問題9の解答

島の適当な地点を原点Oにとると、
   
と表される。このとき、地図によると、
  
が成り立つ。ところが、木の位置 はわからなくなってしまっているから、問題は次のように
言いかえられる。

が与えられているとき、(1) を満たすベクトル が存在するという
仮定のもとで、 が定まるだろうか?

(i) n=2p(偶数)のとき、(1) より
  
したがって、(1) を満たす が存在するという仮定の下で を与えれば

  
によって、一意的に確定する。

(ii) n=2p+1(奇数)のとき
が決まれば も確定し、逆に が決まると
も確定する。実際、 が与えられたとすると、(1) の第1式から第n−1式より
  
また、(1) の第n式より
  
したがって、(3) の最後の式より
  
これからまた(3)により、順に によって表されることになる。
特に、(4) より
  
であり、 のみでなく も与えないと決定できないことがわかる。
 以上より、太郎君は宝を、nが偶数のときは (2) によって見つけることができるが、
nが奇数のときは見つけることができない。………(答)

解答を寄せて下さった皆さん。ありがとうございました。

数楽者 さん
hisoka さん
中村明海 さん

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