s-b)（s-c）(s-d) 但しs=(a＋b＋c＋d）/2
で表されることを証明せよ。
解答
円に内接する四角形では、向かい合う角の和は180度であるので、
図のように角度θをおくことが出来る。
cos(180°-θ)＝-cosθ
を考慮して、余弦定理の式を適用すると、
ｅ2＝ａ2＋ｂ2−2abcosθ
ｅ2＝ｃ2＋ｄ2＋2cdcosθ
より、
ａ2＋ｂ2−2abcosθ＝ｃ2＋ｄ2＋2cdcosθ
cosθ＝(ａ2＋ｂ2−ｃ2−ｄ2)/2(ab＋cd)
sin2θ＋cos2θ＝１ より、
sin2θ＝１−(ａ2＋ｂ2−ｃ2−ｄ2)2/4(ab＋cd)2
＝{8abcd+2(a2b2+a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+c2d2)-(a4+b4+c4+d4)}/4(ab＋cd)2
四角形の面積Ｓは
Ｓ＝(ａｂ＋ｃｄ)ｓｉｎθ/２＝(1/4)√{8abcd+2(a2b2+a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+c2d2)-(a4+b4+c4+d4)}
一方、
（s-a）(s-b)（s-c）(s-d)＝(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)/16
＝{8abcd+2(a2b2+a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+c2d2)-(a4+b4+c4+d4)}/16
よって、
√（s-a）(s-b)（s-c）(s-d)＝(1/4)√{8abcd+2(a2b2+a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+c2d2)-(a4+b4+c4+d4)}
となり、√（s-a）(s-b)（s-c）(s-d) が面積と一致する。
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