問題8の解答

問題にも書いたとおり、この問題は、もともと空間図形の問題だったのを、平面に置き換えたのですが、
元の問題が、手元にないので、当時の模範解答がわかりません。
わかり次第載せますが、とりあえず、2通りの解法を載せておきます。

(解法1)対称点を使う方法


直線mに関して、点Aと対称な点をA’とすると、
m上の任意の点Pについて、AP=A’Pとなるため
A’P+BPが最小の時、AP+BPも最小になります。
直線mの傾きは2なので、直線AA’の傾きは
 −1÷2=−1/2
です。よって、直線AA’の式は、
 y−3=-1/2(x+2)
 y=−x/2+2
これと、直線m y=2x+2 との交点は(0,2)
で、これは、線分AA’の中点である。
よって、A’の座標は、
 (0×2+2、2×2−3)=(2,1)
A’Bを通る直線の傾きは、(7−1)/(0−2)=−3
よって、直線A’Bの式は、
 y=−3x+7
これと、直線mとの交点が求める点Pであり、その座標は、
(1,4)        答え (1,4)
(解法2)ABと直線mが平行であることを
     利用する方法
(YokoyaMac さんの回答)
まず,直線ABの傾きが2であることから,
 直線AB//直線m
ということが分かる。さらに,直線mのy切片である(0,2)は
点Aから直線mへ下ろした垂線の足であるから,これを点Cとする。
この時,点Bから直線mへ下ろした垂線の足は,(2,6)であり、
これを点Dとする。
さて,AP+BPを一定にして点Pを動かすと,2点A,Bを焦点とする
楕円が描ける。
すなわち,AP+BPを最小にしたいなら,A,Bを焦点とするできるだ
け小さい楕円を,直線mと共有点を持つように描き,その共有点の座標を
求めればよいことになる。
この場合,直線mと接するような楕円を描けばよい。
そうすると求める点Pは,直線mとその楕円との接点ということになり,
直線ABと直線mが平行であることを考えれば,ABの中点から直線m
へ下ろした垂線,すなわち,2点C,Dの中点を求めればよい。
よって,点Pの座標は,(1,4)
               答え (1,4)

解答を寄せて下さった皆さん。ありがとうございました。

安西 さん 中川 琢也 さん
吉田和義 さん YokoyaMac さん
sambaGREEN さん 数楽者 さん
ありさのお父さん さん popopo さん
清川 育男 さん HOSAKA さん
T.Endo さん CRYING DOLPHIN さん
山本真希 さん 里奈 さん
平田和弘 さん hing さん
Shinsaku Maruta さん 太田 さん
伊藤建志 さん

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