問題９の解答

島の適当な地点を原点Ｏにとると、
　　　
と表される。このとき、地図によると、
　　
が成り立つ。ところが、木の位置 はわからなくなってしまっているから、問題は次のように
言いかえられる。

が与えられているとき、(1) を満たすベクトル が存在するという
仮定のもとで、 が定まるだろうか？

(i) ｎ＝２ｐ（偶数）のとき、(1) より
　　
したがって、(1) を満たす が存在するという仮定の下で を与えれば
は
　　
によって、一意的に確定する。

(ii) ｎ＝２ｐ＋１（奇数）のとき
が決まれば も確定し、逆に が決まると
も確定する。実際、 が与えられたとすると、(1) の第１式から第ｎ−１式より
　　
また、(1) の第ｎ式より
　　
したがって、(3) の最後の式より
　　
これからまた(3)により、順に が によって表されることになる。
特に、(4) より
　　
であり、 は のみでなく も与えないと決定できないことがわかる。
　以上より、太郎君は宝を、ｎが偶数のときは (2) によって見つけることができるが、
ｎが奇数のときは見つけることができない。………(答)

解答を寄せて下さった皆さん。ありがとうございました。

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