問題15の解答


図1のように、1つの角が36°である直角三角形の斜辺と、36°をはさむもう1つの
辺の長さの比を
 1:α
とします。
近似値を使うと
 α=0.8
であり、三角関数を使うと
 α=cos36°
です。
図1

<外側の正20面体と正12面体の関係>

図2において、A,B,C,D,EおよびOは正20面体の頂点であり、辺OB,OEの中点をF,G、線分AF,AGをそれぞれ2:1に内分する点をM,Nとします。(点M,点Nは△OAB、△OAEの重心です)
このとき、
 BE=AB×2α
であり、中点連結定理より
 FG=BE÷2
より、
 FG=AB×α
また、
 
より、
 
正12面体の1辺の長さは、外側の正20面体の1辺の2α/3倍である。・・・・(1)
図2

<正12面体と内側の正20面体の関係>

図3において、5角形ABCDEは正12面体の1つの面、太線は正12面体の5つの面の重心を結んだ正5角形で、その辺は内側の正20面体の辺になっています。
今、CD:FGを求めようとするとき、
図3(立体の平面図)において、
 △CDOと△FGOは相似
なので、
 CD:FG=OC:OF
となります。
図4は5角形ABCDEの平面図です。
この図より
 OH:OF=1+α:1+2α
であることがわかります。
図3において、
 OH=OC×α

以上より、
内側の正20面体の1辺の長さは、正12面体の倍である。・・・・(2)
図3 図4

(1)(2)より、
内側の正20面体の1辺の長さは、外側の正20面体の辺の倍です。
 
を代入して計算すると
   
より、
外側の正20面体:内側の正20面体=15: ・・・・(答え)

また、近似値α=0.8を使うと、 675:416 になります。
※近似値を使用した場合は、計算方法により、多少の違いが出る可能性があります。

解答を寄せて下さった皆さん。ありがとうございました。

europa さん
貞松 篤 さん
Hamayan さん

問題に戻る

「算数・数学の部屋」に戻る