問題１５の解答

図１のように、１つの角が３６°である直角三角形の斜辺と、３６°をはさむもう１つの
辺の長さの比を 　１：α とします。 近似値を使うと 　α＝０．８ であり、三角関数を使うと 　α＝cos36° です。

＜外側の正２０面体と正１２面体の関係＞

図２において、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，ＥおよびＯは正２０面体の頂点であり、辺ＯＢ，ＯＥの中点をＦ，Ｇ、線分ＡＦ，ＡＧをそれぞれ２：１に内分する点をＭ，Ｎとします。（点Ｍ，点Ｎは△ＯＡＢ、△ＯＡＥの重心です） このとき、 　ＢＥ＝ＡＢ×２α であり、中点連結定理より 　ＦＧ＝ＢＥ÷２ より、 　ＦＧ＝ＡＢ×α また、 　 より、 　 正１２面体の１辺の長さは、外側の正２０面体の１辺の２α／３倍である。・・・・（１）

＜正１２面体と内側の正２０面体の関係＞

図３において、５角形ＡＢＣＤＥは正１２面体の１つの面、太線は正１２面体の５つの面の重心を結んだ正５角形で、その辺は内側の正２０面体の辺になっています。 今、ＣＤ：ＦＧを求めようとするとき、 図３（立体の平面図）において、 　△ＣＤＯと△ＦＧＯは相似 なので、 　ＣＤ：ＦＧ＝ＯＣ：ＯＦ となります。 図４は５角形ＡＢＣＤＥの平面図です。 この図より 　ＯＨ：ＯＦ＝１＋α：１＋２α であることがわかります。 図３において、 　ＯＨ＝ＯＣ×α 以上より、 内側の正２０面体の１辺の長さは、正１２面体の倍である。・・・・（２）

（１）（２）より、
内側の正２０面体の１辺の長さは、外側の正２０面体の辺の倍です。
　
を代入して計算すると
　　　
より、
外側の正２０面体：内側の正２０面体＝１５：　・・・・（答え）

また、近似値α＝０．８を使うと、　６７５：４１６　になります。
※近似値を使用した場合は、計算方法により、多少の違いが出る可能性があります。

解答を寄せて下さった皆さん。ありがとうございました。

問題に戻る

「算数・数学の部屋」に戻る