問題２の解答
解答を寄せていただいた皆様。ありがとうございました。
今回は、主に、３通りの証明方法になったようです。
| 積を利用する方法 吉川マサルさん Ｎａｇａｈｉｒｏ， Ｙ．さん 平田和弘さん 佐藤 彰夫さん なかさん イデムリンさん 水谷あつしさん |
(a-2)(b-2)(c-2)=0 を示せればよい。 (a-2)(b-2)(c-2)=abc-2(bc+ca+ab)+4(a+b+c)-8 条件 a+b+c=2 abc=2bc+2ca+2ab を代入して、 (a-2)(b-2)(c-2)=abc-abc+4*2-8=0 以上より、a=2 または b=2 または c=0 である。 |
| 方程式を利用する方法 Asamiさん 清川育男さん |
【proof】 Ｃ：複素数体 一般にＣ上のｎ次多項式ｆ(χ)に対して ｆ(α)＝０を満たすα∈Ｃはｎ個しか存在しない。 ｇ(χ)＝χ3−２χ2＋(abc/２)χ−abcとおく。 条件より ｇ(χ)＝χ3−(a+b+c)χ2＋(ab+bc+ca)χ−abc ＝(χ−a)(χ−b)(χ−c)………★ ★よりa,b,c∈Ｃはｇ(χ)＝０の３つの解である。 一方でｇ(２)＝０なので２∈Ｃも解である。 従って２はa,b,cのどれかに一致しなければならない【q.e.d】 |
| 代入する方法 伊藤建志さん 吉田和義さん |
ａ＋ｂ＋ｃ＝２より、 ｃ＝２−ａ−ｂ・・・・・・・・（１） これを、ａｂｃ＝２ｂｃ＋２ｃａ＋２ａｂ代入して ａｂ（２−ａ−ｂ）＝２ｂ（２−ａ−ｂ）＋２ａ（２−ａ−ｂ）＋２ａｂ 整理して、 ２ａ２＋４ａｂ＋２ｂ２−ａ２＊ｂ−４ａ−４ｂ−ａ＊ｂ２＝０ ２（ａ＋ｂ）２−ａ（ａｂ＋４）−ｂ（ａｂ＋４）＝０ ２（ａ＋ｂ）２−（ａ＋ｂ）（ａｂ＋４）＝０ （ａ＋ｂ）（２ａ＋２ｂ−ａｂ−４）＝０ （ａ＋ｂ）（ａ−２）（ｂ−２） ゆえに、ａ＋ｂ＝０ または ａ＝２ または ｂ＝２ ａ＋ｂ＝０のとき、（１）より、ｃ＝２ 以上より、ａ＝２またはｂ＝２またはｃ＝２ |
この問題は、数年前、私の勤める会社の採用試験に出題したのですが、５，６人受けて１人も解けませんでした。
「a=2 または b=2 または c=2 であること」をどう表現するか、だけの問題なのですが。